2008年肇庆市八年级数学竞赛(决赛)试题
2008年肇庆市中考试题及答案
肇庆市2008年初中毕业生学业考试化 学 试 卷说明：1．全卷共6页。
考试时间90分钟，满分100分。
2．答卷前，务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的考生号和姓名填写在答题卡上，并用2B 铅笔将试室号和座位号填涂在答题卡对应的位置上。
3．请将选择题的答案用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上指定区域作答；如需改动，先在原来的答案上划一横线，然后在旁边空位处重新写。
不准．．使用铅笔和涂改液。
5．相对原子质量：H-1 He-4 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5 Ca-40一、选择题（本题有14小题，每题2分，共28分。
每小题只有一个选项符合题意） 1．下列的水属于纯净物的是A ．矿泉水B ．自来水C ．硬水D ．浮有冰的水 2．氮肥能使柑桔枝繁叶茂、果实硕大。
下列化肥中属于氮肥的是A ．K 3PO 4B ．K 2SO 4C ．CO(NH 2)2D ．Ca(H 2PO 4)2 3．储存烟花爆竹的仓库应贴上的标志是BD4．2008年北京奥运会若用大型遥控飞艇作广告。
为了安全，艇内充入的气体最好是 A ．氢气 B ．氧气 C ．氦气 D ．二氧化碳 5．下列操作正确的是A ．用H 2还原CuO 结束时，先停气后灭酒精灯B ．夜间闻到煤气泄漏的气味时，开灯寻找泄漏源C ．不慎将烧碱溶液溅到眼睛里，马上去找医生治疗D ．鉴别钻石制品真伪的方法是：用其刻划玻璃6．区分日常生活中的下列各组物质，所加试剂或操作方法错误的是7．配制50g 8%的氯化钠溶液时，不需要．．．用到的仪器是 A ．托盘天平 B ．量筒 C ．烧杯 D ．漏斗 8．下面O 2和CO 2的自述中，属于物理性质的是9．1854年5月30日，英国战舰“欧罗巴”的船舱里装滿了供战马吃的草料，航行途中 突然草料着火，整个战舰瞬间变为火海。
八年级数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
肇庆市八年级数学竞赛决赛试题和(答案)
20####市八年级数学竞赛〔决赛〕试题〔竞赛时间：20##3月18日上午9：30—11：30〕一、选择题〔本大题共6小题,每小题5分,满分30分〕 1.当2012=x 时,计算xx x x x x 22)44121(222-÷+---的结果是〔 〕 A ．20101- B ．20101C ．20141- D ．201412、已知22b -20-4a N 412=-+，＝b a a M ,则M 与N 的大小关系是〔 〕 A ．M<NB ．M>NC ．M ≤N D ．M ≥N3、两个正整数a 、b 的比是k 〔k<1〕,若a+b=s,则a 、b 中较大的数可以表示成〔 〕 A ．ks B ．sk s - C ．s ks +1 D ．ks+1 4、如图1,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置上, ∠EFB ＝67°,则∠AED ′等于〔 〕 A ．53° B ．48°C ．46° D ．43°5、设m 为整数,若方程组⎩⎨⎧+=--=+my x my x 1313的解y ，x 满足0>+y x ,则m 的最大值是〔 〕A ．4B ．5C ．6D ．7 6、某班学生人数不足60人,在一次数学测验中,有71的学生得优,有的学生得良,有的学生得与格,则不与格的学生有〔 〕A ．1人B ．3人C ．5人D ．6人二、填空题〔本大题共6小题,每小题5分,满分30分〕7、若两个连续偶数的平方差为2012,则这两个偶数中较大的一个是.8、如图2,在△ABC 中,∠ACB=100°,点D 、E 在AB 上,且BE=BC,AD=AC,则∠DCE 的大小是度.9、已知8,10==z y y x ,则=+-+zy z x 1.10、有A 、B 、C 三种商品,如果购买A 商品2件,B 商品3件,C 商品1件,共需295元钱,购买A 商品4件,B商品3件,C 商品5件,共需425元钱,则购买A 、B 、C 三种商品各1件,共需 元.11、已知n 是整数,以n n n --+18,23,56这三个数作为同一个三角形的边长,则这样的三角形共有个.12、已知k ba cc a b c b a =+=+=+,则一次函数k kx y +=的图象与坐标轴围成的面积 是.以下三、四、五题要求写出解题过程。
2008年广东省肇庆市07.07
广东省肇庆市2008年初中毕业生学业考试数 学 试 题说明：全卷共4页，考试时间为100分钟，满分120分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一个正方体的面共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个2．数据1，1，2，2，3，3，3的极差是（）A．1 B．2 C．3 D．63．的绝对值是（）A．3 B． C． D．4．一个正方形的对称轴共有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条5．若，则的值是（）A．3 B． C．0 D．66．如图1，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°,则∠BAC =（）A．90° B．60° C．45° D．30°7．如图2，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（）A．圆 B．圆柱 C．梯形 D．矩形8．下列式子正确的是（）A．>0 B．≥0 C．a+1>1 D．a―1>19．在直角坐标系中，将点P（3，6）向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度后，得到的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．从n张互不相同的普通扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃K的概率为，则n =（）A．54 B．52 C．10 D．5二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）11．因式分解： = .12．如图3，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可）.13．圆的半径为3cm，它的内接正三角形的边长为 .14．边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是 .15．已知，，=8，=16，2=32，……观察上面规律，试猜想的末位数是 .三、解答题（本大题共10小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分6分）计算：.17.（本小题满分6分）在Rt△ABC中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A和tan A的值.18.（本小题满分6分） 解不等式：≥70.19.（本小题满分7分）如图4， E、F、G分别是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点.（1）图中有多少个三角形？（2）指出图中一对全等三角形，并给出证明.20.（本小题满分7分）在四川省发生地震后，成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输，西线的路程约800千米，南线的路程约80千米，走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程，结果两车队同时到达．已知两车队的行驶速度相同，求车队走西线所用的时间.21.（本小题满分7分）如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.（1）求证AE=BF；（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长.22.（本小题满分8分）已知点A（2，6）、B（3，4）在某个反比例函数的图象上.（1）求此反比例函数的解析式；（2）若直线与线段AB相交，求m的取值范围.23.（本小题满分８分）在2008北京奥林匹克运动会的射击项目选拔赛中，甲、乙两名运动员的射击成绩如下（单位：环）：甲 10 10.1 9.6 9.8 10.2 8.8 10.4 9.8 10.1 9.2乙 9.7 10.1 10 9.9 8.9 9.6 9.6 10.3 10.2 9.7（1）两名运动员射击成绩的平均数分别是多少?（2）哪位运动员的发挥比较稳定？（参考数据： 0.2=2.14 ，=1.46）24.（本小题满分10分）如图6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E.(1) 求证AE=CE；(2) EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；（3）若（n>0），求sin∠CAB.25.（本小题满分10分）已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.肇庆市2008年初中毕业生学业考试数学试题参考答案和评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）题号12345678910答案D B A C A B D B C D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）题号11121314153cm8cm6答案（x-1）2PC=PD（答案不唯一）三、解答题（本大题共10小题，共75分．）16．（本小题满分6分）解：原式= （3分）= （6分）17．（本小题满分6分）解：在Rt △ABC中，c=5，a=3．∴（2分）∴ 4分）．（6分）18．（本小题满分6分）解：≥，（2分）≥，（4分）∴≥．（6分）19．（本小题满分7分）解：（1）图中共有5个三角形；（2分）（2）△≌△．（3分）∵△是等边三角形，∴∠∠．（4分）∵、、是边、、的中点，∴AE=AG=CG=CF=AB．（6分）∴△≌△．（7分）20．（本小题满分7分）解：设车队走西线所用的时间为小时，依题意得：，（3分）解这个方程，得．（6分）经检验，是原方程的解．答：车队走西线所用的时间为20小时．（7分）21．（本小题满分7分）解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠90°，∴∠A＝∠B，（1分）∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝GF，∠DEA＝∠GFB＝90°，（２分）∴△ADE≌△BGF，∴AE＝BF．（3分）（2）∵∠DEA＝90°，∠A=45°，∴∠ADE=45°．（4分）∴AE＝DE．同理BF＝GF．（5分）∴EF＝AB===cm，（6分）∴正方形DEFG的边长为．（7分）22．（本小题满分8分）解：（1）设所求的反比例函数为，依题意得: 6 =，∴k=12．（2分）∴反比例函数为．（4分）（2）设P（x，y）是线段AB上任一点，则有2≤x≤3，4≤y≤6．（6分）∵m =，∴≤m≤．所以m的取值范围是≤m≤3．（8分）23．（本小题满分8分）解: （1）==9.8．（2分）==9.8 ．（4分）（2）∵=[（10-9.8）2+（10.1-9.8）2+（9.6-9.8）2+（9.8-9.8）2+（10.2-9.8）2+（8.8-9.8）2+（10.4-9.8）2+（9.8-9.8）2+（10.1-9.8）2+（9.2-9.8）2]=0.214．（6分）=[（9.7-9.8）2+（10.1-9.8）2+（10-9.8）2+（9.9-9.8）2+（8.9-9.8）2+（9.6-9.8）2+（9.6-9.8）2+（10.3-9.8）2+（10.2-9.8）2+（9.7-9.8）2]=0.146．∴>，∴乙运动员的发挥比较稳定．（8分）24．（本小题满分10分）证明：（1）连接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°，∴AE是⊙O直径．（1分）∴∠ADE=90°，∴DE⊥AC．（2分）又∵D是AC的中点，∴DE是AC的垂直平分线．∴AE=CE．（3分）（2）在△ADE和△EFA中，∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE，∴△ADE∽△EFA．（4分）∴，∴．（5分）∴AE=2cm．（6分）（3）∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∴∠ADE=∠AEF=90°，∴Rt△ADE∽Rt△EDF． ∴．（7分）∵，AD=CD，∴CF=nCD，∴DF=（1+n）CD，∴DE=CD．（8分）在Rt△CDE中，CE=CD+DE=CD+（CD）=（n+2）CD．∴CE=CD．（9分）∵∠CAB=∠DEC，∴sin∠CAB=sin∠DEC ===．（10分）25．（本小题满分10分）解：（1）由5=0，（1分）得，．（2分）∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．（3分）（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），（4分）分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有=S - - （5分）=-- （6分）=5（个单位面积）（7分）（3）如：．（8分）事实上， =45a2+36a．3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a．（9分）∴．（10分）。
八年级数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
2008年初二数学竞赛试题(定稿)
2008年初二数学竞赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．可以用计算器一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．设x =x 的值为 （ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．零 2．已知312=-yx ，则x y xy xy y x 3652-+--的值 （ ）A ．71 B ． 71- C ． 72 D ． 72- 3．方程（1)132=--+x x x 的所有整数解的个数是 （ ）A ．２B .３C .４D .５ 4.若直线b ax y +=与直线2521+=x y 关于x 轴对称，则b a +的值是 （ ） A ．－３ B .－２ C .２ D .３5．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 （ ） A .１４ B .１６ C . １８ D .２０6. 如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是 ( )主视图 左视图 俯视图 A.7个 B.8个 C.9个 D.10个7．在凸四边形ABCD 中，∠C=1200, ∠B=∠D=900,AB=6,BC=23,则AD= （ ） A. 23 B.6 C. 43 D.638.设n(n ≥2)个正整数1a ，2a ，…，n a ，任意改变它们的顺序后，记作1b ，2b ，…，n b ，若P=(1a -1b )(2a -2b )(33b a -)…(n a 一n b )，则 ( ) A ． P 一定是奇数． B ．P 一定是偶数．C ．当n 是偶数时，P 是奇数．D ．当n 是奇数时，P 是偶数二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知20082006,20082007,20082008a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ca ++---的值 ．10．将５个整数从大到小排列，中位数是４，如果这个样本中的唯一众数是７，则这５个整数的和的最大值是 ． 11．在图8中每个小方格内填入一个数，使每一行、每一列都有1、 2、3、4、5，那么，右上角的小方格内填入x 的数应是 .12．在△ABC 中，AB ＝15cm ，AC ＝13cm ，BC 边上高A D ＝12cm ，则三角形ABC 的面积为 ．132353145x13．如图,有一种动画程序，屏幕上方正方形区域ABCD表示黑色物体甲,其中A ( 1,1 ) B ( 2,1 ) C ( 2,2 )D ( 1,2 )，用信号枪沿直线b x y +=3发射信号,当信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则当b 的取值范围为 ______时，甲能由黑变白．14．如果正整数n 有以下性质：n 的八分之一是平方数，n 的九分之一是立方数，n 的二十五分之一是五次方数，那么n 就称为“希望数”，则最小的希望数是 .三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．已知四个实数,,,a b c d ，且,a b c d ≠≠.若四个关系式：24a ac +=，2224,8,8b bc c ac d ad +=+=+= 同时成立，（1）求c a +的值； （2）分别求d c b a ,,,的值.每辆车乘坐28名人，出发开出一段时间后，发现有一学生迟到没上车.现决定开一辆空车去接他，接回后为赶时间就把这辆空车开走，让所有的人员重新分配，则刚好平均分乘余下的汽车，已知每辆车的载客量不能多于32人，那么原有几辆汽车，这批春游的学生共有多少人?图1FEDC BA图2FEABCD 17．在△ABC 中，∠C=90︒，D 是AB 的中点，E 、F 分别在BC 、AC 上，且∠EDF=90︒.(1)如图1，若E 是BC 的中点，,EF 与AF 、BE 有怎样的数量关系？并说明理由；（2）如图2，当F 在AC 上运动时，点E 在BC 上随之运动，问在运动过程中，EF 与AF 、BE 有怎样的数量关系？并说明理由.18．已知直线)1(142k y ≠--+=k k k x（1）说明无论k 取不等于1并求出此定点的坐标；（2）若点B(5,0) , 点P 在y 轴上，点A 为（1）中确定的定点，要使△PAB 为等腰三角形，求直线PA 的解析式．2008年初二数学数学竞赛试题参考答案及评分建议二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 3 10.23 11. 1 12.84cm 2或24 cm 2（答对一个得2分） 13. -５≤b ≤－１ 14. 215·320·512三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)解：（1）由)(2ac a ++)(2ac c +=4+8=12，得12)(2=+c a ，∴ 32±=+c a . …… 4分（2）由)(2ac a +(-)2bc b +=4－4=0，-+)(2ac c )(2ad d +=8－8=0得 0))((=++-c b a b a ，)((d c -0)=++d c a ∵b a ≠，d c ≠,∴0=++c b a ,0=++d c a . ∴)(c a d b +-==. …… 2分 又)(2ac a +－)(2ac c +=4－8=－4， 得，4))((-=+-c a c a . …… 2分 当32=+c a 时，332-=-c a ， 解得334=a ，332=c ， 32-==d b . …… 2分当32-=+c a ，332=-c a ， 解得334,332-=-=c a ， 32==d b . …… 2分16．(12分)解：设原有k 辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n 个人，显然k ≥2，GFEABC Dn ≤32．易知旅客人数等于128+k ，当一辆空车开走以后，这批春游的学生的人数可以表示为)1(-k n ，由此列出方程)1(128-=+k n k . …… 2分所以 12928129)1(221128-+=-+-=-+=k k k k k n . …… 4分 因为n 为正整数数，所以129-k 必为正整数，但由于29是质数，因数只有1和29两个，且k ≥2，所以11=-k ，或291=-k . …… 2分如果11=-k ，则2=k ，57=n ，不满足n ≤32的条件. 如果291=-k ，则30=k ，29=n ，符合题意. …… 2分 所以旅客人数等于)1(-k n ＝29×29＝841（人）. …… 2分 答：原有车辆30辆，这批春游的学生共有841人.17．(12分)解：（1）EF 2= AF 2+BE 2. …… 1分 ∵E D ,分别是AB,BC 的中点， ∴DE ∥AC ，且DE=21AC . ∵∠C=90︒,∠EDF=90︒, ∴ 四边形CFDE 是矩形， ∴DE=CF=AF,DF=CE=BE. …… 3分又∵∠EDF=90︒，∴EF 2=DF 2+DE 2=AF 2+BE 2. …… 1分 (2) EF 2= AF 2+BE 2. …… 1分延长FD 至G,使得DG=DF,连结BG,EG. 则△AFD ≌△BGD. …… 2分 ∴BG=AF=CF, DF=DG , ∠GBD=∠A . ∵∠EDF=90︒, ∴EF=EG. …… 1分 又∠GBD=∠A ， ∴BG ∥AC,∴∠GBE=∠C=900, …… 1分 ∴EG 2=BE 2+BG 2=BE 2+AF 2∴ EF 2=AF 2+BE 2. …… 2分18．(14分)解：（1）由题意知1≠k ，若取,1-=k 得62=+-y x ①， 若取,2=k 得02=-y x ②. 解①②得⎩⎨⎧==42y x . 所以，不论k 取任何实数此直线都经过一定点，其坐标为（2，4）. …… 5分 （2）分三种情况讨论：① 设P 1(0,m 1) ,满足P 1B=P 1A, 由勾股定理得， 2222)4(25m m -+=+，解得85-=m ，即P 1（0，85-），符合题意， 直线P 1A 的解析式： 851637-=x y . …… 2分② 设P 2(0,m 2)，满足P 2B=AB, 易求得AB=5, 所以点P 2（0，0）， 直线P 2A 的解析式： x y 2=. …… 2分 ③设P 3(0,m 3)，满足P 1A=AB, 由勾股定理得，2225)4(2=-+m ,解得214±=m ，即P 3（0，)214+，P 4（0，)214-，直线P 3A 的解析式：214221++-=x y ， …… 2分 直线P 3A 的解析式：214221-+=x y . …… 2分 综上所述，直线PA 的解析式为：851637-=x y ，或x y 2=，或214221++-=x y ，或214221-+=x y . …… 1分。
2008全国初中数学竞赛试题以及参考答案
“ 《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题,每小题6分,满分30分．每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）（1）已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，,则444y x+的值为（ A ）． （A ）7 （B ）113+ （C ）713+ （D ）5 解：因为20x >,2y ≥0,由已知条件得2124443113x ++⨯⨯+==, 21143113y -++⨯-+==, 所以444y x +=22233y x ++-2226y x=-+=7． （2）把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为n m ,,则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12解：基本事件总数有6×6＝36,即可以得到36个二次函数.由题意知∆＝24m n -＞0,即2m ＞4n .通过枚举知,满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. （3）有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条解：如图,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ,F中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线．所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．（4）已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D为圆O 上不同于点A 的一点,且DB AB a ==,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为（ B ）．（A 5 （B ）1 （C 3（D ）a 解：如图,连接OE ,OA ,OB ． 设D α∠=,则120ECA EAC α∠=︒-=∠． 又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-, 所以ACE △≌ABO △,于是1AE OA ==． （5）将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有（ D ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种解：设12345a a a a a ，，，，是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列．首先,对于1234a a a a ，，，,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数,1i a +是奇数,则2i a +是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件：2,1,3,4,5； 2,3,5,4,1； 2,5,1,4,3；4,3,1,2,5； 4,5,3,2,1．二、填空题（共5小题,每小题6分,满分30分）（6）对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >,或1a <-．解：由1()4x a x **=-,得21(1)(1)04a x a x ++++=, 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得,0a >,或1a <-．（7）小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则s y x =+33． ② 由①,②可得 x s 4=,所以 4=xs ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．（8）如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为 ．【答】9．解：如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB ．又//MF AD ,所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠,所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． （9）△ABC 中,AB ＝7,BC ＝8,CA ＝9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC相交于点D ,E ,则DE 的长为 ． 【答】163．解：如图,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r ,BC 边上的高为a h , 则11()22a ABC ah S abc r ==++△, 所以 a r a h a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,因此 a a h r DE h BC-=, 所以(1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c +=++, 故879168793DE ⨯+==++（）． （10）关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x ,y 都是偶数．设2,2x a y b ==,则22104()a b a b +=-,同上可知,b a ,都是偶数．设2,2a c b d ==,则2252()c d c d +=-,所以,c ,d 都是偶数．设2,2c s d t ==,则2226()s t s t +=-,于是22(13)(13)s t -++＝2213⨯,其中s ,t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<． 所以13s -可能为1,3,5,7,9,进而2(13)t +为337,329,313,289,257,故只能是2(13)t +＝289,从而13s -＝7．有62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，故 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 三、解答题（共4题,每题15分,满分60分）（11）在直角坐标系xOy 中,一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．（Ⅰ）用b 表示k ；（Ⅱ）求△OAB 面积的最小值．解：（Ⅰ）令0=x ,得0y b b =>，；令0=y ,得00b x k k=-><，． 所以A ,B 两点的坐标分别为0)(0)bAB b k-（，，，, 于是,△OAB 的面积为)(21kb b S -⋅=． 由题意,有 3)(21++-=-⋅b k b k b b , 解得 )3(222+-=b b b k ,2b >． …………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-1027+,当且仅当1022b b -=-时, 有S =即当102+=b ,1-=k 时,不等式中的等号成立．所以,△OAB 面积的最小值1027+． ……………… 15分（12）已知一次函数12y x =,二次函数221y x =+． 是否存在二次函数23y ax bx c =++,其图象经过点（－5,2）,且对于任意实数x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值1y ,2y ,3y ,都有1y ≤3y ≤2y 成立？若存在,求出函数3y 的解析式；若不存在,请说明理由．解：存在满足条件的二次函数．因为 2122(1)y y x x -=-+221x x =-+-2(1)x =--≤0,所以,当自变量x 取任意实数时,1y ≤2y 均成立．由已知,二次函数23y ax bx c =++的图象经过点（－5,2）,得2552a b c -+=． ①当1x =时,有122y y ==,3y a b c =++．由于对于自变量x 取任意实数时,1y ≤3y ≤2y 均成立,所以有2 ≤a b c ++≤2,故2a b c ++=． ②由①,②,得 4b a =,25c a =-,所以234(25)y ax ax a =++-．……… 5分当1y ≤3y 时,有 2x ≤24(25)ax ax a ++-,即 2(42)(25)ax a x a +-+-≥0,所以二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零, 故20(42)4(25)0a a a a >⎧⎨---≤⎩，． 即20(31)0,a a >⎧⎨-≤⎩，所以13a =．……………… 10分 当3y ≤2y 时, 有 24(25)ax ax a ++-≤21x +, 即2(1)4(51)a x ax a --+-≥0,所以二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零, 故210(4)4(1)(51)0a a a a ->⎧⎨----≤⎩，． 即21(31)0,a a <⎧⎨-≤⎩，所以 13a =． 综上,13a =,443b a ==, 1253c a =-=． 所以,存在二次函数23141333y x x =++,在实数范围内,对于x 的同一个值,都有1y ≤3y ≤2y 成立． ……………… 15分（13）是否存在质数p ,q ,使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？解：设方程有有理数根,则判别式为平方数．令2224q p n ∆=-=,其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=． ……………… 5分 由于1≤q n -≤q +n ,且q n -与q n +同奇偶,故同为偶数．因此,有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩， 消去n , 解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+， ， ， ， ． ……………… 10分对于第1,3种情形,2p =,从而q ＝5；对于第2,5种情形,2p =,从而q ＝4（不合题意,舍去）；对于第4种情形,q 是合数（不合题意,舍去）．又当2p =,q ＝5时,方程为22520x x -+=,它的根为12122x x ==，,它们都是有理数．综上所述,存在满足题设的质数． ……………… 15分（14）如图,△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===，，,a b c ，，都是整数,且a b ， 的最大公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心,且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长．解：如图,延长GI ,与边BC CA ，分别交于P Q ，．设重心G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，,△ABC 的内切圆的半径为r ,BC CA ，边上的高的长分别为a b h h ，,易知CP ＝CQ ,由PQC GPC GQC S S S =+△△△, 可得()123a b r GE GF h h =+=+, 即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△, 从而可得 6ab a b c a b++=+． ……………… 10分因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合,所以,△ABC 不是正三角形,且b a ≠,否则,2a b ==,可得2c =,矛盾． 不妨假设a b >,由于()2a b =，,设()1111221a a b b a b ===，，，,于是,有1111126a b ab a b a b =++为整数, 所以有11()12a b +,即()24a b +．于是只有1410a b ==，时,可得11c =,满足条件．因此有35a b c ++=．所以,△ABC 的周长为35． ……………… 15分。
初二数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）． A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514- 4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）．A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a c d >>>D ．a d b c >>>6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小（第4题图）DCB值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b cb c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ．12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ．以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数．G（第8题图）HOFEDCBA（第15题图）EDCBA四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值． 五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ． 求证：∠BAD=12∠C ．参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
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2008年肇庆市八年级数学竞赛（决赛）试题
（竞赛时间：2008-4-6上午9：30—11：30）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．已知2220082008,2c
a b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．1
4
-
2．若方程组31
2433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨
+=⎩
的解为，，且，则的取值范围是（ ）
． A ．1
02
x y <-<
B ．01x y <-<
C ．31x y -<-<-
D ．11x y -<-<
3．计算：2399100
155555++++++=
（ ）．
A ．101
5
1- B ．100
5
1-
C ．101514-
D ．100514
-
4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶
点E 、F 分别在
BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°
（第4题图）
D
C
B
5．已知55
44
33
22
22335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数
97的分子、分母分别加上正整数9
13
a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．
A ．26
B ．28
C ．30
D ．32
二、填空题：（每小题5分，共30分）
7．方程组200820092007
200720062008
x y x y -=⎧⎨
-=⎩的解是 ．
8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则
∠
GOH= ．
9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，
第二次在距
B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是
千米． 10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5
∠A ，若∠B
的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ． 11．已知
21()()()04b c
b c a b c a a a
+-=--≠=，且，则 ． G （第8题图）
H
O
F
E
D C
B
A
12．设p q ，均为正整数，且
711
1015
p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）
13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分） 14．已知2
2
11x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求5
5
x y +的值．
五、（本题满分20分）
15．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．
求证：∠BAD=1
2
∠C．
（第15题图）
E
D
C
B
A
2008年肇庆市八年级数学竞赛（决赛）试题
参考答案
一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B
二、填空题： 7、2
1x y =⎧⎨=⎩
8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、682
13、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34
∵A ＜B ＜C ＜D ，
∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7
答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
14、⑴ 证明：∵2
2
11x x y y =+=+，，
∴2
2
x y x y -=- ∴ 1 ()x y x y +=≠
⑵ 解：∵2
2
11x x y y =+=+，，
∴3
2
3
2
x x x y y y =+=+，，
432432x x x y y y =+=+，，543543x x x y y y =+=+，， ∴554343322322x y x x y y x x x x y y y y +=+++=+++++++ 222222x x x x x y y y y y =+++++++++
223()2()3(11)2()33211x y x y x y x y =+++=+++++=⨯+= 15、证明：作∠OBF=∠OAE 交AD 于F
∵∠BAD=∠ABE ∴OA=OB
又∠AOE=∠BOF
∴△AOE ≌△BOF （ASA ） ∴AE=BF ∵AE=BD ∴BF=BD
∴∠BDF=∠BFD
∵∠BDF=∠C+∠OAE ∠BFD=∠BOF+∠OBF ∴∠BOF=∠C
∵∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD
∴∠BAD=1
2
∠C
（第15题图）
D
C
B。