兰州交通大学2011(前8周)级线性代数考试试题[1]
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
11级线性代数试卷A答案
中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。
三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。
四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。
五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。
六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。
线性代数试题(附参考答案)
《 线性代数 》课程试题（附答案）一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 22.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ，则=-1A3.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A 4.设CB A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B 5.矩阵A 可逆的充要条件为6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂ （填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有 个解向量。
二、 计算行列式的值。
（10分）321103221033210=D三、 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求1-A 。
（10分）四、 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112A ，求矩阵X ，使E A AX 2+=。
（10分）五、 问K 取什么值时下列向量组线性相关（10分） T k )1,2,(1=α，T k )0,,2(2=α，T )1,1,1(3-=α。
六、 设A ,B 为n 阶矩阵且2B B =，E B A +=，证明A 可逆并求其逆（6分）七、 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A ，求矩阵A 的列向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示。
（15分）八、 求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
（15分）《线性代数》课程试题参考答案一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 2482.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003020100A ，则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001021031003.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 4.设C B A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B C A 1- 5.矩阵A 可逆的充要条件为0≠A6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为n A r <)(7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂线性无关（填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有r n -个解向量。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
大学《线性代数》第一学期笔试题及答案(精品)
大 学 考 试 试 卷（A 卷） 20XX — 20XX 学年 第一学期课程名称：线性代数（共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(15分) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400023012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=-12*,其中*A 是AA 的伴随矩阵，1-A 是A 的逆矩阵，E 是单位矩阵，求矩阵B 的行列式||B . 解 由于|A|=4, 所以，A*A=4E, 于是有：A B AB +=24, 即A B E A =-)24( 5分 所以，4|||||24|==-A B E A 10分又由于，168|24|-=-E A 13分 因此，42/1||-=B 15分 分) t 取何值时, 向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0122α与向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t 211β， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2032β等价，等价时求出相互线性表示式。
解 由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20202113121),,,(2121t ββαα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→242033303121t ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→020*********t 5分 所以，当t ＝－2时，两个向量组等价。
10分 又由于，t ＝－2时有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000011103121),,,(2121ββαα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000011101101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→0000102/12/1012/12/1 15分 所以， 2112121ββα+-=，2122121ββα+= 211ααβ+-=，212ααβ+= 20分分) 在线性空间3][x R 中定义内积⎰-=11)()()](),([dx x g x f x g x f ，求3][x R 的一组正交基.解 由于2321,,1x x ===ααα是3][x R 的一组基，将其正交化得: ,111==αβ 4分x =-=1111222),(),(ββββααβ 8分1111333),(),(ββββααβ-=31),(),(222223-=-x ββββα 12分 所以，321,,βββ就是3][x R 的一组正交基. 15分2－1四分) 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+-+=+-+12432132432143214321xbxaxxxxxxxxxx有三个线性无关的解，求ba,的值和方程组的通解.解由于线性方程组bAx=有三个线性无关的解，所以线性方程组0=Ax至少有二个线性无关的解，于是0=Ax的解空间至少是二维的。
大学课程《线性代数》综合练习题集及答案
03D(1)R、；2,用3,>4)=2;向量组的一个极大无关组为、辽，、；4；
：'1 =2(、七亠'：：4),■?23如
(2)R( ：-1^-2, ：-3, ：-4, ：-5) =3；向量组的一个极大无关组为：■1, ：3 >5；
「2=「1：'5,「4 = ：^'：^'：'5 ;
,其中k为任意常数.
当•=1时，有解，解为
(1)当“且•时，方程组有唯一解；
5
<0A
-1
+k
1
丿
当’=1时，其通解为
，其中k为任意实数；
当，二-4时，原方程组无解；
5
广1、
—4
04F (1) C 3, (CER);
7
/ >
2
-22
1
0
+k2
0
15
5
I2」
,(k1,k^R);
(2) k1
J2、
0
十k!
a =b =0时,r (A) =0;当a = b才0时,r( A) =1;
a-'b,且
a-'b,且
a亠(n -1) b =0时,r (A) =n -1;
a • (n _1) b =0时，r(A) =n.
05G
05H
* *
r[(A )]
05K
05M
05O
06A
n ,如果r(A)=n,
0,如果r(A)cn.
011
排列的逆序数为
k2;
当k为偶数时,
排列为偶排列，当k为奇数时，排列为奇排列.
(完整word版)线性代数习题
第一章 行列式4。
计算下列各行列式：(1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a1110011001解（1）7110025*******21434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0（2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4）d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5。
证明： (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -； （2）bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+；（3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;（4）444422221111d c b a d c b a dc b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅；(5）1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1）00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2）bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a（3） 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4） 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立,即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6。
线性代数习题参考答案
第一章 行列式§1 行列式的概念1． 填空<1> 排列6427531的逆序数为,该排列为排列。
<2> i = ,j = 时, 排列1274i 56j 9为偶排列。
<3> n 阶行列式由项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构成一个n 元排列。
若该排列为奇排列,则该项的符号为号；若为偶排列,该项的符号为号。
<4> 在6阶行列式中,含152332445166a a a a a a 的项的符号为,含324314516625a a a a a a 的项的符号为。
2． 用行列式的定义计算下列行列式的值<1> 1122233233000a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中,有项不为零,它们分别为 ,所以行列式的值为。
<2>12,121,21,11,12,1000000n n nn n n n n n n n n nna a a a a a a a a a ------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是,而它的逆序数是,故行列式值为。
3． 证明：在全部n 元排列中,奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个,设其中奇排列数有1n 个,偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有1n 2n ,同理得2n 1n ,所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多,则此行列式为0,为什么？5． n 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则n 至少为多少？〔提示：利用3题的结果6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式〔1201141183--- 〔2222111ab c a b c §2 行列式的性质1． 利用行列式的性质计算系列行列式。
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兰州交通大学2011级线性代数（前八周）考试题
考试日期：2012年 月 日 考生在教学班中的序号
试卷说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，()R A 表示
矩阵A 的秩，A 表示A 的行列式，E 表示单位矩阵。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、若三阶矩阵A 的行列式2A =，则2A -=______ ( )
A 、-16；
B 、8；
C 、16；
D 、-8；
2、设,A B 为n 阶方阵，则下列等式中肯定正确的是( )
A 、A
B A B =； B 、A B A B +=+；
C 、A B A B -=-；
D 、A B A B =；
3、设A 为n 阶实矩阵，则A 为正交矩阵的充分必要条件是( )
A 、1AA E -=；
B 、T A A =；
C 、1T A A -=；
D 、1A =；
4、已知齐次方程组0Ax =
的系数矩阵A 为43⨯矩阵，且()2R A =，则该方程组基础解系
所含解向量的个数为( )
A 、1；
B 、2；
C 、3；
D 、4；
5、设1234,,,αααα 是一组n 维向量，其中123,,ααα
线性相关，则有
A 、123,,ααα 中必有零向量
B 、12,αα
必然线性相关
C 、23,αα 必然线性无关
D 、1234,,,αααα
必然线性相关
二、填空题（本大题共5小题，每空3分，共15分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设1132A -⎛⎫=
⎪⎝⎭
,则
1
A -=__________________；
2、设矩阵A 有一个特征值为2，则矩阵2
1
42A A E -+-肯定有一个特征值_______； 3、已知三维向量11
(,,)22
T
x α= 是单位向量，则x =____ ____；
4、设A 是43⨯矩阵，()2R A =，若B 是可逆的三阶方阵，则()R AB =__ ________；
5、二次型()2
2
2
12312313,,2f x x x x x x x x =+++对应的矩阵是________________。
三、计算题（本题共6小题，合计62分）
1、 求行列式113
2
111
2
3
--的值 （8分） 2、 计算行列式11111
1
n x x D x
=
的值；（10分）
3、 设矩阵110101121,021101210A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求23BA B -及T T A B 的
值（10分）
4、设n 阶方阵A 满足2
2A A E O --=，求证A 及2A E +可逆，并求1A -和()1
2A E -+。
（10分）
5、设线性方程组1231231
231331
x x x x x x x x x ++=⎧
⎪
-+=⎨⎪++=-⎩
（1）求出该非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的通解；（2）判断该非齐次线性方程组是否有解，并说明理由；（3）如果该非齐次线性方程组有解，求出它的通解；（12分）
6、设二次型2
2
1
23121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--（
12分）
（1）写出二次型f 的矩阵A ；（2）求出矩阵A 的特征值与特征向量；（3）求一个正交变换化上述二次型为标准型；
四、证明题（本题8分）
证明：向量组12:,n A ααα
和它的任何一个极大线性无关组等价。