湖北省黄冈市2018届高三上学期期末考试(元月调研)数学(理)试卷(含答案)

湖北省黄冈市2018届高三上学期期末考试（元月调研）数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.设z=i+1i-1,f(x)=x 2-x+1,则f(z)= ( ) A.i B.-i C.-1+i D.-1-i 2.已知集合M={y|y=log 12(x+1) ,x ≥3},N={x|x 2+2x-3≤0},则M ∩N= ( )A.[-3,1]B.[-2,1]C.[-3,-2]D.[-2,3] 3.设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ,且S 13=52,则a 4+a 8+a 9= ( ) A.8 B.12 C.16 D.204.设双曲线x 2a 2 - y 2b 2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的渐近线与圆x 2+(y-2)2= 3相切,则双曲线的离心率为( )A.4 3 3B.2 33C. 3D.2 35.从图中所示的矩形OABC 区域内任取一点M(x,y),则点M 取自阴影部分的概率为 ( ) A.13 B.12C.14D.236.函数y= x 2+xex 的大致图象是 ()7.已知函数f (x )＝a sin(π2 x ＋α)＋b cos(π2 x ＋β)，且f (8)＝m,设从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为t ，s ，共可得到lg t －lg s 的不同值的个数是m,则f (2 018)的值为( )A.－15B.-16C.-17D.－188.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.23B.43C.73D.839.若a ＞b ＞1,-1＜c ＜0, 则( )A.ab c ＜ba cB.a c ＞b cC.log a |c| ＜log b |c|D.blog a |c| ＞alog b |c| 10.执行右面的程序框图，如果输入的x ∈[-1，4]，则输出的y 属于 ( )A.[-2,5]B.[-2,3)C.[-3,5)D.[-3,5]11.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点为F,其准线与双曲线y 23-x 2=1相交于M,N 两点,若△MNF 为直角三角形,其中F 为直角顶点,则p= ( )A.2 3B. 3C.3 3D.612.若函数f(x)= - 56 x- 112 cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减，则m 的取值范围是( )A.[-12 ,12 ]B.[- 2 3 , 2 3 ]C.[- 3 3 , 3 3 ]D.[- 2 2 , 22 ]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）（本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22，23 题为选考题，考生根据要求作答）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在题中的横线上）13.设向量a →=(-1,2),b →=(1,m)(m ＞0),且(a →+b →)·(a →-b →)=|b →|2-|a →|2,则抛物线y 2=-2mx 的焦点坐标是_____. 14.设(1-ax)2018=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2018x 2018,若a 1+2a 2+3a 3+…+2018a 2018=2018a(a ≠0),则实数a=_________. 15.设等比数列{a n }满足a n ＞0,且a 1+a 3=516 ,a 2+a 4= 58,则log 2(a 1a 2…a n ) 的最小值为________. 16.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题。

根据该问题我们拓展改编一题：今有边长为12 尺的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为2尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接。

如图，记正方形水池的剖面图为矩形ABCD,芦苇根部O 为池底AB 的中点,顶端为P(注:芦苇与水面垂直),在牵引顶端P 向水岸边点D 的过程中，当芦苇经过DF 的三等分点E （靠近D 点）时，设芦苇的顶端为Q,则点Q 在水面上的投影离水岸边点D 的距离为____尺.（注： 5 ≈2.236, 3 ≈1.732,精确到0.01尺）三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本题满分10分) 已知集合A ＝{ x |(13)x 2-x-6≤1}，B ＝{x |log 3(x ＋a )≥1}，若x ∈A是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18.(本题满分12分)如图，在锐角△ABC 中，D 为BC 边的中点，且AC= 3 ,AD=112,0为△ABC 外接圆的圆心，且cos ∠BOC= - 13 .(1)求sin ∠BAC 的值;(2)求△ABC 的面积.19.(本题满分12分)设同时满足条件：①b n ＋b n ＋2≥2b n ＋1；②b n ≤M (n ∈N *，M 是常数)的无穷数列{b n }叫“欧拉”数列．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足(a －1)S n ＝a (a n －1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝S n a n ＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值，并证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“欧拉”数列．20.(本题满分12分)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示.(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．(3)从这两种品牌产品中,抽取寿命超过300小时的产品3个,设随机变量X 表示抽取的产品是甲品牌的产品个数,求X 的分布列与数学期望值.21.(本题满分12分)如图,椭圆C 1:x 2a 2 + y 2b 2 = 1 (a ＞b ＞0)的离心率为 53 ,抛物线C 2:y=-x 2+2截x 轴所得的线段长等于 2 b.C 2与y 轴的交点为M ，过点P(0,1)作直线l 与C 2相交于点A ，B,直线MA ，MB 分别与C 1相交于D 、E. (1)求证:MA →·MB →为定值;(2)设△MAB,△MDE 的面积分别为S 1、S 2,若S 1=λ2S 2(λ＞0),求λ的取值范围.22.(本题满分12分)已知f(x)= 1+lnx2ax(a ≠0,且a 为常数). (1)求f(x)的单调区间；(2)若a=12 ,在区间(1,+∞)内，存在x 1,x 2,且x 1≠x 2时，使不等式|f(x 1)-f(x 2)|≥k|lnx 1-lnx 2|成立，求k 的取值范围.参考答案一、选择题ACBBB CDBDD AB9.D 【解析】本题考查指数函数和对数函数的性质.由-1＜c ＜0得0＜|c|＜1,又a ＞b ＞1, ∴log b |c| ＜log a |c| ＜0, -log b |c| ＞-log a |c| ＞0, a ＞b ＞1＞0,∴-alog b |c| ＞-blog a |c| , 即blog a |c| ＞alog b |c| .故选D.11.A 【解析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质.由题设知抛物线y 2=2px 的准线为x=- p2 ,代入双曲线方程y 23 -x 2=1解得 y=±3+3p 24,由双曲线的对称性知△MNF 为等腰直角三角形,∴∠FMN=π4 ,∴tan ∠FMN=p3+3p 24=1,∴p 2=3+3p 24,即p=2 3 ,故选A. 12.B 【解析】本题考查三角函数变换及导数的应用.由f(x)= - 56 x- 112 cos2x+m(sinx-cosx)在(-∞,+∞)上单调递减知,f ′(x)= - 56 + 16sin2x+m(cosx+sinx)≤0在(-∞,+∞)上恒成立,令t=sinx+cosx,t ∈[- 2 , 2 ].则sin2x=t 2-1,即16 t 2+mt-1≤0对t ∈[- 2 , 2 ]恒成立,构造函数g(t)= 16 t 2+mt-1,则g(t)的图象开口向上，从而函数g(t)在区间[- 2 , 2 ]上的最大值只能为端点值,故只需⎩⎨⎧g(- 2 )= 13- 2 m-1≤0g( 2 )= 13+ 2 m-1≤0.∴-2 3 ≤m≤ 23,故选B. 二、填空题13.32 14.2 15.-10 16. 1.5314.2 【解析】本题考查二项式定理的应用及导数的计算.将(1-ax)2018=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2018x 2018两边同时对x 求导得2018(1-ax)2017(-a)=a 1+2a 2x+3a 3x 2+…+2018a 2018x 2017,令x=1得-2018a(1-a)2017=a 1+2a 2+3a 3+…+2018a 2018=2018a,又a ≠0,所以(1-a)2017=-1,1-a=-1,故a=2.答案:2.15.-10【解析】本题考查等比数列的性质及等差数列求和公式.由于{a n }是正项等比数列，设a n =a 1q n-1，其中a 1是首项，q 是公比．则⎩⎨⎧a 1+a 3= 516 a 2+a 4= 58⇔⎩⎨⎧a 1+a 1q 2= 516 a 1q+a 1q 3= 58,解得 ⎩⎨⎧a 1=116q=2.故a n=2n-5,∴log2(a 1a 2…a n ) =log 2(2(-4)+(-3)+…+(n-5))=(-4)+(-3)+…+(n-5)= 12 n(n-9)= 12 [(n-92 )2- 814 ],∴当n=4或5时, log 2(a 1a 2…a n ) 取最小值-10.16.1.53 解析:设水深为x 尺，则x 2+62 =（x+2)2，解得，x=8 .∴水深为8 尺，芦苇长为10 尺，以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系,在牵引过程中， P 的轨迹是以O 为圆心，半径为10 的圆弧，其方程为 x 2 +y 2=100（－6≤x≤6，8≤y≤10），①E 点的坐标为(- 4,8)，∴OE 所在的直线方程为 y=- 2x ，② 设Q 点坐标为(x,y),由①②联立解得 x=-2 5 ,DG=6-2 5 ≈1.53 故点Q 在水面上的投影离水岸边点D 的的距离为1.53. 三、解答题 17. 解析：由(13)x 2-x-6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，故A ＝{x | x ≤－2或x ≥3} .………3分由log 3(x ＋a )≥1，得x+a ≥3故B ＝{x |x ≥3－a }．………………5分 由题意，可知B ⊂≠ A ，所以3－a ≤－2或3－a ≥3，…………………8分 解得a ≥5或a ≤0.………………………………………………………10分 18.解:(1)由题设知∠BOC=2∠BAC,…………………………………1分 ∴cos ∠BOC=cos2∠BAC=1-2sin 2∠BAC= - 13 …………………3分∴sin 2∠BAC= 23 ,sin ∠BAC= 63.………………5分(2)延长AD 至E,使AE=2AD,连接BE,CE,则四边形ABEC 为平行四边形,∴CE=AB.…………6分 在△ACE 中,AE=2AD=11 ,AC= 3 ,∠ACE=π-∠BAC,cos ∠ACE=-cos ∠BAC=- 33.……7分 ∴由余弦定理得,AE 2=AC 2+CE 2-2AC·CE·cos ∠ACE,即(11 )2=( 3 )2+CE 2-2×3 ·CE×(- 33),解得CE=2,∴AB=CE=2, ………………………………………………9分 ∴S △ABC =12 AB·AC·sin ∠BAC=12 ×2×3 ×63= 2 .…………12分19.解：(1)由(a －1)S n ＝a (a n －1)得,S 1＝aa －1(a 1－1)＝a 1，所以a 1＝a .………………………………………2分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a －1(a n －a n －1)，整理得a na n －1＝a ，………………4分即数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．所以a n ＝a · a n －1＝a n .…………………………………………………………6分 (2)由(1)知，b n ＝aa －1a n －1a n ＋1＝2a －1a n －aa －1a n ，①由数列{b n }是等比数列，则b 22＝b 1·b 3，故⎝⎛⎭⎫2a ＋1a 2＝2·2a 2＋a ＋1a 2，解得a ＝12 ，………9分 再将a ＝12 代入①式得b n ＝2n ，故数列{b n }为等比数列，且a ＝12 .由于1 b n +1 b n +2 =12n +12n+2 ＞212n ·12n+2 =2×12n ＋1 = 2·1b n ＋1，满足条件①；由于1b n ＝12n ≤12 ，故存在M ≥12 满足条件②.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“欧拉”数列．…………………………………12分 20. 解: (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为20＋60300＝415，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为415.………………………………………(3分) (2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有220＋210＝430个，其中乙品牌产品是210个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为210430＝2143，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为2143.………………………………(7分)(3)由题意知X 可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=C 040 ·C 340 C 380 = 19158 ,P(X=1)= C 140 ·C 240 C 380= 60158 , P(X=2)= C 240 ·C 140 C 380 = 60158 , P(X=3)= C 340 ·C 040 C 380= 19158 .…………………(9分) ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P19158601586015819158故E(X)= 0×19158 +1×60158 +2×60158 +3×19158 = 237158 .……………………………(12分)21. 解:(1)由题设得 2 b=2 2 ,(b ＞0),∴b=2,又e= c a = 5 3 ,∴c 2=59 a 2=a 2-4,解得a 2=9.因此椭圆C 1和方程为x 29 + y 24 =1.由抛物线C 2的方程为y=-x 2+2,得M(0,2).………(2分)设直线l 的方程为 y=kx+1(k 存在),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).于是.由⎩⎨⎧y=-x 2+2y=kx+1 消去y 得x 2+kx-1=0,∴⎩⎨⎧x 1+x 2=-kx 1x 2=-1,①………………………(3分) ∴ MA →·MB →=(x 1,y 1-2)·(x 2,y 2-2)=x 1x 2+(y 1-2)(y 2-2)=x 1x 2+(kx 1+1-2)(kx 2+1-2)=(1+k 2)x 1x 2-k(x 1+x 2)+1,∴将①代入上式得MA →·MB →=-1-k 2+k 2+1=0(定值).……………………(5分)(2)由(1)知,MA ⊥MB,∴△MAB 和△MDE 均为直角三角形,设直线MA 方程为y=k 1x+2,直线MB 方程为y=k 2x+2,且k 1k 2=-1,由⎩⎨⎧y=k 1x+2y=-x 2+2 解得⎩⎨⎧x=0y=2 或⎩⎨⎧x=-k 1y=-k 12+2,∴A(-k 1,-k 12+2),同理可得B(-k 2,-k 22+2),………(7分)∴S 1=12 |MA|·|MB|= 12 1+k 12 ·1+k 22 |k 1||k 2|.………………………………(8分)由⎩⎨⎧y=k 1x+2x 29 + y 24 =1解得⎩⎨⎧x=0y=2 或⎩⎨⎧x= -36k 14+9k 12 y= 8-18k 124+9k 12,∴D(-36k 14+9k 12 ,8-18k 124+9k 12 ), 同理可得E(-36k 24+9k 22 ,8-18k 224+9k 22 ),………………………………………………………(9分)∴S 2=12 |MD|·|ME|= 12 ·361+k 12 |k 1|4+9k 12 ·361+k 22 |k 2|4+9k 22 ,………………………(10分)∴λ2=S 1S 2 = 1362 (4+9k 12)(4+9k 22)= 1362 (16+81k 12k 22+36k 12+36k 22) = 1362 (97+ 36k 12+ 36k 12 )≥132362 ,又λ＞0,∴λ≥1336故λ的取值范围是[1336 ,+∞)………………………………………………………(12分)22.解:(1)∵f(x)=1+lnx 2ax (a ≠0,且a 为常数),∴f ′(x)= -2alnx (2ax)2 = - lnx2ax 2.………………(1分) ∴①若a ＞0时,当 0＜x ＜1, f ′(x)＞0;当x ＞1时, f ′(x)＜0.即a ＞0时,函数f(x)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).………………(3分)②若a ＜0时,当 0＜x ＜1, f ′(x)＜0;当x ＞1时, f ′(x)＞0.即a ＜0时,函数f(x)单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).………………(5分) (2)由(1)知, f(x)=1+lnxx在区间(1,+∞)上单调递减,不妨设x 2＞x 1＞1,则f(x 1)＞f(x 2), ∴不等式|f(x 1)-f(x 2)|≥k|lnx 1-lnx 2|可化为f(x 1)-f(x 2)≥k(lnx 2-lnx 1).………………………(8分) 即f(x 1)+kx 1≥f(x 2)+kx 2,令F(x)=f(x)+klnx,则F(x)在区间(1,+∞)上存在单调递减区间， ∴F ′(x)= f ′(x)+ k x =-lnx x 2 +k x = -lnx+kxx 2＜0有解，即kx ＜lnx(x ＞1),∴k ＜lnx x 有解,令G(x)= lnx x ,则G ′(x)= 1-lnxx 2 ，由G ′(x)=0得x=e,………………………(10分)当x ∈(1,e)时，G ′(x)＞0,G(x)单调递增;当x ∈(e,+∞)时, G ′(x)＜0,G(x)单调递减.∴G(x)max =G(e)= 1e ,故k ＜1e.……………………………………………………………………(12分)。