2020年1月13日四川省巴中市高2020届高2017级高三巴中市一诊理科数学试题
四川省巴中市2023-2024学年高三下学期一诊(一模)考试 数学(理)含答案
巴中市普通高中2021级“一诊”考试数学（理科）（答案在最后）（满分150分120分钟完卷）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置.2.答选择题时请使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区城以外答题无效，在试题卷上答题无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.若复数z 满足()2i 2i z -=，则在复平面内z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{1A xx =<∣，或{}23},680x B x x x >=-+<∣，则集合()R A B ⋂=ð（）A.{34}xx <<∣ B.{23}xx <<∣ C.{23}xx <∣ D.∅3.已知55a c =+=-,,a b c 三个数成等比数列，则b =（）A.5B.1C.-1D.-1，或14.已知,a b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知向量,a b 满足||1,|||||a b a b a b ==+=-，则cos ,a b a 〈-〉=（）A.13-B.13C.3-D.36.已知直线,m n 与平面,,αβγ，下列命题中正确的是（）A.若,m n αγβγ⋂=⋂=，则m ∥nB.若m ∥,m αβ⊥，则αβ⊥C.若α∥,,m βαβγ⊥⊥，则m ∥γD.若,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m α⊥7.ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2sin 2cos 2AC c ⋅=⋅.则A =（）A.5π6B.2π3C.π3D.π68.从0,1,2,3四个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（）A.23B.59C.12D.139.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0的直线交抛物线C 于,A B 两点，点Q 在直线AB 上且OQ AB ⊥（O 为坐标原点），则下列结论中不正确的是（）A.1FQ =B.4OA OB ⋅=-C.FA FB +的最小值为6D.OAB 的面积的最小值为10.在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面,ABC AB BC ⊥且2AB BC ==，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）A.1372π81B.196π9C.28π3 D.7π311.若函数()2231f x ax x =+-在区间()1,1-内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为（）A.{12}aa -<<∣B.9{|8a a =-，或12}a -<<C.{}12aa -∣ D.9{|8a a =-，或12}a - 12.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，若()()π4π,63f x f f x f x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在π5π,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可以是（）A.3B.5C.7D.9二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在答题卡的相应位置上.13.622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于__________.（用数字作答）14.已知实数,x y 满足约束条件20,2340;240x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪--⎩则32x y -的最小值为__________.15.已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f '-=.则()f x 的单调增区间为__________.16.已知双曲线221124x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在直线260x y -+=上.当12F PF ∠取最大值时，12PF PF =__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列()12n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .18.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AA AB AC M N ===分别是1,BC CC 的中点，1AB MN ⊥.（1）证明：MN ⊥平面1AB M ；（2）求MN 与平面1AB N 所成角的正弦值.19.（12分）下图是某市2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y （单位：万吨）与年份t 的散点图.（1）根据散点图推断变量y 与t 是否线性相关，并用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该市生活垃圾无害化处理量.参考数据：()77721119.06,39.33,7 2.646.i i i i i i i y t y y y =====-=≈∑∑∑参考公式：121ˆˆˆ,ni ii nii t y nt ybay bt tnt ==-⋅==--∑∑；相关系数()()()()12211nii i n ni i i i tty y r t t y y ===--=--∑∑∑20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，左顶点分别为,,A B G 为C 的上顶点，且ABG 的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0的动直线与C 交于,M N 两点.证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上.21.（12分）.已知函数()ln xe f x ax a x x=-+.（1）设()()g x xf x =，证明：当a e 时，过原点O 有且仅有一条直线与曲线()y g x =相切；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，已知曲线12cos ,:22sin x C y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）和圆222:40C x y x +-=.以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）设过点O 倾斜角为π04αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 分别与曲线1C 和圆2C 交于点,A B （异于原点O ），求2ABC 的面积的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()211f x x x =+--.（1）解不等式()21f x x >+；（2）若不等式()2f x x x m <-+恒成立，求m 的取值范围.巴中市普通高中2021级“一诊”考试数学参考答案（理科）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.6014.-715.()()1,0,0,1-16.55三､解答题：共70分17.（12分）解：（1）方法1由题意，得22n n a S =+1122n n a S ++∴=+两式相減得11122n n n n n a a S S a +++-=-=，化简得12n n a a +=取1n =得1122a a =+，解得12a ={}n a ∴是以2为首相，2为公比的等比数列2n n a ∴=.方法2由题意，得22n n a S =+取1n =得1122a a =+，解得12a =当2n 时，()122n n n S S S --=+，整理得122n n S S -=+()111222,224n n S S S a -∴+=++=+={}2n S ∴+是以4为首项，2为公比的等比数列112422n n n S -+∴+=⋅=222n n n S a +∴==.（2）由（1）得：22log log 2nn n b a n ===，故22n b n +=+()()111112222n n b b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪+++⎝⎭11111111111112324352112n T n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22111135122124128n n n n n n +⎛⎫=+--= ⎪++++⎝⎭故22354128n n nT n n +=++18.（12分）解：（1）证法1由AB AC =且.BM CM =得AM BC ⊥由直梭柱的性质知1BB ⊥平面ABC .又AM ⊂平面ABC1BB AM∴⊥11,,BB BC B BB BC ⋂=⊂ 平面11BCC B AM ∴⊥平面11BCC B MN ⊂ 平面11BCC B AM MN∴⊥111,,,AB MN AM AB A AM AB ⊥⋂=⊂ 平面1AB M MN ∴⊥平面1AB M .证法2由AB AC =其BM CM =得AM BC ⊥出直棱柱的性质知，平面11BCC B ⊥平面ABC 又AM ⊂平面ABC ，垧11BCC B ⋂平面ABC BC=AM ∴⊥平面11BCC B MN ⊂ 平面11BCC B AM MN∴⊥111,,,AB MN AM AB A AM AB ⊥⋂=⊂ 平面1AB MMN ∴⊥平面1AB M .（2）方法1由（1）知MN ⊥平面1AB M ，又1B M ⊂平面1AB M1MN B M ∴⊥，故1B MB MNC∠∠=又11111tan ,tan ,2,1,2BB CM B MB MNC BB CN CC BM CM BM CN ∠∠======22BM ∴=.222248BC BM AB AC ∴===+故AB AC ⊥，从而1,,AB AC AA 两两垂直以A 为原点，1,,AB AC AA分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz-出题意得，()()()()10,0,0,1,1,0,2,0,2,0,2,1A M B N 1(2,0,2),(0,2,1),(1,1,1)AB AN MN ∴===-设平面1AB N 的一个法向量为(),,u x y z =由10,0u AB u AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得220,20x z y z +=⎧⎨+=⎩取2z =-得()2,1,2u =- 设MN 与平面1AB N 所成角为θ，则|||21111(2)|3sin |cos ,|3||||33u MN u MN u MN θ⋅=〈〉===⋅⨯MN ∴与平面1AB N 所成角的正弦值为33.方法2由（1）知MN ⊥平面1AB M ，又1B M ⊂平面1AB M1MN B M ∴⊥，故1B MB MNC∠∠=又11111tan ,tan ,2,1,2BB CM B MB MNC BB CN CC BM CM BM CN ∠∠======22BM ∴=，故BM CM==22218,BC AB AC MN B M ∴==+====AB AC ∴⊥，故AM =1111132A B MN V AM MN B M -∴=⨯⨯⨯⨯=又1AB ==13AN B N ==22211111cos 22AB B N AN AB N AB B N ∠+-∴==⨯，故1sin 2AB N ∠=111111sin 33222AB N S AB B N AB N ∠∴=⨯=⨯⨯ 设点M 到平面1AB N 的距离为,d MN 与平面1AB N 所成角为θ则113313M AB N AB NV d S -=== 3sin 3d MN θ∴==，即MN 与平面1AB N 所成角的正弦值为33.19.（12分）解：（1）123456728477t ++++++===()7222222221(3)(2)(1)012328i i tt =-=-+-+-++++=∑()()7711739.3349.06 3.09iii ii i t t y y t y ty ==∴--=-=-⨯=∑∑3.090.972 2.6460.6r ∴≈≈⨯⨯由y 与t 的相关系数约为0.97表明：y 与t 的线性相关程度相当高∴可用线性同归模型拟合y 与t 的关系.（2）由9.06 1.297y =≈及（1）得()()()717213.09ˆ0.1128ii i i i tty y b t t ==--==≈-∑∑ ˆ 1.290.1140.85ay bt =-≈-⨯≈y ∴关于t 的回归方程为ˆ0.850.11y t=+代2024年对应的年份代码9t =入回归方程得：ˆ0.850.119 1.84y=+⨯=∴预测2024年该市生活垃圾无害化处理量将约为1.84万吨.20.（12分）解：（1）由题意得2232a b a -=，化简得2a b =又122ABG S AB OG ab =⨯== 2,1a b ∴==∴椭圆C 的方程为2214x y +=（2）方法1：由（1）得()()2,0,2,0A B -设()()1122,,,M x y N x y ，直线():2MA y m x =+，直线():2NB y n x =-由()222,440y m x x y ⎧=+⎨+-=⎩得()222214161640m x m x m +++-=山于212164214m x m --=+，战21122284,1414m mx y m m -==++①.由()222,440y n x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222214161640n x n x n +-+-=由于222164214n x n -=+，故22222824,1414n nx y n n--==++②由题设知121244x x y y --=，代入①②化简得()()4130mn m n ++=省410mn +=，则14mn =-，此时22122224144m n m y y m m n m -===++故,M N 重合，即直线l 椭圆C 相切，不合题意3m n∴=-∴点(),P x y 满足()2y m x =+且()32y m x =--，联立解得1x =∴即AM 与BN 的交点在定直线1x =上.方法2：由（1）可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y 山题意知，直线MN 的斜率不为0，设其方程为4x my =+，且m >由224,440x my x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得()2248120m y my +++=则()216120m =->，解得m >由根与系数的关系得121222812,44m y y y y m m -+==++直线MA 的方程为()1122y y x x =++，直线NB 的方程为()2222y y x x =--联立直线MA 与直线NB 的方程可得：()()()()()2121121211212121266622222y x y my my y y y y x x y x y my my y y ++++-+===--++11222112212836666444 3.12122244m m m y y m m m m m y y m m --⋅+⋅--+++===-⨯++++由232x x +=--可得1x =，故AM 与BN 的交点在定直线1x =上方法3：由（1）可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y 由题意知，直线MN 的斜率不为0，设其方程为4,x my =+且m >由224,440x my x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得()2248120m y my +++=则()216120m =->，解得m >由根与系数的关系得121222812,44m y y y y m m -+==++当线MA 的方程为()1122y y x x =++，自线NB 的方程为()2222y y x x =--联立得()()()()12212222y x x y x x -+=+-代入11224,4x my x my =+=+得：()()()()1211222262my y y x my y y x ++=+-()()222221216122262444m m m y x y x m m m -⎛⎫⎛⎫∴+-+=+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭即()()22222623244m m y x y x m m -⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得()232x x +=--解得1x =，故AM 与BN 的交点在定直线1x =上.方法4：设()()1112,,,M x y N x y ，由题可知MN 的斜率一定存在，设():4l y m x =-由()224,440y m x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222214326440m x m x m +-+-=()()()()222232414644161120m m m m =--+-=->，解得66m -<<由根与系数的关系得2212122232644,1414m m x x x x m m -+==++又()()1212:2,:222y y MA y x NB y x x x =+=-+-联立解得：()12211212211222222x y x y y y x x y x y y y +-+=-++()()12211212211222222y x y x y y y x y x y y +-+--+++()()12121212410162258mx x m x x m m x x x x ⎡⎤=-++=-++⎣⎦()222222814644322258280141414m m m m m m m m ⎡⎤-+⎡⎤-⎢⎥=⨯-⨯+=+=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦1x ∴=，即AM 与BN 的交点在定直线1x =上.方法5：设()()1112,,,M x y N x y ，由题意知MN 的斜率一定存在，设():4l y m x =-山()224,440y m x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222214326440m x m x m +-+-=()()()()222232414644161120m m m m =--+-=->，解得66m -<<由根与系数的关系得2212122232644,1414m m x x x x m m -+==++()()121244,22MB NB m x m x k k x x --==-- ()()2222221212221212226441281641614143..6446424441414MB NB m m m m x x x x m m k k m m x x x x m m ⎛⎫--+ ⎪⎡⎤-++++⎣⎦⎝⎭===--++-+++①由221114x y +=得11111224y y x x ⋅=-+-，即14MA MB k k =-②由①②得3NB MAk k =-∴直线MA 的方程为()2MA y k x =+，直线NB 的方程为()32MA y k x =-+联立直线MA 与直线NB 的方程解得1x =AM ∴与BN 的交点在定直线1x =上.方法6：设MA 与NB 交于点(),P P P x y ，则()():2,:222P P P P y y MA y x NB y x x x =+=-+-代入2214x y +=，解得()()()()22222222842,2424P P P P M M P P P P x y x y x y x y x y +-+==++++()()()()22222282242,2424P P P P N N P P P P y x x y x y x y x y ----==-+-+由题设知()()()()()()()()22222222222242422424822228442424P P P P P P P P P P P P P P P Px y x y x y x y y x x y x y x y --+-+++=--+----+++即()()()()222222324212P P P P P P P Px y x y x y x y -+=-+-+-，化简得()()221440P P P x x y ---=根据题意知2p x <，故22440p p x y --<1p x ∴=，即AM 与BN 的交点在定直线1x =上.注：本题第（2）问的解法1，解法4，解法6是参照2024年版《高考试题分析（数学）》P 225228对2023年高考新课标II 卷第21题的解题思路给出的.21.（12分）解：（1）证法1由题意，()()2ln ,2ln (0)x xg x e ax ax x g x e ax a a x x =-+=++>'-设过原点的直线与曲线()y g x =相切于点()(),t g t ，则2ln 2ln (0)t t e at at t e at a a t t t -+=-++>，变形化简得()()10t t e at --=设()x h x e ax =-，则()xh x e a '=-若0a ，则当0x >时恒有()0h x >，此时方程①有唯一解1t =∴过原点O 的有且仅有一条直线()y e a x =-与曲线()y g x =相切若0a e < ，则()0h x '<得0ln x a <<，由()0h x '>得ln x a>()()min ()ln 1ln 0h x h a a a ∴==- ，方程①有唯一解1t =∴过原点O 有且仅有一条直线与曲线()y g x =相切.综上，当a e 时，过点O 有且仅有一条直线()y e a x =-与曲线()y g x =相切.证法2由题意，()()2ln ,2ln (0)x xg x e ax ax x g x e ax a a x x =-+=++>'-设过原点的直线与曲线()y g x =相切于点()(),t g t ，则2ln 2ln (0)t t e at at t e at a a t t t -+=-++>变形化简得()10t e t a t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭①设()(0)te t a t t ϕ=->，则()()21t e t t t ϕ-=' 当01t <<时()()0,t t ϕϕ'<单调减；当1t >时()()0,t t ϕϕ'>单调增()min ()1t e aϕϕ∴==-由a e 知()min ()10t e a ϕϕ==- ，当H .仅当1t =取等号∴当a e 时，关于t 的方程①有唯一解1t =∴当a e 时，过原点O 有且仅有一条直线与曲线()y g x =相切.（2）方法1()()()()2211,0x xx e ax x e a f x a x x x x '---=-+=>内（1）知：当a e 时，0x e ax - 故当01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x '>()min ()10f x f e a ∴==- ，此时()f x 至多一个零点，份题意当a e >则，设()xh x e ax =-由（1）中方法1知()min ()1ln 0h x a a =-<又()()()()010,10,2ln 2ln 0h h e a h a a a a =>=-<=->()h x ∴在()()0,1,1,∞+各有一个零点，设为()1212,x x x x <()f x ∴'有三个零点12,1,x x ，且1201x x <<<当10x x <<，或21x x <<时，()0f x '<；当11x x <<，线2x x >时，()0f x '>()f x ∴的极大值为()()10,f e a f x =-<的极小值为()1f x 和()2f x 且()()()()1210,10f x f f x f <<<<又当0x →，或x ∞→+时，都有()f x ∞→+()f x ∴恰在()10,x 和()2,x ∞+各有一个零点，符合题意a ∴的取值范围为(),e ∞+方法2由()ln x e f x ax a x x=-+变形得()()ln ln x x f x e a x x -=--令(),ln (0)t F t e at t x x x =-=->，则11t x'=-当01x <<时，0t '<：当1x >时，0t '>min 1ln11t ∴=-=，故1t X 当01x <<时，有ln ln t x x x =->-，此时t 的取值范围为()1,∞+当1x >时，由直线上升与对数增长的比较知，t 的取值范围为()1,∞+故对任意的01t >，关于x 的方程()00ln 1x x t t -=>恒有两个解()f x ∴有两个零点等价于()F t 在()1,∞+有且仅有一个零点由（1）知，当a e 时，()0F t 在[)1,∞+恒成立，当H .仪当,1a e t ==取等号∴当a e 则，()f x 至多一个零点，不合题意当a e >时，由()1知()()min ()ln 1ln 0F t F a a a ==-<又()10F e a =-<，且()()2ln 2ln 0h a a a a =->()F t ∴在()1,∞+有且仅有一个零点综上可知，a 的取值范围为(),e ∞+.方法3由()ln x e f x ax a x x =-+变形得()ln x xe ef x a x x=-令()ln ,(0)x e G t t a t t x x =-=>，则()21xx e t x -='当01x <<时，0t '<；当1x >时，0t '>min t e ∴=，故t e又当01x <<时，有1x e t x x=>，此时t 的取值范围为(),e ∞+当1x >时，由直线上升与指数爆炸的比较知，t 的取值范围为(),e ∞+故对任意的0t e >，关于x 的方程()00x e t t e x=>恒有两个解()f x ∴有两个零点等价于()0G t t =在(),e ∞+内有唯一零点又()()1a t a G t t e t t-=-='（i ）当a e 则，()()0,G t G t ' 在(),e ∞+足增函数，此则min ()0G t e a =- 当且仅当a t e ==取等号，故a e 时，()f x 至多一个零点，不合题意（ii ）当a e >时，若e t a <<，则()0G t '<；若t a >，则()0G t '>此时()()min ()1ln 0G t G a a a ==-<又()0G e e a =-<，且()()22ln 0G a a a a =->()G t ∴任(),e ∞+有且仅有一个零点综上可知，a 的取值范围为(),e ∞+.方法4令ln y x x =-，则11y x'=-当01x <<时，0y '<；当1x >时，0y '>min (ln )1ln11x x ∴-=-=，故1ln 0x x -- ，且2ln 0x x x ->由()0f x =得ln 0x e ax a x x -+=，变形得20ln xe a x x x-=-令()2ln xe H x a x x x=--，则()f x 有两个零点等价于()H x 有两个零点()()()221ln 0ln x e x x H x x x x --=-' ，当且仅当1x =时取等号∴当01x <<时()()0,H x H x '<单调递减：当1x >时()()0,H x H x '>单调递增()min ()1H x H e a∴==-由()H x 有零点知0e a -<，则a e>X 当01x <<时1x e >，故()21ln H x x x x >-取*1,n x n e =∈N ，则221ln n n n x x x e e -=+X ，头n ∞→+时，有0x →，且221ln 0n n n x x x e e-=+→∴当0x →时21ln x x x ∞→+-（如下图），故()H x ∞→+当1x >时，保()2x e H x x >，而当x ∞→+则，2xe x∞→+∴当x ∞→+是()H x ∞→+故当a e >时，()H x 在()0,1和()1,∞+各有一个零点，故()f x 有两个零点a ∴的取值范围为(),e ∞+（二）选考题：共10分.22.（10分）解：（1）由2cos ,22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩变形得2cos ,22sin x y ββ=⎧⎨-=⎩，消去参数β得2240x y y +-=代cos ,sin x y ρθρθ==入1C 和2C 的普通方程并化简得：12:4sin ,:4cos C C ρθρθ==∴直线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，圆2C 极坐标方程为4cos O ρ=.（2）方法1由题意，设直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R 代()θαρ=∈R 入4sin ρθ=得()4sin ,A αα，故4sin OA α=代()θαρ=∈R 入4sin O ρ=得()4cos ,B αα，故4cos OB α=由π04α<<知cos sin αα>，印OB OA >由圆2C 的方程得22OC =()22221sin 2ABC BOC AOC S S S OC OB OA α∴=-=⨯- ()4cos sin sin 2sin22cos22ααααα=-=+-ππ222044αα⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 当且仅当π8α=时取等号2ABC ∴ 的面积的最大值为2-.方法2由题意，设直线l 的极坐标方程为()O αρ=∈R 代()4sin θαρλρθ=∈=R 得()4sin ,A αα，故4sin OA α=代()θαρ=∈R 入4sin ρθ=得()4cos ,B αα，故4cos OB α=由π04α<<知，()4cos sin AB OB OA αα=-=-由圆2C 的方程得22OC =设2C 到直线l 的距离为d ，则2sin 2sin d OC αα==()214cos sin sin 2sin22cos222ABC S d AB ααααα∴=⨯⨯=-=+- ππ222044αα⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 当且仅当π8α=时取等号2ABC ∴ 的面积的最大值为2-.方法3设直线l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）.代l 的方程入2240x y y +-=解得4sin A t α=，故4sin OA α=代l 的方程入2240x y x +-=解得4cos B t α=，故4cos OB α=由π04α<<知，()4cos sin AB OB OA αα=-=-下同方法1或2方法4设直线l 的方程为y kx =，由π04α<<知，()tan 0,1k α=∈由22,40y kx x y y =⎧⎨+-=⎩解得241A k x k =+；由22,40y kx x y x =⎧⎨+-=⎩解得241B x k =+B A AB x ∴=-=设2C 到直线l 的距离为d，则d =()2222411444211ABC k k k S d AB k k +-∴=⨯⨯==-+++ 令1k t +=，则()22414412,211(1)2k t t k t t t +<<==++-+-2t t+()1,2t =时取等号()24142212k k t t+∴=++-2ABC S ∴ ，即2ABC的面积的最大值为2-.23.（10分）解：（1）方法1不等式()21f x x >+可化为：①1,321,x x x <-⎧⎨-->+⎩解得43x <-②11,3121,x x x -⎧⎨+>+⎩解得01x < ③1,321,x x x >⎧⎨+>+⎩解得12x <<∴不等式()21f x x >+的解集为()4,0,23∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.方法2()3,1,21131,11,3, 1.x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=+-⎨⎪+>⎩由()21f x x =+解得43x =-，或0x =，或2x =如图，由不等式解集的几何意义得：()21f x x >+的解集为()4,0,23∞⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭（2）“不等式()2f x x x m -+ 恒成立”等价于“不等式()2m x x f x -++ 恒成立”记()()2g x x x f x =-++，则()max []m g x 当1x <-时，()()2314g x x g =--<-=-当11x - 时，()()2241(2)514g x x x x g =-++=--+= 当1x >时，()()2223(1)414g x x x x g =-++=--+<=()()max []14g x g ∴==。
四川省成都市2020届(高2017级)高中毕业班第二次诊断性检测理科数学试题
成都市2017级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.i B.-i C.-1 D.12.设全集R U =，集合{}1<=x x M ，{}2>=x x N ，则N M C U I )(=（ ） A.{}2>x x B.{}1≥x x C.{}21<<x x D.{}2≥x x 3.某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本。
若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ）A.20B.50C.40D.60 4.曲线x x y -=3在点)0,1(处的切线方程为（ ）A.02=-y xB.022=-+y xC.022=++y xD.022=--y x 5.已知锐角β满足αα2cos 12sin 2-=，则αtan =（ ） A.21B.1C.2D.4 6.函数)1ln(cos )(2x x x x f -+⋅=在]1,1[-的图象大致为（ ）A B C D7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A.16B.48C.96D.1288.已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f ，则函数)(x f 的图象的对称轴方程为（ ） A.Z k k x ∈-=,4ππ B.Z k k x ∈+=,4ππC.Z k k x ∈=,21π D.Z k k x ∈+=,421ππ 9.如图，双曲线C )0,0(12222>>=-b a by a x ：的左，右交点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，直线a bc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于B A ,两点.若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2 B.324 C.2 D.33210.在正方体1111D C B A ABCD -中，点Q P ,分别为AD AB ,的中点，过点D 作平面α使αα平面∥，平面∥Q A P B 11，若直线M D B =α平面I 11，则11MB MD 的值为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32 11.已知EF 为圆1)1()1(22=++-y x 的一条直径，点),(y x M 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+-103201y y x y x ，则⋅的取值范围为（ ） A.]13,29[ B.]13,4[ C.]12,4[ D.]12,27[ 12.已知函数x xe x g xxx f -==)(,ln )(，若存在R x x ∈+∞∈21),,0(，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则ke x x 212)(的最大值为（ ） A.2e B.e C.24e D.21e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．()41x +的展开式中x 2的系数为 。
2020四川高考数学(理科)试题及参考答案
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．复数的虚部是（）A．﹣B．﹣C．D．3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且p i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.24．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（）A．B．C．D．8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+29．已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．210．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+11．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）A．1B．2C．4D．812．已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年12月05日四川省宜宾市高2020届高2017级一诊考试理科综合试题文科数学试题
宜宾市高2017级高三第一次诊断测试文科数学注意事项：1. 答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.已知集合{}9,7,5,4,3,1=U ,{}5,4,1=A ,则U A =ð A.{}9,3 B.{}9,7C.{}9,7,5D.{}9,7,32.已知i 是虚数单位,复数1(2)i m m ++-在复平面内对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是A.()1,-∞-B.()2,1-C.()+∞,2D.()(),12,-∞-+∞3.已知向量()()1,,2,1m ==-a b ,且()b b a ⊥-,则实数=mA.3 B .12 C.12- D.3- 4.某车间生产C B A ,,三种不同型号的产品,产量之比分别为3::5k ,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验,已知B 种型号的产品共抽取了24件,则C 种型号的产品抽取的件数为A. 12B.24C.36D.605.要得到函数πcos(2)4y x =+的图象,只需要将函数cos y x =的图象A.向左平行移动π8个单位长度,横坐标缩短为原来的21倍,纵坐标不变.B.向左平行移动π4个单位长度,横坐标缩短为原来的21倍,纵坐标不变.C.向右平行移动π8个单位长度,横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变.D.向右平行移动π4个单位长度,横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变.6.设直线,m n 是两条不同的直线,αβ,是两个不同的平面,下列命题中正确的是A.,m n m n αα⇒∥∥∥B.,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥C.,m m αβαβ⇒∥∥∥D.,m m αβαβ⊥⇒⊥∥7.已知412ln33332,e ,3a bc===,则A.a b c << B .c a b <<C.b a c <<D.a c b <<8.执行如图所示的程序框图,输出的k 值为A.4B.5C.6D.79.函数1ln )(+=x xx f 的图像大致是A. B. C. D. A. B. C. D.10.已知π(0,)2α∈,且02sin cos 5sin 322=+-ααα,则sin2cos2αα+=A. 1B.2317-C.2317-或1 D.1-11.如图,在ABC ∆Rt 中,π2C ∠=,π6B ∠=,4AC =,D 在AC 上且:3:1AD DC =,当AED ∠最大时,AED ∆的面积为 A.32B.2C.3D. 12.已知函数()4ln 3,f x a x x =-且不等式(1)43e ,x f x ax +-≥在(0,)+∞上恒成立,则实数a 的取值范围A.3(,)4-∞B.3(,]4-∞ C.(,0)-∞ D.(,0]-∞二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
重庆市巴蜀中学高2020届高2017级高三下学期高考适应性月考六理科数学试题及参考答案解析
巴蜀中学高2020届高2017级高考适应性月考卷(六)理科数学一、选择题1.已知集合{}220A x x x =+-<,集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,则A B =( ) A.∅B.{}1x x <C.{}01x x << D.{}20x x -<<【参考答案】D 【试题解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ,B ,再用交集的定义求解.{}21A x x =-<<,{0B x x =<或}1x >,所以{}20A B x x ⋂=-<<, 故参考答案：D .本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法,还考查了运算求解的能力,属于基础题.2.已知复数z 满足：()11i z i +=-,其中i 是虚数单位,则z 的值为( ) A.1 B.12C.1-D.12-【参考答案】A 【试题解析】先通过复数的乘除运算化简复数,再求模.因为()221111i i z i i i--===-+-, 所以1z =. 故参考答案：A .本题主要考查复数的运算和复数模的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 3.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ,()40.74P ξ≤=,则()02P ξ≤≤=( )A.0.26B.0.24C.0.48D.0.52【参考答案】B 【试题解析】根据随机变量ξ服从正态分布()22,N σ,且()40.74P ξ≤=,得到2μ=,利用正态分布的对称性求解.因为随机变量ξ服从正态分布()22,N σ,且()40.74P ξ≤=,所以()2,00.26P μξ=≤=, 所以()()()020.24042P P P ξξξ≤-=≤≤≤=.故参考答案：B本题主要考查随机变量的正态分布,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 4.已知向量()1,2a =-,()1,3b =,2,4c ,若t 为实数,()//a tb c +,则t =( )A .2B.2-C.4D.4-【参考答案】D 【试题解析】根据()//a tb c +,由共线向量得到()()22341t t +=-+求解. 因为向量()1,2a =-,()1,3b =, 所以()1,23a tb t t +=-++, 因为()//a tb c +,所以()()22341t t +=-+, 解得4t =-.故参考答案：D .本题主要考查平面向量的共线定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 5.下列说法中,正确的有( )个. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形. A.1B.2C.3D.4【参考答案】A 【试题解析】举例说明.②根据平面的基本性质判断.③举例说明.④根据斜二测画法判断. ①如两个同底的三棱锥构成的六面体,不是三棱锥,故错误； ②过球面上任意两点与球心共线时,可以作球的无数个大圆,故错误；③一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥,满足题意,故正确； ④因为平行于x 轴的线段长度不变,平行于y 轴的线段长度减半,故错误. 故参考答案：A本题主要考查命题的真假判断,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线与圆()()22311x y -+-=没有交点,则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )A.54e < B.53e < C.513e >> D.514e >> 【参考答案】C 【试题解析】根据双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有交点,1>求解.因为双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有交点,1>,解得34a b >, 又因为222c a b =+,所以53e =<. 故参考答案：C .本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于基础题.7.“ln ln x y >”是“1132x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】A 【试题解析】利用对数函数,指数函数和幂函数的单调性,根据逻辑条件的定义判断.由ln ln x y >,得0x y >>,此时111332x y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,反之1132x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时,可以取1x =-,2y =-,不能推出ln ln x y >. 故参考答案：A .本题主要考查逻辑条件的判断,还考查了运算求解的能力,属于基础题.8.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,那么函数()y f x =的图象( ) A.关于点7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B.关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.关于直线712x π=-对称 D.关于直线712x π=对称 【参考答案】B 【试题解析】根据()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,可得推出()()f x f x π+=,即T π=得到2ω=,再由()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得到3x π=是()f x 的一条对称轴,求得()f x 再验证即可.因为()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭, 所以236f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即266f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 所以()()fx f x π+=,所以T π=,所以2ω=, 因为()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 所以3x π=是()f x 的一条对称轴,所以2sin =133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以232k ππϕπ+=+,又2πϕ<, 所以6πϕ=-,所以()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 所以77sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故参考答案：B .本题主要考查函数的基本性质以及三角函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 9.如图是某个闭合电路的一部分,每个元件正常导电的概率为23,则从A 到B 这部分电源能通电的概率为( )A.188243 B.55243 C.95243D.148243【参考答案】A 【试题解析】由并联和串联电路性质先求出从A 到B 电路不能正常工作的概率,再由对立事件的概率求解.从A 到B 电路不能正常工作的概率为1222115115511133333927243P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-⨯=⨯=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以从A 到B 电路能正常工作的概率为15518811243243p P =-=-=.本题主要考查独立事件和对立事件的概率,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 10.已知()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数,且对任意实数x ,都有()2123f x mx -+>,则m 的取值范围是( ) A.22m -<< B.02m <<C.44m -<<D.2m >【参考答案】A 【试题解析】根据()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数,由()00f =,得到a ,再利用函数的单调性,将()()21213f x mx f -+>=恒成立,转化为210x mx -+>恒成立求解. 因为()121x af x =-+是定义域为R 的奇函数 所以由()00f =,得2a =, 而()()21213f x mx f -+>=且()f x 单调递增, 所以210x mx -+>恒成立, 所以240m -<, 解得22m -<<. 故参考答案：A .本题主要考查函数的基本性质以及不等式恒成立问题,还考查了运算求解的能力,属于基础题.11.锐角ABC 的三边分别为,,a b c ,2cos a b B =,则cb的取值范围是( ) A.[)1,3B.1,22⎛⎫⎪⎝⎭C.3⎛ ⎝D.[)1,2【试题解析】 【分析】根据2cos a b B =,由正弦定理得到sin 2sin cos sin 2A B B B ==,再根据ABC 是锐角三角形,分2A B =,2A B π+=两种情况求解. 因为2cos a b B =,所以sin 2sin cos sin 2A B B B ==, 因为ABC 是锐角三角形, 所以当2A B =时,()0,202,202,2B B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩解得64B ππ<<.所以 211sin ,42B ⎛⎫∈⎪⎝⎭, 所以()()2sin 3sin sin 334sin 1,2sin sin sin B c C B B b B B Bπ-====-∈. 当2A B π+=时,B C =,得1cb=. 故参考答案：D .本题主要考查正弦定理以及三角函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 12.已知单调递增的整数列{}n a 共有n 项,11a =,200n a =,且对任意的整数[]2,m n ∈,都存在整数[],1,1i j m ∈-使得m i j a a a =+(,i j 可以相等),则数列{}n a 至少有( )项. A.7B.8C.9D.10【参考答案】D 【试题解析】根据数列的新定义,采用验证推理的方法求解.当10n =时,数列1,2,3,5,10,20,40,80,160,200满足；若有9项,依题意22a =,12m m a a -≤,所以34a ≤,48a ≤,516a ≤,632a ≤,764a ≤,8128a ≤,而9200a =,所以8100a =,750a =,625a =,此时625816a =>+, 所以5a 无法取整数； 显然当8n ≤都不成立. 故参考答案：D .本题主要考查数列的新定义,还考查了分析推理求解的能力,属于难题. 二、填空题13.如果1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32,则展开式中21x 的系数是______. 【参考答案】90- 【试题解析】根据1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32,令1x =解得n ,得到其通项公式,再令x 的指数为-2求解即可.令1x =,得展开式中各项系数之和为2n . 由232n =,得5n =,通项公式为(()()5355215513rrrr r rr r x x T C C ---+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭= 令5322r-=-,得3r = 所以21x的系数是()32351390C -⨯⨯=-. 故答案为：90-本题主要考查二项展开式的系数以及通项公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.14.已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin α=______.【试题解析】根据1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由平方关系得到sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再由角的变换得到sin sin 66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,利用两角差的正弦公式求解.因为1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,故1sin sin in cos cos sin 6666666s ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：16本题主要考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数,还考查了运算求解的能力,属于中档题.15.设抛物线24y x =的焦点为F ,点,A B 的抛物线上,直线AB 过焦点F ,若32BF AF -=,则AF BF 的值为______.【参考答案】12【试题解析】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+,联立方程组214x ty y x =+⎧⎨=⎩,再根据32BF AF -=,结合抛物线定义解得21,x x ,然后由1222px AF p BF x +=+求解.设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+, 联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩,得2440y ty --=, 所以1212044y y t y y >⎧⎪+=⎨⎪=-⎩所以()()()2121212121111ty ty t y y x y y x t ++++==+=⋅因为32BF AF -=, 由抛物线定义得：2132x x -=, 所以112x =,22x =, 故1112212AF BF +==+.故答案为：12本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.16.在三棱锥A BCD -中,2AB BC BD ===,AC AD ==CD =,则三棱锥A BCD -的外接球的半径为______.【试题解析】根据2AB BC BD ===,AC AD ==,由勾股定理得到AB BC ⊥,AB BD ⊥,从而有 AB ⊥平面BCD ,根据截面圆的性质,得到球心到平面BCD 的距离h ,在CBD 中,由余弦定理和正弦定理求得BCD 的外接圆半径r ,再利用球的半径为R =. 如图所示：因为2AB BC BD ===,22AC AD ==由勾股定理得AB BC ⊥,AB BD ⊥,BC BD B =所以AB ⊥平面BCD ,所以球心到平面BCD 的距离为1在CBD 中,由余弦定理得2221cos 22BC BD CD CBD BC BD +-∠==-⋅,所以23CBD π∠=所以BCD 的外接圆半径为123222sin3π⋅=, 415+=5本题主要考查球的外接问题,以及截面圆的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 三、解答题17.已知数列{}n a 中,11a =,()*1122n n n a a n +=-∈N . (1)求证：数列{}2nn a ⋅是等差数列,并求数列{}n a 通项公式；(2)设1nn a b n =+,令{}n b 的前n 项和为n S ,求证：1n S <. 【参考答案】(1)证明见解析；12n n n a +=(2)证明见解析【试题解析】(1)根据11a =,()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ,两边同时乘以2n ,有11221n nn n a a ++⋅-⋅=,再由等差数列定义求解.(2)由(1)知112n n n a b n ==+,再利用等比数列求和公式求解.. (1)∵11a =,()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N , 两边同时乘以2n ,即有11221n n n n a a ++=-,即11221n n n n a a ++⋅-⋅=.又1122a =,所以数列{}2nn a ⋅是首项为2和公差为1的等差数列, 所以21nn a n ⋅=+, 故12n nn a +=. (2)由(1)知112n n n a b n ==+, 所以111122111212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-<-.本题主要考查等差数列的定义以及等比数列的求和公式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90DAB ∠=︒,2BC =,1AD =,PAB △与PAD △都是等边三角形.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A PD C --的余弦值. 【参考答案】(1)证明见解析(2)6- 【试题解析】(1)取BD 的中点为O ,连接,PO AO ,根据PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ,又1AD =,得到PO BD ⊥,再由222PO AO PA +=,得到PO AO ⊥,利用线面垂直的判定定理得到PO ⊥平面ABD ,再利用面面垂直的判定定理证明.(2)由(1)知,,,BD OA OP 两两垂直,以O 为原点,取,,OB OA OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面APD 和平面PDC 一个法向量,由二面角的向量公式求解. (1)如图所示：设BD 的中点为O ,连接,PO AO ,因为PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ,又1AD =, 所以1AD AB AP PD PB =====,所以PO BD ⊥. 在等腰直角三角形ABD 中,易知2AO =, 又ABD PBD △△,所以2PO =所以222PO AO PA +=,所以PO AO ⊥. 又BDOA O =,,BD OA ⊂平面ABD ,所以PO ⊥平面ABD .又PO⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面ABCD.(2)由(1)知,,,BD OA OP两两垂直,以O为原点,取,,OB OA OP分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图3所示的空间直角坐标系,则2,02A⎛⎫⎪⎪⎝⎭,22D⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,22,02C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,20,0,2P⎛⎫⎪⎪⎝⎭.设平面APD一个法向量为()1111,,n x y z=,又22,22DA⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,22,0,22DP⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,所以1111220,22220,22x yx z+=⎪+=⎩,取11x=,得()11,1,1n=--.设平面PDC的一个法向量为()2222,,n x y z=,又()0,2,0DC=-,2222DP⎛=⎝⎭,所以22220,220,x z⎧==,取21x=,得()21,0,1n=-.所以1211116cos,332n n⨯+-⨯-==⨯设二面角A PD C--的大小为,,2πθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以126cos cos,n nθ=-=.本题主要考查线面垂直,面面垂直的判定定理,二面角的向量求法,还考查了转化化归的思想和逻辑推理,运算求解的能力,属于中档题.19.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎,其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒,即2019新型冠状病毒.2020年2月7日,国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”,简称“新冠肺炎”.患者初始症状多为发热、乏力和干咳,并逐渐出现呼吸困难等严重表现.基于目前流行病学调查,潜伏期为1~14天,潜伏期具有传染性,无症状感染者也可能成为传染源.某市为了增强民众防控病毒的意识,举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题,随机抽取10000人,答题成绩统计如图所示.(1)由直方图可认为答题者的成绩z 服从正态分布()2,N μσ,其中2,μσ分别为答题者的平均成绩x 和成绩的方差2s ,那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”,用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众,现从全市中随机抽取4人,“防御知识合格者”的人数为ξ,求()3P ξ≤.(精确到0.001)附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z Nμσ,则()0.6826P z μσμσ-<<+=,()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=,30.84130.595=. 【参考答案】(1)1587人(2)0.499 【试题解析】(1)由频率分布直方图求得x ,z 服从正态分布()2,N μσ根据提供的数据,得到()()22,70.5,14.31N N μσ=,然后通过σ法则求解.(2)由(1)知,成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=,()~4,0.8413B ξ,利用二项分布公式求解.(1)由题意知：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为z 服从正态分布()2,N μσ,其中70.5x μ==,()2204.75D σξ==,14.31σ=,∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=,而()()56198481068.6..2P z P z μσμσ-<<+=<<=, ∴()10.682684.810.15872P z -≥==, ∴竞赛成绩超过84.8的人数估计为0.1587100001587⨯=人. (2)由(1)知,成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=, 而()~4,0.8413B ξ,∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=.本题主要考查频率分布直方图估计总体,正态分布以及二项分布的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20.如图,在平面直角坐标系xOy 中,过原点O 作圆()()22:8R x a y b -+-=的两条切线,切点分别为,A B ,圆心R 的轨迹为C .(1)若AOB ∠为钝角,求四边形OARB 的面积的取值范围； (2)设OA 与OB 的斜率分别为12,k k ,且1212k k =-,OA 与OB 交轨迹C 于,M N ,求22OM ON +的值.【参考答案】(1)()0,8(2)36 【试题解析】(1)设AOR θ∠=,则,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.根据AR =,得到OA =,再由2OARB OAR S S =△求解.(2)根据1:OA y k x =与圆R 相切,=,整理得()222118280ak abk b --+-=,同理()222228280a k abk b --+-=,得到12,k k 是方程()2228280a k abk b --+-=的两根,再由 1212k k =-得到圆心的轨迹方程,由点()11,M x y ,()22,N x y ,在轨迹C 上,结合1212k k =-,由()()2222221122OM ON x y x y +=+++求解.(1)设AOR θ∠=,则,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. AR =OA =,()820,8tan OARB OAR S S θ==∈△.(2)由于1:OA y k x =与圆R 相切,=,整理得()222118280a k abk b --+-=,同理()222228280a k abk b --+-=, 故12,k k 是方程()2228280a k abk b --+-=的两根.所以21228182b k k a -==--,整理得(2212412a b a +=≠±,故轨迹C的方程为(2212412x y x +=≠±.设()11,M x y ,()22,N x y ,由1212k k =-,得121220y y x x +=①,又221112412x y +=,所以2211242x y =-,同理2222242x y =-, 则()()()2222222212121212242242448576x x y y y yy y =--=--+,将①代入得221212y y +=.所以()()()()22222222112212242436OM ON x y x y y y +=+++=-+-=.本题主要考查轨迹方程的求法以及直线与圆的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.21.已知函数()()22ln 1f x x x a x=+-.(1)证明：1ln 1x x≥-+； (2)(i )证明：当102a <<时,对任意0,1a x a ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭,总有()0f x >； (ii )讨论函数()f x 的零点个数.【参考答案】(1)证明见解析(2)(i )证明见解析(ii )当0a ≤或12a =时,函数()f x 有唯一零点；当0a >且12a ≠时,函数()f x 有两个零点 【试题解析】(1)()()1ln 10g x x x x=+->,用导数法求得最小值大于零即可。
2020年四川省巴中市中考数学试题及参考答案(word解析版)
巴中市2020年高招阶段教育学校招生统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣3的绝对值的相反数是（）A．3 B．C．﹣3 D．2．下列四个算式中正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（﹣a2）3＝a6C．a2⋅a3＝a6D．a3÷a2＝a3．疫情期间，某口罩厂日生产量从原来的360万只增加到现在的480万只．把现在的口罩日生产量用科学记数法表示为（）A．3.6×106B．3.6×107C．4.8×106D．4.8×1074．已知一个几何体由大小相等的若干个小正方体组成，其三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体个数为（）A．6 B．7 C．8 D．95．某地区一周内每天的平均气温如下：25℃，27.3℃，21℃，21.4℃，28℃，33.6℃，30℃．这组数据的极差为（）A．8.6 B．9 C．12.2 D．12.66．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（）A．9 B．8 C．6 D．77．关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．08．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺9．如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数（k≠0，x＞0）的交点A坐标为（2，1），当y1≤y2时，x的取值范围是（）A．0＜x≤2 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x≥210．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，AB＝，则⊙O的半径OA的长是（）A．B．2 C．D．311．定义运算：若a m＝b，则log a b＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（）A．﹣1 B．2 C．1 D．4412．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD交于点O，sin∠COD＝，P为AD上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，分别以PE，PF为边向外作正方形PEGH和PFMN，面积分别为S1，S2.则下列结论：①BD＝8；②点P在运动过程中，PE+PF的值始终保持不变，为；③S1+S2的最小值为6；④当PH：PN＝5：6时，则DM：AG＝5：6．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在题中的横线上）13．分解因式：3a3﹣6a2+3a＝．14．函数中自变量x的取值范围是．15．若关于x的分式方程有增根，则m＝．16．如图，在实验桌上有完全相同的烧杯内装有体积相同且无色透明的3种液体，其中1杯酒精，3杯生理盐水，2杯白糖水，从中任取一杯为白糖水的概率是．17．如图，是中国象棋残局图的一部分，请用线段将图中棋子所在的格点按指定方向顺次连接，组成一个多边形．连接顺序为：将→象→炮→兵→马→車→将，则组成的多边形的内角和为度．18．现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径AB＝2，OE＝2；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为．三、解答题（本大题共7小题，共84分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（18分）（1）计算：．（2）解一元二次方程：x（x﹣4）＝x﹣6．（3）先化简：，再从不等式﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．20．（12分）如图所示，△ABC在边长为1cm的小正方形组成的网格中．（1）将△ABC沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并求出A1B1的长度；（2）再将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和．21．（10分）巴中某商场在6月份举行了“年中大促，好物网罗”集赞领礼品活动．为了解参与活动顾客的集赞情况，商场从参与活动的顾客中，随机抽取28名顾客的集赞数，调查数据如下（单位：个）：36262938485948524333186140526455465645433755475266573645整理上面的数据得到如下频数分布表和频数分布直方图：礼品类别集赞数（a）频数一盒牙膏18≤a＜28 2一条毛巾28≤a＜38 5一提纸巾38≤a＜48 m一件牛奶48≤a＜58 9一桶食用油58≤a＜68 n回答下列问题：（1）求频数分布表中m，n的值，并补全频数分布直方图；（2）求以上28个数据的中位数和众数；（3）已知参加此次活动的顾客有364人，领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有多少人？22．（12分）某果农为响应国家“乡村振兴”战略的号召．计划种植苹果树和桔子树共100棵．若种植40棵苹果树，60棵桔子树共需投入成本9600元；若种植40棵桔子树，60棵苹果树共需投入成本10400元．（1）求苹果树和桔子树每棵各需投入成本多少元？（2）若苹果树的种植棵数不少于桔子树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？（3）在（2）的条件下，已知平均每棵苹果树可产30kg苹果，售价为10元/kg；平均每棵桔子树可产25kg枯子，售价为6元/kg，问：该果农怎样选择种植方案才能使所获利润最大？最大利润为多少元？23．（10分）如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛200海里．（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分∠DAB．且OA＝3，AC＝．（1）求证：AD⊥DE；（2）若点P为线段CE上一动点，当△PBE与△ACE相似时，求EP的长．25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y 轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCM≌△POM时，求PM的长；（3）当4S△ABC＝5S△BCP时，求点P的坐标．参考答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣3的绝对值的相反数是（）A．3 B．C．﹣3 D．【知识考点】相反数；绝对值．【思路分析】首先根据绝对值的含义和求法，可得：﹣3的绝对值是3；然后在3的前面加上﹣，求出﹣3的绝对值的相反数是多少即可．【解答过程】解：﹣3的绝对值的相反数是：﹣|﹣3|＝﹣3．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及相反数的含义和求法，要熟练掌握．2．下列四个算式中正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（﹣a2）3＝a6C．a2⋅a3＝a6D．a3÷a2＝a【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐个判断即可．【解答过程】解：A．a2和a3不能合并，故本选项不符合题意；B．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项不符合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不符合题意；D．a3÷a2＝a，故本选项符合题意；故选：D．【总结归纳】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．3．疫情期间，某口罩厂日生产量从原来的360万只增加到现在的480万只．把现在的口罩日生产量用科学记数法表示为（）A．3.6×106B．3.6×107C．4.8×106D．4.8×107【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：480万＝480×104＝4.8×106．故选：C．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．。
2020年1月5日四川省绵阳市高2020届高2017级高三年级第二次诊断性考试理科数学试题参考答案
绵阳市高中2017级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCABB ADBCD AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．3.12 15．23π16．8 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5=0.5．所以阅读时间的中位数m =10．………………………………………………4分 （2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，阅读时长大于等于m 的人数为100×0.5=50人，故列联表为如右图： ………………………8分 K 2的观测值k =2100(25302520)1005050455599⨯⨯−⨯=⨯⨯⨯ ≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．……12分 18．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得112065624.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112.a d =−⎧⎨=⎩， ∴ 23n a n =−．…………………………………………………………………4分 ∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由112168.b b q b q +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1122.b q =⎧⎨=⎩， 或 12182.3b q =⎧⎪⎨=−⎪⎩，(舍) ∴ 1222n n n b −=⨯=．……………………………………………………………7分（2）由（1）得，2112-11+++=1+2+22=21n n n b b b −+++−． ………………9分112=1+(1+)+(1++)+n T b b b …12+(1+++b b …-1)n b +231(21)(21)=+−+−+…(21)n +−123(21)(21)(21)=−+−+−+…(21)n +−2(12)=12n n −−−1=22n n +−−． ………………………………………………12分19．解 ：（1）在△ABC 中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +−=+，即222a b c bc =++． …………………………………3分由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +−==−， ………………………………………5分结合0A π<<，可知23A π=． …………………………………………………6分 （2）在△ABC 中，S △ABC =11sin 22AB AC BAC BC AD ⋅∠=⋅，即a AD =⋅．由已知BC=AD，可得AD =∴ 23bc a =． ……………………………………………………………………9分 在△ABC 中，由余弦定理得2222cos120a b c bc ︒=+−， 即223bc b c bc =++，整理得2()0b c −=，即b =c ， ∴ A =6B π=．∴ 1sin sin62B π==． …………………………………………………………12分 20．解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由OA OB OP ++=0，且点P (-1，1)，得121211x x y y +=+=−，．① ∴ 线段AB 的中点坐标为(1122−， )，其在椭圆内． …………………………2分由222222111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，两式相减得0221222122=−+−y y x x ，整理得2121222122−=−−x x y y ，即21212121()()1()()2y y y y x x x x +−=−+−． 将①代入，得 k AB =212112y y x x −=−． ∴ 直线AB 方程为111()()222y x −−=−，即2x -4y -3=0． ……………………4分联立22122430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪−−=⎩，，消去x 得2242410y y ++=，由韦达定理得121y y +=−，12124y y =． ∴AB =． …………………………………6分 （2）设直线AB 的方程为x =ty +2．由题意得M (x 1，-y 1)． 由已知MN NB λ=，可知M ，N ，B 三点共线，即MB MN k k =． ∴1211210()()y y y n x x x −−−−=−−， 即121121y y y n x x x +=−−， 解得121121()y x x n x y y −=++． ………………………………………………………9分将112x ty =+， 222x ty =+，代入得121222ty y n y y =++．② 联立222202x y x ty ⎧+−=⎨=+⎩，， 消去x 得(t 2+2)y 2+4ty +2=0，由韦达定理得12242t y y t −+=+， 12222y y t =+． ③ …………………………11分 将③代入②得到n =1． ……………………………………………………12分21．解：（1）xax x a x x x f 22)(2+−=−+='(x >0)． ………………………………2分令2)(2+−=ax x x g ，则82−=∆a ．① 当a ≤0或△≤0，即a≤()f x '≥0恒成立，∴ )(x f 在()0+∞，上单调递增． ………………………………………………3分②当00a >⎧⎨∆>⎩，， 即22>a 时，由0)(>'x f ，得2802−−<<a a x 或282++>a a x ；由0)(<'x f ，得282822−+<<−−a a x a a ． ∴ 函数)(x f在(0和)+∞上单调递增，在上单调递减． ………………………………………5分综上所述，当a≤)(xf在()0+∞，上单调递增；当22>a时，)(xf在(0和)+∞上单调递增，在上单调递减．………………………………………………………………………6分（2）由（1）知，当22>a时，)(xf有两极值点12x x，(其中12xx>)，由（1）得12x x，为02)(2=+−=axxxg的两根，于是axx=+21，221=xx．∴)()(21ln2)()(1221221212xxaxxxxxfxf−−−+=−2ln2212212xxxx−−=21212212ln2xxxxxx−−=211212ln2xxxxxx+−=．……………………………………………7分令12xxt=（1>t），则)()()(12thxfxf=−ttt1ln2+−=．∵222222121(1)()10t t th tt t t t−+−−−'=−−==<，∴)(th在(1)+∞，上单调递减．…………………………………………………9分由已知)()()(12xfxfth−=的最大值为232ln2−，而232ln22122ln2)2(−=+−=h．∴t=2．…………………………………………………………………………10分设t的取值集合为T，则只要满足T⊆[2)+∞，且T中的最小元素为2的T集合均符合题意．又212212)(2xxxxa+=21++=tt(t∈T)，易知1()2x ttϕ=++在[2)+∞，上单调递增，结合a>a与t是一一对应关系．而当t=2，即21xx=2时，联合221=xx，解得x2=2，x1=1，进而可得a=3．∴实数a的取值范围为[3)+∞，或[3)+∞，的任意最小元素为3的子集．………………………………………………………………………………12分22．解：（1）将C 1的参数方程化为普通方程为(x -1)2+y 2=r 2． 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得点P (2，3π)的直角坐标为(1，，代入C 1，得23r =， ∴ 曲线C 1的普通方程为(x -1)2+y 2=3．………………………………………3分C 2可化为2222cos sin 1ρθρθ−=，即222(cos sin )1ρθθ−=∴ 曲线C 2的极坐标方程为2cos21ρθ=．……………………………………5分 （2）将点1()A ρα，，2()6B πρα−，代入曲线C 2的极坐标方程，得21cos2=1ρα，22cos(2)=13πρα−，∴2222121111cos 2cos(2)3OAOBπααρρ+=+=+−3cos22)23πααα==+ ． ……………………8分由已知(0)4πα∈，，可得52()336πππα+∈，，于是)3πα+∈．所以2211OA OB +的取值范围是(． ………………………………10分 23．解：（1）由a =4时，12log 2a =−．原不等式化为1212x x +−−−≤，当x ≥12时，x +1-(2x -1)≤-2，解得x ≥4，综合得x ≥4； ………………3分 当-1<12x < 时，121x x ++−≤-2 ，解得x ≤23− ，综合得213x −<−≤；当x ≤-1时，(1)212x x −++−−≤，解得x ≤0，综合得x ≤-1． ………… 4分∴不等式的解集为{x |23x −≤，或x ≥4}．……………………………………6分（2）设函数211()121=31212.2x x f x x x x x x x ⎧⎪−<−⎪⎪=+−−−<⎨⎪⎪−+⎪⎩，，，≤，≥， 画图可知，函数f (x )的最大值为32. 由123log 2a ≤，解得0<a≤10分。
四川省2020版高考数学一模试卷(理科)(II)卷(精编)
四川省2020版高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·重庆模拟) 若复数z满足(2+i)z＝3-i，则z的虚部为（）A . 1B . -1C . iD . -i2. （2分）如图，阴影部分表示的集合是（）A .B .C .D .3. （2分）(2016·嘉兴模拟) 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）．A . 若a⊥b，a⊥α，，则B . 若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC . 若a⊥β，α⊥β，则或D . 若，，则4. （2分）(2017·宝鸡模拟) 在区间[0，2]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，2]的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·山东开学考) 如图，该程序运行后输出的结果为（）A . 1B . 2C . 4D . 166. （2分）已知||=4，||=5，|+|=，则=（）A . -8B . -10C . 10D . 87. （2分）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是A . 4B .C . 2D .8. （2分）(2018·海南模拟) 设，满足约束条件，则的最小值是（）A . 0B . -1C . -2D . -39. （2分） (2019高三上·梅县月考) 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（）A . 是奇函数；B . 的周期是；C . 的图象关于直线对称；D . 的图象关于点对称.10. （2分） (2017高三上·济宁开学考) 设常数a＞0，函数f（x）= 为奇函数，则a的值为（）A . 1B . ﹣2C . 4D . 3二、填空题：. (共5题；共5分)11. （1分） (2020高二上·那曲期末) 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为________．12. （1分） (2017高一下·沈阳期末) 如图，在中，，点在边上，，则的值为________．13. （1分）（x+1）（x﹣2）n的展开式中，x的系数为﹣128，则n=________．14. （1分）(2017·安徽模拟) 定义下凸函数如下：设f（x）为区间I上的函数，若对任意的x1 ，x2∈I总有f（）≥ ，则称f（x）为I上的下凸函数，某同学查阅资料后发现了下凸函数有如下判定定理和性质定理：判定定理：f（x）为下凸函数的充要条件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）为f（x）的导函数f′（x）的导数．性质定理：若函数f（x）为区间I上的下凸函数，则对I内任意的x1 ， x2 ，…，xn ，都有≥f（）．请问：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为________．15. （1分）给出下列四个函数：①y=2x；②y=log2x；③y=x2；④y=．当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的序号是________ ．三、解答题： (共6题；共55分)16. （10分） (2017高一下·静海期末) 在△ABC中，∠A=60°，c= a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．17. （15分） (2017高二下·深圳月考) 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表、表 .表：男生身高频数分布表身高/频数表：女生身高频数分布表身高/频数（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.18. （5分）(2016·淮南模拟) 数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N* ．（Ⅰ）证明：数列{ }是等差数列；（Ⅱ）设bn=3n• ，求数列{bn}的前n项和Sn ．19. （15分） (2016高二上·德州期中) 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= ，H是BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：AB⊥平面BCF；（3）求五面体ABCDEF的体积．20. （5分） (2017高二下·宜春期末) 已知椭圆的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．21. （5分） (2019高三上·承德月考) 已知函数，其中（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题：. (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、。