广西南宁市2019-2020年度高二下学期数学期中考试试卷(I)卷
广西南宁市2019-2020年度高二下学期数学期中考试试卷（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）已知椭圆和双曲线,有相同的焦点,则椭圆与双曲线的离心率的平方和为（）
A .
B .
C . 2
D . 3
2. （2分） (2016高一上·普宁期中) 指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，则a的取值范围是（）
A . a＞1
B . a＞2
C . 0＜a＜1
D . 1＜a＜2
3. （2分） (2017高一上·双鸭山月考) 已知，若对于任意且时，都有恒成立，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C . 或
D .
4. （2分）用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（）
A . k2＋1
B . (k＋1)2
C .
D . (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
5. （2分）(2018·中山模拟) 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（）
A . 85
B . 49
C . 56
D . 28
6. （2分）函数y=lg（x+1）的图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2019·浙江模拟) 随机变量ξ的分布列如表：
ξ﹣1012
P a b c 其中a，b，c成等差数列，若，则D（ξ）＝（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）如果曲线上一点处的切线过点，则有（）
A .
B .
C .
D . 不存在
9. （2分）(2017·泉州模拟) 已知以O为中心的双曲线C的一个焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，若△OMF为等腰直角三角形，则C的离心率等于（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2017高二下·临沭开学考) 设函数f（x）= x﹣lnx（x＞0），则函数f（x）（）
A . 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点
B . 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内有零点
C . 在区间（0，3），（3，+∞）均无零点
D . 在区间（0，3），（3，+∞）均有零点
二、双空题 (共3题；共4分)
11. （1分） (2019高一上·友好期中) ，则用区间表示为________.
12. （1分） (2019高二下·佛山月考) 某射手射击所得环数的分布列如图：
78910
0.10.3
已知的均值，则的值为________．
13. （2分） (2018高二下·张家口期末) 用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有________个.
三、填空题 (共4题；共4分)
14. （1分） (2017高二下·咸阳期末) 二项式（ax﹣）3的展开式的第二项系数为﹣，则a2的值为________．
15. （1分）(2017·腾冲模拟) 已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x∈________．
16. （1分）已知直线（a，b为非零实数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有________ 条
17. （1分） (2019高一上·台州期中) 函数是定义在上的奇函数，已知时，恒有
，且当时，有，若函数，则关于的方程
在区间上的实根的个数是________．
四、解答题 (共5题；共50分)
18. （10分）(2016·潮州模拟) 从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：
上一年的
出险次数01234
5次以上（含
5次）
下一年
保费倍率
85%100%125%150%175%200%
连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折
有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数分布如下（并用相应频率估计车辆每年出险次数的概率）：
一年中出险次数012345次以上（含5次）
频数5003801001541
（1）求某车在两年中出险次数不超过2次的概率；
（2）经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，估计其回归直线方程为：
=120x+1600．（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）．李先生2016 年1月购买一辆价值20万元的新车．根据以上信息，试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费，并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担．（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）
19. （10分） (2015高二上·莆田期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求DB与平面DEF所成角的正弦值．
20. （10分） (2017高三下·平谷模拟) 已知函数．
（I）如果在处取得极值，求的值．
（II）求函数的单调区间．
（III）当时，过点存在函数曲线的切线，求的取值范围．
21. （10分）(2019·抚顺模拟) 已知点在椭圆上，，是长轴的两个端点，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．
22. （10分）(2017·绵阳模拟) 已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数），g（x）= x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e2＜ ]．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、双空题 (共3题；共4分)
11-1、
12-1、
13-1、
三、填空题 (共4题；共4分)
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
四、解答题 (共5题；共50分)
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、19-3、
21-1、22-1、
22-2、。
2019-2020学年广西南宁三中重点班高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年广西省南宁三中重点班高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．108．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣211．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．1012．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为．15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.220．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM 的斜率为，且原点到直线FM 的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得∁B A．解：A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2x+1＞1}＝{x|x＞﹣1}，∁B A＝[3，+∞）．故选：A．2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：z（i﹣2）＝5，则z＝﹣＝﹣＝﹣2﹣i．则在复平面内，＝﹣2+i对应的点（﹣2，1）位于第二象限．故选：B．3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A．4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点【分析】对f（x）求导，分析f′（x）的正负，进而得f（x）的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f（1），f（3），可得函数f（x）的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．解：f′（x）＝3x2﹣4x，令f′（x）＝3x2﹣4x＞0，解得x＜0或x＞，所以当x∈[﹣1，0），（，3]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，C错误，所以x＝0是它的极大值点，D正确，因为f（0）＝0，f（3）＝27﹣2×9＝9，所以函数f（x）的最大值为9，A正确，因为f（﹣1）＝﹣1﹣2＝﹣3，f（）＝﹣2×＝﹣，所以函数f（x）的最小值为﹣3，B正确，故选：C．5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）【分析】由y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数，可得故f（x）＝+x 在[，+∞）上为增函数，求出函数的定义域后，结合单调性，求出函数的最值，可得函数的值域解：函数f（x）＝+x的定义域为[，+∞）∵y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数故f（x）＝+x在[，+∞）上为增函数∴当x＝时，函数取最小值，无最大值，故函数f（x）＝+x的值域是[，+∞）故选：A．6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用命题的否定的应用，真值表的应用，三角函数关系式的恒等变换，指数函数的性质的应用求出结果．解：①若p∧q为假命题，则命题p和q为一真一假和全部为假，故p，q均为假命题错误；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0；故错误．③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数；当函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数，则a＞1．故③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；正确．④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数则φ＝kπ+（k∈Z），故错误．故选：A．7．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．10【分析】令g（x）＝x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f（2）的值．解：令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）﹣8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）﹣8＝10，得g（﹣2）＝18，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣18，则f（2）＝g（2）﹣8＝﹣18﹣8＝﹣26，故选：C．8．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，构造函数h（x）＝f（x）﹣2x，根据增减性求出导函数，即可求出a的范围．解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，假设x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）＞2x1﹣2x2，即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2对于任意x1＞x2＞0成立，令h（x）＝f（x）﹣2x，h（x）在（0，+∞）为增函数，∴h'（x）＝+x﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立，+x﹣2≥0，则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．解：设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），则＝6x2﹣3，化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，则x＝0，x＝1．g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则（t+3）（t+1）＜0，解得，﹣3＜t＜﹣1．故选：B．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣2【分析】根据题意，分析可得f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数，据此可得f（100）＝﹣f（），结合函数的解析式分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（）＝f（），则有f（﹣x）＝f（+x），又由f（x）为定义在R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数；则f（100）＝f（﹣+67×）＝f（﹣）＝﹣f（），又由f（）＝f（+）＝f（﹣）＝f（）＝﹣1＝1；故f（100）＝﹣f（）＝﹣1；故选：B．11．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．10【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，结合图象容易解答本题．解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；故选：C．12．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝0．【分析】进行对数的运算即可．解：原式＝3+2×0﹣3×1+3×0＝0．故答案为：0．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为（0，3]．【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．解：定义域（0，+∞），＝，易得当0＜x≤3时，f′（x）≤0，函数单调递减，故函数的单调递减区间（0，3]，故答案为：（0，3]15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，由导数值等于0求得a 的值．解：由y＝ax2﹣lnx，得：，∴y′|x＝1＝2a﹣1．∵曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1＝0，即a＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是[﹣，+∞）．【分析】由已知可知x＝2是f′（x）＝0唯一的根，进而可转化为﹣k＝在x＞0时没有变号零点，构造函数g（x）＝，x＞0，结合导数及函数的性质可求．解：函数定义域（0，+∞），＝，由题意可得，x＝2是f′（x）＝0唯一的根，故e x+kx2＝0在（0，+∞）上没有变号零点，即﹣k＝在x＞0时没有变号零点，令g（x）＝，x＞0，则，当x＞2时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝2时，g（x）取得最小值g（2）＝，故﹣k即k．故答案为：[﹣）．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．【分析】（1）在△ADC中，应用正弦定理即可得出答案；（2）从面积公式入手，将面积的最大值问题转移到边的上面，然后通过已知条件，应用余弦定理找出边的关系．解：（1）∵∠B＝，，BD＝2，∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝在△ADC中，由正弦定理得：又，∴∠C＝（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos B，即∴，∵BD＝3CD．∴，当且仅当时，取“＝”．所以△AC面积的最大值为．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．【分析】（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，由三角形中位线定理可得DE∥BC1，再由直线与平面平行的判定，可得BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，证明B1H⊥平面ABC，得B1H 是三棱柱的高，且，再求出三角形ABC的面积，然后利用等体积法求三棱锥A﹣DCA1的体积．解：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，∵D是AB的中点，E是AC1的中点，∴DE∥BC1．又DE⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，∵BC＝BB1，∠CBB1＝60°，∴△CBB1是等边三角形，得B1H⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴B1H⊥平面ABC，∴B1H 是三棱柱的高，且．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴．则．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.2【分析】（1）分别求出＝3，＝16，从而＝10，＝254，＝47，求出＝≈0.933，从而得到管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）完善列联表，求出K2＝18.75＞10.828，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）依题意＝＝3，＝＝16，故＝4+1+1+4＝10，＝64+36+9+81+64＝254，＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣6）+1×9+2×8＝47，则＝≈0.933，故管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得K2的观测值为：＝＝＝18.75＞10.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，故X的分布列为：X0123P则数学期望为：E（X）＝+3×＝．20．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为，且原点到直线FM的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设F（c，0），M（0，b），由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b，c，进而得到a，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，再由焦半径公式，即可得到周长为定值．解：（1）可设F（c，0），M（0，b），可得﹣＝﹣，直线FM的方程为bx+cy＝bc，即有＝，解得b＝1，c＝，a＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2＝x12+y12﹣1＝x12+1﹣﹣1＝x12，即|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，∴|AB|＝|AQ|+|BQ|＝（x1+x2），∴|AB|+|AF|+|BF|＝（x1+x2）+﹣x1+﹣x2＝2，∴△ABF的周长是定值2．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．【分析】（I）令f′（x）≤0恒成立，分离参数得出4a≥，利用函数单调性求出函数g（x）＝的最大值即可得出a的范围；（II）令＝t，根据分析法构造关于t的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可．解：（I）f′（x）＝lnx﹣4ax+2，若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，即4a≥在（0，+∞）上恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝，∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴g（x）的最大值为g（）＝e，∴4a≥e，即a≥．∴a的取值范围是[，+∞）．（II）∵f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有两解，即4a＝有两解，由（1）可知0＜a＜．由lnx1﹣4ax1+2＝0，lnx2﹣4ax2+2＝0，可得lnx1﹣lnx2＝4a（x1﹣x2），不妨设0＜x1＜x2，要证明x1+x2＞，只需证明＜，即证明＞lnx1﹣lnx2，只需证明＞ln，令h（x）＝﹣lnx（0＜x＜1），则h′（x）＝＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）＝0，即＞lnx在（0，1）上恒成立，∴不等式＞ln恒成立，综上，x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；（Ⅱ）先表示出△ABM的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．解：（Ⅰ）将曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，又，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知，即为曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由＝，而cos2θ≤1，故△ABM面积的最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝4代入f（x）中，然后将f（x）写为分段函数的形式，再根据f（x）＞9，分别解不等式可得解集；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后根据对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，可得f（x）min≥5﹣a，再解关于a的不等式可得a的范围．解：（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣4|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＜﹣1或，∴不等式的解集为；（2）∵f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（2x﹣a）|＝|a﹣1|，∴f（x）min＝|a﹣1|．∵对任意x∈一、选择题，恒有f（x）≥5﹣a，∴f（x）min≥5﹣a，即|a﹣1|≥5﹣a，∴a≥3，∴a的取值范围为[3，+∞）．。
南宁市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题含解析
南宁市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域（ ）A ．()0,∞+B ．()1,-+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞【答案】A 【解析】 【分析】解不等式010xx x ⎧>⎪+⎨⎪≥⎩即得函数的定义域.【详解】由题得010,0100xx x x x x x ⎧><->⎧⎪∴∴>+⎨⎨≥⎩⎪≥⎩或 所以函数的定义域为()0,∞+. 故选A 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．函数2(21)x y x -=-≤<的值域是 A ．1(,4]2B ．1[,2)2C ．1[,9]3D ．1[,4)2【答案】A 【解析】分析：由于函数122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上是减函数，且21x -≤<，利用单调性求得函数的值域 详解：函数122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上是减函数，且21x -≤<， ∴当1x =时，函数取得最小值为12当2x =-时，函数取得最大值为4故函数的值域为142⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选A点睛：本题主要考查的是指数函数的单调性，求函数的值域，较为基础。
3．集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-≤<，那么A B =（ ）A ．{|23}x x -<<B ．{|-12}x x ≤<C ．{|21}x x -<≤D ．{|-23}x x <<【答案】D 【解析】 【分析】把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A 与B 的并集． 【详解】把集合A 和集合B 中的解集表示在数轴上，如图所示，则A ∪B={x|-2＜x ＜3}故选A ．【点睛】本题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，属基础题．4．设函数()e x f x x a +-（a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线31010y x x =上存在点00()x y ，使得00()f y y =，则a 的取值范围是 A ．1e[1]e-, B ．1e[e 1]e-+， C ．[1e 1]+， D ．[1,e]【答案】D 【解析】 【分析】法一：考查四个选项，发现有两个特殊值区分开了四个选项，0出现在了A ，B 两个选项的范围中，1e +出现在了B ，C 两个选项的范围中，故通过验证参数为0与1e +时是否符合题意判断出正确选项。
广西南宁三中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2 (有解析)
广西南宁三中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab=0”的否命题是()A. 若x≠a且x≠b，则x2−(a+b)x+ab=0．B. 若x≠a且x≠b，则x2−(a+b)x+ab≠0．C. 若x=a且x=b，则x2−(a+b)x+ab≠0．D. 若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab≠0．2.把红、黑、黄、白4球随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1球，事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是()A. 对立事件B. 不可能事件C. 互斥但不对立事件D. 以上答案都不对3.命题“∃x∈R，e x−x−1<0”的否定是()A. ∃x∈R，e x−x−1≥0B. ∃x∈R，e x−x−1>0C. ∀x∈R，e x−x−1>0D. ∀x∈R，e x−x−1≥04.已知两点A(1,1)和B(−1,4)到直线x+my+3=0的距离相等，则m为()A. 0或−23B. 23或−65C. −23或23D. 0或235.甲、乙两位学生5次数学测试成绩如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x1、x2，样本标准差分别为s1、s2，则()A. x1>x2，s1>s2B. x1>x2，s1<s2C. x1<x2，s1>s2D. x1<x2，s1<s26.x>1的充分不必要条件是()A. x>0B. x≥1C. x=0D. x=27.长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点且AE=√6，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. √1010B. √3010C. 2√1510D.3√10108.如图所示的程序框图，输出的结果是S=2017，则输入A的值为()A. 2018B. 2016C. 1009D. 1008 9. 从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两数之和为5的概率是( ) A. 16B. 14C. 13D. 12 10. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )A. 4B. 5C. 3√2D. 3√3 11. 已知A(−2,0)，B(2,0)，动点P(x,y)满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2，则动点P 的轨迹为( ) A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 两条平行直线 12. “a ≤−2”是“函数f(x)=x 2+ax +1(x ∈R)只有一个零点”的( ) A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从中学中抽取____所学校．14. 直线ax +by −2=0，若满足3a −4b =1，则必过定点________．15. 在区间[0,2]上任取两个实数a ，b ，则函数f(x)=x 3+ax −b 在区间[−1,1]上有且只有一个零点的概率是______ ．16. 已知圆(x −a)2+(y −b)2=4过坐标原点，则a +b 的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 寒冷的冬天，某高中一组学生来到一大棚蔬菜基地，研究种子发芽与温度控制技术的关系，他们分别记录五组平均温度及种子的发芽数，得到如下数据：平均温度x(°C) 11 10 13 9 12发芽数y(颗) 25 23 30 16 26(Ⅰ)若从五组数据中选取两组数据，求这两组数据平均温度相差不超过2°C 概率； (Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程y =b ̂x +a ̂； (Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(Ⅱ)中所得的线性回归方程是否可靠？(注：b ̂=∑x i n i=1y i −n⋅x⋅y ∑x i 2n i=1−n⋅x 2=∑(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2，a ̂=y −b ̂x)18. 在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设向量m⃗⃗⃗ =(a ，b )，n ⃗ =(2cosC,−1)，且m⃗⃗⃗ ·n ⃗ =0． (1)求的值；(2)若c =√52b ，求的值．19. 某班学生举行娱乐活动，准备了5张标有1，2，3，4，5的外表完全相同的卡片，规定通过游戏来决定抽奖机会，每个获得抽奖机会的同学，一次从中任意抽取2张卡片，两个卡片中的数字之和为5时获一等奖，两个卡片中的数字之和能被3整除时获二等奖，其余情况均没有奖，现有某同学获得一次抽奖机会．(Ⅰ)求该同学获得一等奖的概率；(Ⅱ)求该同学不获奖的概率．20.如图，已知三棱锥A−BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．(1)求证DM//平面APC；(2)求证平面ABC⊥平面APC；(3)若BC=PC=4，求二面角P−AB−C的正弦值．S n−1=0(n∈N∗)．21.设数列{a n}的前项n和为S n，且满足a n−12(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{S n+(n+2n)λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．22.已知圆C：x2+y2=4及点P(1,2)(1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程；(2)斜率为1的直线l过点P且与圆C交于A、B两点，求弦长|AB|．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：“若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab=0”的否命题是：若x≠a且x≠b，则x2−(a+ b)x+ab≠0．故选：B．利用否命题的定义，写出结果即可．本题考查四种命题的逆否关系，注意“或”“且”的变换，是基本知识的考查．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了互斥事件与对立事件的应用，解题的关键是熟练掌握互斥事件与对立事件的判断，根据已知及互斥事件与对立事件的判断，可知事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是什么事件．【解答】解：因为两个事件不能同时发生，但可能同时不发生，所以是互斥事件，但不对立．3.答案：D解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，e2−x−1<0”的否定是∀x∈R，e2−x−1≥0；故选：D直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4.答案：B解析：【分析】本题考查的是点到直线的距离公式．根据题意A(1,1)和B(−1,4)到直线x+my+3=0的距离相等，可列出方程即可求出m的值．【解答】解：∵A(1,1)和B(−1,4)到直线x+my+3=0的距离相等，∴√12+m2=√12+m2，解得m=23或m=−65，故选B．5.答案：C解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查茎叶图、平均数、方差、标准差的性质等基础知识，是基础题．利用茎叶图分别求出甲、乙两组数据的平均数和方差，由此能求出结果．【解答】解：由茎叶图得：x1=15(72+77+78+86+92)=81，s12=15[(72−81)2+(77−81)2+(78−81)2+(86−81)2+(92−81)2]=50.4，x2=15(78+82+88+91+95)=86.8，s22=15[(78−86.8)2+(82−86.8)2+(88−86.8)2+(91−86.8)2+(95−86.8)2]=37.36，∴x1<x2，s1>s2．故选C．6.答案：D解析：【分析】运用充分必要条件的定义判断．本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题．【解答】解：根据充分必要条件的定义可判断：x=2是x>1的充分不必要条件，故选：D7.答案：B解析：【分析】本题考查异面直线的夹角，利用空间向量求异面直线的夹角，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(1,2，0)，C 1(0,2，2)，A(1,0，0)，E(0,2，1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，1)，设异面直线BC 1与AE 所成角为θ，则cosθ=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√6=√3010． ∴异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为√3010． 故选B ．8.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S =2A +1的值，由题意，可得：2017=2A +1，解得：A =1008．故选：D ．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案．本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题．9.答案：C解析：解：从1，2，3，4中任取2个不同的数，基本事件总数n =C 42=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有：(1,4)，(2,3)，∴取出的2个数之和为5的概率是p =26=13．故选：C ．基本事件总数n =C 42=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的2个数之和为5的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.答案：D解析：作出直观图如下图所示，通过计算得到最长为|AF |=√|BF|2+|AB |2=3√3．11.答案：D解析：【分析】本题考查点的轨迹方程，解题时要注意公式的灵活运用．由题意知(−2−x,y)⋅(2−x,y)=x 2，即可得出动点P 的轨迹．【解答】解：∵动点P(x,y)满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2，∴(−2−x,y)⋅(2−x,y)=x 2，∴点P 的方程为y 2=4即y =±2∴动点P 的轨迹为两条平行的直线．故选D ．12.答案：D解析：解：若函数f(x)=x 2+ax +1(x ∈R)只有一个零点，则判别式△=a 2−4=0，解得a =2或a =−2，则“a ≤−2”是“函数f(x)=x 2+ax +1(x ∈R)只有一个零点”的既非充分又非必要条件，故选：D．根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．13.答案：9解析：【分析】本题主要考查了分层抽样的应用，属于基础题．先求出共有学校150所，再利用抽取比例，即可求出结果．【解答】解：∵共有学校150+75+25=250所，×30=9所.∴应从中学中抽取的学校数为：75250故答案为9．14.答案：(6,−8)解析：【分析】本题主要考查直线过定点，属于基础题．由条件3a−4b=1，可得6a−8b=2，从而得到直线ax+by=2过定点(6,−8)．【解答】解：直线ax+by−2=0即ax+by=2．由条件3a−4b=1，可得6a−8b=2．故点(6,−8)在直线ax+by=2上，故直线ax+by−2=0过定点(6,−8)，故答案为(6,−8)．15.答案：78解析：【分析】根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f(x)=x3+ ax−b在区间[−1,1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a∈[0,2]，∴f′(x)=3x2+a≥0∴f(x)是增函数，若f(x)在[−1,1]有且仅有一个零点，则f(−1)⋅f(1)≤0∴(−1−a−b)(1+a−b)≤0，即(1+a+b)(1+a−b)≥0，由线性规划内容知全部事件的面积为2×2=4，满足条件的面积4−12×1×1=72，∴P=724=78，故答案为78．16.答案：2√2解析：解：∵圆(x−a)2+(y−b)2=4过坐标原点，∴a2+b2=4，∴(a+b)2≤2(a2+b2)=8∴a+b的最大值是2√2．故答案为：2√2． 先确定a 2+b 2=4，再利用(a +b)2≤2(a 2+b 2)=8，即可求出a +b 的最大值．本题考查圆的标准方程，考查基本不等式的运用，比较基础．17.答案：解：(Ⅰ)设A ={从五组数据中选取两组数据，平均温度相差不超过2°C}，则基本事件为(11,10)，(11,13)，(11,9)，(11,12)，(10,13)，(10,9)，(10,12)，(13,9)，(13,12)，(9,12)，所以P(A)=710；(Ⅱ)计算x =9+10+11+12+135=11， y =25+23+30+16+265=24，∑x i 5i=1y i =11×25+10×23+13×30+9×16+12×26=1351，∑x i 25i=1=92+102+112+122+132=615，5⋅x ⋅y =5×11×24=1320，5⋅x 2=5×112=605，∴b ̂=∑x i n i=1y i −n⋅x⋅y ∑x i 2n i=1−n⋅x 2=1351−1320615−605=3110=3.1， ∴â=y −b ̂x =24−3.1×11=−10.1， ∴y 关于x 的线性回归方程为y =3.1x −10.1；(Ⅲ)利用回归方程y =3.1x −10.1，得到五组估计数据如下表所示；平均温度x(°C) 11 10 13 9 12发芽数y(颗) 25 23 30 16 26估计发芽数 24 21 30 18 2710.1是可靠的．解析：(Ⅰ)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；(Ⅱ)计算平均数与回归系数，写出y 关于x 的线性回归方程；(Ⅲ)利用回归方程计算五组估计数据，验证线性回归方程是否可靠．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了列举法求古典概率的问题，是中档题．18.答案：解：(1)因为m⃗⃗⃗ ·n ⃗ =0，即可化为2acosC −b =0． 由余弦定理，得2a ×a 2+b 2−c 22ab −b =0． 整理得a =c ，即a c =1．由正弦定理得(2)由(1)得a =c ．从而，又0<B<π，所以．从而．解析：本题考查平面向量的数量积公式、正余弦定理以及两角和与差的余弦公式，属于基础题．(1)由m⃗⃗⃗ ·n⃗=0，得到2acosC−b=0，再运用余弦定理，将cos C转化为边，运用正弦定理，即可得到答案；(2)先运用余弦定理得到cos B，进而求出sin B，运用两角和与差的余弦公式，即可得到答案．19.答案：解：(1)从5张卡片中任取两张，共有10种情况，分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，一等奖2个为(1,4)，(2,3)，二等奖4个为(1,2)，(1,5)，(2,4)，(4,5)．从中任意抽取2张，获得一等奖的概率P=210=15(2)从中任意抽取2张，获得二等奖的概率P=410=25，则同学不获奖的概率P=1−15−25=25．解析：(1)用列举法列举出从5张卡片中任取两张的所有可能情况，直接查出获一等奖的个数，直接利用古典概型概率计算公式求解；(2)利用互斥事件的概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解．本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了互斥事件的概率和对立事件的概率，是基础的计算题20.答案：(1)证明：∵M为AB中点，D为PB中点，∴MD//AP．又∵MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，∴DM//平面APC．(2)证明：∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，∴MD⊥PB．又由(1)知，MD//AP.∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，∴AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC．又∵AC⊥BC，AP⊂平面APC，AC⊂平面APC，AP∩AC=A，∴BC ⊥平面APC.又BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面PAC ．(3)解：∵BC ⊥平面APC ，PC ⊂平面APC ，∴BC ⊥PC ，又∵BC =PC =4，∴△PBC 为等腰直角三角形，PB =4√2，以D 为原点，分别以DB 、DC 、DM 为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系D −xyz ，则A(−2√2,0，4√6)，B(2√2,0，0)，C(0,2√2,0)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√2,0,−4√6)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,2√2,−4√6)， 设平面ABC 的法向量n⃗ =(x,y,z)， ∴{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4√2x −4√6z =0n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2x +2√2y −4√6z =0， 取x =√3，得n ⃗ =(√3,√3,1)， 由题意知平面PAB 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,1,0)， ∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√37， 设二面角P −AB −C 的平面角为θ，则sinθ=(√3√7)=2√77． ∴二面角P −AB −C 的正弦值为2√77． 解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于中档题．(1)由已知条件推导出MD//AP ，由此能证明DM//平面APC ．(2)由已知条件推导出MD ⊥PB ，AP ⊥PB ，由此得到AP ⊥平面PBC ，从而得到AP ⊥BC ，得到BC ⊥平面APC ，由此能证明平面ABC ⊥平面PAC ．(3)以D 为原点，分别以DB 、DC 、DM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出二面角P −AB −C 的正弦值．21.答案：解：(1)由a n −12S n −1=0(n ∈N ∗)，当n=1时，有a1−12S1−1=0，解得：a1=2又由a n−12S n−1=0(n∈N∗)，可得a n+1−12S n+1−1=0(n∈N∗)，两式相减得12a n+1−a n=0，即有a n+1=2a n．由a1=2，a n≠0，∴a n+1a n=2故数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．故a n=2n．(2)由(1)知q≠1，所以S n=a1(1−q n)1−q=2(2n−1)．令b n=S n+(n+2n)λ=(λ+2)2n+λn−2，为使{b n}为等差数列，则b n是关于n的一次函数，所以λ+2=0，即λ=−2，此时b n=−2n−2，当n=1时，b1=−2×1−2=−4．当n≥2时，b n−b n−1=−2n−2−[−2(n−1)−2]=−2，所以{S n+(n+2n)λ}是以−4为首项，−2为公差的等差数列．故存在实数λ=−2，使得数列{S n+(n+2n)λ}为等差数列．解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(2)利用等差数列的定义和(1)的结论，进一步进行证明．22.答案：解：(1)显然k存在，设切线方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0，由2=2得，k=0或k=−43，则所求的切线方程为y=2或4x+3y−10=0；(2)斜率为1的直线l过点P(1,2)可得直线方程为y−2=x−1，即x−y+1=0，圆心到直线l的距离为d=√2=√2=√22，圆的半径为2，=√14．则弦长|AB|=2√r2−d2=2√22−12解析：本题考查了直线与圆的位置关系，以及与直线有关的轨迹方程，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，属于中等题．(1)显然k存在，设出切线方程并变形，利用圆心到l的距离d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时l方程，综上，得到满足题意直线l的方程；(2)求出直线l的方程及圆心到直线的距离，根据弦长公式计算即可．。
2019-2020学年南宁市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
2019-2020学年南宁市数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设点1F 关于渐近线的对称点为点G ，该渐近线与1F G 交点为H ，由平面几何的性质可得2OF G ∆为等边三角形，设1F OH α∠=，则有tan b a α=；又223F OG ππα∠=-=，可得3πα=，代入离心率21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可得出结果.【详解】设点1F 关于渐近线的对称点为点G ，该渐近线与1F G 交点为H ，所以OH 为线段1F G 的中垂线，故122OF OG OF F G ===，所以2OF G ∆为等边三角形，设1F OH α∠=，则有tan b a α=；又223F OG ππα∠=-=，可得3πα=， 所以离心率2211tan 23b e a π⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:C 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质以及渐近线和离心率，考查了学生逻辑推理与运算求解能力. 2．从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D 【解析】【分析】从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果. 【详解】由排列数的定义可知，从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为236A =.故选：D. 【点睛】本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.3．某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教．甲老师主动要求去最偏远的村小A ，则不同的安排有（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】B 【解析】 【分析】按照村小A 安排一个人和安排两个人两种情况分类讨论，按先分组后排序的方法，计算出不同的安排总数. 【详解】村小A 安排一人，则有2232C A ；村小A 若安排2人，则有1232C A .故共有1212323212C A C A +=.选B.【点睛】本小题主要考查分类加法计算原理，考查简单的排列组合计算问题，属于基础题. 4．如图，向量OZ uuu r对应的复数为Z ，则复数2z的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得z ，代入2z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由图可知，1z i =-，∴222(1)11(1)(1)i i z i i i +===+--+， ∴复数2z的共轭复数是1i -． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 5．求函数2y x =- ）A ．[0，+∞）B ．[178，+∞） C ．[54，+∞） D ．[158，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1，y ＝2t 2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数y ＝2x【详解】=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1， ∴y ＝2t 2﹣t+2＝2（t 14-）2151588+≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用． 6．已知随机变量X 满足条件X ～(),B n p ，且()()12125E X ,D X ==，那么n 与p 的值分别为 A ．4165, B ．2205,C ．4155,D ．3125,【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n 与p 的值． 【详解】∵X ～B （n ，p ）且()()12125E X D X ==，， ∴()121215np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得n ＝15，p 45=故选C ． 【点睛】本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用，考查了运算能力，属于基础题． 7．若，则不等式的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出，由，得出，借助正弦函数图象可得出答案。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
2019-2020学年南宁市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
2019-2020学年南宁市数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，()2log 3a f =，()4log 5b f =，232c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c满足（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．设随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(2)0.1P ξ<-=，则函数3221()23f x x x x ξ=++有极值点的概率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.53．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于（ ）A ．488π+B ．484π+C ．648π+D ．644π+4．设2{|430}A x x x =-+…，{|(32)0}B x ln x =-<，则(A B =I)A ．3(1,)2B ．(1，3]C ．3(,)2-∞D ．3(2，3]5．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ） A ．30B ．36C ．60D ．726．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．7．已知x ，y 取值如下表：x0 1 4 5 6 8y1.3 1.8 5.66.17.4 9.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且0.95y x a =+，则a 等于（ ） A ．1.30B ．1.45C ．1.65D ．1.808．已知高为 H 的正三棱锥 P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角 P AB C --的正切值为 4 ，则RH=（ ） A ．37B ．35C ．59D ．589．已知12P(B|A)=,P(A)=35,则()P AB 等于( ) A ．56B ．910C ．215D ．11510．已知集合{}2|160A x x =-<，{}5,0,1B =-，则( )A ．AB =∅I B ．B A ⊆C ．{}0,1A B =ID ．A B ⊆11．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．命题:p 若0x <，则ln(1)0x +<，q 是p 的逆命题，则（ ） A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为____________．14．正方体1111A B C D ABCD -的边长为3，P 是正方体表面上任意一点，集合{|2}P PA Ω=≤，满足Ω的点P 在正方体表面覆盖的面积为_________；15．已知等比数列{}n a 是递减数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若12,a a 是方程22310x x -+=的两个根，则5S =__________．16．若901(1)x a a x =+-+2929(1)(1)a x a x -++-L ，则3a 的值为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．观察下列等式:311=； 33123+=；3331236++=； 3333123410+++=； 333331234515++++=；(1)猜想第n(n ∈N *)个等式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠=o ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(Ⅰ)证明：AE PD ⊥；(Ⅱ)设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 长的最小值为5，求直线PD 与平面AEF 所成的角的余弦值．19．（6分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.20．（6分）已知函数22()3ln ()f x x ax a x a R =-+∈.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的2x e ≥（e 为自然对数的底数），()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 21．（6分）已知圆C 经过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且圆心C 在直线x ＋y －1＝0上． (1)求圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程． 22．（8分）已知函数()sin xxf x e =（1）求函数()f x 在点()()0,0M f 处的切线方程；（2）若()0f x k -≤在[]0,x π∈时恒成立，求k 的取值范围。
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
广西南宁市第三中学2019-2020学年下学期期中考试高二数学（文）试题一、选择题（每题5分，共60分）1.设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)2.若a ，b 都是实数，则“a －b>0”是“a 2－b 2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.若a ＞b ，则下列不等式中成立的是( )A.1a ＜1bB ．a 3＞b 3C ．a 2＞b 2D ．a ＞|b |4.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．45.下列函数中，最小值为4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋16.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分(如图)，若样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，则样本中在[40，60)内的数据个数为( )A ．15B ．16C ．17D ．197．某家庭连续五年收入x 与支出y 如下表：年份 2012 2013 2014 2015 2016 收入（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出（万元）6.27.58.08.59.8画散点图知：y 与x 线性相关，且求得的回归方程是y bx a =+，其中0.76b =，则据此预计该家庭2017年若收入15万元，支出为（ ）万元.A ．11.4B ．11.8 C.12.0 D ．12.28．已知()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么()f x 的图象最有可能是图中的（ ）9.设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的回归系数为ˆb，回归截距是ˆa，那么必有( ) A ．ˆb与r 的符号相同 B ．ˆa与r 的符号相同 C ．ˆb与r 的符号相反 D ．ˆa与r 的符号相反 10.如图的5个数据，去掉D (3，10)后，下列说法错误．．的是( ) A ．相关系数r 变大 B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强 11．下列命题，正确的是（ ） A ．命题“0x R ∃∈，使得2010x -<”的否定是“x R ∀∈，均有210x ->”B ．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题 C. 命题“若22x y =，则x y =”的逆否命题是真命题D ．命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠”12.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈有2()()f x f x x +-=且在(0,)+∞上，()f x x >'，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的范围是( )A .(,1]-∞B .(1,)+∞C . (1,2)D .(1,3)-二、填空题（每题5分，共20分） 13.不等式1<|x ＋1|<3的解集为________．14.已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．15.已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a >0)，若不等式f (x )≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)，则a 的值为__________．16.已知直线l 过点(2,1)P ，与,x y 轴的正半轴相交于,A B 两点，三角形AOB （O 为坐标原点）的内切圆半径的最大值为_______. 三、解答题（６小题，共70分）17. (本小题12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．OFEDCBA18．（本小题满分12分）国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率.附：()()()()()22n ad bcK a b c d a c b d -=++++ ，n a b c d =+++ ，19．（12分）在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，⊥EC 底面ABCD ，F 为BE 的中点．（1）求证：DE ∥平面ACF ；（2）若2,2==CE AB ,求三棱锥F-ABC 的体积。
广西南宁市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试(文科)数学试题 扫描版含答案
姓名，年级：时间：2019-2020学年度南宁二中高二上学期期中数学试卷(文）一、选择题 1-6 CABDDB 7-12 CBADCC 二、填空题13 14。
2x-4y+5=0 15。
16.26三、解答题 17．解：(1)cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C=-=-++……………………………………………2分 2sin cos cos sin sin cos 0A B B C B C ⇒++=..。
..。
..。
..。
.。
...。
……………………………。
...。
..3分12sin cos sin 0cos 2A B A B ⇒+=⇒=-……………………………………………………5分23B π⇒=…………………………………………………………………………………………6分 （2）22113cos 22a c B ac+-=-=…………………………………………………………………8分()22213133a c ac a c ac ac ∴++=⇒+-=⇒=……………………………………………10分1sin 2ABC S ac B ∆==…………………………………………………………………………12分18．解：(1）2≥n 时,[]n n n n n S S a n n n 211)1()1(1010221-=-----=-=-……4分1=n 时，911==S a 也适合上式………………………………………………………………5分)(211*N n n a n ∈-=∴………………………………………………………………………6分 （2）5≤n 时，n n n a b a =>,0,210n n S T n n -==……………………………………………8分5>n 时，n n n a b a -=<,0)()(7654321n n a a a a a a a a T ++-++++=…………………………………………9分52n S S =-21050n n =-+………………………………………………………………………11分⎩⎨⎧>+-≤≤-=∴)5(5010)51(1022n n n n n n T n 。
南宁市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
南宁市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是（ ） A ．33534C ⎛⎫⎪⎝⎭B ．22514C ⎛⎫⎪⎝⎭C ．23253144C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．32353144C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．展开式中的常数项为（ ）A ．第5项B ．第5项或第6项C ．第6项D ．不存在3．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%4．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则BD u u u r等于（ ）A ．1122a b c -+r r rB ．a b c +-r r rC ．a b c -+r r rD ．1122a b c -+-r r r5．设复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．D ．6．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成（ ） A ．7队B ．8队C ．15队D ．63队7．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．角α的终边与单位圆交于点525⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,则cos2=α（ ） A ．15B ．-15 C ．35D ．35-9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()121n n S S n N ++=-∈，则10a =（ ） A ．128 B ．256C ．512D ．102410．若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．12011．已知函数()()()10xf x e ax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a 的取值范围为（ ）A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦ 12．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线22132x y m m +=--的焦距为3__________．14．若曲线3()y x ax a R =-∈在点01x =处的切线斜率为1，则该切线方程为__________．15．设x ，y 满足约束条件1124x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩……„，则()222z x y =++的最小值为_______. 16．集合{}2{0,2},1,A B a ==，若{0,1,2,4}A B ⋃=，则实数a 的值为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知二项式332nx x ⋅的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项.18．已知抛物线C ：2y =2px （p>0）的准线方程为x=-12,F 为抛物线的焦点 （I ）求抛物线C 的方程；（II ）若P 是抛物线C 上一点，点A 的坐标为（72,2）,求PA PF +的最小值； （III ）若过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点坐标．19．（6分）设不等式()()0x y x y +-<表示的平面区别为D ．区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ．过点()F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1）求曲线C 的方程；（1）若l 垂直于x 轴，Q 为曲线C 上一点，求QA QB ⋅u u u v u u u v的取值范围；（3）若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率．20．（6分）某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为12．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； （2）已知该厂现有4名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？21．（6分）证明：当[0,1]x ∈sin x x x ≤≤. 22．（8分）等差数列{}n a 的前n 项和为46,62,75n S S S =-=-，求数列{||}n a 前n 项和.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．D 【解析】 【分析】根据二项分布独立重复试验的概率求出所求事件的概率。
广西南宁市第三中学2019-2020学年高二下学期期中段考数学(文科)试题 (解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足：zi＝1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣12．观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9……，则该数列的第11项等于（）A．1111B．11C．ln11D．sin113．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝3a5，则一定成立的是（）A．a4＝0B．a5＝0C．a6＝0D．a9＝04．函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为（）A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝05．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）A．x216+y27=1B．x27+y216=1C．x264+y228=1D．x228+y264=16．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为（）A．35B．45C．2√55D．08．某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从2个分厂生产的零件中各抽取了500件，具体数据如表所示：甲厂乙厂总计优质品360320680非优质品140180320总计5005001000根据表中数据得K 2=1000×(360×180−320×140)2680×320×500×500≈7.353，从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那么这种判断出错的最大可能性为（ ） 附表： P （k 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．0.1B ．0.01C ．0.05D ．0.0019．已知直线2mx +ny ＝2（m ＞0，n ＞0）过圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心，则1m+1n的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．函数y =lnx 2x的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则实数a的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．[﹣3，0]C ．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）12．定义方程f （x ）＝f '（x ）的实根x 0叫做函数f （x ）的“新驻点”，若函数g （x ）＝xe x +1，h （x ）＝lnx +1，φ（x ）＝x 3﹣1的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f （x ）=13x 3+x 2﹣3x ﹣1的极小值是 ．14．已知函数f （x ）定义域为R ，f （1）＝2，f （x ）在R 上的导数f ′（x ）满足f ′（x ）﹣3＞0，则不等式f （x ）＜3x ﹣1的解集为 ．15．关于x 的不等式x 2lnx ﹣kx +x ≥0恒成立，实数k 的取值范围是 ． 16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=π4，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△BC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知√3b cos C ＝c sin B ． （Ⅰ）求角C 的大小（Ⅱ）若c ＝2√7，△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长．18．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i （百万元）和相应的销售额y i（百万元）进行了统计，其中i ＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：∑ 5i=1x i ∑ 5i=1w i ∑ 5i=1y i ∑ 5i=1(x i −x)(y i −y)∑ 5i=1(w i −w)(y i −y) ∑ 5i=1(x i −x)2 ∑ 5i=1(w i −w)6810.315.8﹣192.121.6020.46 3.56其中w i ＝x i 2，i ＝1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y ＝bx +a 与y ＝cx 2+d 哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y 关于x 的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时的月销售额．附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑ n i=1(u i −u)(v i −v)∑ ni=1(u i −u)2，α=v −βu ．19．如图所示，四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝SA ＝1，BC ＝2，M 为SB 的中点． （1）求证：AM ∥平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为√2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2=34相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．21．已知函数f(x)=ae x +a+1x−2(a +1)． （1）讨论当a =1，x ≥√2时，函数f （x ）的单调性；（2）当f （x ）≥0对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，其中a ＞0．求a 的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为{x =12+√32ty =12t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P （12，0），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AP |+|PB |的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2| （1）解不等式f （x ）＞5；（2）若不等式f （x ）＜a （a ∈R ）的解集为空集，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足：zi＝1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由zi＝1+i，得z=1+ii=(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9……，则该数列的第11项等于（）A．1111B．11C．ln11D．sin11【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第11项是哪个数．解：由数列得出规律，按照1，ln2，sin3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln11．故选：C．【点评】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝3a5，则一定成立的是（）A．a4＝0B．a5＝0C．a6＝0D．a9＝0【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质进行转化即可得出．解：因为S9＝9a5＝3a5，所以a5＝0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为（）A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝0【分析】求出函数的导数，得到切线的斜率，即可判断选项的正误；解：函数f（x）＝﹣2x+lnx，可得f′（x）＝﹣2+1 x，函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线的斜率为：f′（1）＝﹣1．切点坐标为：（1，﹣2），函数f（x）＝﹣2x+lnx的图象在x＝1处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1）即x+y+1＝0．故选：A．【点评】本题考查曲线的曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．5．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）A．x216+y27=1B．x27+y216=1C．x264+y228=1D．x228+y264=1【分析】由题意求出a、c和b2，根据焦点在x轴上写出椭圆的标准方程．解：由题意知，2a＝8，解得a＝4；又e=34，即c4=34，解得c＝3；所以b2＝a2﹣c2＝7；又椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程为x216+y27=1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程计算问题，是基础题．6．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【分析】利用柱形图的性质直接求解．解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，∴是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为60×60%＝36人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为40×60%＝24人，∴倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为50×（1﹣80%）＝10人，城镇户籍人数为50×（1﹣40%）＝30人，∴倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确．故选：C．【点评】本题考查柱形图的应用，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为（）A．35B．45C．2√55D．0【分析】由两异面直线所成角的作法得：连接ED，则ED∥FC，则∠AED（或其补角）为异面直线AE与CF所成角，由余弦定理得：cos ∠AED =AE 2+DE 2−AD 22×AE×DE =35，即异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35，得解．解：连接ED ，则ED ∥FC ，则∠AED （或其补角）为异面直线AE 与CF 所成角， 在△ADE 中，设D 1E ＝a ，则AE ＝DE =√5a ，AD ＝2a ， 由余弦定理得：cos ∠AED =AE 2+DE 2−AD 22×AE×DE =35，即异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35，故选：A ．【点评】本题考查了两异面直线所成角的作法及余弦定理，属中档题．8．某企业有2个分厂生产某种零件，为了研究两个分厂生产零件的质量是否有差异，随机从2个分厂生产的零件中各抽取了500件，具体数据如表所示：甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计5005001000根据表中数据得K 2=1000×(360×180−320×140)2680×320×500×500≈7.353，从而断定两个分厂生产零件的质量有差异，那么这种判断出错的最大可能性为（ ） 附表： P （k 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．0.1B ．0.01C ．0.05D ．0.001【分析】根据观测值K 2，对照临界值得出结论． 解：由题意知，K 2≈7.353＞6.635，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.01． 故选：B ．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．9．已知直线2mx +ny ＝2（m ＞0，n ＞0）过圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心，则1m+1n的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】圆心（1，2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．解：圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5的圆心为（1，2）， 由题意可得2m +2n ＝2，即m +n ＝1，m ，n ＞0，则1m+1n=（1m +1n）（m +n ）＝2+n m +mn ≥4，当且仅当n m =mn 且m +n ＝1即m ＝n =12时取等号， 故选：D ．【点评】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题． 10．函数y =lnx 2x的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性可以排除A 、B ，在分析函数在（0，1）上的符号，排除C ，即可得答案．解：根据题意，函数定义域为{x |x ≠0}，又由f （﹣x ）=−lnx 2x =−f （x ），则f （x ）为奇函数，排除A 、B ，又由在（0，1）上，lnx 2＜0而x ＞0，则y =lnx 2x ＜0，排除C ；故选：D ．【点评】本题考查函数的图象，注意分析函数的定义域、奇偶性．11．已知函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则实数a的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）B ．[﹣3，0]C ．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）【分析】根据题意，作出函数f （x ）的图象草图，而直线y ＝ax ﹣1恒过定点（0，﹣1），分析可得若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则函数f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1下方有图象或有交点，据此分情况讨论a 的取值范围，综合即可得答案． 解：根据题意，函数f （x ）={x 2−x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，其图象如图：直线y ＝ax ﹣1恒过定点（0，﹣1），若存在x 0∈R 使得f （x 0）≤ax 0﹣1，则函数f （x ）的图象在直线y ＝ax ﹣1下方有图象或有交点，则直线y ＝ax ﹣1与函数f （x ）的图象必定有交点，分析可得：当a ＞0时，直线y ＝ax ﹣1经过第一三四象限，与函数f （x ）的图象必有交点，符合题意，当a ＜0时，直线y ＝ax ﹣1经过第二三四象限，若直线y ＝ax ﹣1与f （x ）的有交点，必然相交于第二象限，则有{y =x 2−x y =ax −1，即ax ﹣1＝x 2﹣x ，变形可得x 2﹣（a +1）x +1＝0，令△＝0，解可得a ＝﹣3或1（舍）， 则有a ≤﹣3，综合可得：a 的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪（0，+∞）； 故选：D ．【点评】本题考查分段函数的解析式，关键是分析函数f（x）的图象．12．定义方程f（x）＝f'（x）的实根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）＝xe x+1，h（x）＝lnx+1，φ（x）＝x3﹣1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】求出函数的导数，结合新定义，求出函数的零点，然后判断大小即可．解：由题意：函数g（x）＝xe x+1，g'（x）＝xe x+e x，所以a为xe x+1＝xe x+e x的根，解得x＝0，即a＝0．h（x）＝lnx+1，h′(x)=1x，b为lnx+1=1x的根，可得x＝1，即可b＝1；φ（x）＝x3﹣1，φ'（x）＝3x2，c为x3﹣1＝3x2的根，即函数φ1(x)=x3−1−3x2的零点，又因为：φ1（2）＜0，φ1（4）＝15＞0，c∈（2，4）；所以：c＞b＞a．故选：B．【点评】本题考查函数的极值的求法，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=13x3+x2﹣3x﹣1的极小值是−83．【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的极小值．解：f'（x）＝x2+2x﹣3，由x2+2x﹣3＝0得x＝﹣3或1所以函数f(x)=13x3+x2−3x−1在（﹣∞，﹣3）上为增函数，（﹣3，1）上为减函数，（1，+∞）上为增函数，故f（x）在x＝1处有极小值，极小值为−8 3．故答案为：−8 3【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，属于基础试题．14．已知函数f（x）定义域为R，f（1）＝2，f（x）在R上的导数f′（x）满足f′（x）﹣3＞0，则不等式f（x）＜3x﹣1的解集为（﹣∞，1）．【分析】构造函数F（x）＝f（x）﹣3x，求出函数的导数，根据函数的单调性得到F（x）＜F（1），求出x的范围即可．解：构造函数F（x）＝f（x）﹣3x，则F'（x）＝f'（x）﹣3＞0，F（x）在R上是增函数，且F（1）＝f（1）﹣3＝﹣1．又不等式f（x）＜3x﹣1可化为f（x）﹣3x＜﹣1，即F（x）＜F（1），∴x＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．15．关于x的不等式x2lnx﹣kx+x≥0恒成立，实数k的取值范围是(−∞，1−1e]．【分析】由题意可得xlnx﹣k+1≥0恒成立，即k≤xlnx+1，令g（x）＝xlnx+1，求得导数和单调性，可得g（x）的最小值，即可得到所求k的范围．解：x2lnx﹣kx+x≥0在（0，+∞）恒成立，即xlnx﹣k+1≥0恒成立，即k≤xlnx+1，令g（x）＝xlnx+1，则g'（x）＝lnx+1，当g'（x）≥0，即lnx+1≥0，解得x≥1e，当g'（x）＜0，即lnx+1＜0，解得0＜x＜1e，所以g （x ）在(0，1e )上为减函数，在[1e ，+∞)上增函数，所以g(x)min =g(1e )=1e ln 1e +1=1−1e，所以k ≤1−1e．故答案为：（﹣∞，1−1e]．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=π4，则双曲线的离心率为 √3 ． 【分析】如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ，∵sin ∠MF 1F 2=|ON||OF 1|=ac ，然后在三角形MF 1F 2中由正余弦定理列方程可解得离心率． 解：如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ， ∵sin ∠MF 1F 2=|ON||OF 1|=ac ，在△MF 1F 2中，由正弦定理得|MF 2|sin∠MF 1F 2=|F 1F 2|sin∠F 1MF 2，即tac=√22， ∴t ＝2√2a ，∴|MF 2|＝2√2a ，|MF 1|＝（2√2+2）a ，由余弦定理得4c 2＝8a 2+（12+8√2）a 2﹣2×2√2a ×(2√2+2）a ×√224c 2＝12a 2，∴c 2＝3a 2，∴e =√3． 故答案为：√3．【点评】本题考查了双曲线的离心率，属中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△BC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知√3b cos C＝c sin B．（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）若c＝2√7，△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得√3sin B cos C＝sin C sin B，结合sin B≠0，可求tan C=√3，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab＝24，根据余弦定理可解得a+b＝10，即可解得△ABC的周长．解：（Ⅰ）∵√3b cos C＝c sin B．∴由正弦定理可得：√3sin B cos C＝sin C sin B，∵sin B≠0，∴可得：tan C=√3，∵C∈（0，π），∴C=π3．（Ⅱ）∵C=π3，c＝2√7，△ABC的面积为6√3=12ab sin C=√34ab，∴解得：ab＝24，∵由余弦定理可得：28＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣3×24，∴解得：a+b＝10，∴△ABC的周长a+b+c＝10+2√7．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．18．长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i（百万元）和相应的销售额y i （百万元）进行了统计，其中i＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下：∑5i=1x i∑5i=1w i∑5i=1y i∑5i=1(x i−x)(y i−y)∑5i=1(w i−w)(y i−y)∑5i=1(x i−x)2∑5i=1(w i−w)6810.315.8﹣192.12 1.6020.46 3.56其中w i＝x i2，i＝1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y＝bx+a与y＝cx2+d哪一个适宜作为月销售额关于月广告投入x i的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月广告投入200万元时的月销售额．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑n i=1(u i−u)(v i−v)∑n i=1(u i−u)2，α=v−βu．【分析】（1）由散点图可知，选择y＝cx2+d作为回归方程；（2）令w＝x2，则y＝cw+d，分别求出c与d的值，则回归方程可求，进一步得到y关于x的回归方程，取x＝200求得y值，即可得到月广告投入200万元时的月销售额．解：（1）根据散点图可知，选择y＝cx2+d作为回归方程；（2）令w＝x2，则y＝cw+d，w=15∑5i=1w i=2.06，y=15∑5i=1y i=3.16，c=∑5i=1(w i−w)(y i−y)∑5i=1(w i−w)2=1.6023.56=0.45，d=y−c w=3.16−0.45×2.06=2.233，故回归方程为y^=0.45x2+2.233，当月广告投入为200万元时，月销售额为y^=0.45×2002+2.233=18002.233（万元）．答：选择y＝cx2+d作为回归方程，当月广告投入为200万元时，月销售额约18002.233万元．【点评】查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．19．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD ＝SA＝1，BC＝2，M为SB的中点．（1）求证：AM∥平面SCD；（2）求点B到平面SCD的距离．【分析】（1）取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而AM∥平面SCD；（2）先证明得到AM⊥平面SBC，进而得到平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离解：（1）取SC的中点N，连结MN和DN，∵M为SB的中点，∴MN∥BC，且MN=12BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，∴AD∥BC，且AD=12BC，∴AD平行且等于MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AM∥DN，∵AM⊄平面SCD，DN⊂平面SCD，∴AM∥平面SCD．（2）∵AB＝AS＝1，M为SB中点，∴AM ⊥SB ，∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA ⊥BC ， ∵∠ABC ＝∠BAD ＝90°， ∴BC ⊥AB ， ∴BC ⊥平面SAB ， ∴BC ⊥AM ， ∴AM ⊥平面SBC ， 由（1）可知AM ∥DN ， ∴DN ⊥平面SBC ， ∵DN ⊂平面SCD ， ∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE ⊥SC 交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形SBC 中，12SB •BC =12SC •BE ，∴BE =SB⋅BC SC =2√2√6=2√33， 即点B 到平面SCD 的距离为2√33．【点评】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为√2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2=34相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．【分析】（1）由已知可得关于a ，b ，c 的方程组，求解可得a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；（2）当k 不存在时，求出△AOB 的面积；当k 存在时，设直线为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y ＝kx +m 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件得m 与k 的关系，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l 的方程．解：（1）由题意可得，e =c a =√63，a 2﹣b 2＝c 2，bc =√2，解得a =√3，b ＝1，c =√2， 即有椭圆的方程为x 23+y 2＝1；（2）当k 不存在时，x ＝±√32，可得y ＝±√32， S △OAB =12×√3×√32=34；当k 存在时，设直线为y ＝kx +m （k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 将直线y ＝kx +m 代入椭圆方程可得（1+3k 2）x 2+6kmx +3m 2﹣3＝0， x 1+x 2=−6km 1+3k2，x 1x 2=3m 2−31+3k 2，由直线l 与圆O ：x 2+y 2=34相切，可得√1+k 2=√32， 即有4m 2＝3（1+k 2），|AB|=√1+k2•√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2•√(−6km1+3k2)2−12(m2−1)1+3k2=√3•√1+10k 2+9k41+6k2+9k4=√3•√1+4k21+6k2+9k4=√3•√1+49k2+1k2+6≤√3•√1429+6=2，当且仅当9k2=1k2，即k＝±√33时等号成立，可得S△OAB=12|AB|•r≤12×2×√32=√32，即有△OAB面积的最大值为√3 2．此时直线方程y＝±√33x±1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．21．已知函数f(x)=ae x+a+1x−2(a+1)．（1）讨论当a=1，x≥√2时，函数f（x）的单调性；（2）当f（x）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，其中a＞0．求a的取值范围．【分析】（1）当a=1，x≥√2时，f′(x)=e x−2x2，当x≥√2，f′(x)为单调递增函数，然后判断函数的单调性即可．（2）由已知有f （x ）min ≥0，其中x ＞0，a ＞0．求出导函数，令g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1），其中x ＞0，a ＞0．利用函数的导数，判断函数的最值，f （x ）min ＝f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)．通过令a+1x 0+a+1x 0−2(a +1)≥0，转化求解a 的范围即可．解：（1）当a =1，x ≥√2时，f′(x)=e x −2x 2， 当x ≥√2时，y ＝e x 是增函数，y =−2x 2是增函数， 所以，当x ≥√2，f′(x)为单调递增函数，∴f′(x)≥e √2−1＞0，f （x ）在[√2，+∞)为增函数（2）由已知有f （x ）min ≥0，其中x ＞0，a ＞0.f /(x)=ae x −a+1x2=ax 2e x −(a+1)x2． 令g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1），其中x ＞0，a ＞0．由g '（x ）＝a （2x +x 2）e x ＞0得g （x ）在（0，+∞）上单调递增． 又g （0）＝﹣（a +1）＜0，当x →+∞时，g （x ）→+∞， 故存在x 0∈（0，+∞），使得g （x 0）＝0．当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＜0，f '（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减； 当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）＞0，f '（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增． 故f （x ）min ＝f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)．由g （x 0）＝0得，ax 02e x 0−(a +1)=0，即ae x 0=a+1x 02． 则f （x 0）=ae x 0+a+1x 0−2(a +1)=a+1x 02+a+1x 0−2(a +1)．令a+1x 02+a+1x 0−2(a +1)≥0，由x 0＞0，a ＞0，解得0＜x 0≤1．因为g （x ）＝ax 2e x ﹣（a +1）在（0，+∞）上单调递增，0＜x 0≤1，所以g （1）≥g （x 0）＝0．故g （1）≥0，即ae ﹣（a +1）≥0，解得a ≥1e−1【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题． 一、选择题22．已知直线l 的参数方程为{x =12+√32ty =12t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P （12，0），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AP |+|PB |的值．【分析】（1）由代入法可得直线l 的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，可得t 的二次方程，再由参数的几何意义和韦达定理，即可得到所求值．解：（1）直线l 的参数方程为{x =12+√32ty =12t （t 为参数）， 消去t ，可得2x ﹣2√3y ﹣1＝0； 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得x 2+y 2＝2x ，即曲线C 的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2＝1；（2）将直线l 的参数方程{x =12+√32ty =12t（t 为参数）代入C 的方程（x ﹣1）2+y 2＝1，可得t 2−√32t −34=0，△=34+3＞0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数值，t 1+t 2=√32，t 1t 2=−34，则|PA |+|PB |＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√34+3=√152．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，以及直线的参数方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． [选修4-5不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2| （1）解不等式f （x ）＞5；（2）若不等式f （x ）＜a （a ∈R ）的解集为空集，求a 的取值范围．【分析】（1）根据函数f （x ）={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，分类讨论求得不等式f （x ）＞5的解集．（2）由（1）可得函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2，结合题意求得a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +2|={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，当x ＜﹣1时，由﹣3x ﹣1＞5，求得x ＜﹣2． 显然，当﹣1≤x ≤1时，不等式f （x ）＞5无解，当x ＞1时，由3x +1＞5，求得x ＞43．综上可得，不等式的解集为{x |x ＜﹣2或x ＞43}．（2）由（1）可得f （x ）={−3x −1，x ＜−1x +3，−1≤x ≤13x +1，x ＞1，函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2，故当a≤2时，不等式f（x）＜a（a∈R）的解集为空集．【点评】本题主要考查队友绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．。