求二面角的平面角PPT教学课件
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二面角ppt课件
1、定义法（练习）
1、定义法（练习）
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理 法求二面角的大小。
2、三垂线法
例1、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形， PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二 面角P-BC-A的大小。
面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是
A
B
2、已知P为二面角 内一点，
且P到两个半平面的距离都等于P到棱 的距离的一半，则这个二面角的度数
β
B
p
是多少？
60º
O
Aα
ι
1、定义法
例1、如图,已知二面角α-а-β等 120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
3、垂面法
3、垂面法
例3、如图在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC， AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E， 又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度数。
3、垂面法
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励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
《二面角的平面角求法》课件
二面角的平面角来解题．
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
Байду номын сангаас
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
二面角 (2) PPT
∠A1O1B1
B1
思考: 二面角的范围
B O
l
[0°,180°]
O1
A A1
9
四、二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点， 在 两 个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角
注意： 二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直
A
O
平面角是直角的二面角叫做直二面角
l
B
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
D’ 正方体 A’C中 A’
D
C’ B’ O
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
OEC二面源自A--BC--D（定义法）
（垂线法）
14
二、二面角的画法
平卧式
l
直立式
A
B
l
A
B
三、二面角的记法
二面角－AB－
A
二面角－ l－
l
B
C
l
二面角C－AB－ D
B D
A
5
四、二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点， 在 两 个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角
二面角的大小用它的平面角来度量
？ ∠A O B
二面角引入 日常生活中我们应该能体会到打开的门与墙之间的 关系
打开的书 页面与页面之间的关系
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面
2
一、二面角的定义
A
B
从一直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
《二面角》(课件)
二面角
复习回顾
复习回顾
1. 什么是二面角；
复习回顾
1. 什么是二面角； 2. 什么是二面角的平面角；
复习回顾
1. 什么是二面角； 2. 什么是二面角的平面角； 3. 寻找二面角平面角的几种常用 方法和具体操作办法：
复习回顾
1. 什么是二面角； 2. 什么是二面角的平面角； 3. 寻找二面角平面角的几种常用 方法和具体操作办法：
(1) 定义法 (3) 垂面法
(2) 三垂线定理法 (4) 射影面积法
典型例题解析
[例题] 如图,长方体AC1中, AB BC 1, AA1 2,求平面AB1C与平面BB1CC1 所成二面角的大小.
[例题] 如图,长方体AC1中, AB BC
1, AA1 2,求平面AB1C与平面BB1CC1
所成二面角的大小.
D
C
A
B
D1 A1
C1 B1
[例题] 如图,长方体AC1中, AB BC
1, AA1 2,求平面AB1C与平面BB1CC1
所成二面角的大小.
D
C
思考1 : 寻找此 A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
题中平面角的方法
有几种?
D1
C1
A1
B1
[例题] 如图,长方体AC1中, AB BC
1, AA1 2,求平面AB1C与平面BB1CC1
E
O
C
B
思考题：
如 图, 在 底 面 为 平 行 四 边 形 的四 棱
锥P ABCD中, AB AC, PA 平面A
BCD,且PA AB,点E
P
是PD的中点. D
E A B
C
课堂小结
1. 用非向量方法求二面角时步骤为 “一找二证三求”；
复习回顾
复习回顾
1. 什么是二面角；
复习回顾
1. 什么是二面角； 2. 什么是二面角的平面角；
复习回顾
1. 什么是二面角； 2. 什么是二面角的平面角； 3. 寻找二面角平面角的几种常用 方法和具体操作办法：
复习回顾
1. 什么是二面角； 2. 什么是二面角的平面角； 3. 寻找二面角平面角的几种常用 方法和具体操作办法：
(1) 定义法 (3) 垂面法
(2) 三垂线定理法 (4) 射影面积法
典型例题解析
[例题] 如图,长方体AC1中, AB BC 1, AA1 2,求平面AB1C与平面BB1CC1 所成二面角的大小.
[例题] 如图,长方体AC1中, AB BC
1, AA1 2,求平面AB1C与平面BB1CC1
所成二面角的大小.
D
C
A
B
D1 A1
C1 B1
[例题] 如图,长方体AC1中, AB BC
1, AA1 2,求平面AB1C与平面BB1CC1
所成二面角的大小.
D
C
思考1 : 寻找此 A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
题中平面角的方法
有几种?
D1
C1
A1
B1
[例题] 如图,长方体AC1中, AB BC
1, AA1 2,求平面AB1C与平面BB1CC1
E
O
C
B
思考题：
如 图, 在 底 面 为 平 行 四 边 形 的四 棱
锥P ABCD中, AB AC, PA 平面A
BCD,且PA AB,点E
P
是PD的中点. D
E A B
C
课堂小结
1. 用非向量方法求二面角时步骤为 “一找二证三求”；
高一数学二面角的求法课件
A
A O
l
O
10
B
B
二面角的平面角的作法：——
1、定义法
D1
A
C1
B1
O
A1 D A
B
C O B
例1.在正方体ABCD A1B1C1D1中, 试找出D1 AC D的平面角 , 求它的正切
二面角的计算步骤：
1、作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
O
B’
A
2.垂线法构造了对应的直 角三角形
作下面二面角的平面角
A D’ A’ B’ O C’
B
E
O
D C
D
C
二面角A--BC--D
A B 二面角B--B’C--A
例4.在正三棱柱 ABC A1B1C1中AC 1, AA A A1B C的正切 1 2, 连接A 1 B, A 1C , 求二面角
一“作”二“证”三“算”
例2.已知ABCD是边长为 2的正方形, PA 面AC且AP 1, 求二面角B C称性
A E D
B
C
二面角的平面角的作法：—— D1 A1 D A O B B1 C
1、定义法
C1
例1.在正方体ABCD A1B1C1D1中, 试找出D1 AC D的平面角 , 求它的正切
二面角的平面角的作法：——2、垂面法
P F P
l
F
l
O
E
O
E
例3.已知二面角 l , P为此二面角内一点 , 若PE垂直于E , PF垂直于F , 且PE 3, PF 4, EF 13, 求此二面角的大小
人教A版必修二2.3.2.1二面角及其平面角课件
OB
C'C 平面ABCD,OC 平面ABCD, C'C OC
设正方体的棱长为1， 则AC 2,OC 2 ，
tan C'OC C'C 1 2
2
OC 2
2 二面角C'BD C的正切值为 2
2
当堂训练:
P73 4 P78 7
课堂小结
1. 二面角的定义、二面角的平面角； 2. 二面角平面角的求法；
① 二面角的两个面重合： 0o ② 二面角的两个面合成一个平面： 180o ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角． 90o
二面角的范围： [ 0o, 180o ]
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
D'
C'
A'
B'
D A
C B
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求二面角C'-BD-C
的正切值.
解：连接AC交BD于点O,连接OC ', 则O为BD的中点，且 AC BD,
D' A'
C' B'
正方体中 BC' DC ', OC' BD
又OC'OC O
D
C
C'OC为二面角C'BD C的平面角，A
2.3.2.1二面角及其平面角
学习目标
1.理解二面角及其平面角的概念. 2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简
二面角的有关概念-PPT课件
β
棱
面
l
α
10
知识探究（二）：二面角的平面角
思考1:把门打开，门和墙构成二面角； 把书打开，相邻两页书也构成二面角 .随着打开的程度不同，可得到不同 的二面角，这些二面角的区别在哪里？
11
思考2:我们设想用一个平面角来反映 二面角的两个半平面的相对倾斜度， 那么平面角的顶点应选在何处？角的 两边在如何分布？
2.3.2 平面与平面垂直的判定 第一课时
二面角的有关概念
1
问题提出
1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系，对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个 平面相交，我们应从理论上有进一 步的认识.坡， 常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面 与水平面成适当的角度；修筑水坝时， 为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与 水平面成适当的角度，如何从数学的观 点认识这种现象？
β
l
α
12
思考3:在二面角α-l-β的棱上取一 点O，过点O分别在二面角的两个面内 任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB 来刻画二面角的张开程度？
β
B
O
lA
α
13
思考4:在上图中如何调整OA、OB的位 置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确 定？这个角的大小是否与顶点O在棱 上的位置有关？
β
B
O
lA
α β
B
lO
A
α
14
思考5:上面所作的角叫做二面角的平
面角，你能给二面角的平面角下个定
义吗？
Bβ
lO
A
α
以二面角的棱上任意一点为顶点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条
射线，这两条射线所成的角叫做二
面角的平面角.
几种作二面角的平面角的方法PPT教学课件
例4 在正方体AC1中，求面AB1C与底面A1C1所成的 二
D1 A1
C1 B1
2021/01/21
5
THANKS FOR WATCHING
谢谢大家观看
为了方便教学与学习使用，本文档内容可以在下载后随意修改，调整。欢迎下载！
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/01/21
2021/01/21
2
三、典型例题
例1 山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度 数）是60º，山坡上有一直道CD，它和坡脚的水平线 AB的夹角是30º，沿这条路上山，行走100米升高多少 米？
解：如图 ， 过D作水平面的垂线DH，垂足为H，过H 在水平面内作AB的垂线GH，垂足为G，连接DG.
2021/01/21
1
5. 你能有几种作二面角的平面角的方法？ （1）运用定义 （2）利用三垂线定理 （3）作棱的垂面 6. 二面角的平面角的范围是：___0_°__≤_θ_≤_1_8_0_°_.
练习：
如果两条异面直线a和b成30º角，a⊥α，b ⊥β, 那么α与β所成的二面角是____3_0_º或__1_5_0_º_.
二面角（2）
一、复习巩固
1. 二面角的定义?
2. 什么是二面角的平面角?
请看
3. 什么是直二面角？
二、研究与讨论
1. 二面角的平面角的顶点是二面角棱上的_____一点.
2. 二面角的平面角的两边分别在二面角的_两__个__面__内.
3. 二面角的平面角的两边都与棱_垂__直_____.
4. 二面角的平面角所在的平面与二面角的棱_垂__直_____.
6
由三垂线定理，得 DG⊥AB，所以∠DGH就是坡 面和水平平面所成的二面角的平面角，故∠DGH=60º.
D1 A1
C1 B1
2021/01/21
5
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汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
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2
三、典型例题
例1 山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度 数）是60º，山坡上有一直道CD，它和坡脚的水平线 AB的夹角是30º，沿这条路上山，行走100米升高多少 米？
解：如图 ， 过D作水平面的垂线DH，垂足为H，过H 在水平面内作AB的垂线GH，垂足为G，连接DG.
2021/01/21
1
5. 你能有几种作二面角的平面角的方法？ （1）运用定义 （2）利用三垂线定理 （3）作棱的垂面 6. 二面角的平面角的范围是：___0_°__≤_θ_≤_1_8_0_°_.
练习：
如果两条异面直线a和b成30º角，a⊥α，b ⊥β, 那么α与β所成的二面角是____3_0_º或__1_5_0_º_.
二面角（2）
一、复习巩固
1. 二面角的定义?
2. 什么是二面角的平面角?
请看
3. 什么是直二面角？
二、研究与讨论
1. 二面角的平面角的顶点是二面角棱上的_____一点.
2. 二面角的平面角的两边分别在二面角的_两__个__面__内.
3. 二面角的平面角的两边都与棱_垂__直_____.
4. 二面角的平面角所在的平面与二面角的棱_垂__直_____.
6
由三垂线定理，得 DG⊥AB，所以∠DGH就是坡 面和水平平面所成的二面角的平面角，故∠DGH=60º.
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2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
B1
D1
A1
E
C
F B
D
P
A
例3、(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC， 又SA＝AB＝ａ，SB＝BC, （1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小?
文
研
• 事情发生的地点在寄园
读
• “情”是文章的中心内
课
深容入感知
题
关于“寄园” 为何难忘 是怎样的一种感情
我在童年和少年时代曾
在寄园求学，得到钱名 山先生的教诲，令我终 生难忘，迄今对他充满 感恩和怀念
作文马虎 找我谈话
寄 夜幕降临 促膝长谈 园 欣赏书画 读 书 先生评画
炫耀诗才 先生批评
第二课时
在RtSAC中，tanSCA= SA = a = 3 AC 3a 3
则SCA=300，则CDE=900－SCA＝600
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求二面角D1—AC—D的大小？
D1
C1
A1
B1
答案：arctan 2
DO
C
A
B
小结
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难 点，求二面角的大小方法多，技巧性 强．但一般先想定义法，再想三垂线法， 要抓住题目中的垂直关系．
二面角的平面角来解题．
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
二二面面角角的的求求法法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.
(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.
茅塞顿开 精益求精
炫耀诗才 先生批评
劝戒警勉 育我成人
淡淡地笑道 警勉而略带揶揄
惶恐不安 发人深省 鞭策至今
五件小事是从课内写到课外， 表现钱先生在课内对学生— ———，在课外对学生—— ——。
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 体会先生爱生之心、作者
敬师之情 • 初步学习细致观察的作用
以及实际应用
2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.
作业：
1.四棱锥P-ABCD的底面 P
是边长为4的正方形，
PD⊥面ABCD，PD=6，
C
M,N是PB,AB的中点，求
二面角M－DN－C的平 D
面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面
角 -l-内有一点P，过P作PC P 于点C，PD 于点D，且PC=1， D
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 初步学习细致观察的作用
以及实际应用
• 体会先生爱生之心、作者 敬师之情
回忆性叙事文的特点
• 选择典型事例 • 挖掘重点词语 • 体悟真挚情感
作文马虎 找我谈话
寄 夜幕降临 促膝长谈
园 读
熟谙癖好 给予培养
书 先生评画 终生受益
炫耀诗才 先生批评
作文马虎 找我谈话
• 了解回忆性叙事文的主要 特点
• 初步学会按照内容划分文 章的段落层次概括中心
• 感受作者对老师的真切感 情
检测预习
• 呵斥 敷衍 懊丧 蕴寓 癖好 临摹 寥寥 揶揄 悚然 悼念 伫立 鞭策
• 灵柩
疾言厉色
络绎不绝 语重心长
• 娓娓动听 茅塞顿开
• 促膝长谈 一瓣心香
拓展阅读 《父亲的爱》
• 概括说明本文写了有 关爹的哪几件事
• 通过这些具体的事例， 说明父亲的爱具有怎 样的特点
PD=2，求（1）CD的长； （2）P到棱l的距离为多少？
M
B N
A
C
l
第一课时
谢稚柳几乎是一位全 能的艺术家，他精通 书画鉴定、美术理论、 绘画、书法、诗词等 各个艺术领域。就以 绘画而论，山水、花 鸟、人物、鞍马，他 无所不能，且均有独 到的艺术成就，可谓 博大精深。
竹 竹鸟图
山寺松泉
教学目标
N
B
M
D
C
解：作BM AC于M，作MN AC交AD于N， 则BMN就是二面角B AC D的平面角
由AB AC BC 2, M是AC的中点，且MN//CD
得BM 6 , MN 1 CD 1 , BN 1 AD 3 .
2
2
2
2
2
由余弦定理得
cos BMN BM 2 MN 2 BN 2 6 ,
求二面角的平面角
一、教学目标 1．理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角
的平面角的常见求法． 2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平
面角问题，进一步培养学生的空间想象能力 和分析、解决问题的能力．
二、教学重点、难点 1．教学重点：二面角的平面角的常见求法． 2．教学难点：如何选取恰当的位置和方法作出
严格要求 教育有方
（轻轻地）抚摸 （温和地）问 （语重心长地）说
惭愧 后悔 懊丧 从此不敢怠慢
夜幕降临 促膝长谈
学识渊博 寄教于乐
上下五千年 纵横九万里 娓娓动听
络绎不绝 新奇愉快
熟谙癖好 给予培养
激发兴趣 因材施教
熟谙学生 奉献珍藏
迷上了画画 爱上了文艺
先生评画 终生受益
见识独到 修养深厚
看 沉思 寥寥数语 一针见血
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂 面，两条交线所成的角即为平面角.
(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在
一个平面上的射影图形面积是S’，则二面角的
大小为COS ＝ S’÷ S
A
B
E
O
D
C
3
例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中， 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公 共的斜边，且AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个 侧面是正三角形，求二面角B－AC－D的大小. A
S
E
D
A
C
B
解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，
所以BE SC，又DE SC
S
因此SC 平面BDE
E
（2）由SC 平面BDE，得BD SC
D
又由SA 平面ABC，得BD SA
A
C
则BD 平面SAC
B
因此CDE为二面角E－BD－C的平面角
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a