规划数学 最优性条件及二次规划
线性规划与二次规划的应用
投资组合优化
定义：在给定风险 水平下，最大化预 期收益或最小化风 险
应用场景：股票、 债券等金融资产 组合
目标：实现资产 保值增值，降低 风险
方法：利用二次 规划算法进行优 化求解
电力系统优化
二次规划用于解决电力系统中的无功优化问题，提高电力系统的稳定性和经济性。 通过二次规划，可以优化电力系统的运行方式，降低线损，提高输电效率。 二次规划在电力系统中的应用还包括负荷预测、机组组合、经济调度等方面。
实例：如某公司 需要将产品从多 个产地运往多个 销售地，如何安 排运输工具和运 输路线使得总成 本最低。
分配问题
定义：将有限的资源按照一定的约束条件分配给各个部门或个体，使得总效益最大
应用场景：资源分配、生产计划、物流调度等
线性规划模型：通过线性方程组表示约束条件和目标函数，求解最优解
实例：某公司有10台机器，需要生产3种产品，每种产品需要不同数量的机器，如何分配机器 使得总产量最大
算法原理：基于 K u h n - Tu c k e r 条 件和梯度下降法， 通过迭代更新可 行解，逐渐逼近 最优解。
算法步骤：初始 化可行解，计算 目标函数的梯度 和约束条件的雅 可比矩阵，迭代 更新可行解，直 到满足收敛条件。
算法优势：内点 法具有全局收敛 性和多项式时间 复杂性，适用于 大规模优化问题。
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灵活性
线性规划的灵活性：适用于多种问题，如生产计划、资源分配等 二次规划的灵活性：适用于凸优化问题，如最小二乘法、约束最小化等
线性规划的局限性：对于非线性问题，需要转化为线性问题，可能损失精度 二次规划的局限性：对于非凸问题，可能陷入局部最优解，而非全局最优解
单纯形法
定义：单纯形法是一种求解线 性规划问题的迭代算法
二次规划
L( x, λ) = f (x) + ∑ λ j g j (x)
j =1
m
(1) (2) (3) (4) (5)
f (x) + ∑ λ j g j (x) = 0 (梯度条件) 梯度条件)
j =1
m
g j ( x) ≤ 0
(约束条件) 约束条件) (松弛互补条件) 松弛互补条件) (非负条件) 非负条件) (正则条件或约束规格) 正则条件或约束规格)
f (x) = ci
g1 (x) = 0
x
*
f (x(0) ) x (k ) g 2 (x) = 0 x(0)
f (x(k ) )
x1
T 搜索方向满足; 搜索方向满足; f ( x)
P < 0 ,即; f ( x ) T P > 0 π f (x)T 与 P 夹角; α < 夹角;
2
am,m +1 am,m + 2
B = (p1p 2 , , p r , , p m )
f = f 0 + (c k z k ) x k
1 0 0 1 0 0 0 x1 0 x2 + 1 xm
k
B
C
XB x1 a1n b1 a1n xm b2 = xm +1 amn bm XC xn
二次规划: 二次规划:不等式约束问题的有效集法
二次规划: 二次规划:其它算法简介
�
′ a1k ′ ark x ≥ 0 k ′ amk
x B = ( x1 x2 , , xr , , xm ) B = (p1p 2 , , p r , , p m )
x B = ( x1 x2 , , xk , , xm ) B = (p1p 2 , , p k , , p m )
带LMI约束的混合整数二次规划问题的全局最优性条件
Ｆ ｂ ｅ ．，２ １ ０１ Ｖｏ ＿ Ｏ Ｎｏ Ｉ３ ．１
第３ ０卷
第 １ 期
带 Ｌ 约 束 的 混 合 整 数 二 次 规 划 问 题 的 ＭＩ 全 局 最 优 性 条 件
秦 帅 ， 云峰 ， 祁 李
（ 庆师范大学 重
倩， 祁艳 妮
４ ０４ ） ００ ７
数 学 学 庆 文 理 学 院 学 报 （自然 科 学 版 ） Ｊｕ ａ ｏ ｈｎｑｎ ｎ ｅｓｙｏ ｒ ｎ ｃｅｃｓ（ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒ ｌ ｆＣ ｏ ｇｉｇＵ ｉ ｒｉ ｆＡ ｔａ ｄＳ ｉ ｅ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｎ ｖ ｔ ｓ ｎ ｕ ｅ ｉ
对 角元素 为 ａ 一， 的对 角矩 阵 ， Ｌ 设 为所 有定 义在 Ｒ 上一 些实 值 函数 的集合 ．
定义 １ （ 一次微 分 ）
且Ｐ ＜ｑ 对 于 任何 ｅ∈ Ｎ 都 成 立．ａ ， ＝ （ ａ，
…
，
ａ ）， ∈Ｓ ， ∈Ｓ， ＝０ １ … ， 且 Ｓ 是 Ａ “Ｆ ， ， ｎ．
［ 收稿 日期】 ００一ｌ ２ ２１ １— １
［ 作者简介］ 秦帅 （９ ９一） 男 ， １７ ， 山东滕州人 ， 硕士 ， 主要从 事最优化理论与算法方面的研究
２ ９
设 － Ｒ“ Ｒ且 ０∈ Ｒ ， ∈ ， ｌ ）≥ 厂 一 ： 若 厂 （
／ 。 ）十Ｚ （ ）一￡ 。 ， ∈Ｒ ， ４ ｆ 厂 （ ）Ｖ 贝 称 为Ｉ在 。 处 的 一次微 分．
其 中 Ｚ ∈Ｓ 令 ，
： ＝
｛ Ｑ ：＝ｉ ｝ Ｑ ｄ（ ａ ｇ
对于（ ＭＭＩ ， Ｑ） 令
∈ Ｒ ）
命 题 ３ 设 ∈ ， 且 ＝Ａ— （ ｚ）＋（ Ａ
最优化方法 第六章 二次规划
一．不等式约束二次规划的有效集方法
1. 基本思想
对于存在不等式约束的二次规划，在每次的迭代中，以 已知的可行点为起点，把在该点起作用的约束作为等式约束， 将不起作用约束去掉，在此等式约束下极小化目标函数， 求 得新的比较好的可行点以后，重复以上做法.
通过解一系列等式约束的二次规划来实现不等式约束的 优化.
集合为w(x) E I x ，则 x也必是问题
min 1 xTGx d T x
2
(3)
s.t. aiT x bi , i E I x
的局部极小点.
反之，如果 x是(1)的可行点，且是问题(3)的 K-T 点，而且
相应的 Lagrange 乘子满足
i 0, i I x
(4)
则 x也是原问题(1)的 K-T 点.
称为有效集方法或者起作用集方法.
一般二次规划标准形式
min q(x) 1 xTGx d T x, 2
s.t. aiT x bi , i E,
(1)
aiT x bi , i I.
其中G是nn的对称矩阵.E,I 分别对应等式约束和
不等式约束指标集合.d, x,and ai,i E I 都是n维向量.
s.t
x1 2x2 x3 4 0
x1 x2 x3 2 0
解：
2
G 2
2
b
4 2
1 1 A 2 1
1 1
rA 2
2 0
0
2
0 1 1 x1 0
0
2
1
x2
0
0
1
0 2
2 1
1 0
1
0
x3
1
0 4
二次指派问题的理论与算法
二次指派问题的理论与算法二次指派问题的理论与算法一、什么是二次指派问题二次指派问题是在计算机最优化理论中常见的一个问题。
它的基本结构由资源的使用者、被指派的资源以及求解的目标组成。
它的主要任务是尽可能将资源高效地指派给不同的使用者，以达到令行知名的目标。
二次指派问题已被用于机器人任务指派，交通路线指派，被指派任务的决策，人工智能规划，医疗工作调度系统以及众多其他等实际应用。
二、二次指派问题的理论二次指派问题具有四个重要的理论框架：最优性条件、正交性原理、资源分配一致性以及决策规划的综合理论。
1、最优性条件：指在给定的实力限制下，总是能找到一个最优的解决方案。
2、正交性原理：指给定资源规模、使用者能力以及求解目标之后，需要找到每一个使用者和资源之间的唯一正交解，以达到最优化效果。
3、资源分配一致性：指在使用者之间的资源分配是一致的，也就是说资源的分配要保持一致。
4、决策规划的综合理论：指要根据不同的实力限制以及指派的资源，采用决策规划的综合理论来进行资源指派，并且获得最佳的分配结果。
三、二次指派问题的算法对于二次指派问题，一般有四种不同的算法进行解决：单层搜索、直觉式搜索、混合算法以及哈密顿算法。
1、单层搜索：指以不断地遍历节点/路径为基础，深度优先搜索或广度优先搜索等手段，最终找到最优解。
2、直觉式搜索：采用极大量的迭代来收敛到最优解，是一种速度较快的搜索算法。
3、混合算法：将单层搜索和总结式搜索融合在一起，形成一种综合性的搜索技术，使搜索效率较高。
4、哈密顿算法：是一种图形搜索的算法，它通过图搜索的思想，搜索出一条遍历所有点的最佳路径，来获取最优解。
四、总结二次指派问题在最优化理论中被广泛应用，它包括四个重要的理论框架：最优性条件、正交性原理、资源分配一致性以及决策规划的综合理论；而其解决的算法也常用单层搜索、直觉式搜索、混合算法以及哈密顿算法等。
未来在二次指派问题中，仍需不断追求更高性能、更有效率和更全面性的算法方法，使指派任务更加高效。
二次规划及多目标规划的全局最优性条件的开题报告
二次规划及多目标规划的全局最优性条件的开题报告一、选题背景和意义在现代社会中，资源分配管理非常重要。
针对某些特定问题，我们需要建立数学模型寻求最优解。
在优化问题中，一次规划模型被广泛应用，但是一些问题需要考虑更多的因素。
因此，二次规划以及多目标规划得到了广泛研究和应用。
二次规划是指目标函数是一个二次函数，约束条件是线性函数的最优化问题。
这类问题的全局最优解可以通过KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件来获得。
多目标规划是一个目标函数有多个优化目标的问题，在解决这类问题时，我们需要评估各个优化目标之间的权衡和取舍。
本文旨在介绍二次规划和多目标规划的全局最优性条件，探讨这些条件的实际应用和研究方向。
二、研究内容和方法本文分为两部分，分别是二次规划和多目标规划的全局最优性条件。
二次规划的全局最优性条件：在二次规划中，我们需要通过KKT条件解决约束问题。
我们将讨论KKT条件的必要性和充分性，并介绍如何利用这些条件来求解问题。
此外，我们还将研究二次规划问题的断言。
多目标规划的全局最优性条件：多目标优化问题中，无法直接获得全局最优解，因为存在多个最优解。
因此，我们需要在多个最优解中进行权衡和取舍。
本文将讨论多目标规划中的全局最优性条件，如Pareto最优性和面对向量的最优解。
我们还将深入探讨如何应用这些条件来解决实际问题。
本文采用文献研究和实例分析相结合的方法，深入研究这两类问题及其实际应用。
我们将收集并综合描述二次规划和多目标规划的全局最优性条件，并在各个应用领域中进行实证研究。
三、预期成果通过本文研究，我们将对二次规划和多目标规划的全局最优性条件有更深刻的理解，包括必要性和充分性以及应用领域。
我们将详细描述这些条件，并且提供实例和应用案例，以便读者更好地理解和应用这些方法。
四、论文结构本文总共分为五个章节：第一章介绍选题的背景和研究意义；第二章讨论二次规划的全局最优性条件，并给出案例描述；第三章研究多目标规划的全局最优性条件，并给出应用实例；第四章结合实例探讨这些条件的应用；第五章是总结和展望。
关于二次规划算法的研究
关于二次规划算法的研究
二次规划是运筹学中特别重要的一个研究分支,他对整个优化理论的发展起着巨大的推动作用,并且因为一般函数在极小点附近常可用二次函数很好地近似,从而二次规划的解法也经常是解一般非线性约束优化问题的工具,因此对此类问题的研究有很重要的意义.本文提出了求解二次规划问题的两种算法,分别是主对偶积极集法和不可行主对偶积极集法.主对偶积极集法主要适用于求解不等式约束凸二次规划问题,该算法主要利用积极集的性质,通过KKT条件中的一阶最优性条件和补条件得到主对偶对(x,s)的值,然后验证主对偶对(x,s)的值是否可行,如果不可行则确定新的积极集,算法继续迭代,直到找到满足最优性充分条件的最优点为止.不可行主对偶积极集法主要适用于求解一般约束凸二次规划问题,它利用经典Fletcher积极集法的思想,通过求解有限个等式约束约束二次规划的解来得到一般约束二次规划问题的解,但与Fletcher积极集法不同的是,该算法是主要通过迭代积极集的方式,来找到最优点处的积极集,从而得到最优点.本文提出的这两种算法都属于不可行内点法,都是在使迭代点达到最优性的同时,可行性也随之达到.同时在文中分别给出了两种算法的具体数值例子,证明了算法的有效性,之后还与其他类似算法做出了比较,说明了算法的优越性.。
二次规划基本介绍
BXB CXC b
XB B-1C bB-1
(2) 确定被替换基本变量 x r
bi br 0) min( aik 1i m aik ark
x1 b1 x b r r xm bm
4.3二次规划
Find x min f ( x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j 1, 2,, n ) j
非线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—非线性）
非线性优化问题
（目标函数—非线性）
线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—线 性）
有约束优化问题
ai x( k1) bi ai ( x( k ) k d ) bi ai x( k ) bi
ai x ( k 1) bi
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：其它算法简介
这就是K-K-T条件，
P
f (x)
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划：最优性条件
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
单纯形法的小结
（一）线性规划的标准形式： （二）基本概念
m i nz c T x Ax b s.t. x 0 j
T
（1）可行解：满足全部约束条件的决策向量称为可行解。 x ( x1 , x2 ,, xn , ) （2）可行域：全部可行解所构成的空间称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最小的可行解称为最优解。 （4）无界解：若目标函数无下界称为无界解。
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* 2 1 0 * 3(1 x1 ) * 1 * 0 1 2 3 0 1 0 1 0 1*[(1 x1* )3 x2* ] 0 2* x1* 0 3* x2* 0 1* , 2* , 3* 0
min f1 ( X ) f ( X ) x1
x1
s.t. g1 ( X ) (1 x1 )3 x2 0 g 2 ( X ) x1 0 g3 ( X ) x2 0
如上图所示，阴影部分为可行域 R，红色直线为目标函数的等值 线。显然最大值点为（1，0）。
（3） 成立
并令 即得
*j j / 0 , j 1,2,...p
p * * * f ( X ) g ( X )0 j j j 1 * * j g j ( X ) 0, j 1,..., p j * 0, ( j 1,..., p )
对于凸规划，库恩—塔克条件不但是最优点存在的必 要条件，它同时也是充分条件。
库恩—塔克条件的几何解释：
某非线性规划的可行解X(k)，假定此处有两个起作用约束， 且其梯度线性无关。 若X（k）是极小点，则 f ( X ( k ) ) 必处于
g1 ( X ( k ) ), g 2 ( X ( k ) )
1 p
线性无关。则存在向量
( * ,..., * ), M ( * ,..., * )
使得
p m * * * * * f ( X ) i hi ( X ) j g j ( X ) 0 i 1 j 1 j * g j ( X * ) 0, j 1,..., p * 0, (i 1,..., m) * 0, ( j 1,..., p) i j
（7）
min f ( X ) s.t. g j ( X ) 0 hi ( X ) 0
j 1,..., p i 1,..., m
( II )
若x*是非线性规划(II)的局部极小点， 且x*点的所有起作用约束的梯度
hi ( X * ),i 1,...,m
1 m
和
g j ( X * )( j J )
min f ( X ) x12 x2 s.t. x12 x2 2 9 x1 x2 1
s.t. g1 ( X ) 9 x12 x2 2 0 g 2 ( X ) 1 x1 x2 0
2 0 2 f ( X ) 0 0 2 0, 2 0 0 0 0
* *
使得
p * * * f ( X ) j g j ( X ) 0 j 1 * * j g j ( X ) 0, j 1,..., p j * 0, ( j 1,..., p )
（7）
成立
p * * 0 f ( X ) j g j ( X ) 0 j 1 * j g j ( X ) 0, j 1,..., p j 0, j 1,..., p
j
的充要条件是存在不全为零的非负数，使得
A
j 1 j
l
j
0
成立
2、Fritze John定理
min f ( X ) s.t. g j (X ) 0
j 1,..., p
(I )
p * * 0 f ( X ) j g j ( X ) 0 j 1 * j g j ( X ) 0, j 1,..., p j 0, j 1,..., p
பைடு நூலகம்
2 x1 1 2 x1 (1 1 ) 2 0 2 x1 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 1 1 2 2
讨论
(i)1 0, 2 0 2 1 0, (ii)
(2)
(1)
该问题的K-T条件为
2 x1 (1 1 ) 2 0 1 2 x 0 1 2 2 2 2 1 ( x1 x2 9) 0 2 ( x1 x2 1 ) 0 1 , 2 0
（1） （2） （3） （4） （5）
第9讲 最优性条件和二次规划
最优性条件 二次规划
重 点：最优性条件，二次规划 难 点: 最优性条件及应用 基本要求：理解可行方向、下降方向、有效约束等概念， 掌握最优性条件，并会用其求解有约束极值问题，掌握 二次规划模型及求解方法，理解序列二次规划的原理和特点。
最优性条件（5.1）
min f ( X ) s.t. g j ( X ) 0 j 1,..., p (I )
0 0 g1 ( X * ) , g3 ( X * ) 1 1
线性相关
X * (1,0)T 不是K-T点。
自己验证 X * (1,0)T 是F-J点。
例2 用K-T条件，求解非线性规划 解：1 验证该问题为凸规划 原问题标准化为
min f ( X ) x12 x2
（1） （2） （3） （4）
（5）
（1）式为
1 31* (1 x1* ) 2 2* 0
1* 3* 0
X * (1,0)T
代入上式，得：2* 1 0 不是K-T点。
故 X * (1,0)T
X (1,0) 的起作用约束为
* T
g1 ( X ) (1 x1 )3 x2 0 g3 ( X ) x2 0
0f ( X ) j g j ( X * ) 0
* j 1 l
(6)
j g j ( X * ) 0, j 0, j 1,2,...,p
3 Kuhn-Tucker条件
设x*是非线性规划（I）的局部极小点f ( X ), g j ( X ) 有一阶连续偏导 而且X*处的所有起作用约束梯度线性无关， 则存在数 1 ,..., p
(3) 成立
1 (4)
f ( X * )T P 0 * T * g j ( X ) P 0, j J ( X )
0 0, j 0, ( j J )
0f ( X * )
jJ ( X * )
j g j ( X * ) 0 (5)
p
g j ( X ) 0 j 1,..., p; hi ( X ) 0, i 1,..., m
处的起作用（紧）约束。记 处起作用（紧）约束的下标集 记 R= X g j ( X ) 0 j 1,..., p 或 R= X
为（I）或（II）的可行域
2 可行方向 定义:
判别条件 若 若
D
是 X (0) 的任一下降方向，则有 f ( X (0) )T D 0
(2)
D
既满足（1）式又满足（2）式则称
D
为 X (0)的下 降可行方向
f ( X )在 X (0) 处可微， 定理1 X (0) 为（I）的局部极小值点，
g j ( X )( j J ( X
(0)
(0) (0)处可微 g ( X )( j J ( X ))在 X (0) 处连续 在 j )) X
则在 X (0) 处不存在可行下降方向。即不存在向量
g j ( X (0) )T D 0, j J ( X (0) ) (1)
D
f ( X ) D 0
(0) T
同时成立
(2)
二、最优性条件
1、Gordan引理
设 A1 ,..., Al 为 l 个 n 维向量，不存在向量P 使得 AT P 0, J 1,..., l 成立
（7）
* * * * 其中 1 ,..., m ; 1 ,..., p 称为广义拉格朗日(Lagrange)乘子。
库恩—塔克条件是确定某点为最优点的必要条件， 只要是最优点．且此处起作用约束的梯度线性无关。 就必须满足这个条件。但一般说来它并不是充分条 件，因而，满足这个条件的点不一定就是最优点。
min f ( X ) s.t. g j ( X ) 0 hi ( X ) 0 j 1,..., p i 1,..., m ( II )
一、基本概念
1 起作用（紧）约束
X (0)
是(I)的可行解，若 g j ( X (0) ) 0 则称 g j ( X ) 0 为 X (0)
2 f ( X ) 半正定， f ( X ) 是凸函数
2 0 2 0 2 g1 ( X ) , 2 0, 40 0 2 0 2
2 g1 ( X )
负定
所以 g1 ( X ) 是凹函数 故该问题为凸规划。
2 求K-T点
2x f (X ) 1 1 2 x1 g1 ( X ) 2 x2 1 g 2 ( X ) 1
1 0, 2 0 (1 1 ) x1 0, 1 0 x1 0 1 0 x12 x2 2 9 x2 3 (2) 1 x2 3, 1 6
(3)
X (0, 3)T 是K-T点
(iii)
x12 x2 2 9 1 0, 2 0 x1 x2 1
3(1 x1 ) 2 1 1 0 f ( X ) , g1 ( X ) , g ( X ) , g ( X ) 2 3 0 0 1 1
K-T条件
f ( X * ) 1*g1 ( X * ) 2*g 2 ( X * ) 3*g3 ( X * ) 0 * * g ( X )0 1 1 2* g 2 ( X * ) 0 3* g3 ( X * ) 0 * * * , , 1 2 3 0