平面向量数量积的坐标表示ppt
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新教材人教A数学必修二课件：6.3.5平面向量数量积的坐标表示
(2)向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法， 另一种是坐标法，两者相互补充.如果题目中的图形是 等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择 坐标法.
【习练·破】
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知 =(2，3)， =(3，t)，
| |=1，则
A.-3
B.-2
= (C.Au2uBur )
D.3
4
10
4
类型一 数量积的坐标运算
【典例】1.(2019·岳阳高一检测)已知向量a=(2，1)，
b=(-1，k)，a·(2a-b)=0，则k= ( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12
2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，
则
的值为________；
的最大值为
________.
uuur uuur DEgCB
(1)向量模的公式：设a=(x1，y1)，则|a|=
.
两= 点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)x，12＋则y12| |
uuur AB
(x2 x1)2＋(y2 y1)2 .
(2)向量的夹角公式：设两非零向量a=(x1，y1)，b= (x2，y2)，a与b 夹角为θ， 则cos θ=
agb ＝ x1x2＋y1y2 . | a |g| b | x12＋y12 x22＋y22
【思考】 | |的计算公式与解析几何中两点间的距离公式一样 吗？为什么？
提式Au示 是uBur ：完全| 一|的致计的算，公实式际与上解| 析|几即何为中A，两B点两间点的间距的离距公离.
uuur AB
uuur AB
3.已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则|a|=________，a与 b的夹角为________.
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件
k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联 系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系， 利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。 设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt
小结作业
1.a∥b x1 y 2 x2 y1 0 a⊥b x1 x2 y1 y 2 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
例题讲解
例1、设a (5, 7), b (6, 4), 求a b及a、 b夹角的余弦.
变式练习
已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17； （3）17.
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 （新人教A版）
高一数学必修4第2章
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
复习巩固
1、下列命题正确的有___________ 2 2 2 (1)a a (2) a a 2 2 2 (3) a b a b (4) a b a b (5)(0 a) b 0 ( a b) (6)若a b a c, 且a 0, 则b c
复习巩固
2、已知非零向量 AB与向量 AC满足 AB AC AB AC 1 （ + ）BC 0, 且 AB AC AB AC 2 则ABC为（
D
）
A、三边不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 Ｄ、等边三角形
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)
3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，
《平面向量数量积的坐标表示》课件2
3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
4 a b a b , 其中正确的个数为:
A. 4个 B.3个 C. 2个
D
D.1个
2. 已知a, b均为单位向量下列结论正确的是 , :
B
D.a b 0
证明：
AB (2 1,3 2) (1,1)
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
∴ ＡＢ⊥ＡＣ 又∵ ︱ＡＢ︱ ≠ ︱ＡＣ︱
∴△ABC是直角三角形
练习: 书P107，1，2， 书P108习题2.4A第5题（１）
x2 y2 .
2 2
如何计算？
2）、若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则向量AB的 模
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
这就是A、B两点间的距离公式.
探索3： 你能写出向量夹角公式的坐标表示式
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
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解： 1 a b 4 (1) 3 2 2 ， （）
| a | 42 32 5 , | b | 12 22 5 ,
ab 2 2 5 . cos | a || b | 5 5 25
例2. 已知向量 a (4 , 3) , b (1 , 2) . （）求a 与 b 的夹角 ； 1 （）若a b 与 2a b 垂直， 的值. 2 求
ab （3）cos | a || b |
| a |2 或 | a | a a (a a 可简写成a 2 ) 特别地 a a
（4）|a · ≤| a | · b | . b| |
4.数量积的运算律：
a b | a || b | cos
已知向量 、 、 和实数 ， a b c 则
a b x1 x2 y1 y2
性质：
a b x1 x2 y1 y2
2
x 2 y 2 或|a |= （1）设a =（x，y），则 | a |
x2 y2 .
B 若设 A x1 , y1 、 x2 , y2 则 AB
即平面内两点间的距离公式．
x2 x1 2 y2 y1 2
O
i i
x
例题讲解
例1．设a (5,7)， (6,4)，求 (1) a b ; (2) | a b | . b
解： (1) a b 5 (6) (7) (4)
30 28 2.
(2) a b (5 ,7) (6 , 4) (11 ,3)
(3) 若 a b 与 2a b 平行，求 λ 的值 .
解： 2 a b (4 , 3 2 ) , 2a b (7 , 8) , （）
且 (a b) (2a b)，
7(4 ) 8(3 2 ) 0 52 . 9 (3) (a b)//(2a b) ， 8(4 ) 7(3 2 ) 0
| BC | ( 4) 2 ( 1) 2 17 , | AB || BC |
ABC 是等腰直角三角形 .
例4. 已知 a (2 , 1) , b (λ , 1) , 它们的夹角为θ，
问：λ为何值时，θ为直角？锐角？钝角？ 解： a (2 , 1) , b (λ , 1) ,
2.4.2
平面向量
数量积的坐标表示、模、夹角
1.平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · ，即 b
a b | a || b | cos
a 2.数量积的几何意义： b等于 a 的长度 | a | 与
1. 2
例3. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
C(-2,5)
y
证明 : AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
OD (1 , 1 ) , OE ( 1 , 1) 2 2
D
O
1 1 2 4 5 5 2
A
x
故
1 1 2 cosDOE OD OE 5 | OD || OE | 2
巩固练习
（1）已知 a =（4，3），向量 b 是垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知a 10, b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
1 2λ 1 0 且 2 1 λ( 1) 0 .
cos | a θ 为钝角 a b 0 且 a b 1 || b |
2λ 1 0 且 2 1 λ( 1) 0
2
1 且 2. 2
例5. 已知 △ABC，A(2，-1)、B(3，2)、C(-3，-1)，BC边上的高为 AD，求 D点及AD的坐标. 解： 设 D(x，y)， 则由已知得
A
AD ( x 2 ，y 1)， (6 ， 3)， BC AD BC ， AD BC 0 ， 6( x 2) 3( y 1) 0 ， B ① 即 2x y 3 .
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值. 3 4 3 4 答案：（ ） ( , )或b ( , ). 1b 5 5 5 5 （2）（ 2， 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5. 2
| a | ( 2) 2 ( 1) 2 5 , a b 2λ 1 , 2 cos a b | b | 1 , | a || b | 为直角 a b 0 2λ 1 0 1 . 2
cos | 1 θ 为锐角 a b 0 且 a b a || b |
| a b | 112 ( 3) 2 130.
例2. 已知向量 a (4 , 3) , b (1 , 2) . （）求 a 与 b 的夹角 的余弦； 1 （）若a b 与 2a b 垂直， 的值. 2 求
(3) 若 a b 与 2a b 平行，求 λ 的值 .
B(x2,y2)
y
A(x1,y1)
a
j
b
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j
2 2
O
i i
x
x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
在
b
a
的方向上的投影| b | cos 的乘积。
B
b
| b | cos B1
a
A
O
3.由数量积的定义，可得以下重要性质:
a b | a || b | cos
设a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角， 则 b （1）a⊥b a · = 0 （2）当a 与b 同向时， · = | a | | b |， a b a b 当a 与b 反向时， · =－| a | | b |，
B(2,3) A(1,2)
AB ACx0ຫໍສະໝຸດ 三角形 ABC是直角三角形 .
变式： 已知 A(－1, 2), B(3, 1), C(2, －3) 判断ABC的形状. 证明： AB (3 1 ， 2) (4 ， 1) , 1
AC (2 1 ， 3 2) (3， 5) , BC (2 3 ， 3 1) ( 1 ， 4) , AB BC 4 ( 1) (1) (4) 0. AB AC . | AB | 4 2 ( 1) 2 17 , 又
⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律：(a) b (a b) a (b)
⑶分配律：(a b) c a c b c
已知两个非零向量 a=(x1 ，y1) ，b=(x2 ，y2) ，
怎样用 a 和 b 的坐标表示 a · 呢？ b 单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，则 0 1 ① i i _____ ② i j ______ 0 1 ③ j i ______ ④ j j _____
3( x 3) 6( y 2) 0 ，
即 x 2 y 1 . 联立 ① ②解得： x ②
D
C
BD y 又 BD // BC ， ( x 3 ， 2)，BC (6 ， 3)，
y 1 . D(1，1)， (1，2) . AD
例6. 已知正方形 OABC 的边长为 1 ，点D 、 分别为 AB 、 E BC y 的中点，求 DOE 的余弦值． E B C 解： OA 和 OC 所在直线为坐标轴建立 以 直角坐标系， 如图所示. 则由已知条件，可得
（2）向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐 标表示式.
x1 x2 y1 y2 ab cos 2 2 x12 y12 x2 y2 | a || b |
y
A(x1,y1) B(x2,y2)
a
j
a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
b
a // b x1 y2 x2 y1 0
| a | 42 32 5 , | b | 12 22 5 ,
ab 2 2 5 . cos | a || b | 5 5 25
例2. 已知向量 a (4 , 3) , b (1 , 2) . （）求a 与 b 的夹角 ； 1 （）若a b 与 2a b 垂直， 的值. 2 求
ab （3）cos | a || b |
| a |2 或 | a | a a (a a 可简写成a 2 ) 特别地 a a
（4）|a · ≤| a | · b | . b| |
4.数量积的运算律：
a b | a || b | cos
已知向量 、 、 和实数 ， a b c 则
a b x1 x2 y1 y2
性质：
a b x1 x2 y1 y2
2
x 2 y 2 或|a |= （1）设a =（x，y），则 | a |
x2 y2 .
B 若设 A x1 , y1 、 x2 , y2 则 AB
即平面内两点间的距离公式．
x2 x1 2 y2 y1 2
O
i i
x
例题讲解
例1．设a (5,7)， (6,4)，求 (1) a b ; (2) | a b | . b
解： (1) a b 5 (6) (7) (4)
30 28 2.
(2) a b (5 ,7) (6 , 4) (11 ,3)
(3) 若 a b 与 2a b 平行，求 λ 的值 .
解： 2 a b (4 , 3 2 ) , 2a b (7 , 8) , （）
且 (a b) (2a b)，
7(4 ) 8(3 2 ) 0 52 . 9 (3) (a b)//(2a b) ， 8(4 ) 7(3 2 ) 0
| BC | ( 4) 2 ( 1) 2 17 , | AB || BC |
ABC 是等腰直角三角形 .
例4. 已知 a (2 , 1) , b (λ , 1) , 它们的夹角为θ，
问：λ为何值时，θ为直角？锐角？钝角？ 解： a (2 , 1) , b (λ , 1) ,
2.4.2
平面向量
数量积的坐标表示、模、夹角
1.平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · ，即 b
a b | a || b | cos
a 2.数量积的几何意义： b等于 a 的长度 | a | 与
1. 2
例3. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
C(-2,5)
y
证明 : AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
OD (1 , 1 ) , OE ( 1 , 1) 2 2
D
O
1 1 2 4 5 5 2
A
x
故
1 1 2 cosDOE OD OE 5 | OD || OE | 2
巩固练习
（1）已知 a =（4，3），向量 b 是垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知a 10, b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
1 2λ 1 0 且 2 1 λ( 1) 0 .
cos | a θ 为钝角 a b 0 且 a b 1 || b |
2λ 1 0 且 2 1 λ( 1) 0
2
1 且 2. 2
例5. 已知 △ABC，A(2，-1)、B(3，2)、C(-3，-1)，BC边上的高为 AD，求 D点及AD的坐标. 解： 设 D(x，y)， 则由已知得
A
AD ( x 2 ，y 1)， (6 ， 3)， BC AD BC ， AD BC 0 ， 6( x 2) 3( y 1) 0 ， B ① 即 2x y 3 .
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值. 3 4 3 4 答案：（ ） ( , )或b ( , ). 1b 5 5 5 5 （2）（ 2， 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5. 2
| a | ( 2) 2 ( 1) 2 5 , a b 2λ 1 , 2 cos a b | b | 1 , | a || b | 为直角 a b 0 2λ 1 0 1 . 2
cos | 1 θ 为锐角 a b 0 且 a b a || b |
| a b | 112 ( 3) 2 130.
例2. 已知向量 a (4 , 3) , b (1 , 2) . （）求 a 与 b 的夹角 的余弦； 1 （）若a b 与 2a b 垂直， 的值. 2 求
(3) 若 a b 与 2a b 平行，求 λ 的值 .
B(x2,y2)
y
A(x1,y1)
a
j
b
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j
2 2
O
i i
x
x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
在
b
a
的方向上的投影| b | cos 的乘积。
B
b
| b | cos B1
a
A
O
3.由数量积的定义，可得以下重要性质:
a b | a || b | cos
设a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角， 则 b （1）a⊥b a · = 0 （2）当a 与b 同向时， · = | a | | b |， a b a b 当a 与b 反向时， · =－| a | | b |，
B(2,3) A(1,2)
AB ACx0ຫໍສະໝຸດ 三角形 ABC是直角三角形 .
变式： 已知 A(－1, 2), B(3, 1), C(2, －3) 判断ABC的形状. 证明： AB (3 1 ， 2) (4 ， 1) , 1
AC (2 1 ， 3 2) (3， 5) , BC (2 3 ， 3 1) ( 1 ， 4) , AB BC 4 ( 1) (1) (4) 0. AB AC . | AB | 4 2 ( 1) 2 17 , 又
⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律：(a) b (a b) a (b)
⑶分配律：(a b) c a c b c
已知两个非零向量 a=(x1 ，y1) ，b=(x2 ，y2) ，
怎样用 a 和 b 的坐标表示 a · 呢？ b 单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，则 0 1 ① i i _____ ② i j ______ 0 1 ③ j i ______ ④ j j _____
3( x 3) 6( y 2) 0 ，
即 x 2 y 1 . 联立 ① ②解得： x ②
D
C
BD y 又 BD // BC ， ( x 3 ， 2)，BC (6 ， 3)，
y 1 . D(1，1)， (1，2) . AD
例6. 已知正方形 OABC 的边长为 1 ，点D 、 分别为 AB 、 E BC y 的中点，求 DOE 的余弦值． E B C 解： OA 和 OC 所在直线为坐标轴建立 以 直角坐标系， 如图所示. 则由已知条件，可得
（2）向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐 标表示式.
x1 x2 y1 y2 ab cos 2 2 x12 y12 x2 y2 | a || b |
y
A(x1,y1) B(x2,y2)
a
j
a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
b
a // b x1 y2 x2 y1 0