数学简单线性回归模型
高中一元线性回归方程
高中一元线性回归方程
线性回归是一种有用的数学方法，用来描述两种变量之间的关系并预测新值。
其中最常见的是一元线性回归。
一元线性回归可以用一个简单的等式来描述：y = mx + b，其中y是因变量，mx是自变量，b是偏置量（截距）。
在高中，首先要解决的是一元线性回归的问题，这就意味着计算机的对应的等式是：y = mx + b，其中m和b是要求的系数。
一元线性回归的关键是确定系数m和b，其中b也被称作截距（截距）。
计算m和b有多种数学方法，例如最小二乘法，均值方程法等。
最小二乘法被认为是最常用的方法，它可以通过拟合模型来最小化模型和实际观察值之间的差异，从而得到最适合的结果。
在高中，学生可以通过用图象法或数学公式法来确定系数m和b。
其中，图象法是把握表示的独立变量的值以及它们的关系的另一种更直观的方法。
这样，我们可以画出数据点的趋势线，再从统计学书籍上获取两个变量之间的最佳拟合数据，在图上画出拟合线，求出最佳拟合线上的斜率m和截距b。
另一种方法是用数学公式确定系数m和b，这需要了解一系列公式，而在高中的学习中，老师基本上会给出他们解决一元线性回归的具体公式。
总之，一元线性回归是一个重要的数学模型，其有助于理解两个变量之间的联系，它的性质和方程可以在高中很好地学习和实施。
高考文科线性回归知识点
高考文科线性回归知识点高考文科数学考试中，线性回归是一个重要的知识点。
线性回归是一种统计分析方法，通过建立一个数学模型来描述两个变量之间的关系。
在文科领域，线性回归常常被用来分析人文社科问题，预测社会现象的趋势和发展。
一、线性回归的基本概念线性回归是通过一条直线来描述两个变量之间的关系。
其中，自变量是独立变量，也叫做解释变量；因变量是被解释变量，也叫做预测变量。
线性回归的模型可以表示为：Y = α + βX + ε，其中Y是因变量，X是自变量，α是截距，β是斜率，ε是误差项。
线性回归的目标是找到最佳的α和β，使得模型的预测误差最小。
二、线性回归的假设条件线性回归有几个基本的假设条件。
首先，自变量和因变量之间的关系是线性的；其次，误差项是独立同分布的，即没有自相关性；最后，误差项的方差是常数。
三、线性回归的参数估计线性回归需要通过样本数据来估计模型的参数。
通常采用最小二乘法来估计α和β。
最小二乘法的基本原理是使得观测值与模型的预测值的平方差最小。
通过求导可以得到最小二乘估计的解析解。
四、线性回归的评估指标在线性回归中，评估模型的好坏是十分重要的。
常用的评估指标包括拟合优度R²、均方根误差RMSE、平均绝对误差MAE等。
拟合优度R²表示模型解释变量的变异程度，取值范围为0到1，越接近1表示模型的拟合程度越好。
均方根误差RMSE和平均绝对误差MAE表示模型的预测误差大小，一般来说，误差越小表示模型的预测能力越好。
五、线性回归的应用领域线性回归是一种广泛应用于社科领域的统计方法。
以经济学为例，线性回归可以用来分析不同变量之间的关系，比如GDP与人均收入、失业率与通货膨胀等。
通过线性回归分析，可以为经济政策的制定提供科学依据。
此外，线性回归还可以应用于社会学、心理学、教育学等领域，帮助研究人员发现变量之间的关系。
六、线性回归的局限性线性回归虽然在很多领域有广泛应用，但也有一定的局限性。
一元线性回归模型 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教B版选择性必修第二册
已知y与x线性相关：
判断是正相关还是负相关
攻打下一座防御塔
任务二 回归直线方程
【思考】
0
通过前面的学习，我们已经观察除数学成绩的好坏与学习
数学的时长具有正相关关系，在散点图中可以用一条直线
近似刻画，我们如何进一步描述这两者之间的准确联系
呢？
在已知y与x线性相关的前提下，你能找出近似描述y与x
之间关系的一次函数表达式吗？根据所得到的关系式，
并发展自身逻辑思维素养。
掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估
计方法，并锻炼自身数学运算素养。
结合实际问题，会用一元线性回归模型进
行预测，并发展自身数学建模的思维和素养。
对手分析
【难点】
用最小二乘法估计
一元线性回归模型
的参数．
【重点】
1.判断相关关系
2.求回归直线方程
3.利用回归直线方
程进行预测
散点图
30
40
50
60
70
80
90
数学成绩
100
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
平均每日游戏时长
如果一个变量增大，另一个变
量大体上也增大，则称这两个
变量正相关；
如果一个变量增大，另一个
变量大体上减小，则称这两
个变量负相关；
短兵相接
答对以下问题破除防御塔
如果某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表
所示.
——确定性关系
（4）平均学习时间 t 与学习成绩 f 之间的关系; ——随机性关系
相
关
关
系
任务一 相关关系
根据所学，想要直观感受下表中的数据是否具有相关关系仍有些困
8-2第2课时 一元线性回归模型的综合问题(教学课件) 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
由题意知lg lg
ห้องสมุดไป่ตู้
300＝klg 200＝klg
300＋b 2 000＋b，
解得k＝－14 b＝285，
所以 lg f＝－14lg W＋285，
25
1
所以f关于W的函数解析式为f＝10 8 W 4 .
03 残差平方和与决定系数R2
问题3 例2中给出了两个模型，那么如何比较这两个模型的拟合效果？ 提示 残差平方和、决定系数.
(2)当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产 生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的 影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2， 且 I11＋I42＝1010.已知点P的声音能量等于声音 能量I1与I2之和，请根据(1)中的经验回归方 程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并 说明理由.
点P的声音能量I＝I1＋I2， ∵I11＋I42＝1010， ∴I＝I1＋I2＝10－10·I11＋I42(I1＋I2)＝10－10· 5＋II21＋4II21≥9×10－10(当且仅当II21＝4II21，即 I2＝2I1 时等号成立)， 根据(1)中的经验回归方程，点 P 的声音强度 D 的最小预测值为D^ ＝ 10·lg(9×10－10)＋160.7＝10·lg 9＋60.7>60，
量 I 的经验回归方程D^ ＝a^ ＋b^ ·lg I；
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线v^ ＝
n
ui－ u vi－ v
i＝1
α^ ＋β^ u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^ ＝
，α^ ＝ v
n
ui－ u 2
i＝1
－β^ ·u .
由Wi＝lg Ii，先建立D关于W的经验回归方程，
02一元线性回归模型
xi xi2 Yi
o
Wi Yi
1
n
X
xi
xi 2
Yi
证： βˆ1
xi yi xi2
xi (Yi Y ) xi2
xiYi Y xi
xi2
xi2
令ki
xi
xi2
，因xi
(Xi
X)
0 ，故有
使偏导数为零
(
e2 i
)
o
2(Yi
o
1 Xi)
0
(
e2 i
)
1
2(Yi
o
1 Xi) Xi
0
得正规方程
Yi = nβo + β 1 Xi XiYi = β o Xi + β 1 Xi2
解得
1
X iYi nXY
14
800
1000
1200
1400
1600
x
y
Fitted values
OLS估计结果：Yˆi 10.7662 0.0051X i （第2版教材第17页）
（第3版教材第15页）
2.3 最小二乘估计量的统计性质
一、线性性
线性特性是指估计式 β^o 和 β 1^是Yi 的线性函数。
1 Ki Yi
如此以来，高的越来越高，矮的越来越矮。他 百思不得其解，同时又发现某人种的平均身高 是相当稳定的。最后得到结论：儿子们的身高 回复于全体男子的平均身高，即“回归”—— 见1889年F.Gallton的论文《普用回归定律》。
数学知识总结解决实际问题的常用数学模型
数学知识总结解决实际问题的常用数学模型数学作为一门科学，不仅仅是学科的基础，还是解决实际问题的重要工具。
在工程、物理、经济、生物等领域中，数学模型被广泛运用于解决各种实际问题。
本文将总结一些常用的数学模型，并说明它们在应用中的具体作用。
1. 线性回归模型线性回归模型是一种常见的统计学模型，它用于描述两个变量之间的线性关系。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的数据来预测或估计未知的变量。
线性回归模型通过建立一个线性方程，根据已知的数据点进行拟合，并用于预测未知数据点的取值。
这种模型广泛应用于经济预测、市场分析等领域。
2. 概率统计模型概率统计模型是研究随机现象规律性的数学工具。
在实际问题中，我们常常需要确定某个事件发生的可能性。
概率统计模型通过统计分析已有的数据，从而得到事件发生的概率。
根据已有的统计数据，我们可以计算出事件发生的可能性，并做出相应的决策。
例如，在风险评估中，我们可以通过概率统计模型来评估某个投资产品的风险。
3. 最优化模型最优化模型是研究如何找到使某个目标函数取得最优值的数学模型。
在实际问题中，我们常常需要在一定的约束条件下，找到一组满足特定条件的最优解。
最优化模型可以通过建立数学模型，并应用最优化算法来求解。
在工程设计、物流规划等领域中，最优化模型被广泛应用。
4. 图论模型图论模型是研究图的性质和关系的数学工具。
在实际问题中，我们常常需要分析和描述事物之间的关系。
图论模型可以通过构建图来描述和分析事物之间的关系，并帮助我们解决实际问题。
在社交网络分析、交通规划等领域中，图论模型发挥着重要的作用。
5. 随机过程模型随机过程模型是研究随机现象随时间变化规律的数学工具。
在实际问题中，我们常常需要研究某个随机变量随时间的变化趋势，或者某个随机事件在一段时间内的累积概率。
随机过程模型可以通过建立数学模型，对随机现象进行建模和分析。
在金融风险管理、天气预测等领域中，随机过程模型被广泛应用。
一元线性回归模型与独立性检验-高考数学复习
3.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应
的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y
^
关于x的回归直线方程为 y =0.7x+0.35,则表中m的值为(
)
x/吨
3
4
5
6
y/吨标准煤
2.5
m
4
4.5
A.3
B.3.5 C.4
D.4.5
答案 A
(2)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的χ2的值越大.( √ )
^
^
^
(3) 经验回归直线 = bx+至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个
点.( × )
(4)两个变量的相关系数的绝对值越接近于1,它们的相关性越强.( √ )
2.(多选)下列说法不正确的有(
次函数y=bx+a,对每一个已知的xi,由直线方程可以得到一个估计值
^
i =bxi+a,
^
^
^
如果一次函数y = x+能使残差平方和
^
即
^
^
(y1-1 ) +(y2-y2 ) +…+(yn- ) = ∑
2
2
2
=1
^ 2
(yi- )
^
^
^
取得最小值,则 = x+称为 y
关于 x 的回归直线方程(对应的直线称为回归直线).因为是使得
平方和 最小,所以其中涉及的方法称为 最小二乘法
.
∑ ( -)( -)
=1
^
其中,回归系数=
一元线性回归模型及其应用课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
显然， | e i | 越小，表示点 (x i ，y i ) 与点 (x i ，bx i a) 的“距离”越小， 即样本数据点离直线 y bx a 的竖直距离越小. 特别地，当 e i 0 时，表 示点 (x i ，y i ) 在这条直线上.
因此，可以用这 n 个竖直距
离之和
n
| y i (bx i a) |
下面利用成对样本数据求使 Q 取最小值的 a，b.
记
x
1 n
n i 1
xi
，y
1 n
n i 1
yi
.因为
n
Q(a ，b) ( y i bx i a) 2 i 1
n
2
y i bx i ( y bx) ( y bx) a
i1
n ( y i y) b(x i x) ( y bx) a 2 i1
n
2
n
2
( y i y) b(x i x) 2 ( y i y) b(x i x) ( y bx) a n ( y bx) a
i1
i1
注意到
n
( y i y) b(x i x) ( y bx) a
i 1
n
( y bx a) ( y i y) b(x i x) i 1
168
168.231
178
181.655
172
174.104
165
166.553
182
179.977
残差/cm
0.735 0.091 -0.231 -3.655 -2.104 -1.553 2.023
为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可
以画出残差图，如下所示.
残差/cm