2016年高考数学专题六：圆锥曲线【教师原创】 全国通用

1 2
3.已知矩形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以
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A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离
心率为 1 。 2
x 4.若椭圆 a
2 2

y2 1, (a b 0) b2
短轴端点为 P 满足
PF1 PF2
，则椭圆的离心率为 e 22 。
x2 y2 1 m2 n2
1 2 1(m 0.n 0) 则 当 mn 取 得 最 小 值 5. 已 知 m n
(2)弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆
5
b2 中心 O 的连线的斜率之积为定值－ 2. a
二、双曲线 1．定义 在平面内到两定点 F1 ， F2 的距离的 差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于 零)的点的轨迹(或集合)叫做双曲线． 定 点 F1 ，F2 叫做双曲线的焦点，两焦点间 的距离叫做焦距． 令平面内一点到两定点 F1， F2 的 距离的差的绝对值为 2a(a 为常数)，则 只有当 2a<|F1F2|且 2a≠0 时，点的轨迹 才是双曲线； 若 2a＝|F1F2|， 则点的轨迹 是 以 F1 ， F2 为 端 点 的 两 条 射 线 ； 若 2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．
所以有e [ 2 ，1） 2
解法 6：巧用图形的几何特性 由 F PF 90 ，知点 P 在以 | F F | 2c 为直径 的圆上。 又点 P 在椭圆上，因此该圆与椭圆 有公共点 P 故有 c b c b a c
1 2 1 2 2 2 2 2
由此可得e [
2 ，1） 2
一、直接求出 a，c 或求出 a 与 b 的比值， 以求解 e 。 c c a b b c 1 在椭圆中， e a ，e a a a a
2 2 2 2 2 2 2
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， 则椭圆的离心率等于 23 2.若椭圆经过原点，且焦点为 F (1,0), F (3,0) , 则椭圆的离心率为 1 2
1
和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫 做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 当到两定点的距离之和等于|F1F2| 时， 动点的轨迹是线段 F1F2； 当到两定点 的距离之和小于|F1F2|时， 动点的轨迹不 存在． 2．标准方程 中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的
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判别式Δ来判定． 直线与双曲线交于一点时，不一 定相切，例如：当直线与双曲线的渐近 线平行时，直线与双曲线相交于一点， 但不是相切；反之，当直线与双曲线相 切时，直线与双曲线仅有一个公共点。 三、抛物线 1．标准方程 顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半 轴 上 的 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 ： y2 ＝ 2px(p>0)； 顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半 轴 上 的 抛 物 线 的标 准方 程为 ： y ＝ － 2px(p>0)； 顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半
l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹
叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点， 直线 l 叫做抛物线的准线．
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三、直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线位置关系的判断 直线 y＝kx＋m(m≠0)与抛物线 y ＝ 2px(p>0)联立方程组，消去 y，得到 k x
2 2 2
＋2(mk－p)x＋m2＝0 的形式． 当 k＝0 时， 直线和抛物线相交，且与抛物线的对称 轴平行，此时与抛物线只有一个交点； 当 k≠0 时，设其判别式为Δ， (1)相交： Δ>0⇔直线与抛物线有两 个交点； (2)相切：Δ＝0⇔直线与抛物线有 一个交点； (3)相离： Δ<0⇔直线与抛物线没有 交点． [提醒] 过抛物线外一点总有三条
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(1)若直线 y＝kx＋b 与椭圆相交于 两点 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2)，则|AB|＝ 1＋k |x1－x2|＝
2
1＋ 2|y1－y2|.
1
k
(2)焦点弦(过焦点的弦)： 最短的焦 点弦为通径长 2b2
a
，最长为 2a.
6．中点弦的重要结论
x2 y2 AB 为椭圆 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的弦， a b A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)． b2x0 (1)斜率：k＝－ 2 . a y0
将这个方程与椭圆方程联立， 消去 y，可解得
a 2 c 2 a 2b 2 a 2 b2 但由椭圆范围及F1 PF2 90 x2 知0 x 2 a 2 即0 a 2 c 2 a 2b 2 a2 2 2 a b
可得c 2 b 2 ，即c 2 a 2 c 2 ，且c 2 a 2 c 2 c ，且e 1 a 2 a 2 所以e [ ，1） 2 从而得e
2
2
F 的距离称为焦半径． 有以下结论(p>0)：
(1)对于抛物线 y ＝2px， |PF|＝ ＋ 2
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2
p
x0；
(2)对于抛物线 y ＝－2px， |PF|＝ －x0； (3)对于抛物线 x ＝2py， |PF|＝ ＋ 2
2 2
p
2
p
y0；
(4)对于抛物线 x ＝－2py， |PF|＝ －y0. 3．与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)
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2
轴上的抛物线的标准方程为：x ＝ 2py(p>0)； 顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半 轴 上 的 抛 物 线 的标 准方 程为 ： x ＝ － 2py(p>0)． 抛物线标准方程中参数 p 的几何 意义是抛物线的焦点到准线的距离，所 以 p 的值永远大于 0， 当抛物线标准方程 中一次项的系数为负值时， 不要出现 p<0 的错误． 2．抛物线的焦半径 抛物线上任意一点 P(x0，y0)到焦点
2016 年高考数学专题六：圆锥曲线与方 程(教师版） 一、2016 年考试大纲要求 圆锥曲线与方程 (1)圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景，了解 圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用。 ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何 图形、标准方程及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和 标准方程。知道它的简单几何性质。 ④了解圆锥曲线的简单应用。 ⑤理解数形结合的思想 (2)曲线与方程 了解方程的曲线与与曲线方程的对 应关系。 二、内容解析 一、椭圆 1．定义 平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的
2
p
2
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(1)y1y2＝－p ，x1x2＝ . 4 2p (2)|AB|＝ x1 ＋ x2 ＋ p ＝ (θ为 2 sin θ
2
p2
AB 的倾斜角)．
(3) 1 |AF| ＋ 1 |BF| 为定值 . 2
p
(4)以 AB 为直径的圆与准线相切． (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相 切． 二、抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线
1(m2≠n2)的形式． 3． 利用定义求焦点三角形的周长和 面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义 和正弦正理，常用到结论有：(其中，θ ＝∠F1PF2) (1)|PF1|＋|PF2|＝2a； (2)4c
2
＝ |PF1|
2
＋ |PF2|
2
－
2|PF1|·|PF2|cos θ； (3)当 P 为短轴端点时，θ最大． 1 (4)S △ PF1F2 ＝ |PF1||PF2|sin θ ＝ 2
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直线和抛物线有且只有一个公共点：两 条切线和一条平行于对称轴的直线． 2．直线与抛物线相交的弦长 (1)若直线过抛物线的焦点， 则弦长 2p |AB|＝ x1 ＋ x2 ＋ p ＝ ( α 为弦 AB 的 2 sin α 倾斜角)． (2)若直线不过抛物线的焦点， 则用 |AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|求解．
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式 e＝ 求解； (2)变用公式，整体求出 e：如利用
c a
e＝
c2 2＝ a c2
a2＋b2 ＝ 2 a
1
b2 1＋ 2 ， e ＝ a
c －b
2
2
＝
b2； 1－ 2 c
4.研究直线与双曲线位置关系问题 的通法：将直线方程代入双曲线方程， 消元， 得关于 x 或 y 的一元二次方程． 当 二次项系数等于 0 时，直线与双曲线相 交于某支上一点，这时直线平行于一条 渐近线；当二次项系数不等于 0 时，用
F1 、F2
1 2
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则
F1 P ( x c，y ) ， F2 P ( x c，y ) 由F1 PF2 90 ，知 F1 P F2 P ， 则 F1 P F2 P 0， 即 ( x c)( x c) y 2 0 得x 2 y 2 c 2

时，椭圆
的的离心率为 23
6.已知 F1 为椭圆的左焦点，A、B 分别为 椭圆的右顶点和上顶点， P 为椭圆上的 点，当 PF1⊥F1A，PO∥AB（O 为椭圆中 心）时，椭圆的离心率为 e 22 。 二、构造 a，c 的齐次式，解出 e 1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成 3 等差数列，则椭圆的离心率是 5 2．以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆，使该 圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、 N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线 MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是
4a 2 8(a 2 c 2 ) 0 c2 1 e 2 2 a 2 e 2
2
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因此e [
2 ，1) 2
解法 5：利用基本不等式 由椭圆定义，有 2a | PF || PF | 平方后得
1 2
4a 2 | PF1 |2 | PF2 |2 2| PF1 || PF2 | 2(| PF1 |2 | PF2 |2 ) 2| F1 F2 |2 8c 2 c2 1 得 2 2 a
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2．标准方程 中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的