2019学年高中数学第二章数列第07课时等差数列的概念与通项公式课件新人教B版必修5
第二课时等差数列的性质课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
「精品」高中数学第二章数列课时作业7等差数列的概念与通项公式新人教B版必修5
C．51 D．52
解析：∵2an＋1＝2an＋1，∴an＋1＝an＋ .
∴an＋1－an＝ .
∴数列{an}是首项为2，公差为 的等差数列．
∴a101＝a1＋(101－1)d＝2＋ ＝52.
答案：D
3．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于()
A．30°B．60°
C．90°D．120°
∴由bn＝ 得，数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1.
B组
(限时：30分钟)
1．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于()
A．－2B．－
C. D．2
ห้องสมุดไป่ตู้解析：由
解得： ，故选B.
答案：B
2．数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列()
A．是公差为2的递增等差数列
a3＝b2＝3，
a4＝b3＝5，
…
an＝bn－1＝1＋2[(n－1)－1]＝2n－3.
又a1＝1，
∴an＝
答案：C
4．已知数列{an}中，an＝2＋an－1(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的第10项为()
A．18 B．19
C．20 D．21
解析：∵an＝2＋an－1(n≥2)，∴an－an－1＝2(n≥2)，即d＝2.∵a1＝1，∴a10＝1＋9×2＝19，故选B.
答案：B
5．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为()
答案：
10．已知等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7＝45，求数列{an}的通项公式．
解：设a5＝a6－d，a7＝a6＋d，则由a5＋a6＋a7＝15，得3a6＝15.∴a6＝5.
【课件】第1课时等差数列的概念与通项公式说课课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（ ），9
2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68
4）8，（ ），8，8，8
创设学生比较感兴趣的情景，可以激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏
中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点。同时培养学生观察、
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
巩固练习： 在等差数列中,已知 = , = ,求 .
问1：还有没有其他做法？
师根据学生回答适时给出公式： = + ( − )
问2：从结果来看 , , , 之间有怎样的关系？
中项。
问1：等差中项A与a、b之间又怎样的关系？
问2：下列两个数的等差中项分别是什么？
（1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0
问3：是不是任意两数都存在等差中项？存在几个？
师点评：任意两数的等差中项即为两数的平均值。
问4：等差数列{ }中， 与− , + 之间有怎样的关系？为什么？
（4）-8，-6，-4.
学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对
等差数列概念的理解，看清“等差”的本质特征，培养学生抽象概括
能力和严密的数学学习态度。
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
2、等差中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
教学目标：通过数字规律小游戏情境引入，经历观察，分析，
归纳，推理论证，理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列
等差数列的概念及通项公式课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
等差数列的
，公差通常用字母
公差
表示。
d
【思考】你能用符号描述等差数列的定义吗？
*)
a
－a
＝d(d为常数，n∈N
递推公式： n＋1
n
（或an－an−1＝d，n≥ ）.
理解概念
问题1 抢答：判断下列数列是否是等差数列，如果是，
说出数列的首项和公差d, 如果不是，说明理由。
(1) 1, 3, 5, 7, …
等差数列的概念及通项公式
情境引入
观看视频，回答问题
情境引入
情境引入
视频的最后说这三组数列，
都有一个共同点，你能说说
共同点是什么吗？
从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
知识梳理
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都
等于
同一个常数
，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做
是 a1=1,d=2
(2) 9, 6, 3, 0,－3, … 是 a1=9,d=－3
(3) 3, 3, 3, 3, … 是 a1=3,d=0
(4) 15, 12, 10, 8, 6, … 不是
思考：下列数列的公差与该数列的类型有关系吗？
(1) 1, 3, 5, 7, … 是 a1=1,d=2
(2) 9, 6, 3, 0,－3, … 是 a1=9,d=－3
a2－a1＝d
a3－a2＝d
n 1个
a4－a3＝d
……
an－an−1＝d
}
累加法
将各式两边相加，得：an－a1＝(n－1)d
所以 an＝a1+(n－1)d
知识梳理
3.等差数列的通项公式
等差数列的概念(第2课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第二册)
解得 d=±2
∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;
当d=-2时，这三个数分别为6，4，2.
7. 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,
其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)
万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价
=3
7
∴ a25=a5+(25-5)d =10+20×3=70
(2) a10=a5+(10-5)d =10+5×2=20
6. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则
(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12
∴a=4
又∵ (a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12
第10排的座位有a10 =2 10 13 33(个 ).
n1
18，
2. 画出数列 an
的图象,并求通过图象上所有点
an1 3，1 n 6
的直线的斜率.
解：数列的图象如图示.
an
18
15
12
9
6
由等差数列定义可知,数列{an }是等差数列,且a1 18,ห้องสมุดไป่ตู้ 3. 3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
分析：（1） {an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项，就可
高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列的概念及通项公式课件 a必修5a高二必修5数学课件
12/8/2021
第四页，共二十二页。
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2.等差中项
由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫
做 a 与 b 的等差中项.这三个数满足关系式 2A=a+b.
方法总结用定义判断数列是等差数列是最常用的方法,这
类题目往往紧接着求通项,所以,前面判断某个数列是等差数列可以看作是
一个提示.
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首 页
探究
(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)
二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
= 3.
所以,这个等差数列的首项是-2,公差是 3.
∴an=-2+3(n-1)=3n-5.
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第七页，共二十二页。
首 页
探究
(tànjiū)
探究
(tànjiū)
二
一
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究
(tànjiū)
探究四
三
(2)设等差数列{an}的公差为 d,首项为 a1,
思考若三个数 a,A,b 满足 2A=a+b,这三个数 a,A,b 成等差数列
吗?
提示:∵2A=a+b,∴b-A=A-a,满足等差数列的定义,所以 a,A,b 成等差数
列.
3.等差数列的通项公式
高中数学等差、等比数列的通项及求和公式课件人教必修5
(1)公式对任何数列都适用；
(2)n＝1的情形要单独讨论.
2.已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，
S6成等差数列. (1)求q3的值；
(2)求证a2，a8，a5成等差数列.
【解题回顾】本题方法较多，用等比数列Sn公式时一定要注 意讨论q.
3.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇 数项和之比为32∶27，求公差d.
A.18
B.36
C.54
D.72
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
第2课时 等差、等比数列的通 项及求和公式
要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和 Sna 1 2 a nnn1 an n 2 1 d
等比数列前n项和 Sn na1a11qn
1q
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
an
SS1n
Sn1
n1 n2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念及通项公式(共18张ppt)
(3) 3, 3, 3, 3, … 是 a1=3,d=0
已知数列{an}是等差数列，d是公差
d>0时，{an}是递增数列；
d<0时，{an}是递减数列；
d=0时，{an}是常数列；
知识探究：理论迁移
问题2：在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数
会成为一个等差数列。
5 8
（1）2，___,
（2）－6，____,
a2－a1＝d
a3－a2＝d
n 1个
a4－a3＝d
……
an－an−1＝d
}
累加法
将各式两边相加，得：an－a1＝(n－1)d
所以 an＝a1+(n－1)d
知识梳理
3.等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是：
an＝a1＋(n－1)d
知识巩固：限时训练
1.在等差数列中，a1=12，a6=27，求d.
等差数列的
，公差通常用字母
公差
表示。
d
【思考】你能用符号描述等差数列的定义吗？
*)
a
－a
＝d(d为常数，n∈N
递推公式： n＋1
n
（或an－an−1＝d，n≥ ）.
理解概念
问题1 抢答：判断下列数列是否是等差数列，如果是，
说出数列的首项和公差d, 如果不是，说明理由。
(1) 1, 3, 5, 7, …
是 a1=1,d=2
(2) 9, 6, 3, 0,－3, … 是 a1=9,d=－3
(3) 3, 3, 3, 3, … 是 a1=3,d=0
(4) 15, 12, 10, 8, 6, … 不是
思考：下列数列的公差与该数列的类型有关系吗？
高中数学必修5课件：第2章2-3-2等差数列前n项和习题课
第二章 数列
温故知新
等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n，令d2＝A，a1－d2＝B，则得 Sn＝________.[答案] An2＋Bn数 Nhomakorabea 必修5
第二章 数列
新课引入
用分期付款的方式购买家用电器需 11 500 元，购买当天先付 1 500 元，以后每月交付 500 元，并加付利息，月利率为 0.5%， 若从交付 1 500 元后的第 1 个月开始算分期付款的第 1 个月，问：
所以S3m＝3ma1＋3m3m2 －1d＝210.
数学 必修5
第二章 数列
方法二：利用公式 Sn＝na1＋2 an，以及等差数列的性质 p
＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.
ma1＋am＝60，
①
由已知有m3ma1a＋1＋a2am3m＝＝1020S，3m，
② ③
2a2m＝am＋a3m，
④
由①②③④可得 S3m＝210.
【错解】 an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－ 1]＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项 的差是同一个常数，
∴{an}是等差数列． 【错因】 已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需 分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．
数学 必修5
解得a＝m202， b＝1m0.
所以 S3m＝9am2＋3bm＝210.
数学 必修5
第二章 数列
等差数列前n项和的性质应用
一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶 数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.
[思路点拨] 可以利用列方程组方法求解，也可以利用等 差数列前n项和的性质求解．
2019_2020学年高中数学第二章数列2.2.1等差数列学案新人教B版必修5
2．2.1 等差数列1.理解等差数列、等差中项的概念．2.探索并掌握等差数列的通项公式，会用通项公式解决一些简单问题．3．会判断数列是否为等差数列，体会等差数列与一次函数的关系． 4.掌握等差数列的性质，能用性质解决一些相关问题．1．等差数列的概念 (1)等差数列的定义①文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．等差数列定义中的常数，叫做公差，通常用字母d 表示．②符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)． (2)等差中项如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，则A ＝x ＋y2．2．等差数列的通项公式等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1为首项，d 为公差． 3．等差数列的性质(1)若{a n }是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①{c ＋a n }(c 为任一常数)是公差为d 的等差数列； ②{c ·a n }(c 为任一常数)是公差为cd 的等差数列； ③{a n ＋a n ＋k }(k 为常数，k ∈N ＋)是公差为2d 的等差数列．(2)若{a n }、{b n }分别是公差为d 1、d 2的等差数列，则数列{pa n ＋qb n }(p 、q 是常数)是公差为pd 1＋qd 2的等差数列．(3)若{a n }为等差数列，则a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N ＋)．(4)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地：当p ＝q 时，a m ＋a n ＝2a p .1．若{a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝240，则a 2＋a 7＝________． 解析：由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝240＝2(a 2＋a 7)，得a 2＋a 7＝120. 答案：1202．若{a n }为等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则a 1＋a 20等于________． 解析：由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20＝18.答案：183．若把等差数列概念中的“同一个”去掉，这个数列还是等差数列吗？ 解：不是了．定义中的“同一个常数”非常重要，切不可丢掉．4．根据等差数列的通项公式，你能判断等差数列是递增数列还是递减数列吗？ 解：当d >0时，是递增数列； 当d <0时，是递减数列； 当d ＝0时，是常数列．等差数列的判定与证明已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2； (1)数列{1a n}是否为等差数列？说明理由；(2)求数列{a n }的通项公式.【解】 (1)数列{1a n}是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n， 所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)． 所以{1a n }是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，1a n ＝12＋12(n －1)＝n2，所以a n ＝2n.在数列{a n }中，a n ＝lg532n ＋1，判断该数列是否为等差数列．解：因为a n ＋1－a n ＝lg532（n ＋1）＋1－lg 532n ＋1＝lg(532n ＋1×32×32n ＋15)＝lg 13.所以数列{a n }是等差数列．等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d 且a 5＝10，a 12＝31，求数列的通项公式． 【解】 法一：因为a 5＝a 1＋4d ，a 12＝a 1＋11d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝3， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5. 法二：因为d ＝a 12－a 512－5＝31－107＝3，所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝10＋(n －5)×3＝3n －5.在本例中，若a 5与a 12的值互换，如何求通项公式？解：因为d ＝a 12－a 512－5＝10－317＝－3，所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝31＋(n －5)(－3)＝46－3n .(1)求等差数列通项公式的步骤(2)等差数列公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d四个参数a 1，d ，n ，a n“知三求一”知a 1，d ，n 求a n 知a 1，d ，a n 求n知a 1，n ，a n 求d 知d ，n ，a n 求a 1等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47解析：选A.由题得2a 1＋5d ＝4， 将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50，选A.等差数列性质的应用在等差数列{a n }中，(1)已知a 2＋a 6＋a 20＋a 24＝48，求a 13； (2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d . 【解】 (1)由等差数列的性质知，a 2＋a 24＝a 6＋a 20＝2a 13，根据已知条件a 2＋a 6＋a 20＋a 24＝48，得4a 13＝48， 解得a 13＝12.(2)由等差数列的性质知a 2＋a 5＝a 3＋a 4，根据已知条件a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得a 2＋a 5＝17，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17a 2·a 5＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13a 5＝4，所以d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3，故d ＝3或－3.等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a 1，d 的方程(组)，确定a 1，d ，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .1.在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50，则a 40等于( )A ．40B ．70C ．80D ．90解析：选D.法一：因为a 20＝a 10＋10d ， 所以50＝30＋10d ， 所以d ＝2，a 40＝a 20＋20d ＝50＋20×2＝90.法二：因为2a 20＝a 10＋a 30，所以2×50＝30＋a 30， 所以a 30＝70， 又因为2a 30＝a 20＋a 40， 所以2×70＝50＋a 40， 所以a 40＝90.2．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是 ( ) A ．－2 B ．－12C ．2D ．12解析：选C.由3＋a n ＝a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝3. 又a 2＋a 4＋a 6＝9，且a 2＋a 6＝2a 4， 所以3a 4＝9，则a 4＝3， 所以a 7＝a 4＋3d ＝3＋3×3＝12，故log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 6(3a 7)＝log 636＝2.等差数列的设法与求解(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 【解】 (1)设等差数列的等差中项为a ，公差为d ， 则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 依题意，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24， 所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24， 化简得d 2＝16，于是d ＝±4， 故这三个数为－2，2，6或6，2，－2. (2)设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，所以d 2＝1，所以d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0. 所以d ＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程(组)求出a 1和d ，即可确定此等差数列的通项公式．(2)当已知数列有3项时，可设为a －d ，a ，a ＋d ，此时公差为d .若有5项、7项、…时，可同理设出．(3)当已知数列有4项时，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，此时公差为2d .若有6项、8项、…时，可同理设出．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设成等差数列的这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）＋（a －d ）＋（a ＋d ）＋（a ＋3d ）＝26，（a －d ）（a ＋d ）＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2.1．判断数列是等差数列的方法有：(1)利用定义：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，n ∈N ＋. (2)利用等差中项的定义：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，n ∈N ＋.(3)利用通项公式：a n ＝kn ＋b (其中k ，b 为常数，n ∈N ＋).2.利用通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，对a 1，a n ，d ，n 四个元素可“知三求一”．变形有a n ＝a m ＋(n －m )d ，以及由a n －a mn －m＝d 可求公差．3．等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)．特别地，当p ＝q 时，a m ＋a n ＝2a p ，要注意等式两边作和的项数一样多．灵活运用性质可起到化繁为简的作用．要说明一个数列为等差数列，必须说明从第2项起，所有的项与其前一项之差为同一个常数，即a n －a n －1＝d (n ≥2，n ∈N ＋)恒成立，或a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋)恒成立．不能只验证有限个相邻项之差相等，也不能因为n 的取值不全面而漏项，要验证所有项．1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C.a n －a n －1＝3－2n －[3－2(n －1)]＝－2.2．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46D ．45解析：选C.a 1＝1，d ＝－1－1＝－2， 所以a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋3， 由－89＝－2n ＋3，得n ＝46.3．若{a n }为等差数列，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的两根，则a 5＋a 8＝______． 解析：因为a 3＋a 10＝3，所以a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3. 答案：34．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________．解析：因为a 2n ＋1－a 2n ＝4，所以{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，所以a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3.又a n >0，所以a n ＝4n －3. 答案：4n －3[A 基础达标]1．已知{a n }是等差数列，a 1与a 2的等差中项为1，a 2与a 3的等差中项为2，则公差d ＝( )A ．2B ．32C ．1D ．12解析：选C.因为{a n }是等差数列，a 1与a 2的等差中项为1，a 2与a 3的等差中项为2，所以a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，两式相减得a 3－a 1＝2d ＝4－2，解得d ＝1.2．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根解析：选A.由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，而3a 5＝9，所以a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，Δ＝62－4×10＝－4<0，无实数解．3．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B.由题意得a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，b n ＝－2＋4(n －1)＝4n －6，则3n －1＝4n －6，解得n ＝5，选B.4．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是( )A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列解析：选C.因为(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ， 所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．5．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 10－a 12的值为( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．28解析：选C.由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝(a 4＋a 12)＋(a 6＋a 10)＋a 8＝5a 8＝120，解得a 8＝24.a 8＋a 12＝2a 10，则2a 10－a 12＝a 8＝24.故选C.6．等差数列{a n }的前三项依次为x ，2x ＋1，4x ＋2，则它的第5项为________． 解析：由x ，2x ＋1，4x ＋2成等差数列，得2(2x ＋1)＝x ＋4x ＋2，解得x ＝0，所以a 1＝0，a 2＝1，公差d ＝1，故a 5＝a 1＋4d ＝4.答案：47．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________． 解析：由题意1a 3＋1，1a 5＋1，1a 7＋1成等差数列， 所以2×1a 5＋1＝12＋1＋11＋1，解得a 5＝75. 答案：758．在－1和7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，则a ＝________，c ＝________．解析：因为－1，a ，b ，c ，7成等差数列，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝－1＋7，2a ＝b －1，2c ＝b ＋7，解得a ＝1，c ＝5. 答案：1 59．(1)已知{a n }是等差数列，且a 1－a 4＋a 8－a 12＋a 15＝2，求a 3＋a 13的值． (2)已知在等差数列{a n }中，若a 49＝80，a 59＝100，求a 79. 解：(1)因为{a n }是等差数列，所以a 1＋a 15＝a 4＋a 12＝a 3＋a 13＝2a 8. 又因为a 1－a 4＋a 8－a 12＋a 15＝2， 所以a 8＝2，即a 3＋a 13＝2a 8＝2×2＝4. (2)因为{a n }是等差数列，可设公差为d . 由a 59＝a 49＋10d ，知10d ＝100－80，解得d ＝2. 又因为a 79＝a 59＋20d ，所以a 79＝100＋20×2＝140.10．首项为a 1，公差d 为正整数的等差数列{a n }满足下列两个条件： (1)a 3＋a 5＋a 7＝93；(2)满足a n >100的n 的最小值是15， 试求公差d 和首项a 1的值． 解：因为a 3＋a 5＋a 7＝93， 所以3a 5＝93，所以a 5＝31，所以a n ＝a 5＋(n －5)d >100，所以n >69d＋5.因为n 的最小值是15，所以14≤69d＋5<15，所以6910<d ≤723，又d 为正整数，所以d ＝7，a 1＝a 5－4d ＝3.[B 能力提升]11．在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25解析：选B.在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，所以a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝(a 1＋a 10)＋(a 2＋a 9)＋(a 3＋a 8)＋(a 4＋a 7)＋(a 5＋a 6)＝5(a 5＋a 6)＝20，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝20.故选B.12．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝59， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.所以这三个数为－1，3，7或7，3，－1.所以这三个数的积为－21.答案：－2113．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋2n＋1.(1)求证：数列{a n－2n}为等差数列；(2)设数列{b n}满足b n＝2log2(a n＋1－n)，求{b n}的通项公式．解：(1)证明：(a n＋1－2n＋1)－(a n－2n)＝a n＋1－a n－2n＝1(与n无关)，故数列{a n－2n}为等差数列，且公差d＝1.(2)由第一问可知，a n－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，故a n＝2n＋n－1，所以b n＝2log2(a n＋1－n)＝2n.14．(选做题)已知数列{a n}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若从数列{a n}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{b n}，试求出数列{b n}的通项公式．解：(1)设等差数列的公差为d.因为a1＋a2＋a3＝12.所以a2＝4，因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2，所以a n＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.故a n＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.所以数列{b n}是以4为首项，4为公差的等差数列．所以b n＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.故b n＝4n.。