吉林省2012届高三仿真模拟卷5(数学理)
2012届高三二模考试数学试卷(理)及答案
2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >>4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. 1 B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a = ，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b =B.2a b ⋅= C. a ∥b D. a b - 与b 垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ）A.715816P <≤ B. 1516P > C. 715816P ≤< D.3748P <≤ 7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>； ③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A的纵坐标为35．则s i n α=_____________;tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则ADAC= ;15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．17．(本小题满分14分) 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60 ，如图5(2).（1） 求证：BO DO ⊥；（2） 求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.OABDC MNABDCMNO图6B A19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A bB a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求PAC ∆面积最大值.20.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程； （2）设曲线1C上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB二填空题：9.35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11. 13 12. 15- 13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 4315.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111n nn a q q S q q--==--，………………………………………………4分由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，即321113411q q q q--+⨯=⨯--， 解得13q =……………………………………………5分 所以11113n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分 所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++1(1)(1)(12)12n n b q n nS n q -+=++++=+- ………………………………10分2111()(1)333.12213n n n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 …（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，，由题可知，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。
2012年吉林高考理科数学(新课标卷)试题及答案
2012年全国卷新课标——数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古） 本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10【解析】选D.法一：按x y -的值为1，2，3，4计数，共432110+++=个；法二：其实就是要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法.2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种 【解析】选A.只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共1224C C 种安排方案.3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P【解析】选C.经计算， 221,21 z i z i i ==--=-+.4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21 B.32 C.43 D.54 【解析】选C.画图易得,21F PF △是底角为30的等腰三角形可得212PF F F =，即3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以34c e a ==. 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-【解析】选D.472a a +=,56478a a a a ==-,474,2a a ∴==-或472,4a a =-=,14710,,,a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数 【解析】选C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【解析】选B.由三视图可知，此几何体是底面为俯视图三角形，高为3的三棱锥，113932V =⨯⨯=.8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 8【解析】选C.易知点(4,-在222x y a -=上，得24a =，24a =. 9. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(【解析】选A. 由322,22442Z k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈得，1542,24Z k k k ω+≤≤+∈， 15024ωω>∴≤≤ .10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为【解析】选B.易知ln(1)0y x x =+-≤对()1,x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号.11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 【解析】选A.易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O ABC -是棱长为11312O ABC V -==，26S ABC O ABC V V --== 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+【解析】选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离d =.令()12x f x e x=-，则()112xf x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1l n 2-.所以d=1x e x -=，min d =所以)min min ||21ln 2PQ d ==-.二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .【解析】由已知得，()22222244||-=-=-a b a b a a b +b 2244cos 45=- a a b +b2410=-=+b，解得=b14. 设yx,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-31yxyxyx则yxZ2-=的取值范围为.【解析】[]3,3-.画出可行域，易知当直线2Z x y=-经过点()1,2时，Z取最小值3-；当直线2Z x y=-经过点()3,0时，Z取最大值3.故2Z x y=-的取值范围为[]3,3-.15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.【解析】38.由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为211311228⎡⎤⎛⎫--⨯=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16. 数列}{na满足12)1(1-=-++naannn，则}{na的前60项和为.【解析】1830.由1(1)21nn na a n++-=-得，22143k ka a k--=-……①21241k ka a k+-=-……②,再由②-①得,21212k ka a+-+=……③由①得, ()()()214365S S a a a a a a-=-+-+-+奇偶…()6059a a+-159=+++ (117)+()11173017702+⨯==由③得, ()()()3175119S a a a a a a =++++++奇…()5959a a ++21530=⨯=所以, ()217702301830S S S S S S =+=-+=+⨯=60奇奇奇偶偶.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0s i n 3c o s =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .解：(Ⅰ)法一:由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C > ,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=3A π∴=法二:由正弦定理可得sin sin a C c A =，由余弦定理可得 222cos 2a b c C ab +-=.再由cos sin 0a C C b c --=可得，222sin 02a b c a A b c ab+-⋅+--=，即2222sin 220a b c A b bc +-+--=，2222sin 220a b c A b bc +-+--=22212b c a A bc +--+=cos 1A A -=，2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 0A π<< ，5666A πππ∴-<-<， 66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △，1sin 24bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由. 解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥ ，1DC DC D = ，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC ，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB =∠= ，AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a .()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=- ，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n = . 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =.设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 2n n n n θ⋅===, 30θ∴= . 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m的方程为02x +=. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由x y p '==, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为0x =.所以坐标原点到m ，n3=.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值 解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x 取最大值2e u =.故当12a b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明：(Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CF BD ∴ 且 =CF BD ，又∵D 为AB 的中点，CF AD ∴ 且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC GF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠ BCD GBD ∴△∽△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围. 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D 的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++- ()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++-- 2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集； (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.(Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]3,0-.。
吉林省公主岭市实验中学2012届高三考前终级预测押题卷数学(理)试题
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合}1,0{=M ，则满足}2,1,0{=N M 的集合N 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．82．若复数312a ii＋＋（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） （A ）－2 （B ）4 （C ）－6 （D ）6 3.若函数)(,)0,4()4sin()(x f P x y x f y 则对称的图象关于点的图象和ππ+==的表达式是 （ ） A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--xC ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x4．等差数列}{n a 中，20,873==a a ，若数列}1{1+n n a a 的前n 项和为254，则n 的值为（ ） A 、14 B 、15 C 、16 D 、185. 若)2,0[πθ∈，)sin 4,cos 3(),sin ,(cos21θθθθ--==OP，则的取值范围是 （ ）A ．[4，7]B ．[3，7]C ．[3，5]D ．[5，6]6.二项式1022⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中常数项是( )A.第10项B.第9项C.第8项D.第7项7．下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”B ．“x=-1”是“0652=--x x ”的必要不充分条件C ．命题“01,2<++∈∃x x R x 使得”的否定是：“01,2<++∈∀x x R x 均有”D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题9．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A =A 的各位数中，)5,4,3,2(,11==k a a k出现0的概率为31，出现1的概率为32．记54321a a a a a ++++=ξ，当程序运行一次时，ξ的数学期望E ξ= ( ) A ．827 B ．1681 C ．113 D ．658110．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值1，则ba 11+的最小值为 （ ） A ．625B ．38 C ．311 D ．411．点P是曲线220x y --=上任意一点，则点P 到直线4410x y ++=的最小距离是（ ） Aln 2)- Bln 2)+1ln 2)2+ D. 1(1ln 2)2+ 12.定义在R 上函数f （x ）满足f （0）= 0，f （x ）+ f （1-x ）=1，且)(21)5(x f xf =当1021≤≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20111(f ( ) A.21 B.161C.321 D.641 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
吉林省实验中学2012届高三第六次模拟
吉林省实验中学 2012届高三第六次模拟考试数学（理科）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1． 已知集合(){}x y x A -==1lg |，集合{}2|xy y B ==，则=B A（ ）A ．[)10，B ．[]10，C ．()1，∞-D ．(]1，∞-2． 复数213⎪⎭⎫ ⎝⎛+-i i （其中，i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．i 4-B ． 4-C ．i 3-D ．3-3． 若54cos -=α，且α为第三象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πα（ ）A ．102B ．102-C ．1027 D ．1027-4． 已知在等比数列{}n a 中，11=a ，=5a 9，则=3a（ ）A ．5±B ．5C ．3±D ．35． 若5.02=a ，3log π=b ，52sinlog 2π=c ，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>6． 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47． 设非零向量a ，b ，c ，满足|a |=|b|=|c |，a+b=c ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．︒150 B ．︒120 C ．︒90 D ．︒60正(主)视图侧(左)视图俯视图8． 将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1， 2的 小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（ ） A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种9． 已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A ．1BC ．2D ．310．如图所示，F 1和F 2分别是双曲线()0012222>>=-b a by a x ，的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则离心率为（ ）A ．15-B ．213+ C ．13+D ．215+ 10．设O 为坐标原点，点M 坐标为()23，，若点N ()y x ，满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200y x s y x y x ，当31≤≤s 时，则ON OM ⋅的最大值的变化范围是（ ）A ．[]83，B ．[]73，C ．[]74，D ． []84，11．已知()x f 是定义在R 上的函数，对任意R x ∈都有()()()224f x f x f +=+，若()1-=x f y 的图象关于直线1=x 对称，且()21=f ，则()=2011f （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 12． 执行右边的程序框图，若8.0=p ，则输出的=n ．13．设函数)0()(2≠+=a c ax x f ，若⎰=)()(01x f dx x f ，0≤0x ≤1，则0x 的值为 ．14．已知函数()142++=x ax x f 在区间()1，∞-有零点，则实数a的取值范围为 ． 15．已知定义在[)∞+，1上的函数348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩．给出下列结论： ①函数)(x f 的值域为]4,0[；②关于x 的方程*)()21()(N n x f n∈=有42+n 个不相等的实数根；③当*)](2,2[1N n x n n ∈∈-时，函数)(x f 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则2=S ；④存在]8,1[0∈x ，使得不等式6)(00>x f x 成立，其中你认为正确的所有结论的序号为______________________． 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 16． （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．17． （本小题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试．（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率； （2）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，第4组中有ξ名学生被考官D 面试，求ξ的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥， CD AC ⊥ ，︒=∠60ABC BC AB PA == ，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：CD AE ⊥；（Ⅱ）证明：PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的正切值．19． （本小题满分12分）如图所示，在DEM ∆中，⊥，()80-=，OD ，N 在y 轴上，且()DM DE DN +=21，点E 在x 轴上移动． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）过点()10，F 作互相垂直的两条直线21l l 、，1l 与点M 的轨迹交于点A 、B ，2l 与点M 的轨迹交于点C 、D ，求⋅的最小值．ACD P E20．（本小题满分12分）已知函数2()ln 2f x x x x =-++． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求()f x 在区间(0,]a 上的最大值；（III ）设函数()g x 32(12e)(1)2x x m x =-++++，（m R ∈），试讨论函数()f x 与()g x 图象交点的个数．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 21． （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，设C 为线段AB 的中点，BCDE 是以BC 为一边的正方形，以B 为圆心，BD 为半径的圆与AB 及其延长线相交于点H 及K ． （Ⅰ）求证：HC ·CK ＝BC 2；（Ⅱ）若圆的半径等于2，求AH ·AK 的值．22． （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度。
吉林省吉林市2012届高三第二次模拟考试(数学理)(2012吉林二模)
（Ⅲ） 若对任意 a (3, 4) 及任意 x1 , x2 [1, 2] ， 恒有
(a 2 1) m ln 2 f ( x1 ) f ( x2 ) 成 2
立，求实数 m 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题计分. 答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲
2
20.（本小题满分 12 分） 已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O ,且恰好与直线 l1 : x y 2 2 0 相切. (Ⅰ) 求圆的标准方程； （Ⅱ）设 点 A 为 圆 上 一 动 点 , AN x 轴 于 N , 若 动 点 Q 满 足
OQ mOA （1 m)ON ,(其中 m 为非零常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C2 ；
7 3 7 7 cos A cos 2 A 2 cos 2 A 1 原式= 25 7 5 25 32 1 25
18. （Ⅰ）证法 1：
12 分
PA 面 ABCD ， PA CD . CD AD, PA AD A,
吉林市普通中学 2011—2012 学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，共 4 页，考试 时间 120 分钟. 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上. 2、答案请使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3、请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 参考公式：
吉林省长春市2012届高三数学第一次模拟试题 理 (附解析)
2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷(理科)考生须知：1.本试卷分试题卷和答题纸，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题纸密封区内填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题纸. 参考公式：柱体体积公式：Sh V =,其中S 为底面面积,h 为高.锥体体积公式：Sh V 31=,其中S 为底面面积,h 为高. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题（本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上）1. 设集合{}2,A xx x =∈R ≤，{}2|,12Byy x x ==--≤≤，则∁R ()A B 等于 A.RB.(2)(0,)-+∞C.(,1)(2,)-∞-+∞D.∅ 2. 若复数2)(i a +在复平面内对应的点在y A.1B.1-C.23. “2a <-”是“函数()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件的值为，A B C ∠=C.4πD.6π 6. 设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 7. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为2A.3π2B.2πC.3πD.4π 8. 函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，且||AB=A.2π=xB.2π=xC.2x =D.1x =9. 在△ABC 中，P 是B C 边中点，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若0c A C a P A b P B ++=，则△ABC 的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.10. 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：()xxS x a a -=-，()x xC x a a-=+，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是 ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+；②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-；③2()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ④2()()()()()S x y S x C y C x S y -=-.A.①②B.③④C.①④D.②③的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公P F F F =,则D.1都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立. 2(8)0f n n -<，那么22m n +的取D. (9, 49)分）每个试题考生都必须作答，). n 524=a .14. 已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切，且与直线2:l 3460x y +-=平行，则直线1l 的方程是 .15. 设2,[0,1]1(),(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数)，则0()ef x dx ⎰的值为 . 16. 已知函数,0()2,0x e x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，则关于x 的方程()[]0=+k x f f 给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根.其中正确命题的序号是（把所有满足要求的命题序号都填上）.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．⑴如果A、B两点的纵坐标分别为45、1213，求c o sα和sinβ⑵在⑴的条件下，求c o s()βα-的值；⑶已知点C(1-，求函数()f O A O Cα=⋅的值域．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a满足11a=，121(*)n na a n+=+∈N.⑴求数列{}n a的通项公式；⑵若数列{}n b满足()31231112144441nnb nbb bna----⋅⋅⋅⋅=+，求数列{}n b的通项公式.19.（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D-中9ADBC ABC∠=，∥°，P D⊥平面A B C D，A D=1，A B4B C=．⑴求证：B D⊥P C；⑵求直线AB与平面PDC所成的角；⑶设点E在棱P C上，P E P Cλ=，若DE∥平面PAB，求λ的值.20.（本小题满分12分）已知点(1,0)A- ，(1,0)B，动点M的轨迹曲线C满足2A MBθ∠=，2c o s3A MB Mθ⋅=，过点B的直线交曲线C于P、Q两点.(1)求A M B M+的值，并写出曲线C的方程；(2)求△APQ面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()1(0,)xf xeax a e=-->为自然对数的底数.⑴求函数()f x的最小值；⑵若()f x≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；⑶在⑵的条件下，证明：121()()()()(*)1n n n nn n enn n n n e-++⋅⋅⋅++<∈-N其中.APECDB用心爱心专心34请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，⊙O 内切△ABC 的边于D 、E 、F ，AB =AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G . ⑴证明：圆心O 在直线AD 上； ⑵证明：点C 是线段GD 的中点.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3π.⑴求圆C 的极坐标方程；⑵P 是圆C 上一动点，点Q 满足3O P O Q=，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数()|1||22|.f x x x =-++⑴解不等式()5f x >；⑵若不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，求a 的取值范围.2012年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1．B 2．B 3．A 4． B 5． C 6． D 7．A 8．D 9．C 10．B 11．A 12．C 简答与提示：1. B 化简A 为[2,2]-，化简B 为[4,0]-，故()A B =R ð(,2)(0,)-∞-+∞.2. B ai a i a 21)(22+-=+在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则210,a -=且0a <，∴1.a =-3. A()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点，则(1)(2)0f f -<，即(3)(23)0a a -+<，∴3a >或32a <-，∴“2a <-”是“3a >或32a <-”的充分不必要条件，∴“2a <-”是“函数()3f x a x =+在区间[1,2]-上存在零点”的充分不必要条件. 4. B()sin3n f x π=的函数值构成周期为6的数列，且(1)(2)(3)(4)(5f f f f f f +++++=，则(1)(2)(2011)f f +++= (2011)f =(1)f =s i n3π= 5. C由正弦定理sin C =，又3B C =，A B ，∴A C >，则C 为锐角，故4C π=.BG C D H FAO E用心 爱心 专心56. D 由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确.7. A 几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，全面积为21132()21222πππ+⨯⨯=. 8. D 由c o s ()y x ωϕ=+为奇函数，得2k πϕπ=+()k ∈Z ，又0ϕπ<<，∴2πϕ=.结合图象知14T =，∴2πω=，∴c o s ()s i n 222y x xπππ=+=-，当1x =时，s in 12y π=-=-，∴1x =是其一条对称轴. 9. C 由题意知11()()022c A Ca A B A C b A B A C -++-=， ∴()022a b a b c A C A B +---=，∴()22a b a b c A C A B+--=， 又A B 、A C 不共线，∴0202a ba b c -⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，∴.a b c ==10. B 经验证，只有③④正确.11. A 设1212||,||,||2P F m P F n F F c ===，不妨设m n >.由1212P F P F F F +=知，∠1290F P F =︒,则2224m n c +=,∴12c e m n =+，22ce m n=-， ∴2222212112()24mn e e c ++===. 12. C 由(1)(1)0f x f x -++=得(1)(1)f x f x -=-+， 又22(623)(8)0f m m f n n -++-<，∴22(623)[1(81)]f m m f n n -+<-+--，∴222(623)[1(81)](28)f m m f n n fn n -+<---=-+. ∵()f x 是R 上的增函数，∴2623m m -+＜228n n-+， ∴22(3)(4)4m n -+-< 又3m >为半圆22(3)(4)4(3)m n m -+-=>内的点到原点的距离，故7<，∴221349.m n <+< 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13. 7 14. 3410x y +-=或3490x y ++= 15.4316. ①② 简答与提示：13. 7 依题意35a =，23a =，则2d =，∴47.a =14. 3410x y +-=或3490x y ++= 设直线1:340l x y b ++=，与圆22(1)1x y ++=相切，故|4|1,5b -=∴9b =或1,b =-∴所求直线方程为3410x y +-=或3490x y ++=.615. 43132100011114()l n 1.3ee ex fx d x x d x d x x x =+=+=+=⎰⎰⎰ 16. ①② 由()f x 的图象知()0f x >,则2,0[()],0x xe e xf f x e x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥, 根据[()]f f x 的图象(如图)可知，①②正确.三、解答题（本大题必做题5小题,三选一中任选1小题,共70分）17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义，两角和、差的正余弦公式的运用，以及三角函数的值域的有关知识，同时还考查了向量的数量积的运算等知识【试题解析】解：（1）根据三角函数的定义，得4sin 5α=，sin β又α是锐角，所以3cos 5α=．分) n s i n ()13βα=-． ( 8分) ，(1O C =-，3s O C = ( 12分) ( 5分) n2n，( 7分) ∴()23212322n n nb b b b n=-++++ ， 即()n n nb b b b n23222321+=++++ ，① 当2n ≥时，221212[2(1)](1)2(1)1n b bn b n n n -+++-=-+-=-，② ①－②得()2212n n b n n =+≥，()1122n b n n=+≥． （10分）可验证1=n 也满足此式，因此nb n 211+=． （12分）用心 爱心 专心719. (本小题满分12分)【命题意图】本小题将直四棱锥的底面设计为梯形，考查平面几何的基础知识.同时题目指出一条侧棱与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：【方法一】（1）证明：由题意知D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥=面而，，，..B D P DC P C PD C B D P C ∴⊥∴⊥面在面内， （4分） （2）∵DE ∥AB ，又P D ⊥平面AB C D . ∴平面PDC ⊥平面A B C D . 过D 作DF //AB 交B C 于F过点F 作F G ⊥C D 交C D 于G ,则∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角.在Rt △DFC 中，∠90D F C =︒，3D F C F =，∴t a n F D ∠60F D G =︒. 即直线AB 与平面PDC 所成角为60︒. （8分）（3）连结EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面PAB .又∵DE ∥平面PAB ， ∴平面D E F ∥平面PAB ，∴EF ∥AB .又∵1,4,1,A DB CB F === ∴1,4P E B F P CB C ==∴14PE PC =，即1.4λ= （12分）【方法二】如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）设P D a =，则(1,3,0),(3,)B D PC a =--=--， ∵330BD P C ⋅=-=，∴B D P C⊥. （4分） （2）由（1）知B D P D C D B ⊥面就是， 由条件知A （1，0，0），B （10），(0,3,0),(1,30)A B D B ==.设A B P D C 与面所成角大小为，则||si n ||||23D B A B D B A B θ⋅==⋅ 09060,θθ︒<<︒∴=︒， 即直线A B P D C 与平面所成角为60︒. （8分） （3）由（2）知C （－3，3，0），记P （0，0，a ），则A B =），(0,0,)D P a =，P A a =（1，0，-），P C a =--）， 而P E P Cλ=，所以P E a =-（，）， D E D P P E D P P C λ=+=+(0,0,)(33)a a λλλ=+--，，=3,.aa λ--）设n x y z =（，，）为平面PAB 的法向量，则00A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩.PEFB CDA GP E B C DA B81z x a==取，得， 进而得,,n a =（01），由//D E P A B 平面,得0D En ⋅=，∴30a a a λλ+=--，10.4a λ≠∴=而， （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的定义及标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设(,)M x y ，在△M A B 中，2AB =，2A M B θ∠=，根据余弦定理得222c o s 24A M B MA M B M θ+-⋅=. （2分） 即2()2(1c o s 2)4A MB M A M B M θ+-⋅+=. 22()4c o s 4A MB MA M B M θ+-⋅=. 而2c o s 3A M B M θ⋅=，所以2()434A M B M +-⨯=.所以4A M B M +=. （4分） 又42A M B M A B+=>=因此点M 的轨迹是以A 、B M 在x 轴上也符合题意），2a =，1c =.所以曲线C 的方程为24x + （624)690y m y ++-=. ① 2)y ,则1212122A P Q S y y y y ∆=⨯⨯-=-，122934y y m =-+. （9所以2221212122233()()448(34)m yy y y y y m +-=+-=⨯+. 令233t m =+，则3t ≥，21248()12y y t t-=++.由于函数1()t t tϕ=+在[3,)+∞上是增函数.所以1103t t +≥，当2333t m =+=，即0m =时取等号.用心 爱心 专心9所以21248()91023y y -=+≤，即12y y -的最大值为3.所以△APQ 面积的最大值为3，此时直线P Q 的方程为1x =. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题意0,()xa f x e a '>=-， 由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<；当(l n,)x a ∈+∞时，()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减，在(l n ,)a +∞单调递增. 即()f x 在l n x a =处取得极小值，且为最小值， 其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- （4分）（2）()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，m i n()0f x ≥. 由（1），设()l n 1.g a a aa =--，所以()0g a ≥.由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. ∴()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， ∴()g a 在1a =处取得极大值(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =.（8分）（3）由（2）知，因为1a =，所以对任意实数x 均有1xe x --≥0，即1xx e +≤.令k x n =- (*,0,1,2,3,1)n k n ∈=-N …,，则01kn ke n- <-≤. ∴(1)()k n n kn k e en - --=≤. ∴(1)(2)21121()()()()1n n n n n n n n e e e e n n n n-------+++++++++≤ (11)11111ne ee e e ----=<=---. （12分） 22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形内心的定义，以及弦切角定理等知识.【试题解析】证明⑴：∵,,A B A C A F A E ==∴C F B E =. 又∵,,C F CD B D BE ==∴.C D B D = 又∵△ABC 是等腰三角形，A B A C =,∴AD 是角∠CAB 的平分线. ∴内切圆圆心O 在直线AD 上. (5分) ⑵连接DF ，由⑴知，DH 是⊙O 的直径，90,90.D F H F D H F H D ∴∠=∴∠+∠= 90,G F H D ∠+∠=又.F D H G ∴∠=∠ ,O A C F 与相切于点 ,A F H G F C F D H ∴∠=∠=∠.G F C G ∴∠=∠ ,C G C F CD ∴==∴点C 是线段GD 的中点. (10分) 23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲BG C DH FA OE10【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程的求解，以及轨迹方程等内容.【试题解析】解：（1）设M ),(θρ是圆C 上任一点，过C 作C H O M⊥于H 点，则在R t △CO H 中，c o s O H O C C O H =⋅∠，而3C O H C O M πθ∠=∠=-，1122O H O M ρ==，2O C =，所以12c o s 23πρθ=-，即4co s ()3πρθ=-为所求的圆C 的极坐标方程. ( 5分)（2）设(,)Q ρθ点的极坐标为，由于3O P O Q =，所以1(,)3P ρθ点的极坐标为代入⑴中方程得14c o s ()3πρθ=-，即6c o s i nρθθ=， ∴26c o ss i n ρ=，226x y x +=, ∴点Q 的轨迹的直角坐标方程为2260x y x =. (10分) 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.【试题解析】解：(1)根据条件311()311,1x x f x x x x +>⎧⎪=+-⎨<-≤≤，，，当1x >时，5)(>x f 41,;3x x ⇔>>所以当11x -≤≤时，5)(>x f 1;x ≤≤此时无解-1， 当1x <-时，5)(>x f 3,1,2.x x x ⇔--<-<-又所以 综上，5)(>x f 的解集为4{|3x x >或2}x <-. （5分） (2)由于311()311,311x x f x x x x x +>⎧⎪=+-⎨⎪--<-⎩≤≤，，，可得()f x 的值域为∞[2,+). 又不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，所以a ∞的取值范围是(-,2]. （10分）。
吉林普通高中2012届高三第三次模拟考试试题—数学(理)(精)
吉林省吉林市普通高中2012届高三第三次模拟考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色自己的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R =U ，集合}43|{><=x x x A ，或，}2|{<=x x B则右图中阴影部分表示的集合为（A ）)4(∞+， （B ）)3(，-∞ （C ）)2(，-∞（D ）)32(，2．若复数R )(i 2i )1(3∈-=-+b a b a ，，则复数i b a z +=对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限 3．已知32sin -=α,且⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πα，则αtan 等于 （A ）552- （B ）552 （C ）25-（D ）25 4．下列有关命题的说法正确的是 （A ）命题“R ∈∃x ,使得012<++x x ”的否定是：“R ∈∀x ,均有012>++x x ” （B ）“1=x ”是“0652=-+x x ”成立的必要不充分条件 （C ）线性回归方程ax b y ˆˆˆ+=对应的直线一定经过其样本数据点 ()11,y x ,()22,y x ,…，()n n y x ,中的一个点（D ）若“q p ∧”为真命题，则“)(q p ⌝∨”也为真命题 5．右边程序框图的程序执行后输出的结果是（A ）24（B ）25（C ）34（D ）356．已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是（A ）4（B ）6 （C ）12（D ）187．实数m 是函数xx f x21log 2)(-=的零点，则（A ）m m 21<< （B ）m m <<12 （C ）m m 21<<（D ）12<<m m8．4名同学到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个同学中的任何1人游览的情况有 （A ）81种（B ）36种 （C ）72种（D ）144种9．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为34π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（A ）36 （B ）312 （C ）318（D ）32410．已知数列}{n a ，若点)(na n ，)N (*∈n 在经过点)48(，的定直线l 上，则数列}{n a 的前15项和=15S（A ）12（B ）32（C ）60（D ）12011．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象，如图所示，若2||=⋅，则ω等于（A ）12π（B ）6π（C ）4π（D ）3π12．如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且CD AB //. 若双曲线以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3（C ） 21+（D ）31+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．若实数y x ，满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥021x x y x y , 则目标函数x y z 2-=的最大值是 .14．已知xx cos a d ⎰=2π，则二项式52)(xa x +展开式中x 的系数为 . 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若Ca cb cos 21⋅=-，则=A . 16．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=)1(147)1()(22x a x a x ax x x f ，若R ,21∈∃x x ，且21x x ≠，使得 )()(21x f x f =，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知各项均不相同的等差数列}{n a 的前四项和144=S ， 且731a a a ，，成等比数列.（Ⅰ）求数列}{na 的通项公式；ABCDAB CDEF（Ⅱ）设nT 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，求2012T的值.18. （本小题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组)8075[，，第2组)8580[，，第3组)9085[，，第4组)9590[，，第5组]10095[，，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.（Ⅰ）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好” 的学生中选出5人，再从这 5人中选2人，那么至少有一人是 “优秀”的概率是多少？（Ⅲ）若该校决定在第4，5 组中随机抽取2名学生接受考官A 的面试，第5组中有ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面⊥ACE 平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，90=∠ACB ，BC EF //，EF BC AC 2==，EC AE AC 22==.（Ⅰ）求证：⊥AE 平面BCEF ； （Ⅱ）求二面角C BF A --的大小．20.（本小题满分12分）已知)0,1(1-F 、)0,1(2F ，圆2F ：1)1(22=+-y x ，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆2F 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，曲线E 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 与曲线E 相交于第一象限点P ，且371=PF ，求曲线E 的标准方程；（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在曲线C 上，求直线l 的斜率k 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数x b x f ln )(=，R)()(2∈-=a x ax x g ．（Ⅰ）若曲线)(x f 与)(x g 在公共点)0,1(A 处有相同的切线，求实数a 、b 的值； （Ⅱ）当1=b 时，若曲线)(x f 与)(x g 在公共点P 处有相同的切线，求证：点P 唯一；（Ⅲ）若0>a ，1=b ，且曲线)(x f 与)(x g 总存在公切线，求正实数a 的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分.做 答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，10=PA ，5=PB ,BAC ∠的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ．（Ⅰ）求证：PCPA AC AB=；（Ⅱ）求AE AD ⋅的值．23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P )5,1(-，且倾斜角为3π，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C 的圆心的极坐标为)2,4(π.（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）试判定直线l 和圆C 的位置关系.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数)1(|||4|)(>-+-=a a x x x f . （Ⅰ）若)(x f 的最小值为3，求a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求使得不等式5)(≤x f 成立的x 的取值集合.命题、校对：凌志永 常 越 曹凤仁杨万江 王玉梅 孙长青吉林市普通中学2011—2012学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测数学(理科)参考答案及评分标准一．选择题：每小题5分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C B A DBBADCCBD二．填空题：每小题5分13. 2 ; 14.10 ; 15. 3π ; 16. ()()5,32, ∞-.三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设公差为d ，由已知得121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ . (3)分联立解得1d =或0d =（舍去）. 12.a ∴= (5)分故1n a n =+.…………6分（Ⅱ）()111111(2)12n n a a n n n n +==-++++ (8)分11111111.233412222(2)n n T n n n n ∴=-+-++-=-=++++ (10)分2012503.1007T = (12)分18.解：（Ⅰ）其它组的频率为 （0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8， 所以第四组的频率为0.2，频率分布图如图：……3分（Ⅱ）依题意优秀与良好的人数比为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优 秀3人，良好2人，记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件A()1()P A P A ∴=-=1-2225C C =910. (6)分（Ⅲ）由频率分布直方图可知，第四组的人数为8人，第五组的人数为4人 ξ的所有可能取值为0,1,22821214(0)33C P C ξ===，118421216(1)33C C P C ξ===，242121(2)11C P C ξ===…………9分ξ∴的分布列为:1416120123333113E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（） (12)分19.解：（Ⅰ）∵平面ACE ⊥平面ABCD ,且平面ACE 平面ABCD AC =BC AC ⊥BC ∴⊥平面AEC 2分BC AE ∴⊥, (3)分…………10分又AC ==,AE EC ∴⊥ (4)分且BC EC C ⋂=,∴AE ⊥平面ECBF . …………………6分 （Ⅱ）（解法一）建立如图空间直角坐标系不妨设2AC BC ==，则AE EC ==则由题意得(0,0,0)A ，(2,2,0)B -,(2,0,0)C ,(2,2,0),(0,2,0),AB BC =-= (8)设平面BFC 的法向量为111(,,)m x y z =，由0,0m BC m BF ⋅=⋅=,得(1,0,1)m =，9设平面ABF 的法向量为222(,,)n x y z =，由0,0n AB n BF ⋅=⋅=，得(1,1,0)n =，10分 所以1cos ,2m nm n m n ⋅==∴二面角A BF C --的大小为60︒. (12)分（解法二）取AB 的中点H ，连接CH ，因为AC BC =，则CH AB ⊥，∴CH ⊥平面ABF(要证明)，过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连接CR ，则CR BF ⊥，则HRC ∠为二面角A BF C --的平面角. (9)分由题意，不妨设2AC BC ==， 连接FH ，则FH AB ⊥，又AB =因此在Rt BHF ∆中，3HR =,12CH AB ==所以在Rt △CHR 中，3362tan ==∠HRC …11分因此二面角A BF C --的大小为 60 (12)分20. 解：（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为(),x y )0(>x因为动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆2F 相外切，所以21CF x -=， (1)分1x =+，化简整理得24y x =，曲线C 的方程为24y x =)0(>x ； (3)分1,1),(1,1,1).BF =-（Ⅱ）依题意，1c =，173PF =, 可得23p x =， …………………4分253PF ∴=,又由椭圆定义得127524,233a PF PF a =+=+==. …………………5分2223b a c ∴=-=，所以曲线E 的标准方程为22143x y +=； …………………6分（Ⅲ）设直线l 与椭圆E 交点),(),,(2211y x B y x A ，B A ,的中点M 的坐标为()00,y x ，将B A ,的坐标代入椭圆方程中，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+012430124322222121y x y x 两式相减得()()()()04321212121=+-++-y y y y x x x x00212143y x x x y y -=--∴， …………………7分 0204x y = ，∴直线AB 的斜率02121163y x x y y k -=--=， …………………8分 由（Ⅱ）知23p x =，,3842==∴p p x y ∴362±=p y 由题设)0(36236200≠<<-y y ，86163860<-<-∴y ， …………………10分即8686<<-k ()0≠k . …………………12分21.解：（Ⅰ）()xb x f ='，()12-='ax x g ．∵曲线()x f 与()x g 在公共点()0,1A 处有相同的切线∴ ()()⎪⎩⎪⎨⎧-==-===1201101ln 1a b a g b f ， 解得，⎩⎨⎧==11b a ． (3)分（Ⅱ）设()00,P x y ，则由题设有0200ln x ax x -= … ①又在点P 有共同的切线∴()()000020011''212x f x g x ax a x x +=⇒=-⇒=代入①得 002121ln x x -= …………5分设()x x x h 2121ln +-=，则()()0211>+='x x x h ， ∴()x h 在()+∞,0上单调递增，所以 ()h x ＝0最多只有1个实根， 从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点P 只能是()1,0P (7)分（Ⅲ）当0>a ，1=b 时，()x x f ln =，()xx f 1='，曲线()x f 在点()t t ln ，处的切线方程为()t x t t y -=-1ln ，即1ln 1-+=t x ty ． 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=x ax y t x t y 21ln 1，得 01ln 112=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t x t ax ． ∵ 曲线()x f 与()x g 总存在公切线，∴ 关于t ()0>t 的方程()01ln 411Δ2=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t a t ， 即()t a t ln 14112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()*总有解． …………………9分若e t >，则0ln 1<-t ，而0112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+t ，显然()*不成立，所以 e t <<0． ………10分从而，方程()*可化为 ()()t t t a ln 11422-+=． 令()()()t t t t h ln 1122-+=()e t <<0，则()()()()23ln 11ln 21t t t t t t h --++='． ∴ 当10<<t 时，()0<'t h ；当e t <<1时，()0>'t h ，即 ()t h 在()1,0上单调递减，在()e ,1上单调递增．∴()t h 在()e ,0的最小值为()41=h ，所以，要使方程()*有解，只须44≥a ，即1≥a ． …………………12分22．解：（Ⅰ）∵PA 为⊙O 的切线，∴ACP PAB ∠=∠， 又P ∠P =∠，∴PAB ∆∽PCA ∆．∴PCPA AC AB=． (4)分（Ⅱ）∵PA 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线，∴PC PB PA ⋅=2． ………5分又∵10=PA ,5=PB ，∴20=PC ，15=BC ．由（Ⅰ）知，21==PC PA AC AB，∵BC 是⊙O 的直径， ∴ 90=∠CAB ．∴225222==+BC AB AC ,∴53,56==AB AC (7)分连结CE ，则E ABC ∠=∠， 又EAB CAE ∠=∠，∴ACE ∆∽ADB ∆, ∴ACAD AE AB= ∴905653=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD ． …………………10分七彩教育网 免费提供Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 23．解：（Ⅰ）直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 235211，（t 为参数） (2)分圆心C 直角坐标为)4,0(……3分 圆C 的直角坐标方程为16)4(22=-+y x …4分 由⎩⎨⎧==+θρρs i n222y y x …5分 得圆C 的极坐标方程是8sin ρθ=. ………6分（Ⅱ）圆心的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是50y --=， ………8分圆心到直线的距离4d ==>， (9)分所以直线l 和圆C 相离. …………………10分24．解：（Ⅰ）因为|4|||(4)()4x x a x x a a -+-≥---=-， ………………3分 所以43a -=，即71a a ==或 …………………5分由a ＞1知7=a ； …………………6分 （Ⅱ）当4≤x 时，不等式化为 5112≤+-x 解得：43≤≤x …………………7分当74<<x 时，不等式化为 53≤ 恒成立 所以：74<<x …………………8分当7≥x 时，不等式化为 5112≤-x 解得：87≤≤x …………………9分 综上不等式574≤-+-x x 的解集为 {}83|≤≤x x ． (10)分。
2012届高考数学全国模拟重组预测试卷5A大纲人教版
试卷类型：A2012届高三全国高考模拟重组预测试卷五数学答案适用地区：大纲地区考查范围：集合、简易逻辑、函数、函数极限、导数、数列、三角、向量、不等式 、解析几何、立体几何、排列、组合、二项式定理、概率统计、复数（理科独有）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(理) [2011·甘肃兰州一中月考]设1i z =-（i 为虚数单位），则22z z+=( )A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + （文）函数()f x =的定义域为（ ）A ．1,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2． [2011·广东模拟]设集合A ={}|||1,x x a x -<∈R ，{}|||2,.B x x b x =->∈R 若A ⊆B ，则实数a,b 必满足（ ）A ．||3a b +≤B ．||3a b +≥C ．||3a b -≤D ．||3a b -≥3．不等式252(1)x x +-≥的解集是( )A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，D ．(]11132 ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，， 4． [2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．95． [2011·重庆卷] 已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(文)如图,设A 、B 、C 、D 为球O 上四点,若AB 、A C 、AD 两两互相垂直,且AB AC ==2AD =,则A 、D 两点间的球面距离为（ ）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π7．[2011·湖北卷] 已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3] 8．[2011·湖北卷] 将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥39． 2012年春节联欢晚会中，其中某段节目有6名演员演出，安排6名演员的演出顺序时，要求演员甲不第一个出场，也不最后一个出场，则不同的安排方法种数( ) A ．240 B ．480 C ．600 D ．720 10． [2011·浙江五校联考]若函数()y f x =图象上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件22x y >，则称函数()f x 具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是（ ）A ．()e 1xf x =- B ．()ln(1)f x x =+ C ．()sin f x x =D ．()tan f x x =11．(理) 三棱锥ABC S -中，⊥SA A C ，4,3,5SA AB SB ===，E 为A C 的中点，90=∠ABC ，则点E 到平面SBC 的距离等于（ ）A ．25B ．45C ．65D ．85(文)三棱锥ABC S -中，⊥SA A C ，4,3,5SA AB SB ===，E 为A C 的中点，90=∠ABC ，则点E 到面SBC 的距离（ ）A ．与BC 有关 B ． 与A C 有关C ．与S C 有关D ．与,,BC AC SC 都无关12． (理)点P 是双曲线221916xy-=右支上一点，12,F F 分别是该双曲线的左，右焦点，点M 为线段2P F 的中点．若△2O M F 的周长为12，点O 为坐标原点，则点P 到该双曲线的左准线的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 (文) 点P 是双曲线221916xy-=右支上一点，12,F F 分别是该双曲线的左，右焦点，点M 为线段2P F 的中点．若△2O M F 的面积为10，则点P 到该双曲线的左准线的距离为（ ）A ．95B ．95C ．185D ．185第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上） 13． (理)已知3π2tan 23α⎛⎫-=⎪⎝⎭，α为第三象限角，则sin 2α= ． （文） 已知3π2tan 23α⎛⎫-=⎪⎝⎭，α为第三象限角，则sin α= ． 14．[2011·湖北卷] ⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)15．[2011·江西重点中学盟校联考]已知数列｛n a ｝满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123k a a a a …为整数的数*()k k N ∈叫做幸运数，则[]2011,1∈k 内所有的幸运数的和为 ．（文）[2011·湖北卷] 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（本小题满分12分）[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值． 18．(理)（本小题满分12分）对于任意实数x ，符号][x 表示x 的整数部分，即][x 是不超过x 的最大整数．设数列}{n a 的通项=n a 2222[log 1][log 2][log 3][log (21)]n++++-…．（1）求321,,a a a 的值；（2）是否存在实数a ，使得=n a (2)2(*)n n a n -⋅+∈N ，并说明理由． (文) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知365,36a S ==． （1）求通项n a ;（2）记数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为{}n T ,数列11n n S T +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为()G n ,求证:()113G n ≤<．19．(理)（本小题满分12分）据相关调查数据统计，2012年某大城市私家车平均每天增加400辆，除此之外，公交车等公共车辆也增长过快，造成交通拥堵现象日益严重．现有A 、B 、C 三辆车从同一地点同时出发，开往甲、乙、丙三地，已知A 、B 、C 这三辆车在驶往目的地的过程中，出现堵车的概率依次为111,,,442且每辆车是否被堵互不影响． （１）求这三辆车恰有两辆车被堵的概率；（2）用ξ表示这三辆车中被堵的车辆数，求ξ的分布列及数学期望.E ξ(文)据相关调查数据统计，2010年某大城市私家车平均每天增加400辆，除此之外，公交车等公共车辆也增长过快，造成交通拥堵现象日益严重，现有A 、B 、C 三辆车从同 一地点同时出发，开往甲、乙、丙三地，已知A 、B 、C 这三辆车在驶往目的地的过程 中，出现堵车的概率依次为111,,,442且每辆车是否被堵互不影响． （1）求这三辆车恰有两辆车被堵的概率； （2）求这三辆车至少有两辆车不被堵的概率.21．(理)（本小题满分12分）[2011·甘肃兰州一中月考]已知函数.1)1(ln )(+--=x x a x x f（1）若函数()(0,)f x +∞在上为单调增函数，求a 的取值范围； （2）设2()0,:ln ln .m n m n m n m n->>->+求证(文) 已知函数()323f x ax bx x =+－在1x =±处取得极值． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若过点()()1,2A m m ≠－可作曲线()y f x =的两条切线，求实数m 的值． 22．（本小题满分14分）[2011·全国卷] 已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：x 2＋y 22＝1在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为－2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足OA →＋OB →＋OP →＝0. (1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．试卷类型：A2012界高三全品原创月考试题五参考答案数学1．（理）【答案】C 【解析】()22221i 2i 1i 1i 1iz z+=-+=-++=--．（文）【答案】C 【解析】要使函数()f x =有意义，需使130x ->，解得13x <．2．【答案】D【解析】集合{}{}|11,|22A x a x a B x x b x b =-<<+=>+<-或，若A ⊆B ，画数轴用数形结合易得3a b -≤-或3a b -≥．故||3a b -≥． 3．【答案】D【解析】本小题主要考查分式不等式的解法，易知1x ≠排除B ，由0x =符合可排除C ，由3x =符合，排除A ， 故选D ．也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解． 4．【答案】C【解析】将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象与原图象重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C. 5．【答案】D 【解析】由条件知a ＋b ＝(3，k ＋2)，∵a ＋b 与a 共线，∴3×k －1×(k ＋2)＝0，得k ＝1，∴a·b ＝1×2＋1×2＝4.故选D. 6．(理)【答案】C【解析】依题意,可设A D x =,球的半径为R ,则2R ==①, 又A 、D 两点间的球面距离为3R π,所以π3A O D ∠=，故R x =②．由①②解得2x =．即2AD =． (文) 【答案】C【解析】依题意,可设球的半径为R ,则24R ==,所以2R =．故π3A O D ∠=．A 、D 两点间的球面距离为π2π33R =g ．7．【答案】D【解析】因为a ＝()x ＋z ，3，b ＝()2，y －z ，且a ⊥b ，所以a·b ＝2()x ＋z ＋3()y －z＝0，即2x ＋3y －z ＝0.又||x ＋||y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)．所以当2x ＋3y －z ＝0过点B ()0，－1时，z min ＝－3；当2x ＋3y －z ＝0过点A ()0，1时，z max ＝3.所以z ∈[]－3，3.8．【答案】C【解析】不妨设三个顶点分别为A ，B ，F (其中F 为抛物线的焦点)，由抛物线的定义，有A ，B 两点关于x 轴对称，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 20.设A ()m ，2pm ()m >0，则由抛物线的定义得||AF ＝m ＋p 2.又||AB ＝22pm ，||AF ＝||AB ，所以m ＋p2＝22pm ，整理得m 2－7pm＋p 24＝0，所以Δ＝()－7p 2－4×p 24＝48p 2>0，所以方程m 2－7pm ＋p 24＝0有两个不同的实根，记为m 1，m 2，则⎩⎪⎨⎪⎧m 1＋m 2＝7p >0，m 1m 2＝p 24>0， 所以m 1>0，m 2>0.所以n ＝2.9．【答案】B【解析】安排第一个出场的演员，共有除甲之外的5种安排方法；再安排最后一个出场的演员，共有剩下的4种安排方法（不含甲和刚安排的第一个）；最后4名演员在剩下的4个出场顺序中进行全排列，有44A 种方法，故共有4454A 480⨯=种安排方法．10．【答案】C【解析】设函数()22sin f x x x =-，则()()'22s i n c o s 2s i n 2g xf x x x x x x ==-=-，又()'22cos 20g x x =-≥在R 上恒成立，所以当0x >时，()()00g x g >=；当0x <时，()()00g x g <=；故函数()22sin f x x x =-在区间()0,+∞上单调递增，在区间(),0-∞上单调递减，故()()00f x f >=，即22sin x x >在R 上恒成立．11．(理)【答案】C【解析】在△SA B 中，因为222222435SA AB SB +=+==,所以△SA B 是直角三角形，且SA A B ⊥．又SA A C ⊥,AB AC A = ,故SA ABC ⊥平面．故SA B C ⊥．又B C A B ⊥,AB SA A = ，所以BC SAB ⊥平面，所以B C SB ⊥．设点E 到面SBC的距离为h ．由 E SBC S BC E V V --=三棱锥三棱锥,得111135432322B C h B C ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得65h =．(文)【答案】D【解析】在△SA B 中，因为222222435SA AB SB +=+==,所以△SA B 是直角三角形，且SA A B ⊥．又SA A C ⊥,AB AC A = ,故SA ABC ⊥平面．故SA B C ⊥．又B C A B ⊥,AB SA A = ，所以BC SAB ⊥平面，所以B C SB ⊥．设点E 到面SBC的距离为h ．由E SBC S BC E V V --=三棱锥三棱锥,得111135432322B C h B C ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得65h =．故点E 到面SBC 的距离与,,BC AC SC 都无关．12． (理)【答案】B【解析】设O M x =，易知O M 是△12P F F 的中位线，则122PF OM x ==．12PF PF -=26a =，所以226PF x =-．所以22132M F P F x ==-．故2O M F ∆的周长为2OF OM +23512M F x x +=+-+=，解得5x =．所以1210PF x ==．所以2264PF x =-=．设点P 到该双曲线的左准线的距离分别为d ，则由双曲线的第二定义，有1PF e d=，即1053d=，解得6d =．(文)【答案】B【解析】设点,M P 到x 轴的距离分别为12,d d ，则△2O M F 的面积21111522O F d d =⨯10=，解得14d =．所以2128d d ==．设点()00,P x y ，则08y =．将点()00,P x y 代入双曲线方程221916xy-=中，求得0x =0x =-．设点P 到该双曲线的左准线的距离为3d ，则3d =2095ax c+=．13．(理)【答案】1213【解析】由3π2tan cot 23αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以22cos 2,sin 3sin cos 1,αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得sin sin 1313cos cos 1313αααα⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩或（舍去）．所以12sin 22sin cos 13ααα==． (文)【答案】13-【解析】由3π2tan cot 23αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以22cos 2,sin 3sin cos 1,αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得sin sin 1313cos cos 1313αααα⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩或（舍去）． 14．【答案】17【解析】二项展开式的通项为T r ＋1＝C r18x 18－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝()－1r ⎝⎛⎭⎫13r C r18·x 18－32r .令18－32r＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝⎛⎭⎫132C 218＝17.15．【答案】2026【解析】()()()1232lg 2lg 3lg 4lg 5lo g 2lg 2lg 3lg 4lg 1k k a a a a k k +==++……，要是其为整数，则()22nk n =-∈Z ,故2341022,22,22,22k =----…，，故其和为()941229202612--⨯=-． 16．（理）【答案】(1) ()2,2 (2)()2211x y -+=【解析】(1)过点P ′作PP ′⊥α，垂足为P ，过P 作PM ⊥y 轴于M ，连接P ′M ，则∠P ′MP＝45°.又MP ′＝22，所以MP ＝22cos45°＝2.所以点P ()2，2.(2)设曲线C ′上任意一点为()x ′，y ′，则该点在平面α内的射影为()x ，y ，故有⎩⎪⎨⎪⎧22x ′＝x ，y ′＝y ，即⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，代入()x ′－22＋2y ′2－2＝0中，得()x －12＋y 2－1＝0，即()x －12＋y 2＝1.（文）【答案】1或177【解析】由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k ()x ＋1.又圆的方程为()x －12＋()y －12＝1，圆心为()1，1，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝||k －1＋k －21＋k 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，解得k ＝1或177. 17．解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.18．(理)解：（1）依题意，0]1[lo g 21==a ，=2a 2]3[log]2[log]1[log 222=++，=3a 222[log 1][log 2][log 7]10+++=…．（2）根据321,,a a a 的值，可得2=a ，下面用数学归纳法证明=n a 22)2(+⋅-n n 对任意n ∈N *都成立．证明：①当1=n 时，022)21(1=+⋅-，结论成立． ②假设k n =时等式成立，即=k a 22)2(+⋅-k k ， 那么，当1+=k n 时，112222[log 2][log (21)][log (22)][log (21)]kkkk k k a a ++=+++++++-L2(2)22kkk k k k =-⋅+++++1444442444443个…kkk k 222)2(⋅++⋅-==22)1(1+⋅-+k k22]2)1[(1+⋅-+=+k k ，即当1+=k n 时结论也成立．根据①和②，可知结论对任何*n ∈N 都成立．综上，存在实数2=a ，使得=n a (2)2(*)nn a n -⋅+∈N ．(文)解：（1）3125a a d =+=,61656362S a d ⨯=+=,解得11,2a d ==，()112 1.n a a n d n =+-=- （2）()21212n n n S n +-==,n S n n=,()12n n n T +=．()()()21112122n n n n n n S T n ++++-=+-=（）,()112112(1)212n nS T n n n n +⎛⎫==- ⎪-++++⎝⎭,()1111112233412G n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…112211222n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭． 又已知数列()G n 是递增数列,所以()()221111233G n G n =-≥=-=+,所以()113G n ≤<．19．(理)解：（1）设”这三辆车恰有两辆车被堵”的事件为A ．所以()311131111744244244232P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）依题意得ξ可取0、1、2、3．计算得3319(0)44232P ξ==⨯⨯=，131********(1)44244244232P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,()7(2),32P p A ξ===1111(3)44232P ξ==⨯⨯=，故ξ的分布列为ξ123P9321532732 132故ξ的数学期望915710123132323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．(文)解：（1）设”这三辆车恰有两辆车被堵”的事件为A ．所以()311131111744244244232P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）设“这三辆车至少有两辆车不被堵”的事件为B ，则事件B 即为“这三辆车至多有一辆车被堵”．这三辆车没有一辆车被堵的概率为()1331944232P B =⨯⨯=,这三辆车恰有一辆车被堵的概率为()21313113311544244244232P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以()()()12915332324P B P B P B =+=+=． 即这三辆车至少有两辆车不被堵的概率为34．20．解：法一：(1)如图1，过D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高．设G 为边CD 的中点，则由AC ＝AD ，知AG ⊥CD ，从而AG ＝AC 2－CG 2＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152.由12AC ·DF ＝12CD ·AG 得DF ＝AG ·CD AC ＝154. 在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝3，S △ABC ＝12AB ·BC ＝32.故四面体ABCD 的体积V ＝13·S △ABC ·DF ＝58.图1(2)如图1，过F 作FE ⊥AB ，垂足为E ，连接DE .由(1)知DF ⊥平面ABC .由三垂线定理知DE ⊥AB ，故∠DEF 为二面角C －AB －D 的平面角．在Rt △AFD 中，AF ＝AD 2－DF 2＝22－(154)2＝74， 在Rt △ABC 中，EF ∥BC ，从而EF ∶BC ＝AF ∶AC ，所以EF ＝AF ·BC AC ＝78.法二：(1)如图2，设O 是AC 的中点，过O 作OH ⊥AC ，交AB 于H ，过O 作OM ⊥AC ，交AD 于M .由平面ABC ⊥平面ACD ，知OH ⊥OM .因此以O 为原点，以射线OH ，OC ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，可建立空间直角坐标系O －xyz .已知AC ＝2，故点A ，C 的坐标分别为A (0，－1,0)，C (0,1,0)．设点B 的坐标为B (x 1，y 1,0)，由AB →⊥BC →，|BC →|＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，x 21＋y 1－12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32，y 1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32y 1＝12(舍去)．即点B 的坐标为B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0.又设点D 的坐标为D (0，y 2，z 2)，由|CD →|＝1，|AD →|＝2，有⎩⎪⎨⎪⎧y 2－12＋z 22＝1，y 2＋12＋z 22＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝34，z 2＝154或⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝34，z 2＝－154(舍去)．即点D 的坐标为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，154.从而△ACD 边AC 上的高为h ＝|z 2|＝154.又|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎫12＋12＝ 3.|BC →|＝1. 故四面体ABCD 的体积V ＝13×12·|AB →|·|BC →|h ＝58.(2)由(1)知AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74，154.设非零向量n ＝(l ，m ，n )是平面ABD 的法向量，则由n ⊥AB →有32l ＋32m ＝0， ①由n ⊥AD →，有74m ＋154n ＝0， ②取m ＝－1，由①②，可得l ＝3，n ＝71515，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－1，71515. 显然向量k ＝(0,0,1)是平面ABC 的法向量．从而cos 〈n ，k 〉＝715153＋1＋4915＝7109109. 故tan 〈n ，k 〉＝1－491097109＝2157，即二面角C －AB －D 的平面角的正切值为2157. 21．(理)解:（1）21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+2222(1)2(22)1.(1)(1)x ax x a x x x x x +-+-+==++因为()(0,)f x +∞在上为单调增函数，所以()0(0,)f x '≥+∞在上恒成立， 即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立.当(0,)x ∈+∞时，由2(22)10x a x +-+≥得122.a x x-≤+设1(),(0,)g x x x x=+∈+∞，1()2g x x x =+≥=. 所以当且仅当1x x=，即1x =时，()g x 有最小值2，所以222a -≤，所以2a ≤.所以a 的取值范围是(,2].-∞（2）2()ln ln ,m n m n m n-->+要证只需证2(1)ln,1mm nm nn->+只需证2(1)ln0.1mm n m nn-->+ 2(1)()ln ,1x h x x x -=-+设由（1）知()(0,)h x +∞在上是单调增函数，又1m n>，2(1)()(1)0,ln01mm m n h h m nnn->=->+所以即成立，所以2()ln ln .m n m n m n-->+(文)解：（1）2()323f x ax bx '=+-，依题意，f '(1)=f '(－1)=0，即3230,3230,a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得a =1，b =0，所以f (x )=x 3－3x ．（2）()f x '=3x 2－3=3(x +1)(x －1)，过点A 可作曲线的两条切线，所以点A （1，m ）不在曲线上．设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足.30300x x y -=因为)1(3)(200-='x x f ，故切线的斜率为13)1(3003020---=-x mx x x ，整理得03322030=++-m x x ．因为过点A （1，m ）可作曲线的两条切线，所以关于x 0方程3322030++-m x x =0有两个实根.设g(x 0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x 0)=60206x x -，由g′(x 0)=0，得x 0=0或x 0=1．所以g(x 0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以函数g (x 0)=3322030++-m x x 的极值点为x 0=0，x 0=1，所以关于x 0方程3322030++-m x x =0有两个实根的充要条件是(0)0,(1)0,g g >⎧⎨=⎩或(0)0,(1)0,g g =⎧⎨<⎩解得2,3m m =-=-或． 故所求的实数m 的值为2或3．22．解：(1)证明：F (0,1)，l 的方程为y ＝－2x ＋1，代入x 2＋y 22＝1并化简得4x 2－22x －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)， 则x 1＝2－64，x 2＝2＋64， x 1＋x 2＝22，y 1＋y 2＝－2(x 1＋x 2)＋2＝1， 由题意得x 3＝－(x 1＋x 2)＝－22，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－1. 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－22，－1.经验证，点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－1满足方程x 2＋y 22＝1，故点P 在椭圆C 上．(2)证明：由P ⎝⎛⎭⎪⎫－22，－1和题设知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，PQ 的垂直平分线l 1的方程为y ＝－22x .①设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，12，AB 的垂直平分线l 2的方程为y ＝22x ＋14.②由①、②得l 1、l 2的交点为N ⎝ ⎛⎫－28，18. |NP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋282＋⎝⎛⎭⎫－1－182＝3118，|AB |＝1＋－22·|x 2－x 1|＝322，|AM |＝324， |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋282＋⎝⎛⎭⎫12－182＝338，|NA |＝|AM |2＋|MN |2＝3118， 故|NP |＝|NA |.又|NP |＝|NQ |，|NA |＝|NB |， 所以|NA |＝|NP |＝|NB |＝|NQ |，由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上．。
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吉林省2012届高三数学理科仿真模拟卷5—、选择题(毎小S 5分,共60分）1. 设函数的定义域为M,集合，则A. B N C. D.M2. 计箅的结果等于A. B. C. D.3. 已知向量 a与b的夹角为,,则a在b方向上的投影为A. B C. D.4. 已知，中，，则此三角形的最大内角的度数是A. 60°B. 90°C. 120°D. 135°5. 已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是A. B. C. D.6. 设a,b是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列四个命题：①若，，则②若，，则③若，则或④若，则其中正确命题的个数为A. 1B. 2C. 3D.47. 已知随机变量服从正态分布，则A. 0,16B.0.32C. 0.68D. 0.848. 要得到函数的图象，只需将函数的图象沿X轴A. 向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位9. 右面的程序框图给出了计箅数列{a}的前8项和S的算法，算法n执行完毕后，输出的S为A 8B. 63C. 92D 12910. 5位同学站成一排准备照相的时候,有两位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念,如果5位同学顺序一定,那么两位老师与询学们站成一排照相的站法总数为A. 6B. 20C. 30D. 4211. 设则不等式的解集为ABC. D.12. 设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域(包含边界)为D，P(X,y)为D内的一个动点,则目标函数的最小值为A. -2B.C.0D.二、填空题（毎小題5分,共20分）13. 若复数（i为虚数单位)为实数，则实数m=____________.14. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________.15. 设抛物线的焦点为F，经过点P(l,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则=___________16. 设f(x)是R上的奇函数，且=0,当时，，则不等式.的解集为___________三、解答题(共70分) 17. (本小题满分12分） 已知数列{a n }的前n 项和，数列满足，且=(I )求数列和的通项公式；(II)若，求数列的前n 项和， 18. (本小题满分12分）某中学对髙二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解，训练对提高‘数学应用题，得分率作用”的试验,其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常参考公式及数据：19.(本小题满分12分） 如图，四棱柱中，平面AB-CD,底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱=2.(I)求三棱锥的体积V;(II)求直线BD 1与平面ADB 1所成角的E 弦值； (III)若棱AA 1上存在一点P,使得，当二面角的大小为30°时,求实数A 的值.20. (本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点为动点，已知点，直线PA 与PB 的斜率之积为定值-1/2(I)求动点P 的轨遂E 的方程j(II)若F(1,0),过点F 的直线I 交轨迹E 于M 、N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程. 21. (本小题满分12分） 已知.，函数（e 为自然常数).(I) 求证:(I I )若且恒成立，则称函数的图象为函数，的“边界”，已知函数，试判断“函数以函数的图象为边界”和“函数，的图象有且仅有一个公共点"这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数P 、q 的值；若不能同时成立,请说明理由. 请考生22.23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 选修4—1：(本小题满分10分〉几何证明选讲 如图,在，中，.为钝角，点E,H 分别是边AB 上的点，点K 和M 分别是边AC 和BC 上的点，且AH=AC,EB =BC , AE=A K,B H=B M.0.025 0.010 0.005 0.0015.0246. 6357.879 10.828(I)求证：E ，H ，M ，K 四点共圆 (II )若KE=EH ，CE=3,求线段KM 的长.23. 选修4－5：(本小题满分10分)不等式选讲 已知实数a,b,c,d 满足，求ac+bd 的最大值.参考答案一、选择题 BACCD DAACD BB 二、填空题13.；14.(5π+； 15.10； 16.(,1)(0,1)-∞-⋃. 三、解答题17.解：⑴由题意2n n S a =-，当2n ≥时，112n n S a --=-①-②得 1n n n a S S -=-分又11112,1a S a a ==-∴=为公比的等比数列，所以112n n a -=；--------4分{}n b 是等差数列，设其公差为d ， 5124b b d -==，1(1)21n b b n d n =+-=-；11,212n n n a b n -==-．--------7分1230121=123252(21)2,n nn T c c c c n -=++++⨯+⨯+⨯++-⨯ ③1212 1232(23)2(21)2n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ， ④③-④得 123112(2222)(21)2n nn T n --=+++++--⋅ ，--------9分整理得 2212(21)2(23)2312nn nn T n n --=+⨯--⋅=--⋅--，所以(23)23n n T n =-⋅+．--------12分18.解：⑴由题意，甲、乙两班均有学生50人，------------------- 1分 甲班优秀人数为30人，优秀率为3060%50=，----------- 2分 乙班优秀人数为25人，优秀率为2550%50=，----------- 4分⑵11分 ‘数19.解：⑴在1111ABCD A B C D -的高1A D 的长，1A D ⨯=--------3分O xyz -， 1(0,A ， 1(-，-------5分 11(2,(1,0,0),BD DA DB ∴=--==，设平面1ADB 的法向量(,,)m x y z =，由100m DA m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得平面1ADB 的一个法向量为(0,m = ，--------7分记直线1BD 与平面1ADB 所成的角为α，则11sin ||||||BD m BD m α⋅==⋅ ，所以直线1BD 与平面1ADB--------8分⑶11,(,1AP PA P λλ=∴+，分 分由22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222(21)4220k x k x k +-+-=，由12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得212221224,2122,21kx x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩ -------------------8分 所以2222(,)2121kk Q k k -++，则线段MN 的中垂线m的方程为：21(21k y x k k+=--+ 整理得直线2:21x km y kk =-++，则直线m 与y 轴的交点2(0,)21kR k +，注意到以MN 当且仅当RM ⊥ 即(RM RN ⋅=分 1212x x y y +由2121212212122[()1],212(2),21y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎪⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩②将②代入①解得 1k =±，即直线的方程为(1)y x =±-，综上，所求直线的方程为10x y --=或10xy +-=．------------12分21.解：⑴证明：记2()()()2ln u x f x h x x e x =-=-， 则2()2e u x x x'=-，----------------2分令()0u x '>，注意到12x >，可得x >，所以函数()u x 在1(2上单调递减，在)+∞上单调递增．-------4分min ()0u x u f h e e ==-=-=，即()0u x ≥，所以()()f x h x ≥． --------------------------------5分 ⑵由⑴知，()()f x h x ≥对12x >恒成立，当且仅当x =时等号成立，记2()()()2ln 4v x h x g x e x x px q =-=+--，则“()0v x ≥恒成立”与“函数(),()f x g x 的图象有且仅有一个公共点”同时成立， 即()0v x ≥对12x >恒成立，当且仅当x =所以函数()v x在x =时取极小值，------------------------7分注意到2282()8e x px ev x x p xx-+'=+-=，分--------11分 分同理,,,C E H M 四点共圆，即,,,E H M K 均在点,,C E H 所确定的圆上，证毕．--------------- 5分⑵连结EM ，由⑴得,,,,E H M C K 五点共圆，----------- 7分 CEHM 为等腰梯形，EM HC ∴=， 故MKE CEH ∠=∠，由KE EH =可得KME ECH ∠=∠， 故MKE CEH ∆≅∆，即3KM EC ==为所求． -------------------10分23.解：2222222()()()2()()()()ac bd ac bd abcd ac bd ad bc +=++≤+++ 2222()()2a b c d =++=，-----5分||ac bd ∴+≤ac bd ≤+≤，--------8分当且仅当ad bc =，即c d ab== ，综上ac bd +． --------------------------------10分。