人教课标版高中数学选修2-3《排列(第2课时)》教学设计
人教版高中选修2-31.2排列与组合课程设计
人教版高中选修2-31.2排列与组合课程设计课程设计背景排列与组合是高中数学必修课程，也是高等数学课程中的重要内容，是概率论、数理统计等其他数学领域的基础和重要组成部分。
本课程设计旨在通过让学生深入理解和掌握排列组合基本概念、性质、应用等方面的内容，提高他们的数学思维能力和创造性，为进一步学习数理统计、概率论等专业领域的数学课程打下坚实的基础。
课程设计目标1.理解排列组合的基本概念、性质及其应用，掌握排列、组合、重排列的计算方法和技巧。
2.提高学生的数学思维和创造性，培养他们的数学分析和解决问题的能力。
3.引导学生热爱数学，探求数学知识的深层次内涵，培养学生数学思考的兴趣和能力。
课程设计内容第一节：排列组合的基本概念和性质1.排列组合的定义和基本性质2.排列组合的计算公式和推导过程3.排列组合的应用领域1.排列的计算方法和实例2.组合的计算方法和实例3.重排列的计算方法和实例第三节：排列组合的应用1.扑克牌、骨牌、麻将等游戏的排列组合问题2.有放回抽样、无放回抽样、二项式分布等统计学中的应用3.生活中的排列组合问题：座位安排、演出节目安排等第四节：课程总结与归纳1.知识点总结与梳理2.课程重难点回顾与巩固3.课程思维重点导向与拓展课程设计要点第一节：排列组合的基本概念和性质1.对于排列、组合、重排列的定义，要求掌握其数学知识点，并能运用其定义解决各类具体问题。
2.让学生通过丰富的例子，掌握排列组合在中公式的推导过程, 以及运用数学公式解决具体问题。
3.同时要求学生了解排列组合的应用领域，理解排列组合在数学中的重要性和作用。
1.对于排列、组合、重排列的计算方法，要求学生了解它们之间的异同点，以及如何在具体问题中应用。
2.通过一些典型的例题，让学生运用排列、组合和重排列的计算方法解决实际问题。
第三节：排列组合的应用1.针对扑克牌、骨牌、麻将等游戏的排列组合问题，引导学生根据题目条件进行分析并运用排列组合的方法，解决实际问题。
人教课标版高中数学选修2-3《组合(第2课时)》教案-新版
1.2.2 组合（第2课时）一、教学目标 【核心素养】通过学习组合与组合数公式，更进一步的提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力． 【学习目标】（1）掌握组合数的性质（2）解答涉及到组合问题的应用题 【学习重点】通过实例，理解组合数的性质并能解决简单的实际问题 【学习难点】组合数性质的推导，组合数公式的简单应用.二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 默写组合数公式的具体内容任务2 回忆组合数的推导过程 整理组合的应用方法 2．预习自测1.计算：69584737C C C C +++； 【知识点：组合数的性质】解：原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；2.求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．【知识点：组合数的性质】解：（2）右边1121112()()n n n n n n nm m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+=左边（二）课堂设计问题探究一 ●活动一 组合数的性质推导 1：m n nm n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=-又)!(!!m n m n C m n -=，∴mn n m n C C -=说明：①规定：10=n C ； ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2nm >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化.例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002； ④yn x n C C =y x =⇒或n y x =+． 2．m n C 1+＝m n C +1-m n C ．一般地，从121,,,+n a a a 这n+1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m个元素组成的，共有mn C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n)!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+=∴m n C 1+＝m n C +1-m n C ．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算 例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：（1）5638=C ,或=38C +27C 37C ，；（2）2127=C ；（3）3537=C ． 点拨：区分排列与组合 例2．解方程：（1）3213113-+=x x CC；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ．【知识点：组合数的性质】解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或5x =点拨：上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅，∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-，∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，经检验：4x =是原方程的解 点拨：组合数中含参数，要注意参数范围问题探究二1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类加法计数原理．2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复．计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理． 3．考查顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题属于排列问题．4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时“定元素选位置”，有时“定位置选元素”．例3．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件. (1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）.(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种）解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 点拨：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解. 3．课堂总结 【知识梳理】1掌握组合数性质m n n m n C C -=和m n C 1+＝m n C +1-m n C ，为解题提供方便2区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关． 【重难点突破】写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，这样做直观、明了、清楚，可防重复和遗漏．当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗. 4．随堂检测1．若266x C C =，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．4或2D ．3 【知识点：组合数的性质】 解：C2从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45【知识点：排列组合，古典概型】解：C 如图，基本事件共有25C ＝10个，小于正方形边长的事件有OA 、OB 、OC 、OD 共4个，∴P ＝1－410＝35. 3．222223416C C C C ++++…等于( )A ．215CB ．316C C ．317CD ．417C【知识点：组合数的性质】解：C 原式＝222223416C C C C ++++…＝3224416C C C +++…＝3225516C C C +++…＝…＝321616C C +＝317C .4.从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的有多少个？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：方法一：（直接法）满足条件的五位数有两类：第一类：万位数大于1，这样的五位数共有498A ⨯个；第二类：万位数为1，千位数不小于3，这样的五位数共有387A ⨯个． 根据分类计数原理，大于13000的五位数共有498A ⨯+38726544A ⨯=个． 方法二：（间接法）由0，1，2，…，9这10个数字中不同的5个数字组成的五位数共有499A 个，其中不大于13000的五位数的万位数都是1，且千位数小于3，这样的数共有382A 个，所以，满足条件的五位数共有43989226544A A -=个． 5.有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有________种(用数字作答)． 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：法一：先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙．根据乘法原理，不同的选法共有2111087C C C ＝2 520种． 法二：先从10人中选出2人承担任务甲，再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙．根据乘法原理，不同的选法共有22108C A ＝2 520种． 【易错剖析】本题易出现如下错解：错解一：分3步完成：第一步，从10人中选出4人，有410C 种方法．第二步，从这4人中选出2人承担任务甲，有24A 种方法． 第三步，剩下的2人分别承担任务乙、丙，有22A 种方法．根据乘法原理，不同的选法共有4221042C A A ＝5 040 种． 错解二：分3步完成，不同的选法共有4221042C C C ＝1 260 种． 错解一的错因是：“排列”“组合” 概念混淆不清．承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应改为24C .错解二的错因是：剩下的2人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即22C 应改为22A . （三）课后作业 基础型 自主突破1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．70 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 先分组再排列，一组2人一组4人有26C ＝15种不同的分法；两组各3人共有3622C A ＝10种不同的分法，所以乘车方法数为(15＋10)×2＝50，故选B ．2．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有( )A ．60种B ．72种C ．84种D ．96种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 解法1：根据题意，分两种情形讨论：①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有13132333C C C A ＝36种选派方案． ②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有222332C A A ＝36种选派方案，综上可得，共有36＋36＝72种不同的选派方案，解法2：从甲、乙以外的三人中选一人从事A 工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有1334C A ＝72种选法． 3．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A ．16B ．13C ．12 D ．38【知识点：排列组合，古典概型】解：C 由这两张卡片排成的两位数共有6个，其中奇数有3个，∴P ＝36＝12.4．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A ．2人或3人B ．3人或4人C ．3人D ．4人 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：A 设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得218n n C C ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人． 能力型 师生共研5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A ．45种B ．36种C ．28种D ．25种 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 因为10级台阶走8步，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么只需从8步中选取2步，这两步中每一步上两个台阶即可，共有28C ＝28种选法．6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A 、B 、C 、D 中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A ．72种B ．48种 D ．12种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】 解：A 解法1：(1)4种颜色全用时，有44A ＝24种不同涂色方法．(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A 、B 、C 中，有34A 种涂法，然后涂D ，D 可以与A (或B )同色，有2种涂法，∴共有234A ＝48种，∴共有不同涂色方法，24＋48＝72种．解法2：涂A 有4种方法，涂B 有3种方法，涂C 有2种方法，涂D 有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．7．用1、2、3、4、5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1、3、5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是________(注：用数字作答)． 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：48 按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有122322C A A ＝12个；②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、第2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个数字，所以满足条件的五位数有22232A A ＝24个；③当2出现在第4位时，即00020，则第5位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有122322C A A ＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个． 8．高三某学生计划报名参加某7所高校中的4所学校的自主招生考试，其中仅甲、乙两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，那么该学生不同的报考方法有________种．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：25 报考学校甲的方法有35C ，报考学校乙的方法有35C ，甲、乙都不报的方法有45C ，∴共有352C ＋45C ＝25种．9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：1080 先将6名志愿者分为4组，共有226422C C A 种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有44A 种分法，故所有分配方案有：22464422C C A A ＝1 080种10．已知集合A ＝{5}，B ＝{1,2}，C ＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A ．33B ．34C ．35D ．36【知识点：排列组合，分步计数原理，分类计数原理数学思想：分类讨论】解：A ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有1323C A ＝12个； ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有1323C A ＋33A ＝18个； ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有13C ＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A ． 探究型 多维突破11．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( )A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种 【知识点：分步计数原理】解：D 按第二天到第七天选择持平次数分类得642222033662642663C C A C C C C C C +++＝141种． 12．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )A ．50种B ．60种C ．120种D ．210种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为16C ，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有25A 种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法1265C A ＝120种，故选C ． 13. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为( )A ．360B ．520C ．600D ．720 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 当甲、乙两人中只有一人参加时，有134254C C A ＝480种方法； 当甲、乙两人都参加时，有2242225423()C C A A A -＝120种方法． 由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C ．14. 要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_____种不同的种法(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：72 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种． 自助餐1．将标号为1，2，，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有44C ＝1种，取2奇数2偶数的取法有2245C C ＝60种，取4个数均为奇数的取法有45C ＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种． 2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有44C ＝1种，取2奇数2偶数的取法有2245C C ＝60种，取4个数均为奇数的取法有45C ＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种． 3．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种 【知识点：排列组合】 解：C4 .5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )A ．45A 种B ．45种C ．54种D ．45C 种 【知识点：排列组合】解：D 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C 45种．5．将标号为A 、B 、C 、D 、E 、F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A 、B 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种 【知识点：排列组合，分步计数原理】解：B 由题意，不同的放法共有1234C C ＝4332⨯⨯＝18种． 6.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为3433A A ＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为332222A A A ＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.7．A ，B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．【知识点：排列组合】解：根据题意，要求从A 地到B 地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次， 从5次中选3次向右，剩下2次向上即可， 则有35C ＝10种不同的走法， 故答案为10.8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A ，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B ，若213B A =，则这组学生共有________人． 【知识点：排列组合】解：15 设有学生n 人，则24213n n A C =，解之得n ＝15.9．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：140 第一步安排周六有37C 种方法，第二步安排周日有34C 种方法，所以不同的安排方案共有3374C C ＝140种． 10．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有多少种？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：当最左端排甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有4414A C 种.故不同的排法共有55A ＋4414A C ＝120＋96＝216(种).11．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是多少？【知识点：对数运算，基本事件，排列组合，分类计数原理，数学思想：分类讨论】解：记基本事件为(a ，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lga －lgb ＝lg a b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)12．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可) (1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？ 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：(1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有6467A A 种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有99A 种排法，若甲不在末位，则甲有18A 种排法，乙有18A 种排法，其余有88A 种排法，综上共有(99A ＋18A 18A 88A )种排法． 方法二：甲在首位的共有99A 种，乙在末位的共有99A 种，甲在首位且乙在末位的有88A 种，因此共有(1010A －299A ＋88A )种排法．(3)10人的所有排列方法有1010A 种，其中甲、乙、丙的排序有33A 种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有101033A A 种．男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10.。
高中数学选修2-3导学案 排列(包含3个课时)
排列(第1课时)【教学目标】理解排列的意义，并能借助树形图写出所有的排列。
【问题情境】1.(1)高二(1)班准备从甲,乙,丙这三名学生中选出2人分别担任班长和副班长,有多少种选法?(2)从1,2,3这3个数字中取出2个数字组成两位数,这样的两位数共有多少个?上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？【合作探究】2.排列的定义：3.两个排列相同当且仅当排列的______________、______________相同.4.排列数的定义：排列数公式m n A =____________________________.5.全排列_____________________________________________________全排列数公式n n A =____________________________.【展示点拨】例1.判断下列问题是否为排列问题，并说明理由。
（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人，又有多少种方法？（2）从集合 1,2,3,9M = 中，任取两个元素作为a,b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程22221x y a b-=？例2.(1)写出从a,b,c,d 这4个字母中，取出2个字母的所有排列；(2)写出从a,b,c,d 这4个字母中，取出3个字母的所有排列.思考：你能写出a,b,c,d 这4个字母都取出的所有排列吗？例3. 借助树形图，写出从a,b,c,d,e 这5个字母中取出2个字母的所有排列。
例4.计算：⑴316A ； ⑵66A ； ⑶46A【学以致用】1.判断下列问题是否是排列问题。
（1）从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（2）10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的做法？2. 从0,1,2,3这4个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，试写出所有满足条件的三位数.3. a,b,c 排成一行，其中a 不排第一位， b 不排第二位，c 不排第三位，写出所有满足条件的排列。
最新人教版高中数学选修2-3《排列》教学设计
最新人教版高中数学选修2-3《排列》教学设计教学设计1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N，m≤n)．说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29. 2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)．解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！，也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0，。
人教版高中数学 选修2-3 1.2.1排列教案
本课作业:课本P20 A组1，3
第二课时
情境设计：从1~9这九个数字中选出三个组成一个三位数，则这样的三位数的个数是多少？
新知教学:
排列数公式的应用：
例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛？
解：见书本18页例2
变式：(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？
引出排列的定义
（1）在学中教，在学中悟
（2）通过例1的分析让学生明确什么是排列为后面的学习做好准备。
（3）例1的分析中可以让学生作一部分树形图
利用上例中的树形图或结合引入的实例分析排列的个数引出排列数定义。
1、重视排列数公式的等式证明
2、重视排列数公式的应用
复习排列数公式
（1）在学中教，在学中悟
（2）通过例1的分析让学生进一步理解排列数公式的应用。
(2)放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？
例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：见书本18页例3
例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
同理，数字1，2，3，4在十位及个位上时，都有18个数；
于是，所有这些数的和为：
24×（1+2+3+4）×1000+18×（1+2+3+4）×100+18×（1+2+3+4）×10+18×（1+2+3+4）=259980。
2012高中数学人教新课标选修2-3第一章《排列》教案2
高中数学选修2-3修订教案1.2.1排列（第二课时）教学目标：掌握解排列问题的常用方法 教学重点：掌握解排列问题的常用方法 教学过程一、复习引入： 1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．顺序．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号mn A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）二、讲解新课：解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”． 互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法 例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．解 (1)P66=720(种)(2)P21·P41·P44=2×4×24=192(种)(3)P55·P22=120×2=240(种)(4)P66=360(种)(5)P43·P33=24×6=144(种)(6)P55+P41P41P44=120+4×4×24=504(种)或法二：(淘汰法)P66-2P55+P44=720-240+24=504(种)课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导课堂练习：课后作业：。
人教高中数学选修2-3第一章121排列(优质公开课教案)
1．2．1排列上课班别：高二授课教师：教材：人教版选修2—3教学目标：1、知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
2、过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题3、情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列数公式的理解与运用；排列应用题常用的方法有直接法，间接法教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体内容分析：分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法二、讲解新课：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。
新人教A版数学-选修2-3-教案：排列
排列【教学目的】理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；能用排列数公式计算。
【教学重点】排列、排列数的概念。
【教学难点】排列数公式的推导一、问题情景〖问题1〗从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素。
a b c d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排〖问题2〗．从,,,法？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法二、数学构建≤）个元素（这里的被取元素各不相1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m n同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同≤）个元素的所有排列的个数叫做2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m n从n个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列≤）个元素的所有排数”是指从n个不同元素中，任取m（m nA只表示排列数，而不表示具体列的个数，是一个数所以符号mn的排列。
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1.2排列与排列数公式（第2课时）
一、教学目标 1．核心素养
通过学习排列以及有限制条件的排列应用题，更进一步的提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力． 2．学习目标
（1）理解掌握排列应用题的基本方法； （2）能够区分应用几种特殊排列的解决方法 3．学习重点
排列应用题的最基本的解法，几种特殊排列的解决方法 4．学习难点
排列的综合应用 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务
任务1 阅读教材，并试着总结几类特殊的排列
2．预习自测
1.5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有 （ ）
A ．20种 B.60种 C.120种 D.100种
解：C 5
5A =120
2.4名同学站成一排，甲不站两端，有多少种站法？ （ ） A. 24 B. 18 C.12 D .9
解：C 特殊元素甲优先考虑 甲有2种选择，剩下3个同学全排列，故为3
3212A =种站法
3.8名同学排成2排，每排4人，共有多少种排法 （ ）
A ．A 4
4
+ A 44
B. A 44
A 33
C. A 44 A 44
D. A 88
解：D 两排同学可看成一排，全排列. （二）课堂设计 1．知识回顾
（1）排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．
（2）排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中
取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示(1)(2)(1)m
n A n n n n m =---+
(1)(2)
21!n n A n n n n =--⋅=
2．问题探究
问题探究一、排列问题中几种最基本的解法
例1.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
解法一：（从特殊位置考虑）1360805
919=A A ；
解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ⋅；若不选：69A ， 则共有56995136080A A ⋅+=种； 解法三：（间接法）65109136080A A -=
例2 .7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有
25A 种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有5
5A 种方法，所以一共有25A 5
5A ＝2400种排列方法
解法2：（间接法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －66
2A ＋5
5A =2400种． 说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“间接法”，对某些特殊元素可以优先考虑 点拨：解决排列问题的基本方法
1.元素分析法.关键分清哪些是特殊元素，哪些是一般元素，特殊元素优先考虑．
2.位置分析法.关键要分清特殊位置，特殊位置优先考虑.
3.间接法.是经常用到的一种方法，有两个关键点：第一，排列数总数是多少；第二，不合条件的排列数又有多少．其中第二点中往往采用特殊元素(或位置)法． 问题探究二、几种特殊的排列 例3： 7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列
有6
6A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有62621440A A ⋅=种
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
解：方法同上，一共有55A 33
A ＝720种 （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下
的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22
A ＝960种方法 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排
尾有255A 种方法，
所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排
头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A 55
A 22A ＝960种方法． （4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起
解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，
时一共有2个元素，∴一共有排法种数：342342288A A A =（种）
点拨：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
某些元素要求相邻的问题，常用“捆绑”的办法：把相邻或要求在一起的元素捆在一起看成一个元素与其他元素排列；然后再松绑，即内部再排列． 例4：7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A ；
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），
再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002
655=A A 种方法．
（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35
A ＝1440种． 点拨：某些元素要求不相邻的问题，常用“插空”的办法：即先排其他元素，然后在其形成的 空位中选出空位排要求不相邻的元素． 例5：（1）已知数字3、2、2，求其排列个数？
（2）男生4名，女生3名排成一列，若三名女生之间的前后顺序一定，则有________种
不同的排法．
解：(1)3种. 3,2,2或者2,3,2或者2,2,3. 法一：根据3的位置确定；法二：两个2的之间没有顺
序，可看成顺序已定，只有一种，故有3
3
22
A A =3种
(2)法一 7个同学全排列，女生顺序确定，故 77
33
840A A =种.法二：3名女生顺序确定，七个位
置中男生的选法有47A ，剩下三个位置，女生只有一种站法，故有47840A =种方法. 点拨：顺序已定（或者说含有相同元素）则消序：先排后除． 3．课堂总结
排列应用题的最基本的解法
1.①直接法：以元素为考查对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为考查对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)． ②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．
2.排列应用题中几种特殊的排列：相邻则捆绑，不相邻则插空，顺序已定用除法.。