朗肯土压力理论
朗肯土压力计算公式
朗肯土压力计算公式朗肯土压力计算公式是土力学中一个非常重要的概念，对于咱们搞工程和研究地质的人来说，那可真是太关键啦！咱先来说说朗肯土压力计算的基本原理。
它主要是基于土的极限平衡状态来推导的。
想象一下，土地就像是一个有脾气的大家伙，当它受到外界的压力或者拉力时，就会产生不同的反应。
而朗肯土压力计算公式就是要搞清楚这个大家伙在啥时候会“发脾气”，发多大的脾气。
朗肯土压力计算公式分为主动土压力和被动土压力两种情况。
主动土压力呢，就是土自己主动往外推，想要“松口气”；被动土压力则是土被外界强行挤压，不得不“憋着气”。
我给您举个例子哈。
之前我参与过一个小型的建筑项目，在设计挡土墙的时候，就得用到朗肯土压力计算公式。
那时候，我们先对工地的土质进行了详细的勘察，了解了土的类型、密度、内摩擦角这些关键参数。
然后，把这些数据一股脑儿地放进朗肯土压力计算公式里，算出主动土压力和被动土压力的值。
这可不像做算术题那么简单，每一个数据都得小心谨慎，稍微有点差错，那后果可不堪设想。
在计算的过程中，我和同事们那是紧张又兴奋。
紧张的是万一算错了，工程质量可就没法保证；兴奋的是，如果算对了，就能设计出既安全又经济的挡土墙。
记得有一次，我们为了一个数据的准确性，反复测量了好几遍，还专门请教了经验丰富的专家。
回到朗肯土压力计算公式本身，主动土压力的计算公式是 Ea = 1/2γH²Ka ，这里面的γ是土的重度，H 是挡土墙的高度，Ka 是主动土压力系数。
而被动土压力的计算公式是Ep = 1/2 γH²Kp ，Kp 就是被动土压力系数。
要准确地运用这些公式，就得先搞清楚土的物理性质。
比如说土的重度，这可不是随便估摸的，得通过实验或者实际测量来确定。
还有内摩擦角，它反映了土颗粒之间的摩擦力大小，对土压力的计算影响可大了。
在实际工程中，朗肯土压力计算公式的应用非常广泛。
不仅仅是挡土墙的设计，像基坑支护、边坡稳定分析等等，都离不开它。
水利工程土力学教学课件：9.2朗肯土压力
pp
被动极限
平衡状态
性平衡状态
平衡状态
处于主动朗肯状态，σ1方向竖直，剪切破坏面与竖
主动朗肯状态 直面夹角为45o- /2
被动朗肯状态
处于被动朗肯状态，σ3方向竖直，剪切破坏面与竖
直面夹角为45o＋ /2
02
主动土压力
二、主动土压力
z(σ1)
挡土墙在土压力作用下，产生离 开土体的位移，竖向应力保持不变，
9.2 朗肯土压力理论
目录
CONTENTS
1
朗肯土压力理论
2
主动土压力
3
被动土压力
01
朗肯土压力理论
朗肯土压力理论
1857年英国学者朗肯（Rankine）从研究弹性半空间体 内的应力状态，根据土的极限平衡理论，得出计算土压力的 方法，又称极限应力法。
一、基本原理和基本假设
基本原理：认为墙后填土达到极限平衡状态时，与墙背接触的 任一土单元体都处于极限平衡状态，然后根据土单元体处于极 限平衡状态时应力所满足的条件来建立土压力的计算公式。
h z
pa(σ3)
水平应力逐渐减小，位移增大到△a，
墙后土体处于朗肯主动状态时，墙后
45o＋ /2
土体出现一组滑裂面，它与大主应力
面夹角45o＋ /2，水平应力降低到
极限平衡条件
最低极限值
3
1
tan2 45o
2
2c tan 45o
2
朗肯主动土压力强度
pa zK a 2c K a
朗肯主动土压力系数
1
3
tan2
45 o＋
2
＋2c
tan
45 o＋
2
简述在土压力计算中,比较朗肯理论
简述在土压力计算中,比较朗肯理论在土压力计算中，各种计算理论都有一定的适用范围。
以下内容就从这些角度介绍朗肯理论。
(1)静止土压力的计算。
静止土压力的计算是根据静止土压力理论来推算的。
(2)朗肯理论在计算土坡稳定时，有时要采用土坡变形控制理论。
它利用土坡上土粒间的摩擦力来减少土坡的变形。
(3)朗肯理论用来计算稳定的岩石和土体。
朗肯等人曾对非饱和渗流作过研究。
他们认为，土壤水分不仅是影响其物理特性的重要因素，而且还会改变孔隙水压力。
在地下水位以下的渗透土层中，孔隙水压力可以用与土层深度成正比的经验公式来计算，其公式如下：P=exp(-sg）式中P——渗透系数; sg——渗透单位( m)。
为了保证计算的精确性，他们又进行了多次试验。
第一次试验，采用直径150mm、长度为1000mm的圆柱体，在渗流条件下，分别进行渗透试验，然后对试验结果进行修正;第二次试验，采用的试样是直径300mm、长1000mm的圆柱体，并对试验结果进行进一步修正;第三次试验，采用的试样是直径150mm、长1000mm的圆柱体，每组试样都经过3个不同的固结压力阶段。
从试验结果可以看出，随着压力的增加，土体的渗透系数也增加，土体的沉降量越大。
朗肯理论认为：当达到饱和时，土体会发生一定的变形，即发生弹性变形，在弹性变形量很小时，土体不会发生滑动或滚动。
因此，在建筑物稳定性的分析中，不能简单地采用朗肯理论进行计算，需要把它转化成应力比较大的模型进行计算。
(4)朗肯理论是以基本未知量方法为基础，建立了静止土压力的表达式和作用于各点的作用力。
在进行静止土压力计算时，朗肯理论以未知力的平衡条件为基础，将引起作用力不平衡的原因找出，然后再利用作用力与位移间的相互关系，即可求出未知力的平衡条件，并按相似关系画出图解。
这种比较结果与下列条件有关：①基本假设②前提条件③使用的理论④计算所得出的结果⑤计算模型⑥计算方法⑦计算公式⑧基本概念9计算结果的校核计算结果的校核，包括两方面的内容，一方面是指定义或规定适宜的模型和未知数，另一方面是计算结果的检验。
用朗肯土压力理论计算图示挡土墙上
如图所示，某挡土墙高7m，填土表面作用均布荷载q=20kPa。填土分两层，第一层土： h1=3m，；第二层土：h2=4m，。按朗肯压力理论计算作用在挡土墙背上的主动土压力分 布及合力Ea的大小，并绘出主动土压力强度分布图。 （2011年10月）
.按朗肯土压力理论，确定图示挡土墙上的主动土压力沿墙高的分布，并计算其 合力。 （2011年1月）
•
201210：某地基中有一土层，其厚度为h=2m，其顶面的自重应力=92kPa，底面的自 重应力=108kPa，已知该土层在外荷载作用下顶面受到的附加应力=64kPa，底面受到 的附加应力=36kPa。求：该土层的最终压缩量大小。（注：计算时仅分一层即可）压 力和孔隙比e的填土由两层土组成，填土表面作用q=30kPa均布荷载，第 一层土为粉质粘土，厚度hl=2.0m，=15.68kN／m3，cl=9.8kPa，=10°。第二层土为粘土， 厚度h2=3.0m，=17.64kN／m3，c2=14.7kPa，=20°。试利用朗肯土压力理论，求作用在挡 土墙墙背上的主动土压力及其合力。 （2009年10月倒数第二题）
（2013年1月）
图示挡土墙，墙后填土的性质指标如图示，试用朗肯理论计算并画出图示挡土墙上的主 动土压力分布图，并计算其合力大小。(12分)（2012年10月）
如图所示，某挡土墙高6m，墙后填土由两层组成，地下水位距墙底2m。第一层土为细砂，其厚 度为2m，γ1=15.8kN／m3，φ 1=10°，c1=0；第二层土为粉质粘土，其厚度为4m， γ2=17.8kN／m3，γ2sat=19.8kN／m3，φ 2=16°，c2=10kPa。按朗肯土压力理论计算作用在 挡土墙背上的主动土压力Ea的大小，并绘出主动土压力强度的分布图。 （2012年1月）
第三节朗肯压力理论(1857年提出)
第三节 朗肯土压力理论（1857年提出）一、基本原理朗肯研究自重应力作用下，半无限土体内各点的应力从弹性平衡状态发展为极限平很状态的条件，提出计算挡土墙土压力的理论。
（一）假设条件1．挡土墙背垂直、光滑； 2．墙后填土表面水平并无限延伸；3．挡墙背面光滑即不考虑墙与土之间的摩擦力。
（二）分析方法1．当土体静止不动时，深度z 处土单元体的应力为rz z =σ，rz k x 0=σ；2．当代表土墙墙背的竖直光滑面mn 面向外平移时，右侧土体的水平应力h σ逐渐减小，而z σ保持不变。
当mm 位移至''n m 时，应力园与土体的抗剪强度包线相交——土体达到主动极限平衡状态。
此时，作用在墙上的土压力x σ达到最小值，即为主动土压力，a p ； 3．当代表土墙墙背的竖直光滑面mn 面在外力作用下向填土方向移动，挤压土时，x σ将逐渐增大，直至剪应力增加到土的抗剪强度时，应力园又与强度包线相切，达到被动极限平衡状态。
此时作用在''''n m 面上的土压力达到最大值，即为被动土压力，p p 。
二、朗肯主动土压力当墙后填土达主动极限平衡状态时，作用于任意z 处土单元上的1σσ==rz z ，3σσ==a x p ，即x z σσ>。
1、无粘性土将rz r ==σσ1，a p =3σ代入无粘性土极限平衡条件：a rzK tg =-=)245(213ϕσσο式中：)245(2ϕ-=οtg K a ——朗肯主动土压力系数。
a p 的作用方向垂直于墙背，沿墙高呈三角形分布，当墙高为h （z=h ），则作用于单位墙高度上的总土压力Ka rh E a 22=，a E 垂直于墙背，作用点在距墙底3h处。
2、粘性土将a z p rz ===31,σσσ，代入粘性土极限平衡条件：)245(2)245(213ϕϕσσ-•--=οοtg c tg 得Kaa a crzK tg c tg p 2)245(2)245(21-=-•--=ϕϕσοο说明：粘性土得主动土压力由两部分组成，第一项：a rzK 为土重产生的，是正值，随深度呈三角形分布；第二项为粘结力c 引起的土压力a K c 2，是负值，起减少土压力的作用，其值是常量。
库仑土压力的联系和区别
库仑土压力的联系和区别摘要：一、朗肯土压力与库伦土压力的定义与概念二、朗肯土压力与库伦土压力的相同点与不同点三、朗肯土压力与库伦土压力的适用范围四、朗肯土压力与库伦土压力在各领域的应用案例五、如何选择合适的土压力计算方法正文：库仑土压力与朗肯土压力是两种计算土压力的方法，它们在土力学领域具有重要的意义。
尽管两者都是为了求解土压力问题，但在理论出发点和适用范围上存在一定的区别。
首先，从理论出发点来看，朗肯土压力理论是基于半空间的应力状态和土单元体的极限平衡条件推导出来的。
它首先求出土压力强度，然后再求出总土压力。
这种方法被称为极限应力法。
而库伦土压力理论则是以整个滑动土体上力系的平衡条件来求解主动土压力，被动土压力计算的理论公式。
这种方法被称为滑动楔体法。
其次，从适用范围来看，朗肯土压力理论适用于墙背光滑、直立，填土面水平的情况。
而库伦土压力理论适用于墙后填土是理想的散粒体，滑动破坏面为一平面，滑动土楔体视为刚体的情况。
尽管两者的出发点和适用范围有所不同，但它们在某些方面也有相似之处。
例如，在墙后填土为水平、无粘性土、墙背光滑且直立等情况下，两种理论的计算结果是一致的。
此外，两种理论均属于极限平衡状态下的土压力计算方法，都可以用于预测土压力对挡土墙的影响。
在实际应用中，工程师需要根据具体情况选择合适的土压力计算方法。
例如，在墙后有滑动楔体的情况下，采用库伦土压力理论计算较为合适。
而在其他情况下，可以根据朗肯土压力理论来计算土压力。
总之，朗肯土压力与库伦土压力是两种常用的土压力计算方法，它们在理论出发点和适用范围上有一定的区别。
工程师应根据具体情况选择合适的计算方法，以确保土压力计算的准确性和可靠性。
朗肯土压力计算
5.3 朗肯土压力理论朗肯土压力理论是根据半空间的应力状态和土的极限平衡条件而得出的土压力计算方法。
图5-5(a)表示一表面为水平面的半空间，即土体向下和沿水平方向都伸展至无穷，在离地表z处取一单位微体M当整个土体都处于静止状态时，各点都处于弹性平衡状态。
设土的重度为，显然M单元水平截面上的法向应力等于该处土的自重应力，即：CT z =忆而竖直截面上的法向应力为：二z =Ko z由于土体内每一竖直面都是对称面，因此竖直截面和水平截面上的剪应力都等于零，因而相应截面上的法向应力二z和二X都是主应力，此时的应力状态用莫尔圆表示为如图5-5(b)所示的圆I，由于该点处于弹性平衡状态，故莫尔圆没有和抗剪强度包线相切。
图5-5半空间的极限平衡状态设想由于某种原因将使整个土体在水平方向均匀地伸展或压缩，使土体由弹性平衡状态转为塑性平衡状态。
如果土体在水平方向伸展，则M单元在水平截面上的法向应力二z不变而竖直截面上的法向应力却逐渐减少，直至满足极限平衡条件为止(称为主动朗肯状态)，此时z达最低限值a，因此，a是小主应力，而二z是大主应力，并且莫尔圆与抗剪强度包线相切，如图5-5(b)圆U所示。
若土体继续伸展，则只能造成塑性流动，而不致改变其应力状态。
反之，如果土体在水平方向压缩，那末二x不断增加而 J却仍保持不变，直到满足极限平衡条件(称为被动朗肯状态)时二x达最大限值二p，这时，二P是大主应力而二z 是小主应力，莫尔圆为图5-5(b)中的圆川。
由于土体处于主动朗肯状态时大主应力所作用的面是水平面，故剪切破坏( <P、45 °- 一I面与竖直面的夹角为J 2丿［图5-5(c)］，当土体处于被动朗肯状态时，大(<P \45 "-一I 主应力所作用的面是竖直面，故剪切破坏面与水平面的夹角为2［图5-5(d )］，因此，整个土体由互相平行的两簇剪切面组成。
剪切破坏面与大主应45。
— 一 |力方向的夹角为I 2丿。
7 土压力理论
特殊条件——上覆荷载
特殊条件——上覆荷载
• 库仑土压力理论
三角形相似
pAa h Ka q Ka pBa (h H ) Ka (q H ) Ka
Ea 1 cos H 2 K a qHK a 2 cos
AA h
综合例题
解答
中砂： 细砂：
解答
中砂： 细砂：
解答
思维习题
作业
• 习题：7-6
2 2
朗肯V.S.库仑
• 分析方法
极 限 平 衡 理 论
朗肯
平衡状态 • 极限应力法
库仑
限平衡状态 • 滑动楔体法
• 土体内各点均处于极限 • 刚性楔体,滑面上处于极
• 理论严密、应用不足
• 简化分析、应用更广
ห้องสมุดไป่ตู้
朗肯V.S.库仑
• 适用范围
朗肯
填土表面水平，墙背垂 直，墙面光滑 砂土、粘土均可应用
cos cos( )
h AA cos
特殊条件——分层填土
• 思路
假设各土层的分界面与 填土表面平行
分层计算，得到每层土 的土压力分布、合力大 小、方向及作用点 按照分层土静止土压力 的方法计算
特殊条件——分层填土的思考
例题
例题
例题
填土有地下水
填土有地下水
• 土压力分类
静止土压力 主动土压力 被动土压力
静止土压力的计算
• 计算公式
z
• 静止土压力系数
E0
朗肯(Rankine)土压力理论
• 理论条件
墙背光滑 墙背垂直 填土表面水平、均质 • 基本假设 墙后各点均处于极限平衡状态
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第二节 朗肯土压力理论
二、几种常见发问下的主动土压力计算
1、成层填土情况：无连续荷载作用：
成层土：自重应力计算：iizh
aaiiakckhp2
（1）C1=0、C2=0
（2）C1、C2≠0
2、填土表面有连续的均布荷载作用
（1）无粘性土，C=0
1）压强分布为梯形
aaaqkKqzp)(1
aaakqHKqzp)()(2
2）合力： 大小： HkqHqkEaaa])([21
矩形：距墙底H/2
作用点：压力图形
三角形：距墙底H/3
方向：水平
（2）粘性土：C≠0
强度分布
（3）若填土表面局部有均布荷载作用：
3、墙后填土中有地下水的情况
第四节 土压力计算的影响因素及减小土压力的措施
一、影响土压力的因素
（一）墙背影响：形状
粗糙程度
倾斜程度：
（二）填土条件 填土表面
填土性质
二、减小主动土压力的措施
（一）选择合适的填料
（二）改变墙体结构和墙背形状
（三减小地面堆载
（四）挡土墙上设置排水孔，墙后设置排水盲沟来加强排水
第三节 朗肯土压力理论
1857年英国学者朗肯（Rankine）从研究弹性半空间体内的应力状态，根据
土的极限平衡理论，得出计算土压力的方法，又称极限应力法。
一、基本原理
朗肯理论的基本假设：
1.墙本身是刚性的，不考虑墙身的变形；
2.墙后填土延伸到无限远处，填土表面水平（β=0）；
3.墙背垂直光滑（墙与垂向夹角ε=0，墙与土的摩擦角δ=0）。
考察挡土墙后土体表面下深度z处的微小单元体的应力状态变化过程：
（1）当用挡土墙代替半空间的土体，且不发生位移时，作用在微分土体上
的应力为自重应力，此时，挡土墙土压力即为静止土压力，大小等于水平向自重
应力σh。
（2）当挡土墙在土压力的作用下向远离土体的方向位移时，作用在微分土
体上的竖向应力σv保持不变，而水平向应力σh逐渐减小，直至达到土体处于
极限平衡状态，此时水平向应力（σ3）即为主动土压力强度pa 。观看动画演示
（3）当挡土墙在土压力的作用下向着土体方向位移时，作用在微分土体上
的竖向应力σv保持不变，而水平向应力σh逐渐增大，由小主应力变为大主应
力，直至达到土体处于极限平衡状态，此时水平向应力（σ1）即为被动土压力
强度pp。观看动画演示
二、主动土压力计算
根据土的极限平衡理论。当土内某点达到主动极限平衡状态时，该点的主动
土压力强度pa的表达式如下：
无粘性
土：
粘性土：
式中：Ka为主动土压力系数，有
对于无粘性土，主动土压力强度与深度z成正比，土压力分布图呈三角形（图
6－5b）。据此可以求出墙单位长度总主动土压力为
作用点位置在墙高的H/3处。
粘性土的土压力强度由二部分组成，一部分为由土的自重引起的土压力
γzK
a
，随深度z呈三角形变化；另一部分为由粘聚力c引起的土压力 ，
为一负值，不随深度变化。叠加的结果如图6－5c所示。图中ade部分为负侧压
力。由于墙面光滑，土对墙面产生的拉力会使土脱离墙，出现深度为z0的裂隙。
因此，略去这部分土压力后，实际土压力分布为abc部分。
a点至填土表面的高度z0称为临界深度，可由pa=0求得，
则总主动土压为：
作用点位置在墙底往上(H-z0)/3 处。
朗肯主动土压力的计算方法可参阅例题6-1。
三、被动土压力计算
计算被动土压力时可取σh为最大主应力 ，σv为最小主应力 。根据极限平
衡理论，当墙移向土体的位移达到朗肯被动土压力状态时，在深度z处任意一
点的被动土压力强度pp的表达式为：
无粘性
土：
粘性土：
式中：Kp为被动土压力系数，有
由式（6-9）和（6-10）可知，无粘性土被动土压力分布呈三角形（图6－
6b），粘性土的土压力的分布为梯形（图6－6c）。单位墙长度总被动土压力为
无粘性
土：
作用点位置在墙高的H/3处。
粘性土：
作用位置通过梯形面积重心。
朗肯被动土压力的计算方法可参阅例题6-2。
四、实际工程中朗肯理论的应用
（一）填土表面倾斜时土压力计算
当填土表面与水平面夹角β≠0时，如果假设土压力作用方向与填土倾斜表
面平行，则也符合朗肯土压力条件（图6－7），应用朗肯理论和莫尔应力圆可
导出土压力计算公式，又称为应力圆法，其无粘性土主动、被动土压力强度计
算公式如下：
总主动、被动土压力计算公式为：
图6－7 填土表面倾斜时朗肯土压力计算图式
（二）墙后填土表面上有无限均布荷载作用时的土压力计算
当墙背垂直，墙后填土表面水平并有无限均布荷载q作用时（图6－8），
深度z处微分体的水平面上受有垂直应力
垂直墙面上的土压力强度为
总主动土压力为
土压力分布如图6－8所示，合力作用方向通过梯形形心。
图6－8 填土表面有无限均布荷载作用时的朗肯土压力计算图式
（三）墙后填土成层时的土压力计算
当墙后填土由几层不同物理力学性质的水平土层组成时，应先求出计算点的
垂直应力σz，然后用该点所处土层的φ值求出土压力系数，并用土压力公式
计算土压力强度和总土压力。计算时可能出现以下三种情况：
图6－9 成层填土土压力计算
此时在土层的分界面处将出现一转折点，土压力强度沿墙高的分布如图6－
9a所示。
此时在土层的分界面处出现一突变点。该计算点之上采用进行计算，计算点
之下采用 计算，土压力强度沿墙高的分布如图6－9b所示。
此时在土层分界面处也将出现突变点。计算方法与第二种情况相同。土压力
的分布如图6－9c所示。
（四）墙后填土中有地下水时的土压力计算
当填土中有地下水时，计算挡土墙的土压力应考虑水位及其变化的影响。此
时作用于墙背的土压力由土的自重压力和静水压力两者叠加而成。计算由自重
应力产生的土压力时，水下土层的容重用浮容重γ′，φ值取水下值。水压力
按静水压力计算。土压力和水压力的矢量和为作用于墙背上的侧压力。地下水
位对土压力的影响见图6－10。