解三角形训练题(提高卷)(解析版)

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专题11.8 三角形内角和定理及其应用(拓展提高)(解析版)

专题11.8 三角形内角和定理及其应用（拓展提高）一、单选题1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1:3:4，那么这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】设三个内角分别为k 、3k 、4k ，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出k ，再求解即可．【详解】解：设三个内角分别为k 、3k 、4k ，由题意得，k +3k +4k =180°，解得k =22.5°，所以，三个内角分别为22.5°、67.5°、90°，所以，这个三角形是直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的形状的判定，利用“设k 法”求解更简便． 2．如图，点A 和点B 恰好分别在GH 和EF 上，GH ∥EF 且BA 平分∠DBE ，若∠C ＝90°，∠CAD ＝32°，则∠BAD 的度数为（）A ．28°B ．29°C ．30°D ．31°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：90C ∠=︒，32CAD ∠=︒，903258ADC ∴∠=︒-︒=︒， //EF GH ，58DBE ADC ∴∠=∠=︒， BA 平分DBE ∠，1292ABE DBE ∴∠=∠=︒，直线//EF 直线GH ，29BAD ABE ∴∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．3．如图，将一块含有45°角的直角三角板的直角顶点放在矩形板的一边上，若135∠=，那么2∠的度数是（）．A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得31∠=∠；结合题意，根据三角形内角和的性质，得4∠；再根据对顶角相等的性质计算，即可得到答案．【详解】如下图根据题意得：3135∠=∠=︒∴4180345100∠=︒-∠-︒=︒∵24∠∠=∴2100∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角、三角形内角和、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、三角形内角和的性质，从而完成求解．4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，则∠BOC 的度数是（）A ．130°B ．60°C ．80°D ．120°【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∵∠BAC ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣80°＝100°，∵BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ， ∴∠OBC +∠OCB ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝12×100°＝50°， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝180°﹣50°＝130°．故选：A ．【点睛】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键． 5．如图，延长ABC ∆的边AC 到点E ，过点E 作//DE BC ，BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠交BG 的反向延长线于点F ，已知34A F ∠=∠，则A ∠的大小为（）A ．75︒B ．74︒C ．72︒D ．70︒【答案】C 【分析】过点F 作FM ∥BC ，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠，然后结合三角形内角和定理可得()11+2=1802A ∠∠︒-∠，然后根据题意列方程求解．【详解】解：过点F 作FM ∥BC∵//DE BC ，∴////FM DE BC又∵BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠ ∴11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠ ∴()1111+2=+180222ABC ACB A ∠∠∠∠=︒-∠ 由题意可得：()34412A GFE ∠=∠=∠+∠∴312=4A ∠+∠∠，()3118042A A ∠=︒-∠，解得：72A ∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理和角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．6．如图，,AB BC AE ⊥平分BAD ∠交BC 于点E ，AE DE ⊥，1290∠+∠=︒，M ，N 分别是,BA CD 延长线上的点，EAM ∠和EDN ∠的平分线交于点F ．下列结论：①//AB CD ；②180AEB ADC ∠+∠=︒；③DE 平分ADC ∠；④F ∠为定值．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠F AD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠F AD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．二、填空题7．将一副三角板如图放置，若//AB CD ，则∠=CFE ________度．【答案】75【分析】根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．【详解】因为//AB CD ，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°，∠=CFE 90°-15°=75°．故CFE ∠的度数是75度．故答案为：75．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，已知//AB CD ，AC 与BD 交于点E ，BD CD ⊥于点D ，若150∠=︒，则2∠=______．【答案】140°【分析】首先根据对顶角相等即可求出∠CED 的度数，再根据三角形的内角和即可求得∠ECD 的度数，根据平行线的性质即可求出∠CAB 的度数，再根据补角的性质即可求解；【详解】∵ ∠1=50°，∴∠CED =50°，∵ 三角形内角和为180°，BD ⊥CD ，∴∠ECD =180°-90°-50°=40°，∵ AB ∥CD ，∴∠EAB =40°，∴∠2=180°-40°=140°，故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，正确掌握知识点是解题的关键； 9．如图，ABC 中30A ∠=︒，E 是AC 边上的点，先将 ABE △沿着BE 翻折，翻折后ABE △的AB 边交AC 于点 D ，又将BCD △沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时 84CDB ∠=︒，则ABC 中ABC ∠=_______ ．【答案】81．【分析】在图(1)的ABC 中，根据三角形内角和定理，可求得150B C ∠+∠=︒；结合折叠的性质和图(2)(3)可知： 3B CBD ∠=∠，即可在CBD 中，得到另一个关于 B C ∠∠、度数的等量关系式，联立两式即可求得 B 的度数．【详解】解：在ABC 中，30A ∠=︒，则150B C ∠+∠=︒①；根据折叠的性质知：3B CBD ∠=∠，BCD C ∠=∠；在CBD 中，则有：18084CBD BCD ∠+∠=︒-︒，即：9136B C ∠+∠=︒ ②； ①-②，得：2543B ∠=︒，解得81B ∠=︒故答案为：81．【点睛】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B 和∠CBD 的倍数关系是解答此题的关键．10．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，将三角形沿EF 对折，使点C 与边AB 上的D 点重合．若2EFD AED ∠=∠，则AED ∠的度数为____________．【答案】40°【分析】设∠EFD =2∠AED =2x ，由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，由三角形内角和定理得出∠CEF =150°-2x ，再由∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，列出方程即可求出∠AED =40°．【详解】解：设∠EFD =2∠AED =2x ．由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，在△DEF 中，∠DEF =180°-∠EDF -∠EFD =180°-30°-2x =150°-2x ， ∴∠CEF =150°-2x ，∵∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，∴150°-2x +150°-2x +x =180°，解得x =40°，即∠AED =40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了折叠问题，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键．11．如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB 上跑至B 点，向上跃起至最高点P ，然后落在点C 处，继续在水平面CD 上跃起落在点D ，若ABK ∠和KCD ∠的平分线的反向延长线刚好交于最高点P ，88BKC ∠=︒，则P ∠=_______度．【答案】46【分析】延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F ，利用角平分线的定义及平行线的性质可得13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠，1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒，求得268ABK DCK ∠+∠=︒，从而得到()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒，然后结合三角形内角和定理求解．【详解】解：延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F由题意可得：AB ∥CD ∥KM ，PE 平分∠ABK ，PF 平分∠DCK∴13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠ 1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒又∵∠BKC =88°∴1+2+180BKC ∠∠∠=︒180180180ABK DCK BKC ︒-∠+︒-∠+∠=︒，即268ABK DCK ∠+∠=︒∴()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒ ∴()1803446P ∠=︒-∠+∠=︒故答案为：46．【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，理解相关性质定理正确推理计算是解题关键．12．如图，EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分EFG ，交线段EG 于点H ，若36AEF ∠=︒，57BEG ∠=︒，则EHF ∠的大小为________．【答案】75°．【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．【详解】解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°∴∠FEH =180°-∠AEF -∠BEG =87°∵ //AB CD∴∠EFG =∠AEF =36°∵FH 平分∠EFG∴∠EFH =12∠EFG =18° ∴∠EHF =180°-∠FEH -∠EFH =75°故答案为：75.︒【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．13．如图，BF 平分ABD ∠，CE 平分ACD ∠，BF 与CE 交于G ，若120BDC ∠=︒，90BGC ∠=︒，则A ∠的度数为________．【答案】60°【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC +∠DCB 的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC +∠ACB 的度数，从而求得∠A 的度数．【详解】解：连接BC ．∵∠BDC =120°，∴∠DBC +∠DCB =180°-120°=60°，∵∠BGC =90°，∴∠GBC +∠GCB =180°-90°=90°，∵BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，∴∠GBD +∠GCD =12∠ABD +12∠ACD =30°， ∴∠ABD +∠ACD =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠A =180°-120°=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 14．如图，在ABC 中，30B ，90BAC ︒∠=，点P 是BC 的动点（不与点B ，C 重合），AI 、CI 分别是PAC ∠和PCA ∠的角平分线，AIC ∠的取值范围为m AIC n <∠<，则m =_______，n =________．【答案】105°150° 【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∠AIC ，从而得到m ，n 的值即可．【详解】解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，∵∠BAC=90°，∴∠PCA=60°，∠PAC=90°-α， ∵AI 、CI 分别平分∠PAC ，∠PCA ，∴∠IAC=12∠PAC ，∠ICA=12∠PCA ，∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA ） =180°-12（∠PAC+∠PCA ） =180°-12（90°-α+60°） =12α+105°， ∵0＜α＜90°，∴105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∠AIC ＜150°， ∴m=105°，n=150°．故答案为：105°，150°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．三、解答题15．如图，BD 是ABC ∠的平分线，//DE CB ，交AB 于点E ，150BED ∠=︒，60BDC ∠=︒，求A ∠的度数．【答案】∠A =45°【分析】首先根据平行线的性质求出∠ABC 的度数，再根据角平分线的性质求出∠CBD 的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠A 的度数即可．【详解】解：∵DE ∥CB ，∴∠BED +∠ABC =180°，∵∠BED =150°，∴∠ABC =30°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴1152CBD ABC ∠=∠=︒， ∵∠BDC =60°，∴∠C =105°，∴∠A =180°-∠ABC -∠C =45°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关定理，正确识图，求得∠C 的度数是解题关键．16．如图，在ABC 中，AE 平分∠BAC ，AD 是BC 边上的高．（1）在图中将图形补充完整；（2）当∠B ＝28°，∠C ＝72°时，求∠DAE 的度数；（3）∠DAE 与∠C ﹣∠B 有怎样的数量关系？写出结论并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）22°；（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠，证明见解析【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）在ABC ∆中，利用三角形内角和定理可求出BAC ∠的度数，结合角平分线的定义可求出CAE ∠的度数，由AD 是BC 边上的高，可求出CAD ∠的度数，再结合DAE CAE CAD ∠=∠-∠即可求出结论；（3）根据题意可以用B 和C ∠表示出CAD ∠和CAE ∠，从而可以得到DAE ∠与C B ∠-∠的关系．【详解】解：（1）如图，（2）在ABC ∆中，28B ∠=︒，72C ∠=︒，18080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，AE ∵平分BAC ∠，1402CAE BAC ∴∠=∠=︒， AD 是BC 边上的高，AD BC ∴⊥，9018CAD C ∴∠=︒-∠=︒，401822DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠，理由：在ABC ∆中，AD ，AE 分别是ABC ∆的高和角平分线， 180CAB B C ∴∠=︒-∠-∠，90CAD C ∠=︒-∠，1(180)2CAE B C ∠=︒-∠-∠， 11(180)(90)()22DAE B C C C B ∴∠=︒-∠-∠-︒-∠=∠-∠．【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 17．如图，在ABC 中，BE 是ABC 角平分线，点D 是AB 上的一点，且满足DEB DBE ∠=∠．（1）DE 与BC 平行吗？请说明理由；（2）若50C ∠=︒，45A ∠=︒，求DEB ∠的度数．【答案】（1）//,DE BC 理由见解析；（2）42.5.︒【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE =∠EBC ，从而求出∠DEB =∠EBC ，再利用内错角相等，两直线平行即可证明；（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC =∠ADE ，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得到答案．【详解】解：（1）DE ∥BC理由如下：∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC∵∠DEB =∠DBE∴∠DEB =∠EBC∴ DE ∥BC ；（2）在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠C =180°∴∠ABC =180°-∠A-∠C =85°∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC =42.5°∴∠DEB =∠EBC =42.5°【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，准确识别图形是解题的关键．18．阅读下列材料，并完成相应任务．三角形的内角和小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：如图1，已知：三角形ABC ．求证180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒证法一：如图2，过点A 作直线//DE BC ，∵//DE BC∴ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠∵180DAB BAC CAE ∠+∠+∠=︒∴180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒，即三角形内角和是180︒证法二：如图3，延长BC 至M ，过点C 作//CN AB …证法一的思路是用平行线的性质得到ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180︒，这种方法主要体现的数学思想是转化思想，请运用这一思想将证法二补充完整．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，由平角的定义得到∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，等量代换即可得到结论．【详解】解：证明：∵CN ∥AB∴∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，∵∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，∴∠ACB +∠BAC+∠ABC =180°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．19．如图，MN //PQ ，点A ，B 分别在直线MN ，PQ 上，若射线AN 绕点A 逆时针旋转至AM 后立即回转，射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 后立即回转，两射线分别绕点A ，点B 不停地旋转，若射线AN 转动的速度是a ︒/秒，射线BP 转动的速度是b ︒/秒，且a ，b 满足方程组32527a b a b -=⎧⎨+=⎩．（1）求a ，b 的值；（2）若射线AN 和射线BP 同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直？【答案】（1）3a =，2b =；（2）至少旋转18秒时，射线AN 与射线BP 互相垂直．【分析】（1）解二元一次方程组，即可求得a 和b 的值；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，根据直角三角形两锐角互余和平行线的性质可得2x °+3x °=90°，求解即可．【详解】解：（1）32527a b a b -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得：412a =，解得3a =，将3a =代入②得327b +=，解得2b =，所以原方程组的解为：32a b =⎧⎨=⎩，即3a =，2b =；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，记旋转后的两条射线交于点C ，连接AB ，如图，则∠BCA =90°，由已知得∠PBC=2x°，∠NAC=3x°，∵MN//PQ，∴∠PBA+∠BAN=180°，∵∠BCA=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠PBC+∠NAC=90°，∴2x°+3x°=90°，x=，解得18答：至少旋转18秒时，射线AN与射线BP互相垂直．【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解二元一次方程组．（1）中掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解题关键；（2）能根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余列出方程是解题关键．∠交CD于20．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分AEF ∠=∠．点M，且FEM FME（1）猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；∠交CD于点H，过点H作（2）若点G为直线CD上一动点（不与点M，F重合），EH平分FEG∠=．∠=，EGFβ⊥于点N，设EHNαHN EMβ=︒，求α的度数；①如图2，当点G在射线FD上运动时，若56②当点G 在直线CD 上运动时，请直接写出α和β的数量关系．【答案】（1）AB ∥CD ，理由见解析过程；（2）28°；（3）α=12β或α=90°-12β 【分析】（1）结论：//AB CD ．只要证明AEM EM D ∠=∠即可．（2）①依据平行线的性质可得124AEG ∠=︒，再根据EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，即可得到1622HEN AEG ∠=∠=︒，再根据HN ME ⊥，即可得到Rt EHN ∆中，906228EHN ∠=︒-︒=︒；②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，12αβ=，当点G 在点F 的左侧时，1902βα︒=-．【详解】解：（1）结论：//AB CD ．理由：如图1中，EM 平分AEF ∠交CD 于点M ，AEM M EF ∴∠=∠，FEM FM E ∠=∠．AEM FM E ∴∠=∠，//AB CD ∴．（2）①如图2中，//AB CD ，56BEG EGF β∴∠=∠==︒，124AEG ∴∠=︒，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，1622HEN MEF HEF AEG ∴∠=∠+∠=∠=︒，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，9028EHN HEN α∴=∠=︒-∠=︒．②结论：12αβ=或1902βα︒=-．理由：①当点G 在F 的右侧时，可得12αβ=． //AB CD ，BEG EGF β∴∠=∠=，180AEG β∴∠=︒-，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，119022HEN MEF HEF AEG β∴∠=∠+∠=∠=︒-，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，1902EHN HEN αβ∴=∠=︒-∠=．②当点G 在F 的左侧时，可得1902βα︒=-．理由：//AB CD ，AEG EGF β∴∠=∠=，又EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，12HEF FEG ∴∠=∠，12MEF AEF ∠=∠，M EH M EF H EF ∴∠=∠-∠1()2AEF FEG =∠-∠12AEG =∠1 2β=，又HN ME⊥，Rt EHN∴△中，90EHN MEH∠=︒-∠，即1902βα︒=-．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义等知识是解题的关键．。

第十一章三角形(能力提升)(解析版)

第十一章三角形能力提升卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________（考试时间：60分钟试卷满分：120分）一．选择题(每题3分,共计30分)1.至少有两边相等的三角形是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形【答案】B 【解析】本题中三角形的分类是：等腰三角形{两边相等：等腰三角形{直角三角形锐角三角形钝角三角形三边相等：等边三角形．故选：B ．2．（2020 •宜兴市期中）在如图的△ABC 中，正确画出AC 边上的高的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据三角形高线的定义，AC 边上的高是过点B 向AC 作垂线垂足为D ，纵观各图形，A 、B 、D 都不符合高线的定义，C 符合高线的定义．故选：C ．3．（2019•浉河区月考）如图已知BE ＝CE ，ED 为△EBC 的中线，BD ＝8，△AEC 的周长为24，则△ABC 的周长为（）A ．40B ．46C ．50D ．56【答案】A【解析】∵△ABC的周长为24，∴AE+EC+AC＝24，∵EB＝EC，∴AE+EB+AC＝AB+AC＝24，∵BD＝CD＝8，∴BC＝16，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝24+16＝40，故选：A．4．（2020•洛龙区月考）已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a【答案】A【解析】∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b ﹣c）；故选：A．5．（2020•郑州二模）将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A＝60°，∠F＝45°），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠AEF的度数为（）A．145°B．155°C．165°D．170°【答案】C【解析】∵∠A＝60°，∠F＝45°，∴∠1＝90°﹣60°＝30°，∠DEF＝90°﹣45°＝45°，∵ED∥BC，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．∴∠AEF＝180°﹣∠CEF＝165°，故选：C．6．（2019 •内乡县期末）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（）A．20°B．30°C．40°D．60°【答案】B【解析】∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠EDC＝∠DBC+∠C，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠A+∠C+∠ABC，∴120°＝40°+20°+∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=1∠ABC＝30°，故选：B．27．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°【答案】B【解析】∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°，∴∠COA＝90°﹣20°＝70°，∴∠BOC＝90°+70°＝160°．故选：B．8．（2020•广饶县一模）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°【答案】C【解析】∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A +∠B ）＝360°﹣90°＝270°．故选：C ．9．（2019 •淅川县期末）△ABC 的两边是方程组{x +2y =104x +3y =20的解，第三边长为奇数．符合条件的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】方程组{x +2y =104x +3y =20的解为：{x =2y =4，∵△ABC 的两边是方程组{x +2y =104x +3y =20的解，第三边长为奇数，∴2＜第三边长＜6，1∴第三边长可以为：3，5．∴这样的三角形有2个．故选：B ．10.（2020•新密市期末）已知，如图，在△ABC 中，∠C ＝150°，点E 是边AB 上点，∠DEF ＝65°，则∠ADE +∠BFE ＝（）A ．180°B ．215°C ．205°D ．185°【答案】B【解析】在四边形CDEF 中，∵∠C +∠CDE +∠CFE +∠DEF ＝360°，又∵∠C ＝150°，∠DEF ＝65°，∴∠CDE +∠CFE ＝360°°﹣65°﹣150°＝145°，∴∠ADE +∠EFB ＝360°﹣（∠CDE +∠CFE ）＝215°，故选：B ．二．填空题(每题3分,共计15分)11．（2019•双柏县一模）已知三角形两边的长分别为5、2，第三边长为奇数，则第三边的长为．【答案】5【解析】第三边x 的范围是：3＜x ＜7．∵第三边长是奇数，∴第三边是5cm ．故答案为：5．12．（2020•广东二模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝．【答案】105°【解析】给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴∠1＝∠3＝105°．故答案为：105°．13．（2020•老城区月考）如图中，若BD 、CD 为角平分线，且∠A ＝50°，∠E ＝130°，∠则∠D ＝度．【答案】90【解析】连接BC ，∵∠E ＝130°，∠A ＝50°，∴∠EBC +∠ECB ＝180°﹣130°＝50°，∠ABC +∠ACB ＝180°﹣50°＝130°，∴∠ABE +∠ACE ＝130°﹣50°＝80°，∵BD 、CD 为角平分线，∴∠DBE =12∠DCE =12∠ACE ，∴∠DBE +∠DCE =12（∠ABE +∠ACE ）＝40°， ∴∠D ＝180°﹣（∠DBC +∠DCB ）＝180°﹣（∠DBE +∠DCE ）﹣（∠EBC +∠ECB ）＝180°﹣（40°+50°）＝90°，故答案为：90．14．（2019 •宛城区期末）如图所示，∠1＝130°，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数为．【答案】260°【解析】如图：∠1＝∠B+∠C，∠DME＝∠A+∠E，∠ANF＝∠F+∠D，∵∠1＝∠DME+∠ANF＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2×130°＝260°．故答案为：260°．15．（2019 •宛城区期末）如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为．【答案】55°或85°【解析】∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，当∠CB′M∠BMB′＝75°，∴∠MNB′＝180°＝90°，∴∠CMB′＝90°﹣60°＝30°，由折叠的性质可知：∠NMB′=12﹣75°﹣50°＝55°，当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°，∠MNB′＝180°﹣50°﹣45°＝85°，故答案为55°或85°．三．解答题（共75分）16．(8分)（2020•殷都区期中）如果一个多边形的每个外角都相等，且比内角小36°，求这个多边形的边数和内角和．【解析】设多边形的一个外角为x度，则一个内角为（x+36）度，依题意得x+x+36＝180，解得x＝72．360°÷72°＝5．（5﹣2）×180°＝540°故这个多边形的边数为5，内角和是540°．17. (9分)（2019 •内乡县期末）如图，在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是．（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．【解析】（1）∵在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，∴1＜CD＜4，∵CD的长为偶数，∴CD的取值是2．故答案为2；（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°，又∵∠A＝55°，∴∠C＝70°．18．(9分)已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．【解析】（1）∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3…90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2＝2+2＝4．答：甲同学说的边数n是4；（2）依题意有（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝360°，解得x＝2．故x的值是2．19．(9分)（2019 •内乡县期末）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠CDA ．（1）求证：BE ∥DF ；（2）若∠ABC ＝56°，求∠ADF 的大小．【解析】（1）证明：∵∠A ＝∠C ＝90°，∴∠ABC +∠ADC ＝180°，∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，∴∠1＝∠2=12∠ABC ，∠3＝∠4=12∠ADC ， ∴∠1+∠3=12（∠ABC +∠ADC ）=12×180°＝90°，又∠1+∠AEB ＝90°，∴∠3＝∠AEB ，∴BE ∥DF ；（2）解：∵∠ABC ＝56°，∴∠ADC ＝360°﹣∠A ﹣∠C ﹣∠ABC ＝124°，∵DF 平分∠CDA ，∴∠ADF =12∠ADC ＝62°．20．(9分)（2019 •东阿县期末）如图，已知D 为△ABC 边BC 延长线上一点，DF ⊥AB 于F ，且交AC 于E ，∠A ＝30°，∠D ＝55°（1）求∠ACD 的度数；（2）求∠FEC 的度数．【解析】（1）∵DF ⊥AB ，∴∠BFD ＝90°，∴∠B ＝90°﹣∠D ＝35°，∵∠ACD ＝∠B +∠A ，∠A ＝30°，∴∠ACD ＝65°．（2）∵∠FEC ＝∠ECD +∠D ，∠ECD ＝65°，∠D ＝55°，∴∠FEC ＝55°+65°＝120°．21．(10分)（2019 •上蔡县期末）如图，△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠C ＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数．【解析】∵∠CAB ＝50°，∠C ＝60°∴∠ABC ＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD 是高，∴∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝180°﹣90°﹣∠C ＝30°，∵AE 、BF 是角平分线，∴∠CBF ＝∠ABF ＝35°，∠EAF ＝25°，∴∠DAE ＝∠DAC ﹣∠EAF ＝5°，∠AFB ＝∠C +∠CBF ＝60°+35°＝95°，∴∠BOA ＝∠EAF +∠AFB ＝25°+95°＝120°，∴∠DAC ＝30°，∠BOA ＝120°．故∠DAE ＝5°，∠BOA ＝120°．22．(10分)（2019 •卫辉市期末）如图，已知∠MON ＝90°，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动，∠OAB 的平分线与∠OBA 的外角平分线交于点C ．（1）当OA ＝OB 时，∠ACB ＝ 45° ．（2）请你猜想：随着A 、B 两点的移动，∠ACB 的度数大小是否变化？请说明理由．【解析】（1）∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，∴∠OBD ＝135°，∵∠OAB 的平分线与∠OBA 的外角平分线交于点C ，∴∠OBC ＝67.5°，∠CAB ＝22.5°∴∠ACB ＝180°﹣67.5°﹣45°﹣22.5°＝45°故答案为45°．（2）随着A 、B 两点的移动，∠ACB 的度数大小不会变化．理由如下：∵AC 平分∠OAB ∴∠BAC ＝∠OAC =12∠OAB ，∵BC 平分∠OBA 的外角∠OBD ∴∠CBD ＝∠OBC =12∠OBD ， ∵∠OBD 是△AOB 的一个外角∴∠OBD ＝∠MON +∠OAB ＝90°+∠OAB ∴∠CBD =12∠OBD =12（90°+∠OAB ）＝45°+12∠OAB ∵∠CBD 是△ABC 的一个外角∴∠CBD ＝∠ACB +∠BAC ∴∠ACB ＝∠CBD ﹣∠BAC ＝45°+12∠OAB −12∠OAB＝45°．23．(11分)问题情景：如图1，在同一平面内，点B 和点C 分别位于一块直角三角板PMN 的两条直角边PM ，PN 上，点A 与点P 在直线BC 的同侧，若点P 在△ABC 内部，试问∠ABP ，∠ACP 与∠A 的大小是否满足某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若∠A ＝55°，则∠ABC +∠ACB ＝ 125 度，∠PBC +∠PCB ＝ 90 度，∠ABP +∠ACP ＝ 35 度；（2）类比探索：请猜想∠ABP +∠ACP 与∠A 的关系，并说明理由；（3）类比延伸：改变点A 的位置，使点P 在△ABC 外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP ，∠ACP 与∠A 满足的数量关系式．【解析】（1）由题意：∠ABC +∠ACB ＝125度，∠PBC +∠PCB ＝90度，∠ABP +∠ACP ＝35度．故答案为125，90，35．（2）猜想：∠ABP +∠ACP ＝90°﹣∠A ．理由：在△ABC 中，∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ，∵∠ABC ＝∠ABP +∠PBC ，∠ACB ＝∠ACP +∠PCB ，∴（∠ABP +∠PBC ）+（∠ACP +∠PCB ）＝180°﹣∠A ，∴（∠ABP +∠ACP ）+（∠PBC +∠PCB ）＝180°﹣∠A ，又∵在Rt △PBC 中，∠P ＝90°，∴∠PBC +∠PCB ＝90°，∴（∠ABP +∠ACP ）+90°＝180°﹣∠A ，∴∠ABP +∠ACP ＝90°﹣∠A ．（3）判断：（2）中的结论不成立．①如图3﹣1中，结论：∠A +∠ACP ﹣∠ABP ＝90°．理由：设AB 交PN 于O ．∵∠AOC＝∠BOP，∴∠A+∠ACP＝90°+∠ABP，∴∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．②如图3﹣2中，结论：∠A+∠ABP﹣∠ACP＝90°．证明方法类似①③如图3﹣3中，结论：∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝∠P+∠ABP+∠ACP，∴∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．。

2022-2023学年人教版八年级数学上学期期末复习通关练第十一章三角形(提高卷)(解析版)

2022-2023学年人教版八年级上册期末真题单元冲关测卷（提高卷）第十一章三角形一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）1．（2分）（2020春•雨花区期末）如图，已知CD 和BE 是ABC ∆的角平分线，60A ∠=︒，则(BOC ∠= )A ．60︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：60A ∠=︒，18060120ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒， CD 和BE 是ABC ∆的角平分线， 111()60222OBC OCB ABC ACB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， 180()120BOC OBC OCB ∴∠=︒-∠+∠=︒，故选：C ．2．（2分）（2020春•义乌市期末）如图，在ABC ∆中，B C α∠+∠=，按图进行翻折，使////B D C G BC ''，//B E FG '，则C FE '∠的度数是( )A ．2αB ．902α︒- C ．90α-︒ D ．2180α-︒【解答】解：设ADB γ∠'=，AGC β∠'=，CEB y ∠'=，C FE x ∠'=，//B D C G ''，B C γβα∴+=∠+∠=，//EB FG '，CFG CEB y ∴∠=∠'=，2180x y ∴+=︒①，2y B γ+=∠，2x C β+=∠，2y x γβα∴+++=，x y α∴+=②，②2⨯-①可得2180x α=-︒，2180C FE α∴∠'=-︒．故选：D ．3．（2分）（2020春•海淀区校级期末）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，//CD AB ，36ACD ∠=︒，那么B ∠的度数为( )A ．144︒B ．54︒C ．44︒D ．36︒【解答】解：//AB CD ， 36A ACD ∴∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，903654B ∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．（2分）（2019秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为( )A ．14或15B ．13或14C ．13或14或15D ．14或15或16【解答】解：如图，n 边形，123n A A A A ⋯，若沿着直线13A A 截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，若沿着直线1A M 截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，若沿着直线MN 截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的四边形为13或14或15，故选：C ．5．（2分）（2019秋•潮州期末）如图，在ABC ∆中，32B ∠=︒，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是( )A ．32︒B ．45︒C ．60︒D ．64︒【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：32D B ∠=∠=︒，根据外角性质得：13B ∠=∠+∠，32D ∠=∠+∠，1222264D B B ∴∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠+︒，1264∴∠-∠=︒．故选：D ．6．（2分）（2019秋•兰州期末）ABC ∆的三个内角A ∠，B ∠，C ∠满足关系式3B C A ∠+∠=∠，则此三角形( )A ．一定是直角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定有一个内角为45︒D ．一定有一个内角为60︒【解答】解：180A B C ∠+∠+∠=︒又3B C A ∠+∠=∠，4180A ∴∠=∠︒，45A ∴∠=︒，ABC ∴∆一定有一个内角是45︒，故选：C ．7．（2分）（2019秋•义安区期末）如图，将ABC ∆沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处，若1131∠=︒，则2∠的度数为( )A ．49︒B ．50︒C ．51︒D ．52︒【解答】解：由折叠得：HOG B ∠=∠，DOE A ∠=∠，EOF C ∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=︒，180HOG DOE EOF ∴∠+∠+∠=︒，12360HOG DOE EOF ∠+∠+∠+∠+∠=︒，12180∴∠+∠=︒，1131∠=︒，218013149∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）8．（2分）（2020春•竞秀区期末）如图1，ABC ∆中，有一块直角三角板PMN 放置在ABC ∆上(P 点在ABC ∆内），使三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C ．（1）若52A ∠=︒，则12∠+∠= 38 ︒；（2）如图2，改变直角三角板PMN 的位置；使P 点在ABC ∆外，三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 仍然分别经过点B和点C，1∠的关系是．∠与A∠，2【解答】解：（1）52A∠=︒，∴∠+∠=︒-︒=︒，18052128ABC ACBP∠=︒，90∴∠+∠=︒，PBC PCB90ABP ACP∴∠+∠=︒-︒=︒，1289038即1238∠+∠=︒．故答案为：38；（2）2190A∠-∠=︒-∠．理由如下：在ABCABC ACB A∠+∠=︒-∠，∆中，180∠=︒，MPN90PBC PCB∴∠+∠=︒，90ABC ACB PBC PCB A∴∠+∠-∠+∠=︒-∠-︒，()()18090即90∠+∠+∠-∠-∠-∠=︒-∠，ABC ACP PCB ABP ABC PCB A∴∠-∠=︒-∠．ACP ABP A90即2190A∠-∠=︒-∠；故答案为：2190A∠-∠=︒-∠．9．（2分）（2020春•鼓楼区期末）如图，直线a、b、c、d互不平行，以下结论正确的是①②③．（只填序号）①125∠+∠=∠；②134∠+∠=∠；③1236∠+∠+∠=∠；④3425∠+∠=∠+∠．【解答】解：由三角形外角的性质可知：512∠=∠+∠，413∠=∠+∠，64235∠=∠+∠=∠+∠， 6123∴∠=∠+∠+∠，故①②③正确，故答案为①②③．10．（2分）（2020春•裕华区期末）（1）新冠肺炎疫情发生以来，我国人民上下齐心，共同努力抗击疫情，逐渐取得了胜利．截止3月13日，我国各级财政安排的疫情防控投入已经达到了1169亿元，1169亿元用科学记数法表示 111.16910⨯ 元．（2）已知102m =，103n =，则210m n += ．（3）在ABC ∆中，4A B ∠=∠，且60C B ∠-∠=︒，则B ∠的度数是．（4）如图（1），在三角形ABC 中，38A ∠=，72C ∠=︒，BC 边绕点C 按逆时针方向旋转一周回到原来的位置（即旋转角0360)α︒︒，在旋转过程中（图2)，当//CB AB '时，旋转角为度；当CB 所在直线垂直于AB 时，旋转角为度．【解答】解：（1）1169亿8116910=⨯元111.16910=⨯（元)．故答案为111.16910⨯．（2）2222101010(10)(10)2318m n m n m n +=⨯=⨯=⨯=，故答案为18．（3）4A B ∠=∠，且60C B ∠-∠=︒，60C B ∴∠=︒+∠，460180B B B ∴∠+∠+︒+∠=︒，20B ∴∠=︒，故答案为20︒（4）在三角形ABC 中，38A ∠=︒，72C ∠=︒，180387270B ∴∠=︒-︒-︒=︒，如图1，当//CB AB '时，旋转角70B =∠=︒，当//CB AB ''时，38B CA A ∠''=∠=︒， ∴旋转角3603872250=︒-︒-︒=︒，综上所述，当//CB AB '时，旋转角为70︒或250︒；如图2，当CB AB '⊥时，907020BCB ∠''=︒-︒=︒，∴旋转角18020160=︒-︒=︒，当CB AB ''⊥时，旋转角180160340=︒+︒=︒，综上所述，当CB AB '⊥时，旋转角为160︒或340︒；故答案为：70或250；160或340．11．（2分）（2020春•雨花区期末）如图，若30A ∠=︒，105ACD ∠=︒，则EBC ∠= 105 ︒．【解答】解：ACD A ABC ∠=∠+∠，10530ABC ∴︒=︒+∠，75ABC ∴∠=︒，180105EBC ABC ∴∠=︒-∠=︒，故答案为105．12．（2分）（2015春•金牛区期末）如图，ABC ∆的外角平分线CP 和内角平分线BP 相交于点P ，若80BPC ∠=︒，则CAP ∠= 10︒ ．【解答】解：延长BA ，作PN BD ⊥于点N ，PF BA ⊥于点F ，PM AC ⊥于点M ，设PCD x ∠=︒， CP 平分ACD ∠，ACP PCD x ∴∠=∠=︒，PM PN =， BP 平分ABC ∠，ABP PBC ∴∠=∠，PF PN =，PF PM ∴=，80BPC ∠=︒，(80)ABP PBC x ∴∠=∠=-︒，2(80)(80)160BAC ACD ABC x x x ∴∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒-︒=︒， 20CAF ∴∠=︒，在Rt PFA ∆和Rt PMA ∆中，PA PA PM PF =⎧⎨=⎩， Rt PFA Rt PMA(HL)∴∆≅∆，10FAP PAC ∴∠=∠=︒．故答案为10︒．13．（2分）（2011春•成都校级期末）ABC ∆中，A x ∠=，B ∠、C ∠的角平分线的夹角为y ，则y 与x 之间的关系可以表示为 1902y x =︒+．．【解答】解：PB 、PC 是B ∠、C ∠的角平分线，1122ABC ∴∠=∠=∠，1342ACB ∠=∠=∠， 11113()222ABC ACB ABC ACB ∴∠+=∠+∠=∠+∠， 180(13)y =︒-∠+∠，180ABC ACB x ∠+∠=︒-，11180(180)9022y x x ∴=︒-︒-=︒+．故答案为1902y x =︒+．14．（2分）（2019春•崇川区校级期末）如图，在ABC ∆中，40BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，D 为ABC ∆形外一点，DA 平分BAC ∠，且50CBD ∠=︒，求DCB ∠= 60︒ ．【解答】解：如图，延长AB 到P ，延长AC 到Q ，作DH AP ⊥于H ，DE AQ ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．4060100PBC BAC ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，50CBD ∠=︒， DBC DBH ∴∠=∠，DF BC ⊥，DH BP ⊥，DF DH ∴=，又DA 平分PAQ ∠，DH PA ⊥，DE AQ ⊥， DE DH ∴=，DE DF ∴=，CD ∴平分QCB ∠，18060120QCB ∠=︒-︒=︒，60DCB ∴∠=︒，故答案为60︒．15．（2分）（2018秋•沈河区期末）已知如图，BQ 平分ABP ∠，CQ 平分ACP ∠，BAC α∠=，BPC β∠=，则BQC ∠= 1()2αβ+ ．（用α，β表示）【解答】解：连接BC ， BQ 平分ABP ∠，CQ 平分ACP ∠，132ABP ∴∠=∠，142ACP ∠=∠， 12180β∠+∠=︒-，2(34)(12)180α∠+∠+∠+∠=︒-，134()2βα∴∠+∠=-， 1180(12)(34)180(180)()2BQC ββα∠=︒-∠+∠-∠+∠=︒-︒---，即：1()2BQC αβ∠=+．故答案为：1()2αβ+．16．（2分）（2016秋•成都期末）如图，已知ABC ∆ 中，60A ∠=︒，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，BD 、CE 交于点F ，FBC ∠、FCB ∠的平分线交于点O ，则BOC ∠的度数为 150︒ ．【解答】解：60A ∠=︒，BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，30ACE ABD ∴∠=∠=︒，120ABC ACB ∠+∠=︒，60FBC FCB ∴∠+∠=︒，FBC ∠、FCB ∠的平分线交于点O ，30OBC OCB ∴∠+∠=︒，150BOC ∴∠=︒故答案为150︒．17．（2分）（2017春•高密市期末）如图，把一个三角尺的直角顶点D 放置在ABC ∆内，使它的两条直角边DE ，DF 分别经过点B ，C ，如果30A ∠=︒，则ABD ACD ∠+∠= 60︒ ．【解答】解：30∠=︒，A∴∠+∠=︒，ABC ACB150∠=︒，D90∴∠+∠=︒，90DBC DCB∴∠+∠=︒-︒=︒．1509060DBA DCA故答案为：60︒．三．解答题（共12小题，满分66分）18．（4分）（2020春•惠安县期末）已知：如图1，在ABC∠=∠．∆中，CD是AB边上的高，A DCB（1）试说明90∠=︒；ACB（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么CFE∠的大小相等吗？请说明理∠与CEF由．【解答】（1）解：CD是AB边上的高，∴∠=︒，CDA90∴∠+∠=︒，A ACD90∠=∠，A DCBACB ACD BCD ACD A∴∠=∠+∠=∠+∠=︒；90（2）解：CFE CEF∠=∠，理由是：AE平分CAB∠，∴∠=∠，CAE BAE90CDA BCA ∠=∠=︒，180()DFA CDA BAE ∠=︒-∠+∠，180()CEA BCA CAE ∠=︒-∠+∠， CEF DFA ∴∠=∠，DFA CFE ∠=∠，CFE CEF ∴∠=∠．19．（4分）（2020春•海州区期末）已知如图，90COD ∠=︒，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G ．（1）若OE 平分BOA ∠，AF 平分BAD ∠，36OBA ∠=︒，则OGA ∠= 18 ︒．（2）若13GOA BOA ∠=∠，13GAD BAD ∠=∠，36OBA ∠=︒，则OGA ∠= ︒．（3）将（2）中的“36OBA ∠=︒”改为“OBA α∠=”，其它条件不变，求OGA ∠的度数．（用含α的代数式表示）（4）若OE 将BOA ∠分成1:4两部分，23GAD BAD ∠==∠，(1890)ABO αα∠=︒<<︒，求OGA ∠的度数．（用含α的代数式表示）【解答】解：（1）90BOA ∠=︒，36OBA ∠=︒，126BAD BOA ABO ∴∠=∠+∠=︒， AF 平分BAD ∠，OE 平分BOA ∠，90BOA ∠=︒，1632GAD BAD ∴∠=∠=︒，1452EOA BOA ∠=∠=︒， 634518OGA GAD EOA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为：18︒；（2）90BOA ∠=︒，36OBA ∠=︒，126BAD BOA ABO ∴∠=∠+∠=︒，90BOA ∠=︒，13GOA BOA ∠=∠，13GAD BAD ∠=∠，42GAD ∴∠=︒，30EOA ∠=︒，423012OGA GAD EOA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为12︒；（3）90BOA ∠=︒，OBA α∠=，90BAD BOA ABO α∴∠=∠+∠=︒+，90BOA ∠=︒，13GOA BOA ∠=∠，13GAD BAD ∠=∠， 1303GAD α∴∠=︒+，30EOA ∠=︒， 13OGA GAD EOA α∴∠=∠-∠=；（4）当:1:4EOD COE ∠∠=时，18EOD ∠=︒，90BAD ABO BOA α∠=∠+∠=+︒，23GAD BAD ∠=∠， 22(90)33FAD BAD α∴∠=∠=+︒， FAD EOD OGA ∠=∠+∠，218(90)3OGA α∴︒+∠=+︒，解得2423OGA α∠=+︒；当:4:1EOD COE ∠∠=时，72EOD ∠=︒，同理可得2123OGA α∠=-︒；综上所述，OGA ∠的度数为2423α+︒或2123α-︒．20．（4分）（2020春•淅川县期末）现有一张ABC ∆纸片，点D 、E 分别是ABC ∆边上两点，若沿直线DE折叠．研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则1∠=∠．∠的数量关系是12A∠与A研究（2）：如果折成图②的形状，猜想12∠的数量关系是；∠+∠与A研究（3）：如果折成图③的形状，猜想1∠的数量关系，并说明理由．∠和A∠、2【解答】解：（1）如图1，12A∠=∠，理由是：由折叠得：A DA A∠=∠'，∠=∠+∠'，1A DA A∴∠=∠；12A故答案为：12A∠=∠；（2）如图2，猜想：122A∠+∠=∠，理由是：由折叠得：ADE A DE∠=∠'，AED A ED∠=∠'，∠+∠=︒，ADB AEC360∴∠+∠=︒-∠-∠'-∠-∠'=︒-∠-∠，ADE A DE AED A ED ADE AED 1236036022∴∠+∠=︒-∠-∠=∠；ADE AED A122(180)2故答案为：122A∠+∠=∠；（3）如图3，212DAE∠-∠=∠，理由是：AFE A∠=∠'+∠，∠=∠+∠，12AFE DAE∴∠=∠'+∠+∠，A DAE21∠=∠'，DAE A∴∠=∠+∠，221DAE∴∠-∠=∠．212DAE故答案为：（1）12A∠=∠；（2）122A∠+∠=∠．21．（4分）（2020春•马山县期末）如图，在三角形ABC中，AD BC∠，点E是⊥于点D，且AD平分BACBA的延长线上任一点，过点E作EF BC⊥于点F，与AC交于点G．（1）求证：//AD EF．（2）若36∠的度数．∠=︒，求BCGF（3）猜想E∠与AGE∠的大小关系，并证明你的猜想．【解答】（1）证明：AD BC⊥，⊥，EF BCADC EFC∴∠=∠=︒，90∴；//AD EF（2）//AD EF，36∠=︒，CGFCGF CAD∴∠=∠=︒，36AD平分BAC∠，∴∠=∠=︒，36BAD CAD∴∠=︒-∠-∠=︒；B BAD BDA18054（3）E AGE∠=∠，证明：理由是：//AD EF，∴∠=∠，AGE CADE BAD∠=∠，∠=∠，BAD CAD∴∠=∠．E AGE22．（5分）（2020春•赣榆区期末）[问题背景]（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明A B C D ∠+∠=∠+∠．[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）（2）如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，①若28ABC ∠=︒，20ADC ∠=︒，求P ∠的度数；②D ∠和B ∠为任意角时，其他条件不变，试直接写出P ∠与D ∠、B ∠之间数量关系．[问题探究]（3）如图3，直线BP 平分ABC ∠的邻外角FBC ∠，DP 平分ADC ∠的邻补角ADE ∠， ①若30A ∠=︒，18C ∠=︒，则P ∠的度数为 24︒ ；②A ∠和C ∠为任意角时，其他条件不变，试直接写出P ∠与A ∠、C ∠之间数量关系．[拓展延伸]（4）在图4中，若设C x ∠=，B y ∠=，14CAP CAB ∠=∠，14CDP CDB ∠=∠，试问P ∠与C ∠、B ∠之间的数量关系为；（用x 、y 的代数式表示)P ∠（5）在图5中，直线BP 平分ABC ∠，DP 平分ADC ∠的外角ADE ∠，猜想P ∠与A ∠、C ∠的关系，直接写出结论．【解答】解：（1）如图1中，180A B AOB ∠+∠+∠=︒，180C D COD ∠+∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠， A B C D ∴∠+∠=∠+∠；（2）如图2中，设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，则有x B y P x P y D +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩， B P P D ∴∠-∠=∠-∠，11()(2820)2422P B D ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）①如图3中，设CBJ JBF x ∠=∠=，ADP PDE y ∠=∠=．则有18021802P x A y A x C y∠+=∠+⎧⎨∠+︒-=∠+︒-⎩， 2P A C ∴∠=∠+∠，1(3018)242P ∴∠=︒+︒=︒；故答案为：24︒；②设CBJ JBF x ∠=∠=，ADP PDE y ∠=∠=．则有18021802P x A y A x C y ∠+=∠+⎧⎨∠+︒-=∠+︒-⎩， 2P A C ∴∠=∠+∠；（4）如图4中，设CAP α∠=，CDP β∠=，则3PAB α∠=，3PDB β∠=，则有33P C P B βααβ∠+=∠+⎧⎨∠+=∠+⎩， 43P C B ∴∠=∠+∠，1(3)4P x y ∴∠=+，故答案为1(3)4P x y ∠=+．（5）如图5中，延长AB 交PD 于J ，设PBJ x ∠=，ADP PDE y ∠=∠=．则有21802A x C y ∠+=∠+︒-，190()2x y C A ∴+=︒+∠-∠， 180P x A y ∠++∠+=︒，119022P C A ∴∠=︒-∠-∠．故答案为119022P C A ∠=︒-∠-∠．23．（5分）（2020春•西城区期末）在ABC ∆中，BD 是ABC ∆的角平分线，点E 在射线DC 上，EF BC ⊥于点F ，EM 平分AEF ∠交直线AB 于点M ．（1）如图1，点E 在线段DC 上，若90A ∠=︒，M α∠=．①AEF ∠= 1802α︒- ；（用含α的式子表示）②求证：//BD ME ；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，EM 交BD 的延长线于点N ，用等式表示BNE ∠与BAC ∠的数量关系，并证明．【解答】解：（1）①90A ∠=︒，M α∠=，1809090AEM αα∴∠=︒-︒-=︒-， EM 平分AEF ∠，21802AEF AEM α∴∠=∠=︒-，故答案为：1802α︒-；②证明：EF BC ⊥，90EFC ∴∠=︒，90A ∠=︒，90C ABC ∴∠+∠=︒，CEF ABC ∴∠=∠，1802AEF α∠=︒-，2CEF α∴∠=，2ABC α∴∠=， BD 是ABC ∆的角平分线，12ABD ABC α∴∠=∠=， ABD M ∴∠=∠，//BD ME ∴；（2）290BNE BAC ∠=︒+∠，证明：BD 平分ABC ∠，EM 平分AEF ∠，设ABD x ∠=，AEM y ∠=，2ABC x ∴∠=，2AEF y ∠=，180ABD BAD ADB ∠+∠=︒-∠，180NED END NDE ∠+∠=︒-∠，ADB NDE ∠=∠，ABD BAD NED END ∴∠+∠=∠+∠，x BAD y END ∴+∠=+∠，x y END BAD ∴-=∠-∠，同理，ABC BAC FEC EFC ∠+∠=∠+∠，22x BAC y EFC ∴+∠=+∠，22x y EFC BAC ∴-=∠-∠，EF BC ⊥，90EFC ∴∠=︒，2()90x y BAC ∴-=︒-∠，2()90END BAD BAC ∴∠-∠=︒-∠，即2()90BNE BAC BAC ∠-∠=︒-∠，290BNE BAC ∴∠=︒+∠．24．（5分）（2020春•润州区期末）已知ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 是AC 边上的高，AE 平分BAC ∠，分别交BC 、BD 于点E 、F ．求证：BFE BEF ∠=∠．【解答】证明：AE 平分BAC ∠，BAE CAE ∴∠=∠，BD AC ⊥，90ABC ∠=︒，90BAE BEF CAE AFD ∴∠+∠=∠+∠=︒，BEF AFD ∴∠=∠，BFE AFD ∠=∠（对顶角相等）， BEF BFE ∴∠=∠25．（6分）（2019秋•市中区期末）已知将一块直角三角板DEF 放置在ABC ∆上，使得该三角板的两条直角边DE ，DF 恰好分别经过点B 、C ．（1）DBC DCB ∠+∠= 90 度；（2）过点A 作直线//MN DE ，若20ACD ∠=︒，试求CAM ∠的大小．【解答】解：（1）在DBC ∆中，180DBC DCB D ∠+∠+∠=︒，而90D ∠=︒，90DBC DCB ∴∠+∠=︒；故答案为90；（2）在ABC ∆中，180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒，即180ABD DBC DCB ACD BAC ∠+∠+∠+∠+∠=︒，而90DBC DCB ∠+∠=︒，90ABD ACD BAC ∴∠+∠=︒-∠，9070ABD BAC ACD ∴∠+∠=︒-∠=︒．又//MN DE ，ABD BAN ∴∠=∠．而180BAN BAC CAM ∠+∠+∠=︒，180ABD BAC CAM ∴∠+∠+∠=︒，180()110CAM ABD BAC ∴∠=︒-∠+∠=︒．26．（7分）（2019秋•揭阳期末）探究与发现：如图①，在ABC ∆中，45B C ∠=∠=︒，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且ADE AED ∠=∠，连接DE ．（1）当60BAD ∠=︒时，求CDE ∠的度数；（2）当点D 在BC （点B 、C 除外）边上运动时，试猜想BAD ∠与CDE ∠的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图②，若B C ∠=∠，但45C ∠≠︒，其他条件不变，试探究BAD ∠与CDE ∠的数量关系．【解答】解：（1）ADC ∠是ABD ∆的外角，105ADC BAD B ∴∠=∠+∠=︒，30DAE BAC BAD ∠=∠-∠=︒，75ADE AED ∴∠=∠=︒，1057530CDE ∴∠=︒-︒=︒；（2）2BAD CDE ∠=∠，理由如下：设BAD x ∠=，45ADC BAD B x ∴∠=∠+∠=︒+，90DAE BAC BAD x ∠=∠-∠=︒-，902x ADE AED ︒+∴∠=∠=， 9014522x CDE x x ︒+∴∠=︒+-=， 2BAD CDE ∴∠=∠；（3）设BAD x ∠=，ADC BAD B B x ∴∠=∠+∠=∠+，1802DAE BAC BAD C x ∠=∠-∠=︒-∠-，12ADE AED C x ∴∠=∠=∠+， 11()22CDE B x C x x ∴∠=∠+-∠+=， 2BAD CDE ∴∠=∠．27．（7分）（2020春•泰州期末）已知在四边形ABCD 中，A x ∠=，C y ∠=，(0180,0180)x y ︒<<︒︒<<︒．（1）ABC ADC ∠+∠= 360x y ︒-- （用含x 、y 的代数式直接填空）；（2）如图 1 ，若90x y ==︒．DE 平分ADC ∠，BF 平分CBM ∠，请写出DE 与BF 的位置关系，并说明理由；（3）如图 2 ，DFB ∠为四边形ABCD 的ABC ∠、ADC ∠相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①若120x y +=︒，20DFB ∠=︒，试求x 、y ．②小明在作图时，发现DFB ∠不一定存在，请直接指出x 、y 满足什么条件时，DFB ∠不存在．【解答】解：（1）360A ABC C ADC ∠+∠+∠+∠=︒，A x ∠=，C y ∠=，360ABC ADC x y ∴∠+∠=︒--．故答案为：360x y ︒--．（2）DE BF ⊥．理由：如图 1 ，DE 平分ADC ∠，BF 平分MBC ∠，12CDE ADC ∴∠=∠，12CBF CBM ∠=∠，又180180(180)CBM ABC ADC ADC ∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠，CDE CBF ∴∠=∠，又DGC BGE ∠=∠，90BEG C ∴∠=∠=︒，DE BF ∴⊥；（3）①由（1）得：360(360)CDN CBM x y x y ∠+∠=︒-︒--=+， BF 、DF 分别平分CBM ∠、CDN ∠，1()2CDF CBF x y ∴∠+∠=+，如图 2 ，连接DB ，则180CBD CDB y ∠+∠=︒-，111180()180222FBD FDB y x y y x ∴∠+∠=︒-++=︒-+， 112022DFB y x ∴∠=-=︒，解方程组：120112022x y y x +=︒⎧⎪⎨-=︒⎪⎩，可得：4080x y =︒⎧⎨=︒⎩； ②当x y =时，1118018022FBD FDB y x ∠+∠=︒-+=︒， ABC ∴∠、ADC ∠相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时，DFB ∠不存在．28．（7分）（2019秋•辽阳期末）已知如图①，BP 、CP 分别是ABC ∆的外角CBD ∠、BCE ∠的角平分线，BQ 、CQ 分别是PBC ∠、PCB ∠的角平分线，BM 、CN 分别是PBD ∠、PCE ∠的角平分线，BAC α∠=．（1）当40α=︒时，BPC ∠= 70 ︒，BQC ∠= ︒；（2）当α= ︒时，//BM CN ；（3）如图②，当120α=︒时，BM 、CN 所在直线交于点O ，求BOC ∠的度数；（4）在60α>︒的条件下，直接写出BPC ∠、BQC ∠、BOC ∠三角之间的数量关系：．【解答】解：（1）DBC A ACB ∠=∠+∠，BCE A ABC ∠=∠+∠，180220DBC BCE A ∴∠+∠=︒+∠=︒， BP 、CP 分别是ABC ∆的外角CBD ∠、BCE ∠的角平分线，1()1102CBP BCP DBC BCE ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18011070BPC ∴∠=︒-︒=︒， BQ 、CQ 分别是PBC ∠、PCB ∠的角平分线，12QBC PBC ∴∠=∠，12QCB PCB ∠=∠， 55QBC QCB ∴∠+∠=︒，18055125BQC ∴∠=︒-︒=︒；（2）//BM CN ，180MBC NCB ∴∠+∠=︒， BM 、CN 分别是PBD ∠、PCE ∠的角平分线，BAC α∠=， ∴3()1804DBC BCE ∠+∠=︒，即3(180)1804α︒+=︒，解得60α=︒；（3）120α=︒，33()(180)22544MBC NCB DBC BCE α∴∠+∠=∠+∠=︒+=︒， 22518045BOC ∴∠=︒-︒=︒；（4）60α>︒，1902BPC α∠=︒-、 11354BQC α∠=︒-、 3454BOC α∠=-︒． BPC ∠、BQC ∠、BOC ∠三角之间的数量关系：113(90)(135)(45)180244BPC BQC BOC ααα∠+∠+∠=︒-+︒-+-︒=︒．故答案为：70，125；60；180BPC BQC BOC ∠+∠+∠=︒．29．（8分）（2019秋•长白县期末）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别是ABC ∆边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令1PDA ∠=∠，2PEB ∠=∠，DPE α∠=∠．（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且50α∠=︒，则12∠+∠= 140 ︒；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则α∠、1∠、2∠之间有何关系？（3）若点P 在Rt ABC ∆斜边BA 的延长线上运动()CE CD <，则α∠、1∠、2∠之间有何关系？猜想并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接PC ，由三角形的外角性质，1PCD CPD ∠=∠+∠，2PCE CPE ∠=∠+∠，12PCD CPD PCE CPE DPE C ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠，50DPE α∠=∠=︒，90C ∠=︒，125090140∴∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：140︒；（2）连接PC ，由三角形的外角性质，1PCD CPD ∠=∠+∠，2PCE CPE ∠=∠+∠， 12PCD CPD PCE CPE DPE C ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠， 90C ∠=︒，DPE α∠=∠，1290α∴∠+∠=︒+∠；（3）如图1，由三角形的外角性质，21C α∠=∠+∠+∠， 2190α∴∠-∠=︒+∠；如图2，0α∠=︒，2190∠=∠+︒；如图3，21C α∠=∠-∠+∠，1290α∴∠-∠=∠-︒．。

1.3.1 实际应用中的解三角形问题(提高检测卷)(解析版)

实际应用中的解三角形问题1．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取,A B 两点，从,A B 两点分别测得树尖的仰角为30o ，45o ，且,A B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为（）A ．(15m +B ．(30m +C ．(30m +D ．(15m + 【答案】C【解析】设树高为h ，则60AB h =-= )30130AB ∴===+m ）本题正确选项：C2．【甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二上学期9月月考】某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了， A ．3B ．6C ．3或6D ．4或6【答案】C【解析】设出发点为A ，向东航行到B 处后改变航向到达C ，则AB x =，3AC =，BC =30ABC ∠=︒，由正弦定理可得：sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即3sin30︒，sin BAC ∴∠= 60BAC ∴∠=︒或120︒，（1）若60BAC ∠=︒，则90ACB ∠=︒，ABC ∆为直角三角形，26AB AC ∴==，（2）若120BAC ∠=︒，则30ACB ∠=︒，ABC ∆为等腰三角形，3AB AC ∴==．故选C ．3．【2018-2019学年湖北省武汉十五中等三校联考】如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15︒的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60︒，求山高PQ = （）A ．2aB ．2aCD ．a【答案】A【解析】设30,15QAP QAB=αβ∠==︒∠=︒，60CBP γ∠==oPAB ∆中，15PAB αβ∠=-=︒，()()0232BPA ππαγγα∠=---=-=︒，∴sin 30sin15a PB =︒︒，∴2PB a =．∴sin sin sin 60sin152PQ PC CQ PB a a a γβ=+=⋅+=⨯︒+︒=米．故选A ． 4．【四川省成都外国语学校2018-2019学年高一下学期3月月考】如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB ＝45°(A，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A B C D ．【答案】B【解析】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD AD CAD ACD=∠∠，所以·sin 4?sin120sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒ 在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BD CBD BCD=∠∠，所以·sin 4sin45sin sin60CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：3AB =所以A 与B 的距离AB =故选B 5．【四川省攀枝花市2018-2019学年高一下学期期末】如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（）A ．15B ．25C ．40D ．60【答案】B【解析】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB AD ADB ABD =∠∠，即sin[90(90)]sin(90)h AD αβα=︒--︒-︒+， cos sin()h AD αβα∴=-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()h DF AD αβββα==-，又山高为a ，则灯塔CD 的高度是40cos sin 22356035251sin()2h CD DF EF a αββα=-=-=-=-=-．故选B ．6．【福建省上杭县第一中学2018-2019学年高一5月月考】某炮兵阵地位于A 点，两个观察所分别位于C ，D 两点，已知ACD ∆为等边三角形，且DC =，当目标出现在B 点（A ，B 两点位于CD 两侧）时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，则炮兵阵地与目标的距离约为（）A ．1.1kmB ．2.2kmC ．2.9kmD ．3.5km【答案】C【解析】如图所示： ∠CBD ＝180°﹣∠CDB ﹣∠BCD ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，在△BCDsin 75BD ︒= 故BD=2sin 75°在△ABD 中，∠ADB ＝45°+60°＝105°，由余弦定理，得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos105°∴2.9km ．故炮兵阵地与目标的距离为2.9km故选C7．【贵州省贵阳市清镇北大培文学校2018-2019学年高一下学期3月月考】如图，测量河对岸的塔的高度A B 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ︒∠=，30BDC ︒∠=，30CD =米，并在C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔AB 的高度为（）A．B． C．1)m D．【答案】D【解析】在△BCD 中，由正弦定理得sin 30BC CD sin135︒︒==在Rt △ABC 中，AB BCtan 60︒==，故选：D ．8．【江西省新余市分宜中学2019-2020学年高二上学期第一次段考】一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 ( )A ．5海里/时B ．/时C ．10海里/时D ．/时【答案】C【解析】如图依题意有60BAC ︒∠=,75BAD ︒∠=,∴15CAD CDA ︒∠=∠=,从而10CD CA ==,在Rt ABC ∆中,求得5AB =, ∴这艘船的速度是5100.5= (海里/时) 9．【广东省广州市铁一中学、广外等三校2016-2017学年高一下学期期末】如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45︒，且A ，B 两点间的距离为60m ，则树的高度为（，A．(30m +B．(30m + C．(15m + D．(15m +【答案】A【解析】在PAB V ，30PAB ∠=︒，15APB ∠=︒，60AB =，()154530sin sin ︒=︒-︒45304530sin cos cos sin =︒︒-︒︒12222=-⨯4=．由正弦定理得：3015PB AB sin sin =︒︒，∴16030PB ⨯==，∴树的高度为(4530302PBsin m ︒=⨯=+，答：树的高度为(30m +．本题选择A 选项.10．【四川省南部县五校2017-2018学年高一下学期期末】某位居民站在离地20m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60o ，小高层底部的俯角为45o ，那么这栋小高层的高度为( ) A．201m 3⎛+ ⎝⎭B．(201m C．10m D．20m 【答案】B【解析】依题意作图所示：AB 20m =，仰角DAE 60∠=o ，俯角EAC 45∠=o ，在等腰直角ACE V 中，AE EC 20m ==，在直角DAE V 中，DAE 60∠=o ，DE AEtan60∴==o ，∴小高层的高度为((CD 20201m =+=+．故选B ．11．【四川省泸州市泸化中学2017-2018学年高一5月月考】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°（即 30BAC ∠=︒）的方向上；行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒（即75CBE ∠=︒）的方向上，且仰角为30°．则此山的高度CD ，( )A ．B ．mC ．D ．m【答案】C【解析】由题意得在ABC V 中，30BAC ∠=︒，0105ABC ∠=，045ACB ∠=，AB=600m,由正弦定理00,sin 30sin 45BC AB BC ==又仰角为30︒，即030DBC ∠=，所以0tan 30,CD CD CB==m ，选C.12．【福建福鼎三校联考2019届高三上半期考】如图，一栋建筑物AB 的高为(30-m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M （,,B M D 三点共线）处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为（）A ．30mB ．60mC ．D ．【答案】B【解析】作AE ⊥CD ，垂足为E ，则：在△AMC 中，AM =sin15AB ︒，∠AMC =105°，∠ACM =30°，∴sin105sin 30AC =︒︒，∴AC ，∴CD =30-+AC sin30︒=60m .本题选择B 选项.13．【北京101中学2017-2018学年下学期高一年级期中】北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A 处，图书馆在B 处，为测量A，B 两地之间的距离，某同学选定了与A，B 不共线的C 处，构成△ABC ，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC ；②测量∠A，∠B，BC ；③测量∠C，AC，BC ；④测量∠A ，∠C，∠B，其中一定能唯一确定A，B 两地之间的距离的所有方案的序号是_______.【答案】②③.【解析】考查所给的四个条件：①测量∠A ，AC ，BC ，已知两边及对角，由正弦定理可知，三角形有2个解，不能唯一确定点A ，B 两地之间的距离；②测量∠A ，∠B ，BC ，已知两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A ，B 两地之间的距离；③测量∠C ，AC ，BC ，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A ，B 两地之间的距离；④测量∠A ，∠C ，∠B ，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A ，B 两地之间的距离；综上可得，一定能唯一确定A ，B 两地之间的距离的所有方案的序号是②③.14．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线C B 前往B 处救援，则cos θ=______________．【答案】14【解析】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ，由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos 7ACB ∠=所以cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 15．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100m BC =，则山高MN =______________m ．【答案】150.【解析】根据题意，在ABC V 中，已知45,90,100CAB ABC BC ∠=︒∠=︒=，易得AC =；在AMC V 中，已知75,60,MAC MCA AC ∠=︒∠=︒=45AMC ∠=︒，由正弦定理可得sin sin AC AM AMC ACM =∠∠，即22AM ==；在AMN ∆中，已知60,90,MAN MNA AM ∠=︒∠=︒=150m MN =．故答案为15016．【上海市黄浦区2016-2017学年高一下学期期终调研】某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75︒方向，此时货船到灯塔M 的距离为______海里.【答案】【解析】由题意画出图形为：因为75MBE ∠=︒，30BAM ∠=︒，所以45AMB ∠=︒，又由于某船以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B ，所以40181260AB =⨯=（海里）．在AMB ∆中，利用正弦定理得：sin 45sin30AB BM =︒︒，所以BM =；故答案为：17．【上海市徐汇区2018届高三下学期学习能力诊断】如图，某快递小哥从A 地出发，沿小路AB BC →以平均速度为20公里/小时送快件到C 处，已知10BD =公里，0045,30DCB CDB ∠=∠=，ABD △是等腰三角形，0120ABD ∠=，，1，试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？，2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD DC →追赶，若汽车的平均速度为60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？【答案】(1)快递小哥不能在50分钟内将快件送到C 处．(2)汽车能先到达C 处．【解析】（1）10AB =（公里），BCD ∆中，由00sin45sin30BD BC =，得BC =于是，由106051.215020+≈>知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C 处．（2）在ABD ∆中，由22211010210103002AD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，得AD =（公里），在BCD ∆中，0105CBD ∠=，由0sin105CD =，得(51CD =+（公里），-由(5160152045.9851.2160+⨯+=+≈<（分钟）知，汽车能先到达C 处．18．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D . 现测得BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .【答案】tan sin sin()s θβαβ⋅+ 【解析】在△BCD 中，CBD παβ∠=--.由正弦定理得,sin sin BC CD BDC CBD=∠∠ 所以sin sin CD BDC BC CBD∠=∠ sin .sin()s βαβ⋅=+ 在Rt △ABC 中，tan AB BC ACB =∠tan sin .sin()s θβαβ⋅=+塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ⋅+. 19．【四川省蓉城名校联盟2017-2018学年高一4月联考】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为40︒，距离为15海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为100︒的方向，以15海里/小时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向.【答案】舰艇靠近渔船所需的最少时间为1小时,舰艇航行的方位角为70︒.【解析】如图所示，设所需时间为t 小时，则,15,120AB CB t ACB ==∠=︒.在ABC ∆中，根据余弦定理，则有2222AB AC BC AC BC cos ACB =+-⨯⨯∠，可得()()222151521515cos120t t =+-⨯⨯︒，整理得2210t t --=，解得1t =或12t =- (舍去). 即舰艇需1小时靠近渔船，此时15AB BC ==,在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BC AB CAB ACB=∠∠，所以10sin 1sin 2BC ACB CAB AB ∠∠===，又因为CAB ∠为锐角，所以30CAB ∠=︒，所以舰艇航行的方位角为70︒.20．如图所示，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60o ，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30o ，海轮改为北偏东60o 的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．【答案】【解析】在ABP △中，40302060AB =⨯=，30APB ∠=︒，120BAP ∠=︒，由正弦定理知 sin sin AB BP BPA BAP =∠∠得20 12，∴BP =.在BPC △中，80304060BC =⨯=，又90PBC ∠=︒，∴PC ===∴可得P、C 间距离为21．【重庆市大学城第一中学校2018-2019学年高一下学期第一次月考】在海岸A 处，发现北偏东45o 方向，距离A 为1) n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75o 方向，距离A 为2 n mile 的C 处有一艘缉私艇奉命以mile / h 的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h 的速度从B 处向北偏东30o 方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)【答案】缉私艇沿北偏东60°小时【解析】设缉私艇追上走私船需t 小时，则BD=10 t n mileCD=n mile∵∠BAC=45°+75°=120°∴在△ABC 中，由余弦定理得))222222122121206BC AB AC AB AC cos BACcos o =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=即 BC 由正弦定理得BD sin BAC sin ABCBC 2o ⋅∠∠=== ∴ ∠ABC=45°，∴BC 为东西走向∴∠CBD=120°在△BCD 中，由正弦定理得BD sin 1sin BCDCD 2CBD ⋅∠∠===o ∴ ∠BCD=30°，∴ ∠BDC=30°∴BD BC ==即 10t =∴ t =（小时）答：缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需10小时. 22．【2017届河南息县一高中高三上月考】如下图，为对某失事客轮AB 进行有效援助，现分别在河岸MN 选择两处C 、D 用强光柱进行辅助照明，其中A 、B 、C 、D 在同一平面内．现测得CD 长为100米，105ADN ∠=︒，30BDM ∠=︒，45ACN ∠=︒，60BCM ∠=︒．（1）求，BCD 的面积；（2）求船AB 的长．【答案】（1）；（2）10015. 【解析】（1）由题意30BDM ∠=︒，45ACN ∠=︒，60BCM ∠=︒，得30CBD ∠=︒， ∴100BC BD ==，∴11sin 10010022BCD S CB CD BCD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=．（2）由题意75ADC ∠=︒，45ACD ∠=︒，45BDA ∠=︒，在△ACD 中，sin sin CD AD CAD ACD =∠∠，即100sin 60sin 45AD =︒︒，∴AD = 在△BCD 中，BD ===在△ABD 中，AB ===故船长为3米．。

全等三角形提高证明题含辅助线(六种类型)(解析版)--初中数学专项训练

拓展全等三角形提高证明题含辅助线(六种类型)【类型一】利用角平分线构造全等1如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，E ，F 分别为AC ，AB 上的点，且∠AED +∠AFD =180°．(1)求证：∠AFD =∠CED ；(2)求证：DE =DF．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据同角的补角相等即可得解；(2)过D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，根据角平分线性质求出DM =DN ，由(1)知∠MFD =∠DEN ，证出△FMD ≌△END 即可．【详解】(1)证明：∵∠AED +∠AFD =180°，∠AED +∠CED =180°，∴∠AFD =∠CED ；(2)证明：过D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵AD 平分∠BAC ，∴DM =DN ，∠FMD =∠END =90°，∵∠AED +∠AFD =180°，∠AED +∠DEN =180°，∴∠MFD =∠DEN ，在△FMD 和△END 中，∠MFD =∠DEN∠FMD =∠END DM =DN，∴△FMD ≌△END (AAS )，∴DE =DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解题关键是利用AAS 推出△FMD ≌△END ．2如图，在ΔABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的角平分线交BC 于D ，过D 作DE ⊥BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD =DF．(1)求证：AC =AE ；(2)求证：∠BAC +∠FDB =180°；(3)若AB =9.5，AF =1.5，求线段BE 的长，【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BE 的长为4．【分析】(1)根据已知条件，利用AAS 证明△ACD ≌△AED 即可；(2)设∠1=∠2=α，在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证明△FAD ≌△MAD ，进而证明Rt ΔMDE ≌Rt ΔBDE ，再证明ΔCFD ≌ΔEBD ，根据∠FDB +∠BAC 即可求证；(3)由(2)可得EB =EM ,AF =AM ,根据BE =AB -AM -ME 即可求得BE 的长．【详解】证明：(1)∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA =∠DEB =90°，∵∠C =90°，∴∠C =∠DEA =90°，在ΔACD 和ΔAED 中，∠DCA =∠DEA∠1=∠2AD =AD，∴ΔACD ≌ΔAED (AAS )，∴AC =AE ，(2)设∠1=∠2=α，∵∠C =∠DEA =90°，在ΔADC 中，∠ADC =90°-α，在ΔADE 中，∠ADE =90°-α，∵∠FDB =∠FCD +∠CFD =90°+∠CFD ，在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在ΔFAD 和ΔMAD 中，FA =MA∠1=∠2AD =AD∴ΔFAD ≌ΔMAD (SAS )，∴FD =MD ，∠5=∠6，∵BD =DF ，∴BD =MD ，在Rt ΔMDE 和Rt ΔBDE 中，MD =BDDE =DE∴Rt ΔMDE ≌Rt ΔBDE (HL )，∴∠3=∠4，设∠5=∠6=β，∵∠1=∠2=α，∴∠1+∠5=∠2+∠6=α+β，在ΔFAD 中，∠1+∠5=∠DFC在ΔAMD 中，∠2+∠6=∠3，∴∠DFC =∠3，∴∠DFC =∠4，在ΔCFD 和ΔEBD 中，∠DCF =∠DEB ∠CFD =∠EBD FD =BD，∴ΔCFD ≌ΔEBD (AAS )，∴∠CFD =∠4，∵∠C =90°，在ΔABC 中，∠4=90°-2α，∴∠CFD =90°-2α，∴∠FDB =90°+90°-2α=180°-2α，∵∠BAC =∠1+∠2=2α，∴∠FDB +∠BAC =180°-2α+2α=180°，(3)∵AF =AM ，且AF =1.5，∴AM =1.5，∵AB =9.5，∴MB =AB -AM =9.5-1.5=8，∵MB =BE ，且ME +BE =BM ，∴BE =12BM =4【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．3如图，AD 是△ABC 的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且HD =BD ．(1)求证：∠B 与∠AHD 互补；(2)若∠B +2∠DGA =180°，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)AG =AH +HD ，证明见解析【分析】(1)在AB 上取一点M ，使得AM =AH ，连接DM ，则利用SAS 可得出ΔAHD ≌ΔAMD ，从而得出HD =MD =DB ，即有∠DMB =∠B ，通过这样的转化可证明∠B 与∠AHD 互补．(2)由(1)的结论中得出的∠AHD =∠AMD ，结合三角形的外角可得∠DGM =∠GDM ，可将HD 转化为MG ，从而在线段AG 上可解决问题．【详解】证明：(1)在AB 上取一点M ，使得AM =AH ，连接DM∵AH =AM∠CAD =∠BADAD =AD∴ΔAHD ≌ΔAMD ∴HD =MD ，∠AHD =∠AMD∵HD =DB∴DB =MD∴∠DMB =∠B∵∠AMD +∠DMB =180°∴∠AHD +∠B =180°即∠B 与∠AHD 互补．(2)由(1)∠AHD=∠AMD，HD=MD，∠AHD+∠B=180°，∵∠B+2∠DGA=180°，∠AHD=2∠DGA∴∠AMD=2∠DGM又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM即∠DGM=∠GDM∴MD=MG∴HD=MG∵AG=AM+MG∴AG=AH+HD．【点睛】本题考查角平分线的性质，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构造全等”“作角边的垂线段”两种辅助线方法．4已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：(1)AD=AE=EC．(2)BA+BC=2BF．【答案】证明详见解析【详解】分析：(1)根据角平分线的性质，得到∠ABD=∠CBD，然后根据SAS证得△ABD≌△EBC，然后根据全等三角形的性质和三角形的外角得到等腰△ACE，由此可证；(2)过点E作EG⊥BC于点G，根据三角形全等的判定“HL”证得Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AFE，然后根据全等三角形的对应边相等，等量代换求解.详解：证明：(1)∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD=BC∠ABD=∠CBD BE=BA，∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴∠BCE=∠BDA，∵∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=EC=AE．(2)过点E作EG⊥BC于点G，∵E是BD上的点，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF=EG，∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE=BE EF=EG，∴Rt△BEG≌Rt△BEF(HL)，∴BG=BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，EF=EG AE=CE，Rt△CEG≌Rt△AFE，∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG，=BF+BG=∠BF，∴BA+BC=2BF．点睛：此题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，利用了转化及等量代换的数学思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．【类型二】倍长中线5如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE．【答案】见解析.【分析】延长AE至点F，使得EF=AE，连接BF，易证△AEC≌△FEB(SAS)，得到BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，可得∠ABF=∠DCA，然后通过SAS证明△ABF≌△△DCA即可.【详解】证明：延长AE至点F，使得EF=AE，连接BF，∵∠BEF=∠CEA，BE=CE，∴△AEC≌△FEB(SAS)，∴BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=∠BAC+∠ABC=∠DCA，在△ABF和△DCA中，AB=CD∠ABF=∠DCA BF=AC，∴△ABF≌△△DCA(SAS)，∴AD=FA=2AE.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，一般的中线辅助线都是用的倍长中线.6如图，已知ΔABC中，点M是BC边长的中点，过M作∠BAC的角平分线AD的平行线交AB于E，交CA的延长线于F，求证：(1)AE=AF.(2)BE=CF.【答案】见详解.【分析】(1)要证AE=AF，利用等角对等边只需证出∠AFE=∠AEF，利用平行不难发现这两个角和角平分线分成的两角是内错角和同位角；(2)利用倍长中线法构造出全等三角形即可.【详解】证明：(1)∵MF∥DA∴∠AFE=∠CAD，∠AEF=∠DAE又∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠DAE∴∠AFE=∠AEF∴AE=AF(2)将FM延长至N使FM=MN，连接BN.∵M 为CB 中点∴CM =MB在△FMC 和△NMB 中CM =MB∠FMC =∠NMBFM =MN∴△FMC ≌△NMB (SAS )∴CF =BN ，∠F =∠N又∵∠AFE =∠AEF ，∠AEF =∠BEN∴∠N =∠BEN∴BE =BN∴BE =CF【点睛】此题考查的(1)平行线的性质和等角对等边；(2)倍长中线法构造全等三角形.7在△ABC 中，∠ABC =45°，AM ⊥MB ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ．(1)如图1，点D 在线段AM 上，且DM =CM ．求证：△BDM ≌△ACM ；(2)如图2，在(1)的条件下，点E 是△ABC 外一点，且满足EC =AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且F 为线段BC 的中点，求证：∠BDF =∠CEF．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】(1)根据已知条件，利用(SAS )即可证明三角形全等；(2)延长EF 至点G ，使FG =EF ，由上题中△BDM ≌△ACM ，得出AC =BD ，再证△BFG ≌△CFE ，可得BG =CE ，∠G =∠CEF ，从而得BD =CE =BG ，即可得∠BDF =∠G =∠CEF ．【详解】解：(1)如图，∵∠ABC =45°，AM ⊥MB∴BM =AM在△BMD 和△AMC 中∵DM =CM ∠BDM =∠AMC BM =AM∴△BDM ≌△ACM (SAS )．(2)如图，延长EF 至点G ，使FG =EF ，连接BG∵△BDM ≌△ACM∴BD =AC又∵CE =AC∴BD =CE在△BFG 和△CFE 中∵BF =FC ∠BFG =∠EFC FG =FE∴△BFG ≌△CFE (SAS )∴BG =CE ，∠G =∠CEF∴BD =CE =BG∴∠BDF =∠G =∠CEF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．8规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC 和△OBD 是兄弟三角形．(2)取BD 的中点P ，连接OP ，请证明AC =2OP ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据OA =OB ，OC =OD ，∠AOC +∠BOD =180°即可证明；(2)延长OP 至E ，使PE =OP ，先证△BPE ≌△DPO ，推出BE =OD ，∠E =∠DOP ，进而推出BE ∥OD ，再证△EBO ≌△COA ，即可推出OE =AC ，由此可证AC =2OP ．【详解】(1)证明：∵∠AOB =∠COD =90°，∴∠AOC +∠BOD =360°-∠AOB -∠COD =360°-90°-90°=180°，又∵AO =OB ，OC =OD ，∴△OAC 和△OBD 是兄弟三角形．(2)证明：延长OP 至E ，使PE =OP，∵P 为BD 的中点，∴BP =PD ，∵在△BPE 和△DPO 中，PE =PO∠BPE =∠DPO BP =DP，∴△BPE ≌△DPO SAS ，∴BE =OD ，∠E =∠DOP ，∴BE ∥OD ，∴∠EBO +∠BOD =180°，又∵∠BOD +∠AOC =180°，∴∠EBO =∠AOC ，∵BE =OD ，OD =OC ，∴BE =OC ，在△EBO 和△COA 中，OB =AO∠EBO =∠AOCBE =OC∴△EBO ≌△COA SAS ，∴OE =AC ，又∵OE =2OP ，∴AC =2OP ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．【类型三】截长补短9如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，试说明：BC =AB +CD．【答案】见解析【分析】在线段BC 上截取BE =BA ，连接DE ．则只需证明CD =CE 即可．结合角度证明∠CDE =∠CED ．【详解】解：证明：在线段BC 上截取BE =BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC ．在△ABD 和△EBD 中，BE =BA∠ABD =∠EBD BD =BD，∴△ABD ≌△EBD ．(SAS )∴∠BED =∠A =108°，∠ADB =∠EDB ．又∵AB=AC，∠A=108°，∠ACB=∠ABC=12×(180°-108°)=36°，∴∠ABD=∠EBD=18°．∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°．∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°．∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°．∴∠CDE=∠DEC．∴CD=CE．∴BC=BE+EC=AB+CD．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，综合性较强．10如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．【答案】证明见解析【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE，连接OF，分别证明△AOE≌△AOF SAS，△COD≌△COF ASA，得到CD=CF，即可证明结论．【详解】证明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°，∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC，∠OCA=∠OCB=12∠ACB，∴∠OAC+∠OCA=12∠BAC+12∠ACB=12∠BAC+∠ACB=60°，∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=180°-∠AOC=60°，如图，在AC上截取AF=AE，连接OF，在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAF AO=AO，∴△AOE≌△AOF SAS，∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，∵∠COD=60°，∴∠COD=∠COF，在△COD和△COF中，∠OCD=∠OCF CO=CO∠COD=∠COF，∴△COD≌△COF ASA，∴CD=CF，∵AF=AE，∴AF+CF=AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．11在△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE；并且有AB=BE，∠AED=∠C．(1)求∠CDE的度数；(2)求证：AD+DE=BD．【答案】(1)60°；(2)见解析【分析】(1)由AB=BE，∠ABC=60°，可得△ABE为等边三角形，由∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∠AED=∠C，可证∠CDE=∠AEB=60°(2)延长DA至F，使AF=DE，连接FB，由∠BED=60°+∠AED，∠BAF=60°+∠C，且∠C=∠AED，可证△FBA≌△DBE(SAS)由DB=FB，可证△FBD为等边三角形，可得BD=FD，可推出结论，【详解】解：(1)∵AB=BE，∠ABC=60°，∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE=∠AEB=60°，∵∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∵∠AED=∠C，∴∠CDE=∠AEB=60°(2)如图，延长DA至F，使AF=DE，连接FB，由(1)得△ABE为等边三角形，∴∠AEB=∠ABE=60°，∵∠BED=∠AEB+∠AED=60°+∠AED，又∵∠BAF=∠ABE+∠C=60°+∠C，且∠C=∠AED，∴∠BED=∠BAF，在△FBA与△DBE中，AB=BE∠BAF=∠BED AF=DE∴△FBA≌△DBE(SAS)∴DB=FB，∠DBE=∠FBA∴∠DBE+∠ABD=∠FBA+∠ABD，∴∠ABE=∠FBD=60°又∵DB=FB，∴△FBD为等边三角形∴BD=FD，又∵FD=AF+AD，且AF=DE，∴FD=DE+AD=BD，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．12(1)如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA=OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD=BD．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，求证：BC=AC+AD．(3)如图3，在四边形ABDE中，AB=9，DE=1，BD=6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，求AE的值．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)AE=13【分析】(1)由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；(3)在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理(2)可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：(1)∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA=OB，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴AD=BD．(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC=AC+AD．(3)在AE 上分别截取AF =AB =9，EG =ED =1，连接CF 、CG ，如图所示：同理(1)(2)可得：△ABC ≌△AFC ，△CDE ≌△CGE ，∴∠ACB =∠ACF ，∠DCE =∠GCE ，BC =CF ，CD =CG ，DE =GE =1，∵C 为BD 边中点，∴BC =CD =CF =CG =3，∵∠ACE =120°，∴∠ACB +∠DCE =60°，∴∠ACF +∠GCE =60°，∴∠FCG =60°，∴△CFG 是等边三角形，∴FG =CF =CG =3，∴AE =AF +FG +GE =9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．【类型四】直接连接13如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠A =90°，点D 为BC 中点，过点D 作DM ⊥DN ，分别交BA ，AC 延长线于点M 、N ，求证：DM =DN．【答案】见解析【分析】连接AD ，可得∠ADM =∠CDN ，可证△AMD ≌△CND ，可得DM =DN ．【详解】解：连接AD ，∵D 为BC 中点，∴AD =BD ，∠BAD =∠C ，∵∠ADM +∠MDC =90°，∠MDC +∠CDN =90°，∴∠ADM =∠CDN ，∵∠MAD =MAC +DAC =135°，∠NCD =180°-∠ACD =135°在ΔAMD 和ΔCND 中，∠ADM =∠CDNAD =CD ∠MAD =∠NCD，∴ΔAMD ≅ΔCND (ASA )，∴DM =DN ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMD ≌△CND 是解题的关键．14△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．【答案】DE =DF ，理由见解析【分析】连接AD ，则有AD =CD ，∠DAF =∠C =45°，且AD ⊥CD ，可得∠CDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA =90°，所以∠CDE =∠ADF ，可证△CDE ≌△ADF ，可得结论．【详解】DE =DF ，理由如下：连接AD ，因为∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 中点，∴CD =AD ，∠C =∠DAF =45°，AD ⊥CD ，∴∠CDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA =90°，∴∠CDE =∠ADF ，在△CDE 和△ADF 中，∠C =∠DAFCD =AD ∠CDE =∠ADF，∴△CDE ≌△ADF (ASA )，∴DE =DF ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC ，交∠BAC 的平分线AE 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 交AC 延长线于点G ．求证：BF =CG．【答案】见解析．【分析】连接EB 、EC ，利用已知条件证明Rt △BEF ≌Rt △CEG ，即可得到BF =CG ．【详解】证明：连接BE 、EC ，∵ED ⊥BC ，D 为BC 中点，∴BE =EC ，∵EF ⊥AB ，EG ⊥AG ，且AE 平分∠FAG ，∴FE =EG，在Rt △BEF 和Rt △CEG 中，BE =CE EF =EG ，∴Rt △BEF ≌Rt △CEG (HL )，∴BF =CG ．【点评】本题考查了全等三角形的判定：解题的关键是全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．16如图，在ΔABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D 点，过A 作AE ⊥CD 交CD 延长线于E 点，交CB 延长线于F 点，取FC 中点G ，连接DG ，过C 作CH ⊥AC 交DG 延长线于H ，(1)求证：AF =CD ；(2)求证：AC =CH +2BD.【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据垂直推出∠ABF =∠ABC =90°与∠FAB =∠BCD ，则可证明ΔABF ≌ΔCBD ，即可有AF =CD ；(2)连接FD 根据CE ⊥AF ，AB ⊥CF ，推出FD ⊥AC ，即可证明CH ⎳FD ，可有∠HCG =∠DFG ，然后证明ΔFGD ≌ΔCGH 推出CH =FD ，根据已知条件即可有AD =DF ，由(1)知FB =BD ，即可证明AC =CH +2BD .【详解】证：(1)∵∠ABC =90°，CE ⊥AF∴∠ABF =∠ABC =90°∴∠AFB +∠FAB =90°，∠EFC +∠BCD =90°∴∠FAB =∠BCD在ΔABF 与ΔCBD 中，∠ABF =∠CBDAB =CB∠FAB =∠DCB∴ΔABF ≌ΔCBD∴AF =CD (2)连接FD∵CE ⊥AF ，AB ⊥CF∴FD ⊥AC∵CH ⊥AC∴CH ⎳FD∴∠HCG =∠DFG∵G 是FC 中点∴FG =CG在ΔFGD 与ΔCGH 中，∠DFG =∠HCGFG =CG∠FGD =∠CGH∴ΔFGD ≌ΔCGH∴CH =FD ∵CE ⊥AF ，CE 平分∠FCA∴AC =CF∴AD =DF由(1)可知ΔABF ≌ΔCBD∴FB =BD∴CF =CB +BF =AB +BF =AD +DB +BF =CH +2DB即AC =CH +2BD【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，在(1)中找出条件证明ΔABF ≌ΔCBD 是关键，在(2)中作出辅助线是解题的关键.【类型五】延长交于一点17如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB ，过点A 作AD ⊥CD 于点D ，点E 是AB 的中点，连接DE ，若AC =20，BC =14，求DE的长．【答案】DE 的长为3．【分析】先添加辅助线，构造全等三角形，利用性质求出AD =DF ，最后用中位线定理即可求解．【详解】解：如图，延长AD ，CB 交于点F ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠FCD ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC =∠FDC =90°，在△ACD 和△FCD 中，∠ACD =∠FCDCD =CD ∠ADC =∠FDC，∴△ACD ≌△FCD ASA ，∴AD =DF ，AC =CF =20，∴BF =CF -BC =20-14=6，∵点D 为AF 中点，点E 为AB 中点，∴DE 为△ABF 的中位线，∴DF =12BF =3，答：DE 的长为3．【点睛】此题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是延长CB 交AD 延长线于F ，证明DE 是△ABF 的中位线．18已知，Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，∠ABC 的角平分线交AC 于E ，AD ⊥BE 于D ，求证：AD =12BE ．【答案】见解析【详解】试题分析：延长AD 和BC 交于F ，求出∠CBE =∠CAF ，AC =BC ，证△EBC ≌△FAC ，△ABD ≌△FBD ，推出BE =AF ，AD =DF ，即可得出答案．解：如图延长AD 和BC 交于F ，∵Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =45°，∴∠ABC =45°=∠BAC ，∴AC =BC ，∵∠ACB =90°，∴∠BCE =∠ACF =90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠EBC ，∵BD ⊥AD ，∴∠BCE =∠ADE =90°，∵∠BEC =∠AED ，∴根据三角形内角和定理得：∠DAE =∠CBE ，在△BCE 和△ACF 中，∠FAC =∠CBE AC =BC ∠ACF =∠BCE，∴△BCE ≌△ACF (SAS )，∴BE =AF ，在△ABD 和△FBD 中，∠ABD =∠FDN BD =BD ∠ADB =∠FDB，∴△ABD≌△FBD (ASA )，∴AD =DF ，即AF =2AD ，∴AD =12AF ，∴AD =12BE ．考点：全等三角形的判定与性质．19如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于D ，交∠ABC 的角平分线于E ，过点E 作EF ⊥AE ，交AC 于点F ，求证：AF +BD =AB．【答案】见解析【分析】延长EF ，BC 相交于点M ，分别证明△AEB ≌△MEB 和△AEF ≌△MED 即可得解．【详解】证明：延长EF ，BC 相交于点M ，∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°，∵AE 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，∴∠EAB +∠EBA =45°，∴∠AEB =180°-45°=135°，∴∠DEB =180°-135°=45°，∵AE ⊥EF ，∴∠MEB =∠MED +∠DEB =90°+45°=135°=∠AEB ，在△AEB 和△MEB 中，∠AEB =∠MEBEB =EB ∠ABE =∠MBE，∴△AEB ≌△MEB ASA ，∴∠EAB =∠M ，AE =ME ，AB =MB ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠FAE =∠EAB ，∴∠FAE =∠M ，在△AEF 和△MED 中，∠FAE =∠MAE =ME ∠AEF =∠MED =90°，∴△AEF ≌△MED ASA ，∴AF =MD ，∴AF +BD =MD +BD =MB =AB ．【点睛】本题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的定义，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．20如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =45°，点D 为AC 中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，交BD 于点F．求证：(1)∠CAE=∠ABD；(2)BD=AE+ED．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据三角形的内角和定理得出∠BAC=90°，再根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，即可求证；(2)过点C作CA的垂线交AE延长线于点M，先证明△ACM≌△BAD ASA，得出AD=CM，BD= AM，则CM=CD，再证明△MCE≌△DCE SAS，得出EM=ED，即可求证．【详解】(1)证明：∵AB=AC，∠C=45°，∴∠CBA=45°，∴∠BAC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°∴∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，∴∠CAE=∠ABD．(2)证明：过点C作CA的垂线交AE延长线于点M∵CM⊥CA，∴∠MCA=90°即∠MCA=∠CAB，在△ACM和△BAD中，∠CAE=∠ABD AB=AC∠MCA=∠CAB∴△ACM≌△BAD ASA，∴AD=CM，∵D为AC中点，∴AD=CD，∴CM=CD∵∠MCA=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠MCB，在△MCE和△DCE中，CM=CD∠ACB=∠MCB CE=CE，∴△MCE≌△DCE SAS∴EM=ED，∴AM=AE+EM=AE+ED，∴BD=AE+ED．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，直角三角形两锐角互余，以及正确画出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明．【类型六】半角模型21如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC+∠BDC=180°．(1)求证：AD为∠BDC的平分线；(2)若∠DAE=12∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系．【答案】(1)见解析；(2)DE=B E+DC.【分析】(1)过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；(2)过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.【详解】证明:(1)如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，∵AG⊥BD，AF⊥DC，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，∴∠BAG=∠CAF，在△BAG和△CAF中,∠AGB=∠F=90°∠BAG=∠CAF AB=AC∴△BAG≌△CAF(AAS)，∴AG=AF，∴∠BDA=∠CDA，(2)BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE=B E+DC，理由如下：如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，∵∠DAE=12∠BAC，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，∵∠CAH=∠BAE，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，在△EAD和△HAD中,∠EAD=∠HAD AD=AD∠ADE=∠ADH ，∴△EAD≌△HAD(ASA)，∴DE=DH，AE=AH，在△EAB和△HAC中,AB=AC∠BAE=∠CAH AE=AH，∴△EAB≌△HAC(SAS)，∴BE=CH，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口．22(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为．(只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF=12∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【答案】(1)BE+DF=EF；(2)EF+DF=BE．理由见解析．【分析】(1)线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF．如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，利用全等三角形的性质解决问题即可．(2)结论：EF+DF=BE．如图中，在BE上截取BM=DF，连接AM，证明△ABM≌△ADF SAS，推出AM=AF，∠BAM=∠DAF，再证明△AEM≌△AEF SAS，可得结论．【详解】(1)解：线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF．如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，∵∠ABC=∠D=90°，∠ABC+∠1=180°，即：∠ABC+∠D=180°，∴∠1=∠D，在△ABM 和△ADF 中，AB =AD∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF SAS ，∴AM =AF ，∠3=∠2，∵∠EAF =12∠BAD ，∠EAF +∠2+∠4=∠BAD ，∴∠2+∠4=∠EAF ，∴∠EAM =∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF ，在△MAE 和△FAE 中，AM =AF∠MAE =∠FAE AE =AE，∴△MAE ≌△FAE SAS ，∴EF =EM ，∵EM =BM +BE =BE +DF ，∴EF =BE +FD ；故答案为：BE +DF =EF ．(2)结论：EF +DF =BE ．理由：在BE 上截取BM =DF ，连接AM ，∵∠B +∠ADC =180°，∠ADC +∠ADE =180°，∴∠B =∠ADF ，在△ABM 与△ADF 中，BM =DF∠ABM =∠ADF AB =AD，∴△ABM ≌△ADF SAS ，∴AM =AF ，∠BAM =∠DAF ，则∠BAM +∠MAD =∠DAF +∠MAD ，∴∠BAD =∠MAF∵∠EAF =12∠BAD ，∠EAF +∠EAM =∠MAF ，∴∠EAF =∠EAM ，在△AEM 与△AEF 中，AM =AF∠EAF =∠EAM AE =AE，∴△AEM ≌△AEF SAS ，∴EM =EF ，即BE -BM =EF ，即BE -DF =EF ，∴EF +DF =BE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ．∠BAD =120°．∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ．CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．【答案】(1)EF=BE+FD(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析；(3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析．【分析】(1)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，利用全等三角形的性质解决问题即可；(2)延长CB至M，使BM=DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出AF= AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE(SAS)，由全等三角形的性质得出EF=ME，即EF=BE+BM，则可得出结论；(3)在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF(SAS)．由全等三角形的性质得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．证明△AEG≌△AEF(SAS)，由全等三角形的性质得出结论．【详解】(1)解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF(SAS)．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD；(2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．∵∠ABC +∠D =180°，∠1+∠ABC =180°，∴∠1=∠D ，在△ABM 与△ADF 中，AB =AD∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF (SAS )．∴AF =AM ，∠2=∠3．∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠2+∠4=12∠BAD =∠EAF ．∴∠3+∠4=∠EAF ，即∠MAE =∠EAF ．在△AME 与△AFE 中，AM =AF∠MAE =∠EAF AE =AE，∴△AME ≌△AFE (SAS )．∴EF =ME ，即EF =BE +BM ，∴EF =BE +DF ；(3)解：结论EF =BE +FD 不成立，结论：EF =BE -FD ．证明：如图③中，在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC =180°，∠ADF +∠ADC =180°，∴∠B =∠ADF ．在△ABG 与△ADF 中，AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF (SAS )．∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ．∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ．∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF (SAS )，∴EG =EF ，∵EG =BE -BG ，∴EF =BE -FD ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．24【问题引领】问题1：如图1．在四边形ABCD 中，CB =CD ，∠B =∠ADC =90°，∠BCD =120°．E ，F 分别是AB ，AD 上的点．且∠ECF =60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王祠学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接CG ．先证明△CBE ≌△CDG ，再证明△CEF ≌△CGF ．他得出的正确结论是．【探究思考】问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形ABCD 中，CB =CD ，∠ABC +∠ADC =180°，∠ECF =12∠BCD，问题1的结论是否仍然成立?请说明理由．【拓展延伸】问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE，EF，FD之间存在的等量关系是．【答案】问题1：BE+FD=EF；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论：DF=EF+BE．【分析】问题1，先证明△CBE≌△CDG，得到CE=CG，∠BCE=∠DCG，再证明△CEF≌△CGF，得到EF=GF，即可得到EF=DG+DF=BE+DF；问题2，延长FD到点G．使DG=BE．连接CG，先判断出∠ABC=∠GDC，进而判断出△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF，最后用线段的和差即可得出结论；问题3，在DF上取一点G．使DG=BE．连接CG，然后同问题2的方法即可得出结论．【详解】解：问题1，如图1，延长FD到点G．使DG=BE．连接CG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠CDG=180°-∠ADC=90°，∴∠CBE=∠CDG=90°，在△CBE和△CDG中，BE=DG∠CBE=∠CDG BC=DC，∴△CBE≌△CDG SAS，∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，∴∠BCE+∠ECD=∠DCG+∠ECD，即∠ECG=∠BCD=120°，∵∠ECF=60°，∴∠GCF=∠ECG-∠ECF=60°，∴∠ECF=∠GCF，在△CEF和△CGF中，CE=CG∠ECF=∠GCF CF=CF，∴△CEF≌△CGF SAS，∴EF=GF，∴EF=DG+DF=BE+DF；故他得到的正确结论是：EF=BE+DF；问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，理由：延长FD到点G．使DG=BE．连接CG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠GDC，在△CBE和△CDG中，BE=DG∠CBE=∠CDGBC=DC，∴△CBE≌△CDG SAS，∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，∴∠BCE+∠ECD=∠DCG+∠ECD，即∠ECG=∠BCD，∵∠ECF=12∠BCD，∴∠ECF=12∠ECG，∴∠ECF=∠GCF，在△CEF和△CGF中，CE=CG∠ECF=∠GCFCF=CF，∴△CEF≌△CGF SAS，∴EF=GF，∴EF=DG+DF=BE+DF；即EF=BE+DF；问题3．结论：DF=BE+EF，理由如下：如图3，在DF上取一点G．使DG=BE．连接CG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠ADC=∠CBE，即∠CDG=∠CBE，在△CBE和△CDG中，BE=DG∠CBE=∠CDG BC=DC，∴△CBE≌△CDG SAS，∴CE=CG，∠BCE=∠DCG，∴∠BCE+∠BCG=∠DCG+∠BCG，即∠ECG=∠BCD，∵∠ECF=12∠BCD，∴∠ECF=12∠ECG，∴∠ECF=∠GCF，在△CEF和△CGF中，CE=CG∠ECF=∠GCF CF=CF，∴△CEF≌△CGF SAS，∴EF=GF，∴EF=GF=DF-DG=DF-BE．即DF=BE+EF．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．。

专题2-2 认识三角形(拓展提高)(解析版)

专题2.2认识三角形（拓展提高）一、单选题1．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：5-2＜a＜5+2，即3＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为6+2+5=13．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，CD=3BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF 的面积的最大值是（）．A．10cm2B．9cm2C．8cm2D．7cm2【答案】B【分析】连接CF，设S△BFD=a，根据CD=3BD，点E是AC的中点，得出S△CFD=3a，S△ABF=S△CBF=4a，S△ABD=5a，即可得出S△ADC=15a，S△AFC=12a，S△ABC=20a，进而得出S四边形DCEF=9a，从而得出S四边形DCEF=920S△ABC，当△ABC的面积取最大值时，四边形DCEF的面积的最大，求得△ABC的面积的最大值，即可求得结果．【详解】解：连接CF，设S △BFD =a ，∵CD =3BD ，∴S △CFD =3a ，S △ADC =3S △ABD ，∵点E 是AC 的中点，∴S △ABE =S △CBE ，S △AFE =S △CFE ，∴S △ABF =S △CBF =4a ，∴S △ABD =5a ，∴S △ADC =15a ，∴S △AFC =12a ，S △ABC =20a ，∴S △EFC =6a ，∴S 四边形DCEF =9a ，∴S 四边形DCEF =920S △ABC ， ∵在△ABC 中，AB =5，AC =8，∴S △ABC 的最大值为：12×5×8=20，∴四边形DCEF 的面积的最大值是9(cm 2)，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等高的三角形面积的比等于它们底的比，得出S 四边形DCEF =920S △ABC 是解题的关键．3．如图，直线a ∥b ，在Rt △ABC 中，点C 在直线a 上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B 的度数为（）A ．56°B ．34°C ．36°D ．24°【答案】A 【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质求出∠A 即可解决问题．【详解】解：如图，∵a ∥b ，∴∠1=∠3=58°，∵∠3=∠2+∠A ， ∴∠A =58°-24°=34°， ∵∠ACB =90°， ∴∠B =90°-34°=56°，故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．4．如图，ABC 面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点1A ，1B ，1C ，使1A B AB =，1B C BC =，1C A CA =，顺次连接1A ，1B ，1C ，得到111A B C △，则111A B C △的面积是（）A ．4B ．7C ．10D ．13【答案】B 【分析】根据题意，连接A 1C ，得到11A BC ABC S S ∆∆==，则11122A B B A BC S S ∆∆==，然后同理可求112C B C S ∆=，12AAC S ∆=，即可得到答案．【详解】解：连接A 1C ，如图∵AB =A 1B ，∴△ABC 与△A 1BC 的面积相等， ∵△ABC 面积为1， ∴11A BC S ∆=．∵BB 1=2BC ， ∴11122A B B A BC S S ∆∆==，同理可得，112C B C S ∆=，12AAC S ∆=， ∴11122217A B C S ∆=+++=；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线问题，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．5．如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，∠EBD ＝∠EDB ，DF 平分∠EDC ，则∠BDF 的度数为（）A ．35°B ．39°C ．40°D ．45°【答案】B 【分析】设,BDF x EBD y ∠=∠=，利用外角性质求出2AED y ∠=，利用角平分线性质得到EDF CDF x y ∠=∠=+，根据三角形内角和定理得到180A ADE AED ∠+∠+∠=︒，即可求出答案．【详解】解：设,BDF x EBD y ∠=∠=，∵∠EBD ＝∠EDB ， ∴2AED y ∠=，∵DF 平分∠EDC ，∴EDF CDF x y ∠=∠=+， ∴180(22)ADE x y ∠=︒-+，∵180A ADE AED ∠+∠+∠=︒，∠A ＝78°， ∴78180(22)2180x y y ︒+︒-++=︒，解得39x =︒，故选：B ．【点睛】此题考查三角形内角和定理，角平分线的性质定理，外角的性质，读懂图形理解各角之间的位置关系是解题的关键．6．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F 在AC 上，其中90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，90EFD ∠=︒，45DEF ∠=︒，//AB DE ，则AFD ∠的度数是（）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒【答案】A 【分析】设AB 与EF 交于点M ，根据//AB DE ，得到45AMF E ∠=∠=︒，再根据三角形的内角和定理求出结果．【详解】解：设AB 与EF 交于点M ， ∵//AB DE ， ∴45AMF E ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒， ∴30A ∠=︒， ∴1803045105AFM ∠=︒-︒-︒=︒, ∵90EFD ∠=︒,∴AFD ∠=15︒，故选：A ．．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．二、填空题7．如图，在ABC 中，80A ∠=︒，30C ∠=︒，将CDE △沿DE 折叠得到C DE '，则12∠+∠等于__________________度．【答案】50°．【分析】连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求解．【详解】解：连接DG ，根据折叠的性质，得：30C C '==︒∠∠，()()()12180'180'180180301808050C ADG AGD C A ∠+∠=︒-∠-∠+∠=︒-∠-︒-∠=︒-︒-︒-︒=︒故答案为：50°．【点睛】本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是作出辅助线帮助求解，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图，在ABC 中，80A ∠=︒，高BE 和CH 的交点为O ，则∠BOC =______ 【答案】100︒【分析】由BE 、CF 是△AB C 的高可得90BHC AEB ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理可得∠ABE 的度数，进而可求出∠BOH 的度数，根据平角的定义即可得答案．【详解】∵BE 和CH 为ABC 的高， ∴90BHC AEB ∠=∠=︒， ∵80A ∠=︒，∴在ABE △中，180180908010ABE AEB A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，在BHO △中，180180901080BOH BHO HBO ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴180********BOC BOH ∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180°，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．9．如图，△ABC 中，∠BDC ＝90°，BE 、CE 分别平分∠ABD 和∠ACD ，BF 、CF 分别平分∠ABE 和∠ACE ，若∠A ＝40°，则∠F ＝__°．【答案】52.5．【分析】利用三角形内角和、角平分线的性质求出∠FBC+∠FCB的度数，问题即可解决．【详解】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°，∵BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，∴∠FBD+∠FCD＝34×50°＝37.5°，∴∠FBC+∠FCB＝37.5°+90°＝127.5°，∴∠F＝180°﹣127.5°＝52.5°，故答案为52.5．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，关键是熟练掌握这些基本知识，这是基本的题型．10．如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝140°，则∠A＝__°．【答案】100【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．【详解】解：如图，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°﹣80°＝100°，故答案为：100【点睛】本题考查了角的平分线及三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线与三角形内角和定理是解题的关键．11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大小为____．【答案】35°【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的性质求得∠BAO的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OB，∠ABC＝90°，又∵∠AOB＝70°，∴∠BAO＝∠ABO＝12（180°﹣70°）＝55°，∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣55°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．12．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．请写出∠C、∠D、∠P的数量关系____________．【答案】2∠P＝∠D+∠C【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义得到12∠CAD+∠P＝12∠CBD+∠C，12∠CAD+∠D＝12∠CBD+∠P，两式相减整理即可．【详解】解：∵∠BF A＝∠P AC+∠P，∠BF A＝∠PBC+∠C，∴∠P AC+∠P＝∠PBC+∠C，∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，∴∠P AC=∠P AD＝12∠CAD，∠PBC=∠PBD＝12∠CBD，∴12∠CAD+∠P＝12∠CBD+∠C①，∵∠DEP＝∠P AD+∠D，∠DEP＝∠EBP+∠P，∴12∠CAD+∠D＝12∠CBD+∠P②，①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，整理得，2∠P＝∠D+∠C，故答案为：2∠P＝∠D+∠C．【点睛】本题考查角平分线定义，三角形外角性质，以及等式的性质，掌握角平分线定义，三角形外角性质，以及等式的性质是解题关键．13．如图，点O是ABCD的对称中心，点E为BC边的中点，点F为AD边上的点，且13DF AD．若12,S S 分别表示AOE △和CDF 的面积，则1S 与2S 之间的等量关系是______．【答案】1234S S = 【分析】根据三角形性质可得S 1=14ABC S ， S 2=13ADC S ，根据平行四边形性质可得 ABC ADC S S =，然后可以得到解答．【详解】解：如图，连结OC ，则A 、O 、C 三点在同一直线上，∵O 是AC 中点，E 是BC 中点，∴S 1=11112224AEC ABC ABC S S S =⨯=，∵DF =13AD ， ∴S 2=13ADC S ， ∴S 1：S 2=113434=：，即1234S S =，故答案为1234S S =．【点睛】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中线的性质及平行四边形的对称性是解题关键．14．下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少 10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A +∠B =50°+60°=110°， ∴∠ACB =180°-110°=70°， ∴∠DCE =70°，如图，连接CF 并延长，∴∠DFM =∠D +∠DCF =20°+∠DCF ，∠EFM =∠E +∠ECF =30°+∠ECF ，∴∠EFD =∠DFM +∠EFM =20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD =110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由∠EFD =∠DFM +∠EFM =∠D +∠DCF +∠E +∠ECF =∠D +∠E +∠ECD =∠D +30°+70°=∠ D +100°，因此应将∠D 减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．三、解答题15．已知ABC 中，AD BC ⊥于点D ，AE 平分BAC ∠，过点A 作直线//GH BC ，且60GAB ∠=︒，40C ∠=︒．（1）求ABC 的外角CAF ∠的度数；（2）求DAE ∠的度数．【答案】（1）100°；（2）10°【分析】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE =40°，根据平行线的性质求出∠GAD =90°，结合图形计算，得到答案．【详解】解：（1）∵GH ∥BC ，∠C =40°，∴∠HAC =∠C =40°，∵∠F AH =∠GAB =60°，∴∠CAF =∠HAC +∠F AH =100°；（2）∵∠HAC =40°，∠GAB =60°， ∴∠BAC =80°，∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE =40°，∵GH ∥BC ，AD ⊥BC ， ∴∠GAD =90°， ∴∠BAD =90°-60°=30°，∴∠DAE =∠BAE -∠BAD =10°．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键．16．如图，ABC 中，80,30,BAC C BP ∠=︒∠=︒平分ABC ∠，点D 为射线BP 上一动点．（1）连接AD ，若//AD BC ，求ADB ∠的度数；（2）连接DC ，若DC 所在的直线垂直于ABC 的一边，则所有满足条件的BDC ∠的度数为__________．【答案】（1）35°；（2）125°或25°或55°【分析】（1）根据三角形内角和得到∠ABC ，根据角平分线的定义得到∠ABP ，再利用平行线的性质得到∠ADB ；（2）分1D C AB ⊥，2D C AC ⊥，3D C BC ⊥三种情况分别求解．【详解】解：（1）∵80BAC ∠=︒，30C ∠=︒， ∴70ABC ∠=︒，∵BP 平分ABC ∠， ∴35ABP CBP ∠=∠=︒， ∵//AD BC ， ∴35ADB CBP ∠=∠=︒．（2）①当1D C AB ⊥时，延长1CD 至E ，90BEC ∠=︒，135ABD ∠=︒， ∴11125BDC BEC ABD ∠=∠+∠=︒， ②当2D C AC ⊥时，223090120BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴221801803512025BD C CBP BCD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，③当3D C BC ⊥时，390BCD ∠=︒，35CBP ∠=︒， ∴33180180359055BD C CBP BCD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识，同时分类讨论解决问题．17．给出三个多项式26,2,2A x x B x C x =-+=-=+．（1）计算：A B -；（2）计算：()B C A B ⋅⋅-；（3）分别比较A 与B 、A 与C 的大小，并说明理由；（4）若22x -<<时，A 、B 、C 能否作为同一个三角形的三边长？请说明理由．【答案】（1）24x +；（2）416x -；（3）A B >；A C >，理由见解析；（4）不能；证明见解析【分析】（1）计算A -B ，去括号，合并同类项即可；（2）将A ，B ，C 代入，利用整式的混合运算法则计算即可；（3）分别计算A -B 和A -C ，根据结果比较即可；（4）计算B +C ，将A 利用完全平方公式变形，比较B +C 和A 的结果可得．【详解】解：（1）()262A B x x x -=-+--262x x x =-+-+24x =+；（2）()B C A B ⋅⋅-()()()2224x x x =-++()()2244x x =-+416x =-；（3）A 与B ，2440A B x -=+≥>， ∴A B >，A 与C ，()262A C x x x -=-+-+262x x x =-+--224x x =-+()213x =-+， ∵10x -≥， ∴30A C -≥>，故A C >；（4）不能作为同一个三角形的三边长，∵224x x -++==B +C ，221232364244A x x x ⎛⎫=-+=-+≥> ⎪⎝⎭， ∴B C A +<，故A 、B 、C 不能同时作为同一个三角形的三边长．【点睛】本题考查了整式的混合运算，三角形的三边关系，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是掌握整式的大小比较方法的使用．18．如图，在ABC 中，90,BAC AD BC ∠=︒⊥于点,D AE 平分,50DAC B ∠∠=︒，求BAD ∠和AEC ∠的度数．【答案】∠BAD =40°，∠AEC =115°【分析】先由三角形内角和定理求出∠C 的度数，再由直角三角形的性质即可求出∠BAD 的度数；在△ADC 中，由∠ADC =90°，∠C =40°可得出∠DAC 的度数，再由角平分线的性质即可求出∠DAE 的度数，再由直角三角形的性质求出∠AED 的度数，由两角互补的性质即可得出∠AEC 的度数．【详解】解：在△ABC 中，∵∠BAC =90°，∠B =50°，∴∠C =90°-∠B =40°，∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =90°-∠B =40°；在△ADC 中，∵∠ADC =90°，∠C =40°，∴∠DAC =90°-∠C =50°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAE =12∠DAC =25°，在△DAE 中，∵∠ADE =90°，∠DAE =25°，∴∠AED =90°-∠DAE =65°，∴∠AEC =180°-∠AED =180°-65°=115°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的性质及两角互补的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．19．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知90C ∠=︒，30A ∠=︒．（1）求12∠-∠的度数；（2）若保持A DE '的一边与BC 平行，求ADE ∠的度数．【答案】（1）60°；（2）45°或30°【分析】（1）先求出∠B 的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD 的度数，由∠BFD =∠A ′FE 和∠A ′的度数可求出答案．（2）分EA '∥BC 和DA '∥BC 两种情况讨论．当DA '∥BC 时，先求出∠A ′DA =90°，再根据折叠可得出∠ADE =45°；当EA '∥BC 时，根据平行线的性质求出∠2=∠ABC =60°，由（1）得出∠1=120°，再根据折叠可求出∠ADE 的度数．【详解】解：（1）由折叠可知，30A A '∠=∠=︒在A EF '△中，2180A A FE ''∠+∠+∠=︒2180150A AFE A FE ''∴∠=︒-∠-∠=︒-∠在ABC 中，18060B C A ∠=︒-∠-∠=︒在四边形BCDF 中，1360C B BFD ∠+∠+∠+∠=︒1360210C B BFD BFD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠ 因为BFD A FE '∠=∠1221015060∴∠-∠=︒-︒=︒（2）①当//DA BC '时，90ADA ACB '∠=∠=︒ ADE 沿DE 折叠A DE ' 1452ADE A DE ADA ''∴∠=∠=∠=︒②当//EA BC '时，260ABC ∠=∠=︒由（1）知，1260∠-∠=︒，1260120∴∠=∠+︒=︒，ADE 沿DE 折叠A DE '()11801302ADE A DE ADA ''∴∠=∠=∠=︒-∠=︒综上，∠ADE 的度数为：45°或30°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键．20．先阅读下面的内容，再解答问题．（阅读）例题：求多项式2222613m mn n n ++-+的最小值．解；()()2222222226132694()(3)4m mn n n m mn nn n m n n ++-+=+++-++=++-+，∵22()0,(3)0m n n +≥-≥ ∴多项式2222613m mn n n ++-+的最小值是4．（解答问题）（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是____________；（2）已知a 、b 、c 是ABC 的三边，且满足2210841a b a b +=+-，求第三边c 的取值范围；（3）求多项式2224369x xy y y -+--+的最大值．【答案】（1）完全平方公式；（2）1＜c ＜9；（3）18【分析】（1）根据完全平方公式解答；（2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a 、b ，根据三角形的三边关系计算，得到答案；（3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：（1）例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式，故答案为：完全平方公式；（2）a 2+b 2=10a +8b -41，a 2-10a +25+b 2-8b +16=0，（a -5）2+（b -4）2=0．∵（a -5）2≥0，（b -4）2≥0，∴a -5=0，b -4=0，∴a =5，b =4，∴5-4＜c ＜5+4，即1＜c ＜9；（3）原式=2222426918x xy y y y --+---+ =()()222226918x xy y y y ---++++ =()()222318x y y +---+∵-2（x -y ）2≤0，-（y +3）2≤0，∴多项式2224369x xy y y -+--+的最大值是18．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．。

全等三角形的提高拓展训练典范题型50题(含答案解析)

全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB AND【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交NCDE BMAFEDCBA OEDCBA于点O．求证：OA平分DOE∠．【例5】(北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D为顶点作一个60︒的MDN∠，点M、N分别在AB、AC上，求AMN∆的周长．【例6】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDEA NMD CBACE DBA板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC∆中，60BAC∠=︒，AD是BAC∠的平分线，且AC AB BD=+，求ABC∠的度数.【例8】在等腰ABC∆中，AB AC=，顶角20A∠=︒，在边AB上取点D，使AD BC=，求BDC∠.【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC∆中，AC BC=，20C∠=︒，又M在AC上，N在BC上，且满足50BAN∠=︒，60ABM∠=︒，求NMB∠. NMCB A【例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求ADMCAB_延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=ACADBCBA CDF2 1 E3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥ABCDB A所以∠CEB＝∠CEF＝90°因为EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF所以∠B＝∠CFE因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°所以∠D＝∠CFA因为AC平分∠BAD所以∠DAC＝∠FAC又因为AC＝AC所以△ADC≌△AFC（SAS）所以AD＝AF所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE5. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

专题03 直角三角形(十大题型+跟踪训练)(解析版)

专题03直角三角形（十大题型+跟踪训练）题型一：直角三角形的两个锐角互余1．如图，在Rt ABC 中，C ∠＝90°，A ∠＝55°，则B ∠的度数为（）A ．25°B ．35°C ．45°D ．55°【答案】B 【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可．【解析】解：90C ∠=︒ ，90A B ∴∠+∠=︒，55A ∠=︒ ，35B ∴∠=︒．故选：B ．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键．2．直角三角形的一锐角是50°，那么另一锐角是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】A【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可求解．【解析】解：∵直角三角形的一锐角是50°，∴另一锐角是905040︒-︒=︒．故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键．3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，则与∠A 互余的角有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A 互余的角．【解析】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高线，∴∠A ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠ACD ＝90°，∴与∠A 互余的角有2个，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．题型二：勾股定理的逆定理4．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．三内角之比为1∶2∶3B ．三边长的平方之比为1∶2∶3C ．三边长之比为3∶4∶5D ．三内角之比为3∶4∶5【答案】D【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．【解析】A 、设三个内角的度数为n ，2n ，3n 根据三角形内角和公式23180n n n ++= ，求得30n = ，所以各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；B 、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；C 、设三条边为3n ，4n ，5n ，则有()()()222345n n n +=，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D 、设三个内角的度数为3n ，4n ，5n ，根据三角形内角和公式345180n n n ++= ，求得15n = ，所以各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5．在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，下列条件中，能判断ABC 是直角三角形的有（）个．①3a =，4b =，5c =；②()()2c b c b a +-=；③123A B C ∠∠∠=::::；④9a =，40b =，41c =．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理可以判断①④；根据()()2c b c b a +-=即可推出222+=a b c 即可判断②；利用三角形内角和等于180度，即可求出∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，即可判断③．【解析】解：∵在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，∴当3a =，4b =，5c =时，222+=a b c ，∴此时△ABC 是直角三角形，故①正确；∵()()2c b c b a +-=，∴222c b a -=即222+=a b c ，∴此时△ABC 是直角三角形，故②正确；∵123A B C ∠∠∠=::::，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =30°，∠B =60°，∠C =90°，∴此时△ABC 是直角三角形，故③正确；∵9a =，40b =，41c =，∴222222940168141a b c +=+===，40b =，41c =，∴此时△ABC 是直角三角形，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．6．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（）A ．如果a 2=b 2−c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A =90°B ．如果∠A :∠B :∠C =1:2:3，那么△ABC 是直角三角形C ．如果222::9:16:25a b c =，那么△ABC 是直角三角形D ．如果A B C ∠-∠=∠，那么△ABC 是直角三角形【答案】A【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【解析】解：A 、如果a 2=b 2-c 2，即b 2=a 2+c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠B =90°，选项错误，符合题意；B 、如果∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，由∠A +∠B +∠C =180°，可得∠A =90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）A．5组B．4组C．3组D．2组【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2=c2时，它是直角三角形，由此可解出本题．【解析】①中有92+122=152，可以构成直角三角形；②中有72+242=252，可以构成直角三角形；③中(32)2+(42)2≠(52)2，不构成直角三角形；④中有(3a)2+(4a)2=(5a)2，可以构成直角三角形；m−n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，可以构成直角三角形；⑤中有(2所以可以构成4组直角三角形.故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可．8．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A．B．C ．D ．【答案】C 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解析】解：A 、22272425+=，222152024+≠，222222025+≠，故A 不正确，不符合题意；B 、22272425+=，222152024+≠，故B 不正确，不符合题意；C 、22272425+=，222152025+=，故C 正确，符合题意；D 、22272025+≠，222241525+≠，故D 不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．题型三：勾股定理的逆定理的应用9．已知某开发区有一块四边形空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A =90°，∠CBD =90°，DB =5m ，CD =13m ，DA =4m ，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入?【答案】需要投入资金为7200元【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，连接BD ，在直角三角形CBD 中由勾股定理可求BC 的长，在直角三角形ABD 中可求得BA 的长，由此看，四边形ABCD 由Rt △ABD 和Rt △DBC 构成，则容易求解．【解析】证明：连接BD题型四：勾股定理的折叠问题10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．11．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（）A．4cm B．6cm C．7cm D．8cm12．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC 的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）A．2B．103C．83D．4【答案】B【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到题型五：勾股定理的逆定理的网格问题13．如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD BC⊥于点D，则AD的长为（）A．1B．2C．32D．73【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．14．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型六：直角三角形全等的判定15．判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等【答案】D【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．【解析】解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．题型七：直角三角形全等的判定的条件或理由16．如图，已知AC ⊥BD ，垂足为O ，AO ＝CO ，AB ＝CD ，则可得到△AOB ≌△COD ，理由是（）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS 【答案】A 【分析】由AC ⊥BD ，可得∠AOB =∠COD =90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案．【解析】解：由AC ⊥BD ，可得∠AOB =∠COD =90°，∴△AOB 和△COD 是直角三角形，AO ＝CO ，AB ＝CD ，直角边和斜边对应相等，所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB ≌△COD ，故选A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键．17．如图，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，CD EF =．要根据“HL ”证明Rt ACD Rt BEF △≌△，则还需要添加的条件是（）A ．A B∠=∠B ．C D ∠=∠C ．AC BE =D ．AD BF=【答案】C 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．【解析】解：∵CD ⊥AB 于点D ，EF ⊥AB 于点F ，∴∠ADC ＝∠BFE ＝90°，∵CD ＝EF ，∴当添加AC ＝BE 时，根据“HL ”判断Rt △ACD ≌Rt △BEF ．故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．18．如图，AD 为ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且有,BF AC FD CD ==，则BFD ACD ≌△△的理由根据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．HL 【答案】D 【分析】根据AD 是三角形的高，得到∠BDF =∠ADC =90°，故可根据HL 可以判定．【解析】∵AD 是三角形的高，∴∠BDF =∠ADC =90°，∵BF =AC ，FD =CD ，∴BFD ACD ≌△△（HL ），故选D ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握高的意义和直角三角形全等的判定定理是解题的关键．19．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON ，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB ．做法中用到证明△OMP 与△ONP 全等的判定方法是（）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．HL【答案】D 【分析】根据直角三角形全等的判定HL 定理，可证△OPM ≌△OPN ．【解析】解：∵OM =ON ，OP =OP ，∠OMP =∠ONP =90°，∴△OPM ≌△OPN所用的判定定理是HL ．故选D.【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL 定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．20．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（）A ．AB ＝2cm ，BC ＝6cm ，AC ＝3cmB ．BC ＝3cm ，AC ＝5cm ，∠B ＝90°C ．∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°D ．AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，∠C ＝30°【答案】B【分析】根据三角形三边的关系对A 进行判断；根据全等三角形的判定方法对B 、C 、D 进行判断．【解析】解：A 、因为AB +AC ＜BC ，三条线段不能组成三角形，所以A 选项不符合题意；B 、BC ＝3cm ，AC ＝5cm ，∠B ＝90°，根据直角三角形HL 可判断此三角形为唯一三角形，所以B 选项符合题意；C 、利用∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°根据AAA 不能确定三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以C 选项不符合题意；D 、利用AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，∠C ＝30°根据SSA ，不能判断两个三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法——SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．题型八：利用直角三角形全等的判定求三角形中的元素21．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点D ，BC BD =．如果3cm AC =，那么AE DE +=（）A ．2cmB ．4cmC ．3cmD ．5cm【答案】C 【分析】通过HL 判定定理可证Rt∆BDE ≅Rt∆BCE ，得到ED=EC ，即可求解．【解析】在Rt BCE 和Rt BDE △中，BC BD =，BE BE =，∴()Rt Rt HL BCE BDE ≌△△，∴ED EC =，∴3cm AE DE AE EC AC +=+==．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ，全等三角形的对应边相等.22．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ，下列结论中不一定成立的是（）A ．PA PB=B ．PO 平分APB ∠C ．=OA OB D ．AB 垂直平分OP 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．【解析】解：对A 、B 、C 选项，∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，∴PA PB =，∵在Rt PAO ∆和Rt PBO ∆中==PA PB OP OP ⎧⎨⎩，∴Rt Rt OPA OPB ∆∆≌，∴APO BPO ∠=∠，=OA OB ，∴PO 平分APB ∠，故A 、B 、C 正确，不符合题意；D ．∵PA PB =，=OA OB ，∴OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故D 错误，符合题意．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明Rt Rt OPA OPB ∆∆≌，是解题的关键．题型九：直角三角形全等的判定的综合23．如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A 、B ，下列四个结论正确的个数是（）①PA =PB ②PO 平分∠APB ③OA =OB ④OP 垂直平分A B ．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据角平分线的性质可得PA ＝PB ，然后依据HL 证明Rt △AOP ≌Rt △BOP ，则OA ＝OB ，∠OPA ＝∠OPB ，进而可得OP 是AB 的垂直平分线，则结论可一一判断．【解析】解：∵OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA 于A ，PB ⊥OB 于B ，∴PA ＝PB ，故①正确；在Rt △PAO 和Rt △PBO 中，PA PB OP OP =⎧⎨=⎩，∴Rt △PAO ≌Rt △PBO （HL ），∴OA ＝OB ，∠OPA ＝∠OPB ，故②③正确；∵OA ＝OB ，AP ＝BP ，∴OP 是AB 的垂直平分线，故④正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．24．如图，ABC 中，ACF ∠、EAC ∠的角平分线CP 、AP 交于点P ，延长BA 、BC ，PM BE ⊥，PN BF ⊥．则下列结论中正确的个数（）①BP 平分ABC ∠；②2180ABC APC ∠+∠=︒；③2CAB CPB ∠=∠；③PAC MAP NCP S S S +=△△△．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个25．如图，ABC 中，60BAC BAC ∠=︒∠，的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠;④2AB AC AE +=，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个在Rt BED △和Rt CFD 中DE DF BD DC =⎧⎨=⎩，Rt Rt BED CFD ∴≅△△．BE FC ∴=．AB AC AE BE AF FC∴+=-++又= AE AF ，BE FC =，2AB AC AE ∴+=．故④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．题型十：直角三角形全等的判定的相关几何证明26．如图，90A D ∠=∠=︒，AE DF =，EC FB =，求证：AB CD =．【答案】证明见解析【分析】利用HL 证明RtΔRtΔEAC FDB ≌，即可得到结论．【解析】证明：∵90A D ∠=∠=︒，在RtΔEAC 和ΔRt FDB 中，∵EC FB =，AE DF =，∴RtΔΔEAC Rt FDB ≌(HL )，∴AC DB =，AC BC DB BC -=-，即AB CD =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．27．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD 的高．(1)请说明AE AF =的理由；(2)若2AB AC -=，1CF =，求线段BE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)3BE =【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到DE DF =，然后证明出Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△即可得到AE AF =；（2）由AE AF =得到AB BE AC CF -=-，然后代入求解即可．【解析】（1）解：∵DE 、DF 分别是ABD △和ACD 的高，∴DE AB ⊥，DF AC⊥∵AD 是ABC 的角平分线，∴DE DF =，在Rt ADE △和Rt ADF 中，∵AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，∴AE AF =；（2）解：∵AE AF =，即AB BE AC CF -=-，∴213BE AB AC CF =-+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．28．如图所示，点M 是线段AB 上一点，ED 是过点M 的一条直线，连接AE BD 、，过点B 作BF AE ∥交ED 于F ，且EM FM =．(1)若5AE =，求BF 的长；(2)若90AEC AC DB ∠=︒=，，求证：ACE D ∠=∠．【答案】(1)5BF =(2)见解析【分析】（1）根据题意证明(AAS)AEM BFM ≌ ，根据全等三角形的性质可得结果；（2）根据题意证明()Rt Rt HL AEC BFD ≌ ，根据全等三角形的性质可得结果．【解析】（1）解：∵BF AE ∥，∴MFB MEA MBF MAE ∠=∠∠=∠，，∵EM FM =，∴(AAS)AEM BFM ≌ ，∴AE BF =，∵5AE =，∴5BF =；（2）∵BF AE ∥，∴MFB MEA ∠=∠，∵90AEC ∠=︒，∴90MFB ∠=︒，∴90BFD ∠=︒，∴90BFD AEC ∠=∠=︒，在Rt AEC △和Rt BFD 中，∵AC BD AE BF ==，，∴()Rt Rt HL AEC BFD ≌ ，∴ACE D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．一、单选题1．如图，已知AC BD ⊥，垂足为O ，AO CO =，AB CD =，则可得到AOB COD ∆≅∆，理由是()A ．HLB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可．【解析】解:∵AC BD⊥∴∠AOB=∠COD=90°在Rt △AOB 和Rt △COD 中AO CO AB CD=⎧⎨=⎩∴AOB COD ∆≅∆（HL ）故选A ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用HL 判定两个三角形全等是解决此题的关键．2．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（）A ．斜边相等B ．面积相等C ．两对锐角对应相等D ．两对直角边对应相等【答案】D【解析】试题分析：当两直角边对应相等可以根据SAS 来进行判定三角形全等，或者也可以根据一条直角边和一条斜边对应相等，根据HL 进行判定.考点：直角三角形的全等3．如图，点C ，E 分别在BD ，AC 上，AC ⊥BD ，且AB ＝DE ，AC ＝CD ，则下列结论错误的是（）A ．AE ＝CEB ．∠A ＝∠DC ．∠EBC ＝45°D ．AB ⊥DE【答案】A 【分析】由“HL”可证Rt △ABC ≌Rt △DEC ，可得∠A=∠D ，BC=CE ，可得∠EBC=45°，由余角的性质可证AB ⊥DE ，利用排除法可求解．【解析】如图，延长DE 交AB 于点H ，∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ECD ＝90°，在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，AB DE AC CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △DEC （HL ），∴∠A ＝∠D ，BC ＝CE ，∴∠EBC ＝45°，∵∠A +∠ABC ＝90°，∴∠D +∠ABC ＝90°，∴AB ⊥DE ，∴B ，C ，D 正确；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明Rt △ABC ≌Rt △DEC 是本题的关键．A ．122+【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出22CD AD AD +=即可．【解析】解：如图所示，连接在Rt ABC △中，由勾股定理得∵4CD DA =，∴22CD AD +=∴ACD 是直角三角形，且∴ABCD S S =四边形故选B ．5．如图，在Rt 连接CF ，使CFA ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．无法计算【答案】B 【分析】证明Rt △ACB ≌Rt △FEC ，得到AC=10cm EF =，EC=4cm BC =，即可求出AE 的长度.【解析】∵EF AC ⊥，∴∠CEF=90ACB ∠=︒，在Rt △ACB 和Rt △FEC 中，AB FC BC CE =⎧⎨=⎩，∴Rt △ACB ≌Rt △FEC ，∴AC=10cm EF =，EC=4cm BC =，∴AE=AC-EC=6cm ，故选：B.【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理，根据题意准确确定对应相等的条件正确三角形全等是解题的关键.6．如图，在ABC 中，90BAC ∠= ，30C ∠= ，AD BC ⊥，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，EF AC ∥交BC 于点F ，下列结论不成立．．．的是（）A ．ABD DAC∠=∠B ．C BAD ∠=∠C ．2AC AD =D ．2AD DF=【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，直角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质等知识．分别求出60ABD DAC ∠=∠=︒，得到A 选项成立；30C BAD ∠=∠=︒，得到B 选项成立；根据角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，得到2AC AD =，得到C 选项成立；证明BE FE =，BD DF =，再证明2AB BD =，即可得到2AB DF =，即可证明2AD DF ≠，得到D 选项错误．A ．正南方向B ．正东方向【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据题意可求得【解析】解：由图可得：500,AC AB =∴222AC AB BC +=，∴CAB △是直角三角形，∴彬彬家C 在学校A 的正北方向，故选：D ．8．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形小正方形EFGH ．已知AM 为Rt △ABMA ．4个B ．3个【答案】B 【分析】首先过A 作AE ⊥BC ，当D 而可得BE 的长，利用勾股定理计算出【解析】解：如图：过A 作AE ⊥BC ∵在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，∴当AE ⊥BC ，EB =EC =4，∴AE =2222543AB BE -=+=，∵D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，∴3⩽AD <5，∴AD =3或AD =4，当AD =4时，在靠近点B 和点C 端各一个，故选B .【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.10．如图，在ABC 和ADE V 中，AB AC AD AE AD AB ==<，，，49BAC DAE ∠=∠=︒，连接CE BD ，，延长BD 交CE 于点F ，连接AF ．下列结论：①BD CE =；②AD BD =；③49BFC ∠=︒；④AF 平分BFE ∠．其中正确的结论个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】先证明BAD CAE ∠=∠，再证明BAD CAE ≌即可得到BD CE =，故①符合题意；记AC 、BF 的交点为O ，结合三角形全等的性质以及三角形内角和定理可得49OFC BAO ∠=∠=︒，故③符合题意；根据D 在BF 上可以是个动点，仍然满足ADE V 中，AD AE =，49DAE ∠=︒，可得AD 不一定等于BD ，故②不符合题意；作AK BD ⊥于K ，作AH CE ⊥于H ，由全等三角形的性质可得AK AH =，再证明Rt Rt AKF AHF ≌，即可得到④符合题意．【解析】解：49BAC DAE ∠=∠=︒ ，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BAD CAE ∴△≌△，BD CE ∴=，故①正确，符合题意；如图，记AC 、BF 的交点为O ，，BAD CAE △≌△，ABD ACE ∴∠=∠，AOB COF ∠∠= ，180ABO BAO AOB ∠+∠+∠=︒，180OCF CFO COF ∠+∠+∠=︒，49OFC BAO ∴∠=∠=︒，故③正确，符合题意；D 在BF 上可以是个动点，仍然满足ADE V 中，AD AE =，49DAE ∠=︒，AD ∴不一定等于BD ，故②错误，不符合题意；如图，作AK BD ⊥于K ，作AH CE ⊥于H ，，则90AKF AHF ∠=∠=︒，BAD CAE △≌△，∴由全等三角形的对应高相等可得：AK AH =，在Rt AKF △和Rt AHF △中，AK AH AF AF=⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL AKF AHF ∴ ≌，AFD AFH ∴∠=∠，FA ∴平分BFE ∠，故④正确，符合题意；综上所述，正确的为①③④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上性质，添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题=【答案】AB CD【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据条件即可得到答案．【解析】解：Rt△根据“HL”证明Rt故答案为：AB=13．如图，B∠=【答案】50°【解析】略14．如图，点D在则∠EDF＝．【答案】90【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据平方的三角形是直角三角形【解析】解：∵DE⊥【答案】5或10【分析】分两种情况：当【解析】分两种情况：当AQ=5时，∵5BC=，∴AQ=BC，∵AD⊥AC，∴∠QAP=∠ACB=90︒，∵AB=PQ，≌△PQA（HL）；∴ABC当AQ=10时，AC=，∵10∴AQ=AC，∵AD⊥AC，【答案】65°【答案】25 8【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接得DE AE EF==，根据四边形90BFE D A∠=∠=∠=︒，利用8CG DG DC x=-=-，BG222CG BC BG+=，进行计算即可得．【解析】解：如图所示，连接∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG=⎧⎨=⎩，∴(Rt Rt HL EFG EDG V V ≌∴8FG DG ==，三、解答题19．如图，A 、E 、F 、C 在一条直线上，AF ＝CE ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AB ＝CD ，求证：(1)△ABF ≌△CDE(2)BG ＝DG【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用HL 证明△ABF ≌△CDE ，即可；（2）根据Rt ABF Rt CDE ≌，可得BF DE =，利用AAS 证明DEG BFG ≌，即可求证．【解析】（1）证明：∵,DE AC BF AC ⊥⊥，∴90AFB DEC ∠=∠=︒，在Rt ABF 和Rt CDE △中，90AFB DEC ∠=∠=︒，AB CD AF CE =⎧⎨=⎩，∴()Rt ABF Rt CDE HL ≌；（2）证明：∵Rt ABF Rt CDE ≌，∴BF DE =，在DEG △和BFG 中，DGE BGF DEG BFG DE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEG BFG AAS △≌△，∴BG DG =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．如图，AB ＝AC ，直线l 过点A ，BM ⊥l ，CN ⊥l ，垂足分别为M ，N ，且BM ＝AN ．(1)求证：∠BAM =∠ACN ；(2)求证：∠BAC ＝90°．【答案】(1)见解析(2)∠BAC ＝90°【分析】（1）由题意知∠AMB ＝∠CNA ＝90°，证明()Rt AMB Rt CNA HL ≌即可；（2）由()Rt AMB Rt CNA HL ≌，可知∠BAM ＝∠ACN ，根据∠CAN +∠ACN ＝90°，可得∠CAN +∠BAM ＝90°，进而结论得证．【解析】（1）证明：∵BM ⊥直线l ，CN ⊥直线l ，∴∠AMB ＝∠CNA ＝90°，在Rt AMB 和Rt CNA △中，∵AB AC BM AN =⎧⎨=⎩，∴()Rt AMB Rt CNA HL ≌，∴∠BAM ＝∠ACN ；（2）证明：∵()Rt AMB Rt CNA HL ≌，∴∠BAM ＝∠ACN ，∵∠CAN +∠ACN ＝90°，∴∠CAN +∠BAM ＝90°，∴1809090BAC ∠=︒-︒=︒，得证．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．如图，在下面33⨯的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，在现有网格中，以格点为顶点画图．(1)在下图中，画一个正方形ABCD ，使它的面积为5；(2)在下图中，面一个直角三角形DEF ．使它的三边长都是无理数且面积为2．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】本题考查网格作图，勾股定理，勾股定理逆定理．（1）根据题意画出一个边长为（2）根据题意，画出一个边长均为无理数的直角三角形即可．掌握勾股定理，勾股定理逆定理，是解题的关键．【解析】（1）解：如图所示，正方形由图可知，正方形的边长为：∴正方形ABCD 的面积为（2）如图所示：直角三角形有勾股定理得：2,DE =∴222DE EF DF +=，∴DEF 为直角三角形．22．探究题：如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，其底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从点B 出发向点C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当点P 运动多长时间时，点P 与顶点A 的连线PA 与腰垂直．【答案】当点P 运动的时间为7s 或25s 时，点P 与顶点A 的连线与腰垂直．【分析】利用勾股定理求出AD 的长，再利用勾股定理逆定理即可证明垂直.【解析】（1）过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵AB ＝AC ，BC ＝8cm ，∴BD ＝CD ＝BC ＝4cm.由勾股定理，得AD ＝＝3(cm)．分两种情况：(1)如图，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC （P 在线段BD 上）时，∵AP 2＝PD 2＋AD 2＝PC 2－AC 2，∴PD 2＋32＝(PD ＋4)2－52，∴PD ＝2.25cm ，∴BP ＝4－2.25＝1.75，∴0.25t ＝1.75，解得t ＝7.(2)当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB （P 在线段CD 上）时，同理可得PD ＝2.25，∴BP ＝4＋2.25＝6.25，∴0.25t ＝6.25，解得t ＝25.综上所述，当点P 运动的时间为7s 或25s 时，点P 与顶点A 的连线与腰垂直．【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的应用，熟悉概念是解题关键.23．如图，ABC 中，P 为AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，过点P 作PM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN AC ⊥交AC 的延长线于点N ，且PM QN =，连PQ 交AC 边于D ．求证：(1)APM CQN ≌△△；(2)12DM AC =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质（1）由“HL ”可证Rt APM （2）先由（1）可知AM =然后由线段的和差即可得证．【解析】（1）证明：PA Rt Rt APM CQN ∴ ≌(HL （2）由（1）已证：APM △AM CN∴=(1)猜想两支架AC 与BC 的位置关系并说明理由；(2)若FG 的长度为80cm,60EHG ∠=︒，求购物车把手F 到【答案】(1)垂直，见解析(2)112.5cm【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含（1）根据题意可得222AC BC AB +=，根据勾股定理的逆定理即可得出（2）过点F 作AB 的垂线，交,DG AB 的延长线分别于点Rt FGP △中，80FG =勾股定求得403FP =，根据等面积法，即可求解．【解析】（1）解：在ABC 中．∵72,54,90AC BC AB ===∵222725490+=，∴90ACB ∠=︒答：两支架AC 与BC 为垂直的位置关系（2）过点F 作AB 的垂线，交,DG AB 的延长线分别于点∵EH DG ∥60EHG ∠=︒∴60FGP ∠=︒求证：（1）111 +=2(1)求m 和b 的值；(2)求证：OAB 是直角三角形；(3)直线1l 上是否存在点D ，使得45ODB ∠=︒，若存在，请求出点【答案】(1)2m =，132b =(2)见解析，(3)存在，()15，或()51-，∴()22313322DB m m ⎛=-+-+- ⎝∴()()22133134m -=，解得，1m =或5m =，∴存在，D 点坐标为()15，或(5【点睛】本题考查了一次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，等角对等边，利用平方根解方程．熟练掌握一次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，等角对等边，利用平方根解方程是解题的关键．28．如图，已知在Rt ABC △中，发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点(1)当90BAP ∠=︒时，则BP =______；(2)当ABP 为以AP 为腰的等腰三角形时，求t 的值；(3)过点D 作DE AP ⊥于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使【答案】(1)20(2)t 的值16或5(3)5t =或11【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可．（2）分AP AB =，PA PB =两种情况进行讨论求解即可；（3）分点P 在C 点的左侧和点P 在C 点的右侧，两种情况，进行求解即可．【解析】（1）当90BAP ∠=︒时，如图：由题意，得：2BP t =，∴216CP t =-，在Rt ACB △中，222AB BC AC =+，在Rt PAB 中，222PB AP BA =+，在Rt PAC △中，222AP AC CP =+，∴22222BP BC AC AC CP =+++，即：()()2222221688216t t =+++-，解得：10t =，∴20BP =；故答案为：20．（2）①当AP AB =时，如图∵,AP AB AC BC=⊥∴232BP BC ==，∴32216t =÷=；②若PA PB =，则2,162BP AP t CP t ===-，在直角三角形ACP 中，222PA CP AC +=，∴()()22221628t t =-+解得：5t =；综上所述：t 的值16或5；（3）∵3835,DE CD AD AC CD DE AP ===-=-=⊥，，∴4AE =，①若P 在C 点的左侧，则2BP t =，∴162CP t =-．又DE DC =，PD PD =，且90DEP DCP ∠=∠=︒，∴PED PCD ≌，∴162PE PC t ==-，∴202AP PE AE t =+=-，则()()2222021628t t -=-+，解得：5t =；②若P 在C 点的右侧，则2BP t =，∴216CP t =-，同法可得：216PE PC t ==-，∴212AP PE AE t =+=-，∴()()2222022168t t -=-+，解得11t =，综上所述：5t =或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用。

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单元卷解三角形（提高卷）（本卷共22题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分），在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在△ABC中，若A＝30°，，b＝4，那么满足条件的△ABC（）A．有一个B．有两个C．不存在D．不能确定【答案】B【分析】根据余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A的式子，代入题中数据化简得c2﹣4c+10＝0，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得△ABC有两个解．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝30°，a＝，b＝4，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得：6＝16+c2﹣4c，得c2﹣4c+10＝0，（*）∵△＝（4）2﹣4×1×10＝8＞0，且两根之和、两根之积都为正数，∴方程（*）有两个不相等的正实数根，即有两个边c满足题中的条件，由此可得满足条件的△ABC有两个解．故选：B．【知识点】正弦定理2.已知在△ABC中，BC＝6，AB＝4，cos B＝，则AC＝（）A．6 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】由条件利用余弦定理求得AC的值．【解答】解：△ABC中，∵BC＝6，AB＝4，cos B＝，则由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos B＝16+36﹣48×＝36，∴AC＝6，故选：A．【知识点】余弦定理3.在△ABC中，，∠BAC＝60°，D是BC的中点，若，且AD⊥BE，则实数λ＝（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由正弦定理得，不妨设b＝3k，c＝2k．因为AD⊥BE，所以，所以＝0•（）＝0，×3k×2k﹣（2k）2+（3k）2＝0，化简得，﹣4+＝0，解得，λ值．【解答】解：因为，所以，不妨设b＝3k，c＝2k．因为，所以，因为AD⊥BE，所以，所以＝0•（）＝0，[﹣+﹣]＝0×c×b×cos60°﹣c2+×b2﹣c×b×cos60°＝0，﹣c2+b2＝0，×3k×2k﹣（2k）2+（3k）2＝0，化简得，﹣4+＝0，解得，λ＝．故选：A．【知识点】正弦定理4.已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足b cos C＝a+c cos B，则该三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形【答案】B【分析】直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出结果．【解答】解：已知△ABC中，满足b cos C＝a+c cos B，利用正弦定理整理得：sin B cos C＝sin A+sin C cos B，转换为sin（B﹣C）＝sin（B+C），故B﹣C＝B+C，整理得C＝0，与三角形的内角相矛盾，故B﹣C＝π﹣B﹣C，整理得：2B＝π，解得B＝．故△ABC为直角三角形，故选：B．【知识点】正弦定理、三角形的形状判断5.在直角△ABC中，，点D在边BC上，AD＝4，AC＝5，且△ADC的面积为8，则cos B＝（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由已知利用三角形的面积公式可求sin∠DAC的值，利用同角三角函数基本关系式可求得cos∠DAC 的值，由余弦定理可得DC的值，进而根据正弦定理可求sin∠ACD的值，利用诱导公式即可求解cos B的值．【解答】解：由题意，△ADC的面积为8＝•AD•AC•sin∠DAC＝sin∠DAC，解得：sin∠DAC＝，可得cos∠DAC＝，所以：由余弦定理可得：DC2＝AD2+AC2﹣2AD•AC•cos∠DAC＝17，所以：DC＝，所以：sin∠ACD＝＝，所以：cos B＝sin∠ACD＝．故选：B．【知识点】余弦定理、正弦定理6.如图，四边形ABCD中，∠ADC＝120°，∠ACD＝30°，∠BCD＝90°，DC＝，BC＝2，则AB＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】在△ADC中可得AD＝DC＝，从而求得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理求AB．【解答】解：在△ADC中，∵∠ADC＝120°，∠ACD＝30°，DC＝，∴∠DAC＝∠ACD＝30°，∴，∴AC＝2AD•cos30°＝3．在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠ACB＝60°，∴＝．故选：C．【知识点】三角形中的几何计算7.如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC的面积为，则线段AB的长度为（）A．3 B．C．D．【答案】C【分析】由已知可求△ADC的面积为，利用三角形的面积公式可求AC＝2，根据余弦定理在△ACD 中可求CD＝2，由已知可求∠C＝30°，BD＝4，在△ABC中，根据余弦定理即可解得AB的值．【解答】解：∵BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC的面积为，∴△ADC的面积为，可得：＝＝，∴解得：AC＝2，∵△ACD中，CD2＝12+4﹣2×cos30°＝4，∴解得CD＝2，∵∠DAC＝30°，AD＝2，BD＝2DC，∴∠C＝30°，BD＝4，∴在△ABC中，AB2＝（2）2+62﹣2×cos30°＝12，解得：AB＝2．故选：C．【知识点】正弦定理8.在△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，∠ABC＝，BD平分∠ABC交AC于点D，BD＝2，则△ABC的面积的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】设∠A＝α，则0＜α＜，根据正弦定理表示出AB，BC，即可表示出三角形的ABC的面积，再根据三角函数的化简和正弦函数的图象和性质即可求出【解答】解：设∠A＝α，则0＜α＜，∠C＝π﹣﹣α＝﹣α，∵∠ABC＝，BD平分∠ABC交AC于点D，BD＝2，∴∠ABD＝∠CBD＝在三角形ABD中，∠ADB＝π﹣﹣α＝﹣α，由正弦定理可得＝，∴AB＝＝，在三角形CBD中，∠CDB＝π﹣﹣（﹣α）＝+α，由正弦定理可得＝，∴BC＝，∴△ABC面积S＝AB•BC sin＝××＝•＝•，＝（2+）＝（2+），∵0＜α＜，∴＜2α+＜，∴＜sin（2α+）≤1，∴当sin（2α+）＝1时，即α＝时，△ABC面积S最小，最小值为•（2+6）＝4，故选：B．【知识点】三角形中的几何计算二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分），在每小题所给出的四个选项中，每题有两项或两项以上的正确答案，选对得5分，漏选得3分，不选或错选得0分．9.已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的是（）A．sin（B+C）＝sin A B．sin（）＝cosC．sin B＜cos A D．cos（A+B）＜cos C【答案】ABD【分析】利用三角形内角和定理，诱导公式即可证明A，B正确；对于C，若A＝60°，B＝45°，C＝75°，显然sin B＞cos A，可得错误；对于D，利用诱导公式，三角形内角和定理可得正确．【解答】解：对于A，sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A，正确；对于B，sin（）＝sin（）＝cos，正确；对于C，若A＝60°，B＝45°，C＝75°，显然sin B＝＞＝cos A，故错误；对于D，由cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C，由C为锐角，可得：cos C＞0，可得：cos（A+B）＝﹣cos C＜cos C，正确．故选：ABD．【知识点】三角形中的几何计算10.下列命题中，正确的是（）A．在△ABC中，A＞B，∴sin A＞sin BB．在锐角△ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝600，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形【答案】ABD【分析】A．在△ABC中，由正弦定理可得sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，即可判断出正误；B．在锐角△ABC中，由＞A＞﹣B＞0，可得sin A＞sin（﹣B）＝cos B，即可判断出正误；C．在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得：sin2A＝sin2B，得到2A＝2B或2A＝2π﹣2B即可判断出正误；D．在△ABC中，利用余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，代入已知可得a＝c，又B＝60°，即可得到△ABC的形状，即可判断出正误．【解答】解：对于A，由A＞B，可得：a＞b，利用正弦定理可得：sin A＞sin B，正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈（0，），∵A+B＞，∴＞A＞﹣B＞0，∴sin A＞sin（﹣B）＝cos B，因此不等式sin A＞cos B恒成立，正确对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得：sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A＝2B或2A＝2π﹣2B，∴A＝B或，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误．对于D，由于B＝600，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2+c2﹣ac，可得（a﹣c）2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故正确．故选：ABD．【知识点】正弦定理11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下列结论正确的是（）A．sin A：sin B：sin C＝4：5：6B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为【答案】ACD【分析】由正弦定理可判断A；由余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式可判断C；由正弦定理可判断D．【解答】解：（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可设a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，可得sin A：sin B：sin C＝a：b：c＝4：5：6，故A正确；由c为最大边，可得cos C＝＝＝＞0，即C为锐角，故B错误；由cos A＝＝＝，由cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝＝cos C，由2A，C∈（0，π），可得2A＝C，故C正确；若c＝6，可得2R＝＝＝，△ABC外接圆半径为，故D正确．故选：ACD．【知识点】正弦定理12.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若sin B＞sin C，则B＞CB．若a＝4，b＝2，A＝，则三角形有两解C．若b cos B﹣c cos C＝0，则△ABC一定为等腰直角三角形D．若b cos C﹣c cos B＝0，则△ABC一定为等腰三角形【答案】ABD【分析】利用正弦定理逐一进行分析即可【解答】解：对于A，由正弦定理得sin B＞sin C⇔b＞c⇔B＞C，故A正确；对于B，由正弦定理得，则sin B＝＝＝，由b＞a，可知B＝或，故B正确；对于C，在△ABC中，若b cos B﹣c cos C＝0，则由正弦定理得：sin B cos B＝sin C cos C，即sin2B＝sin2C，∴2B＝2C或2B＝π﹣2C，∴B＝C或B+C＝，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，若b cos C﹣c cos B＝0，则由正弦定理得sin B cos C﹣sin C cos B＝sin（B﹣C）＝0，故B﹣C＝0，即B＝C，所以△ABC为等腰三角形，故D正确．故选：ABD．【知识点】正弦定理三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，c﹣a＝2，cos B＝，则b的值为．【答案】4【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，根据三角形的面积公式可求ac的值，结合已知利用余弦定理可求b的值．【解答】解：因为cos B＝，所以sin B＝＝，因为△ABC的面积为＝ac sin B＝ac×，解得ac＝8，又c﹣a＝2，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac＝（c﹣a）2+2ac﹣ac＝4+16﹣4＝16，解得b＝4．故答案为：4．【知识点】正弦定理、余弦定理14.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，∠ABC＝，∠ADB＝，则tan∠ACD＝．【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，进一步可得，再利用正弦定理可得，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【解答】解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，在△ABD中，，∠ADB＝，则，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【知识点】三角形中的几何计算15.如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝m．【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，从而可求得MN的．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，＝，因此AM＝1000m．在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，由＝sin30°得MN＝500m；∴山高MN＝500．故答案为：500．【知识点】解三角形16.如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为．【答案】5【分析】根据题意把设＝，＝，作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出，，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再设PM＝2t，求得PN，P A，PB，设△APN的面积为x，运用余弦定理和面积公式，结合二次函数的最值可得x的最大值，进而得到所求△ABC的面积的最大值．【解答】解：设＝，＝，则＝+＝﹣3﹣，＝+＝2+，∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数λ、μ，使＝λ＝﹣λ﹣3λ，＝μ＝2μ+μ，故＝﹣＝（λ+2μ）+（3λ+μ）．而＝+＝2+3，∴，解得，故＝，＝，即AP：PM＝4：1．BP：PN＝3：2，设PM＝t，则PN＝2t，P A＝4t，PB＝3t，t＞0，设△APN的面积为x，∠APN＝α，在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，可得cosα＝＝，sinα＝，则x＝•4t•2t•sinα＝＝≤，当t2＝，即t＝时，x取得最大值，而△ABP的面积为x，△BPM的面积为，则△ABC的面积为2（+）＝x，则△ABC的面积的最大值为×＝5．故答案为：5．【知识点】解三角形四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在△ABC中，，，．（1）求a的值；（2）求cos2C的值．【分析】（1）由正弦定理即可求出a；（2）先利用cos C＝﹣cos（A+B）求出cos C，再利用二倍角公式求出cos2C．【解答】解：（1）∵cos A＝，0＜A＜π，∴sin A＝，∴sin B＝sin（A+）＝cos A＝，由正弦定理得：＝＝＝3，∴a＝3；（2）∵B＝A+，∴＜B＜π，又∵sin B＝，∴cos B＝﹣，∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣（cos A cos B﹣sin A sin B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴cos2C＝2cos2C﹣1＝．【知识点】正弦定理18.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，1+＝．（1）求角C的大小；（2）若（a+b）2﹣c2＝4，求﹣3a的最小值．【分析】（1）利用切化弦公式结合两角和差的三角公式以及正弦定理进行转化求解即可．（2）利用余弦定理得到ab＝，利用转化法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）由1+＝．得1+＝＝＝＝，得cos C＝，即C＝60°．（2）若（a+b）2﹣c2＝4，得a2+b2+2ab﹣c2＝4，即a2+b2﹣c2＝4﹣2ab，则cos C＝＝＝，得ab＝，则﹣3a＝﹣＝（﹣2）2﹣4，则当＝2，即b＝时，取得最小值﹣4．【知识点】余弦定理、正弦定理19.如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30nmile，PB＝90nmile，AB＝30nmile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°．（1）求B，C两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P，问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．【分析】（1）设BC＝xnmile，则由余弦定理可求B，C两个岛屿间的距离；（2）由题意，AC＝60，P A＝30，即可得出结论．【解答】解：（1）设BC＝xnmile，则由余弦定理可得，∴x＝30nmile；（2）由题意，AC＝60，P A＝30，∴P A+AB+BC+CP＝60+30+30（nmile）．【知识点】解三角形20.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，且sin（C﹣）•cos C＝．（1）求角C的大小；（2）若向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知式化简可得，进而得到，由此即可求得角C的大小；（2）由向量与共线结合正弦定理可得b＝2a，再利用余弦定理建立关于a的方程，解出即可求得周长．【解答】解：（1）∵sin（C﹣）•cos C＝，∴，∴，∴，∴，∴，又C为△ABC的内角，∴；（2）∵向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，∴sin B﹣2sin A＝0，由正弦定理可知，b＝2a，由（1）结合余弦定理可知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C，即，∴，∴△ABC的周长为．【知识点】解三角形21.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．在①（2a﹣c）cos B＝b cos C；②；③这三个条件中任选一个，作出解答．（1）求角B的值；（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求△ABC的面积的取值范围．【分析】（1）若选择条件①，由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得2sin A cos B＝sin A，由sin A ＞0，可求cos B，结合B的范围即可得解B的值．若选择条件②，利用平面向量数量积的运算，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan B＝，结合B的范围即可求解B的值．若选择条件③，利用两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合B的范围可求B的值．（2）由正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S＝，由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：（1）若选择条件①，∵由正弦定理得：2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，即2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，又∵A∈（0，π），可得sin A＞0，∴，．若选择条件②，∵，∴，∴，∵B∈（0，π），tan B＝，可得．若选择条件③，∵，∴，可得，∵，∴，（2）由正弦定理得：，∴，∴＝，∵锐角三角形ABC，∴，∴，∴．【知识点】余弦定理、正弦定理22.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形。