高中数学：平面与平面垂直的判定课件(31张)一二面角及其平面角的求法课件新课标人教A版必修2

例2 如图所示，河堤斜面与水平面 所成二面角为 60 ，堤面上有一条直 道CD，它与堤角的水平线AB的夹角 为30，沿这条直道从堤脚C向上行走 10m到达E处，此时人升高了多少m？
60
D E
O
A C
F
B
应用
例３ 已知：如图，平面⊥平面β ，在 与β的交线上取线段AB=4cm，AC、BD分 别在平面和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC= 3cm ,BD=12cm,求CD长。
注
两平面垂直性质定理
如果两个平面相互垂直，那么在一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。
α A
D
β
B
C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论
注
上述现象有一个共同的特点就是两个平面相交。 要反映其相交的位置关系?有什么办法反映两面相 交的位置关系？ 探究一
直线上的一点将直线分割成两部分，每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分 割成两部分，每一部分叫什么名称？ 射线 射线
解：连接BC. 因为 AC⊥AB,所以 AC ⊥ β，AC ⊥BD. 因为 BD ⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面和β的交线， 所以 BD ⊥ ，BD⊥BC. 在直角△BAC中，BC = 32 42 = 5 在直角△CBD中，CD = 所以 CD长为13cm.
C B
5 12 = 13
2 2
3、平面 ⊥平面β ，要过平面 内一点引平面β 的垂线， 只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
课后思考
直线AB ^ 平面β 在刚才的三个条件中， 平面α ^ 平面β 。 直线AB 平面α
再选取两个条件作为前提，另一个条件作为结论构造命题，即
平面α ^ 平面β 直线AB 平面α 。 直线AB ^ 平面β
两平面垂直性质定理的探索
在刚才的命题中，直线AB，平面 ，平面有以下三种关系：
直线AB ^ 平面β 平面 ^ 平面β 。 直线AB 平面
如果仍然选取其中两个条件作为前提，另一个条件作为结论
构造这样的一个命题：
平面 ^ 平面β 直线AB ^ 平面β 。 直线AB 平面
请判断命题的真假。
两平面垂直性质定理的探索
α A
D
α A β
B C D
β
B C
由平面 ^平面，平面 内的直线AB不一定能与平面垂直。 该命题是假命题！
那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？
两平面垂直性质定理的探索
若增加条件AB^CD，则命题为真吗？
平面 ^ 平面β α 直线AB 平面 直线AB ^ 平面β 。 A 平面 I 平面β = CD D AB ^ CD
练习：1.用符号语言表示下列二面角
A C B D

B

A
二面角－AB－

l
二面角C－AB－ D


l
二面角－ l－
5
二面角－ l－
练习：2、两个相交平面表示几个二面角
观察




上述变化过程中图形在变化，形成的 “角度”的大小如何来确定 ？
我们规定：以二面角的棱上任意一点为端 点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射 线，这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角。 二面角的平面角必须满足：
l
O
B A
α
α
γ
β β
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求二面角B1-AC-B大小的正切值.
求二面角的关键是作二面角的平面角，而作平 面角的关键是在其中一个面内作另一个面的垂 线 C1 D1 解：连结BD，交AC于点O，
B1 C
A1
B
O
A
连结B1O。 ∵BD1是正方体∴BB1⊥面 BD ∴ ห้องสมุดไป่ตู้B1 ⊥ AC 又∵ AC ⊥ BD ∴ AC ⊥面 BB1O ∴ ∠BOB是二面角的 D 平面角。 2 ⊿BB1O中OB= BB1. 2 tanBOB1 = 2
β
B
C
两平面垂直的性质定理的证明
已知：平面 ⊥平面β ， ∩β =CD，AB 平面 ， AB⊥CD，Ｂ为垂足。 求证：AB⊥β 。
α A
D
证明：在平面β内过点Ｂ作ＢＥ⊥CD. 因为
⊥ β，
AB⊥ＢＥ. AB⊥CD，CD ∩ＢＥ＝Ｂ， AB⊥β.
β
E
所以 又因为 所以
B C
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论
l
, （2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为：
AB


l

A
B

注意事项 1、二面角的记法与表示 棱为AB，面分别为α ，β 的二面角记作二面角α － AB－β 。有时为了方便， 也可在α ，β 内（棱以外的 半平面部分）分别取点P， Q，将这个二面角记作二面 角P－AB－Q。如果棱记作l， 那么这个二面角记作二面角 α ―l―β 或P―l―Q。
注 意
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱 A O B
A
l
O
10
B

二面角的 平面角的定义、范围及作法
思考:
AOB 的大小与点O在L上的位置有关吗?为什么? AOB== AOB
注:（1）二面角的平面角与点的位置 等角定理：如果一个角的两边和另 无关，只与二面角的张角大小有关。 一个角的两边分别平行，并且方向相 （2）二面角是用它的平面角来度 同，那么这两个角相等。） 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为（0,π）。
请判断命题的真假。 若是真命题，请给出证明； 若不是，那么添加什么条件可使命题为真？
作业:
P73习题2.3 A组：4，7.
O l
O

B
A

B
A
思考: 棱 l 与平面角AOB所在平
面是什么位置关系？
A
l
O B

思考:如图，过二面角α -l-β 一个面 内一点A，作另一个面的垂线，垂足 为B，过点B作棱的垂线，垂足为O， 连结AO，则∠AOB是二面角的平面角 吗？为什么？
A β
O
l
α
B
思考:如图，平面γ 垂直于二面角的 棱l，分别与面α 、β 相交于OA、OB， 则∠AOB是二面角的平面角吗？为什 么？
它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。
平面与平面垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面相互垂直。
α A
D
β
平面 、互相垂直， 记作 ⊥
B
C
平面与平面的垂直判定定理小结
面面垂直的判定方法： 1、定义法： 两个相交的平面的交线与第三个面垂直 原来的两个平面与第三个平面的交线垂直 线面垂直 面面垂直 线线垂直 2、判定定理： 只要在其中一个平面内找到 要证两个平面垂直， 另一个平面的一条垂线。 （线面垂直面面垂直） 说明线面垂直 线线垂直
A D
例题：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O 所在的平面，Ｃ是圆周上不同于A，B的任意一 点，求证：平面PAＣ⊥平面PBＣ
P
Ｃ
B
A
O
分析：要证平面PAC ^ 平面PBC， 即证平面PBC经过平面PAC的一条 垂线
即证BC ^ 平面PBC.
P76 例3 证明: 设已知⊙O平面为α
PA ^ 面 , BC 面 PA ^ BC 又 AB为圆的直径 AC ^ BC
2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡， 常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水 平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水 坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当 的角度，如何从数学的观点认识这种现象？
引入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来 检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤 的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗？
半平面
半平面
探究二:将一条直线沿直线上一点折起，得到的
平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条 直线折起，得到的空间图形称为二面角，从图中 可以看出它能反映两个平面相交的位置关系。
你能画一个二面角的直观图吗？
二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线l 为棱，以 , 为半平面的二面角记为：
PA ^ BC AC ^ BC PA AC = A PA 面PAC
BC ^ 面PAC
BC 面PBC
AC 面PAC

面PAC ^ 面PBC
课堂小结
1、两个平面垂直的判定定理和性质定
2、“转化思想”
面面关系 面面平行 面面垂直 线面关系 线面平行 线面垂直 线线关系 线线平行 线线垂直