§2.5.1函数的零点(二)
2.5.1函数的零点(1)
所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.
（五）小结：总结本节的知识点.
布置
作业
P76练习1,2
板书
设计
2.2.1圆的方程（1）
1.函数的零点：例1：
2．函数零点的判断方法：例2：
（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.
总结：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根.
（三）归纳：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，
（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.
所以可以将问题中h的代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系
h＝20t-5t2.
考虑以下问题
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
解：（1）解方程15＝20t-5t2. t2-4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.
函数的零点
函数的零点无锡市第一中学 倪乾峰一、教学内容：(苏教版必修一)§2.5.1 函数的零点 二、教学目标：1、知识和技能 通过本节的学习，学会结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的关系。
2、过程与方法 从具体的一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与X 轴交点横坐标之间的关系到一般的求方程的根与零点的求法，揭示方程的根与对应的函数的零点之间的关系。
3、情感态度价值观 体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成函数观点处理问题的意识。
三、教学过程： (一)、问题提出情景引入: 跳水皇后郭晶晶入水前瞬间的图片及其入水后的瞬间(ppt) (感受穿过水面时的瞬间)1. 求关于x 的方程0322=--x x 的实根.(ppt)2. 求关于x 的方程0123=++x x 的实根.(ppt)T: 会求吗?(提问S )那我们就试着寻找求方程实根的其他途经?回到刚才的二次方程(ppt), 3或-1这两个实根还可以用其他的方式来解释吗?(提问S ) 根据图像二次方程的实根与该函数的图像之间的关系(提问S )(ppt) (引出函数零点的定义) (二)、新授一般地,我们使函数)(x f y =值为0的实数x 称为函数)(x f y =的零点。
(ppt) T: 根据函数零点的定义,如何来求函数的零点呢?(提问S )(ppt) 这两种求法体现出数学的重要思想方法---数形结合 T: 对于二次函数的零点问题,我们先来复习巩固一下(ppt)∆=b 2-4ac∆>0 ∆=0 ∆<002=++c bx ax(a>0)x 1,2=aac b b 242-±-c bx axy ++=2(a>0)(三)、例题 例1、填空：函数12)(2--=x x x f 的零点为21,21-+(ppt)解：∵x 2-2x-1=0 ∴2121-+=or x (不板书)T: 有时候对于二次方程我们并不关心它的实根是什么?而只需要探究实根的个数,那么 我们不求根来证(ppt)例2、求证：函数12)(2--=x x x f 由两个不同的零点. (提问s)证法：∵△=42-4×(-1)=20﹥0∴方程0122=-+x x 有两个不相等的实数根(板书)T:这是从代数的角度来证明的,能否再从图象的角度来解释呢? (提问s)图像与x 轴有两个不同的交点(ppt),也就是说图像上有且仅有两个点在x 轴上,那么 图像上的其他点与x 轴的位置关系呢?(提问S)既然有的在x 轴上方有的在x 轴下方,能不能说明有点在x 轴上了? 也就是说在x 轴上方和下方都有图像.必与x 轴相交了. 那么我们就可以从图像的角度来解释了?(ppt)下面我们再从数的角度来解释这段话,在x 轴下方有图像(提问S),在x 轴上方有图像 先看左支(提问S ),再看右支(提问S).回过来看一下我们的解法,我们惊奇的发现了一种不用判别式,以及求根公式就可以f x () = x 2-x-1判断二次函数在区间上有零点的方法.好我们再找一个二次项系数为负的二次函数来验证刚才的解法(ppt),然后请同学们自己总结(提问S ) 例3:?)3,1()1,1(12)(2上是否有零点和在函数-++-=x x x f(根据学生给出的区间加以调整)板书:0)3()1(,0)1()1(<<-f f f f ,即在给定区间上都有零点. 结论:).(),()(,0)()(],[)(S b a x f y b f a f b a x f y 提问上有零点在则上满足在区间若一元二次函数=<⋅=将这个结论中的二次函数推广到一般的函数结论还成立吗?(ppt)DA f f x f y ,)1,1(,0)1()1()(]1,1[上有零点是则下面函数图象中在上满足函数若定义在区间-<⋅-=-函数零点存在性的判定:一般地,若函数)(x f y =在区间],[b a 上地图像是不间断的曲线,且0)()(<b f a f ,则函数)(x f y =在区间),(b a 上有零点.思考: 零点唯一吗?反之成立吗?试举例说明.(提问S )ppt (问题解决) 判断.)1,2(0123上是否有的实根在方程--=++x x (ppt)(提问S)解:设.0)1()2(,1)(23<--++=f f x x x f 即在区间上有实根.T: 判断.)1,5.1(0123上是否有的实根在方程--=++x x ? (ppt)实根到底是多少呢?我们将在下一节课要解决这个问题. (五)小结：(1) 函数)(x f y =的零点⇔方程0)(=x f 的实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点的横坐标。
高中数学函数零点教案
高中数学函数零点教案
目标:
学生能够掌握函数零点的概念以及求解零点的方法。
教学内容:
1. 函数零点的定义
2. 方程求解的方法（因式分解、配方法、二次函数公式）
3. 利用图像法求解零点
教学步骤:
1. 引导学生了解函数零点的定义，即函数图像与X轴的交点。
2. 讲解如何求解函数的零点，分别介绍因式分解、配方法和二次函数公式的应用。
3. 演示练习，让学生在老师的指导下解决一些函数的零点问题。
4. 引导学生通过作图的方法求解函数的零点，讲解如何在函数图像上找到交点。
5. 练习巩固，让学生自主完成一些函数的零点求解问题。
评价方式:
1. 学生的课堂参与度
2. 课堂练习的正确率
3. 课后作业的完成情况
Homework:
1. 完成课后练习
2. 尝试解决更复杂的函数零点问题
备注:
老师在教学过程中要引导学生注意函数零点的概念理解和求解方法，遇到困难要及时给予帮助和指导。
提倡学生多做练习，加深对函数零点的理解和掌握。
苏教版必修第一册8.1.1函数的零点课件
C D
【方法技能】解决函数零点问题的两种方法 （1）代数法： 若方程f（x）＝0可解，其实数解就是函数y＝f（x）的零点. （2）几何法： 若方程f（x）＝0难以直接求解，将其改写为g（x）- h（x）＝0，进一步改写为g（x）＝h（x），在 同一坐标系中分别作出y＝g（x）和y＝h（x）的图象，两图象交点的横坐标就是函数y＝f（x）的零 点，两图象交点的个数就是函数y＝f（x）零点的个数.
（k1<k2），则x1，x2的散布范围与系数之间的关系有以下几种情形：
根的散布
图象
条件
x1<x2<k
k<x1<x2
根的散布 x1<k<x2 x1，x2∈ （k1，k2）
图象
x1，x2有且 仅有一个在 （k1，k2）内
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a<0）的根的散布情况可类似得到.
条件 f（k）<0
【解题通法】根据函数零点个数或零点所在区间求参数的方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），通过解不等式（组）确定参数的取值 范围. （2）分离参数法：先将参数分离，然后将原问题转化为求函数值域的问题加以解决. （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合 思想求解.
三、判断零点所在区间
例 3 方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（A ）
A.（2，3）
B.（3，4）
C.（0，1）
D.（4，5）
【分析】构造函数f （x）＝2x+ln x-6，然后利用零点存在定理可判断出方程6-2x＝ ln x的根所在的区 间. 【解析】由6-2x＝ln x，得2x+ln x-6＝0，构造函数f（x）＝2x+ln x-6. ∵ f（2）＝ln 2-2<0，f（3）＝ln 3>0，∴ f（2）f（3）<0， ∴ 由零点存在定理可知，函数f（x）在区间（2，3）上至少有一个零点. 又∵ 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴ f（x）在区间（2，3）上至多有一个零点， 【∴方函法数技f能（】x）判断在函区数间零（点2所，在3区）间上的有方唯法一和零步骤点.即方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（2，3）.
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业2：4.5.1 函数的零点与方程的解
4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解1．下列函数不存在零点的是( ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝log a x 2(a >0且a ≠1)D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x <0『答 案』 D『解 析』 令y ＝0，得选项A 和C 中的函数的零点均为1和－1； B 中函数的零点为－12和1；只有D 中函数无零点．2．函数f (x )＝ln x ＋x －1x 的零点为( )A ．1B.12C ．eD.1e考点 函数零点的概念 题点 求函数的零点 『答 案』 A『解 析』 依次检验，使f (x )＝0的x 的值即为零点．3．根据表格中的数据，可以判定方程e x －2x －5＝0的一个根所在的区间是( )x 0 1 2 3 4 e x 1 2.72 7.39 20.09 54.60 2x ＋55791113A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)『答案』 C『解析』设f(x)＝e x－2x－5，此函数的图象是连续不断的，由表可知f(0)＝1－5＝－4<0，f(1)＝2.72－7＝－4.28<0，f(2)＝7.39－9＝－1.61<0，f(3)＝20.09－11＝9.09>0，f(4)＝54.60－13＝41.60>0，所以f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)的一个零点，即方程e x－2x－5＝0的一个根所在的区间为(2,3)．4．已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于()A．0B．1C．－1D．不能确定『答案』 A『解析』因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.5．函数f(x)＝ln x－x2＋4x＋5的零点个数为()A．0B．1C．2D．3『答案』 C『解析』由数形结合可知函数y＝ln x的图象与函数y＝x2－4x－5的图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点，故C正确．6．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．考点函数零点存在性定理题点函数零点有关的参数取值范围『答案』(1，＋∞)『解析』f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1. 7．若x0是方程e x＋x＝2的解，则x0属于区间为________．①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．『答案』③『解析』构造函数f(x)＝e x＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以e x＋x＝2的解在区间(0,1)上．8．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________．考点函数的零点与方程根的关系题点由函数零点个数求参数的取值范围『答案』(1，＋∞)『解析』函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当0<a<1时，两函数图象有一个交点．故a>1.9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．解(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.(2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5，因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解．所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.10．若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．考点函数的零点与方程根的关系题点 两根分别属于两区间解 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象(图略)列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2>0，f (0)＝2m ＋1<0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0，解得⎩⎨⎧m <－12，m >－56，∴－56<m <－12，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12.11．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)『答 案』 C『解 析』 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0. 所以0<a <3.12．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有 『答 案』 C『解 析』 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1,2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．若f (x )在(1,2)上没有零点，则必有f (1)·f (2)≥0，与已知矛盾．故f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点．13．若函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n 的值为________． 考点 函数零点存在性定理题点 判断函数零点所在区间 『答 案』 2『解 析』 ∵函数f (x )＝3x －7＋ln x 在定义域上是增函数， ∴函数f (x )＝3x －7＋ln x 在区间(n ，n ＋1)上只有一个零点．∵f (1)＝3－7＋ln1＝－4<0，f (2)＝6－7＋ln2<0，f (3)＝9－7＋ln3>0， ∴函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(2,3)内，∴n ＝2.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤0，2x －2，x >0，若函数y ＝f (f (x )＋m )有四个零点，则实数m 的取值范围是________．『答 案』 『－3，－1)『解 析』 令f (x )＝0⇒x ＝－2或1.令f (f (x )＋m )＝0得f (x )＋m ＝－2或f (x )＋m ＝1，∴f (x )＝－2－m 或f (x )＝1－m . 作出y ＝f (x )的图象，如图所示．y ＝f (f (x )＋m )有四个零点，∴f (x )＝－2－m ，f (x )＝1－m 各有两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<－2－m ≤4，－1<1－m ≤4，解得－3≤m <－1.15．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4考点 函数的零点与方程根的关系 题点 判断函数零点的个数 『答 案』 B『解 析』 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的根的个数⇔函数y＝|log 0.5x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.16．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈『0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的『解 析』式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 解 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， 因为y ＝f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－『(－x )2－2(－x )』＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)当x ∈『0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； 所以当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. 所以据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．。
【参考教案2】《方程的根与函数的零点》(数学人教必修一)
《方程的根与函数的零点》教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。
函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，数与方程邮寄的联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。
因此本节课内容具有承前启后的作用，至关重要。
教学目标【知识与能力目标】结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.【知识与技能目标】理解并会用函数在某个区间上存在零点的条件和判定方法．自主发现、探究实践，体会函数的零点与方程的根之间的联系．【情感、态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学转化思想、数形结合的意义和价值.教学重难点【教学重点】体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．【教学难点】探究发现函数零点的存在性.课前准备多媒体课件、教具等．教学过程问题·探究（一）回顾旧知，发现问题问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ；（2）0652=+-x x ；（3）062ln =-+x x . 问题2 一元二次方程的的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的联系？ 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
2024届新高考一轮复习湘教版 高考大题研究课二 利用导数研究函数的零点问题 课件(31张)
题型一 函数零点个数问题 例 1 [2023·皖南八校联考]已知函数f(x)＝−ax2＋x ln x－x.
(1)若f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)当a＝0时，求函数h(x)＝f(x)－x＋2x的零点个数．
题后师说
利用导数确定函数零点个数的方法
2．[2022·全国乙卷]已知函数f(x)＝ax－1x－(a＋1)ln x. (1)当a＝0时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
题后师说 解决证明此类问题的思路一般对条件等价转化，构造合适的新函数， 利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等)再结合函数 图象．
巩固训练3 已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋2x＋2)． (1)若a＝2，求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：函数f(x＞0且a≠1，函数f(x)＝xaax(x＞0)． (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
巩固训练1 设函数f(x)＝ln x＋mx ，讨论函数g(x)＝f′(x)－3x的零点个数．
题型二 利用函数的零点个数求参数范围 例 2[2023·河北沧州模拟]已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)． (1)当a＝－1时，求f(x)的极值； (2)若f(x)在(0，e2)上有两个不同的零点，求a的取值范围．
题后师说 利用函数的零点个数求参数范围的方法
巩固训练2 已知函数f(x)＝13x3－12ax2－2x(a∈R)在x＝2处取得极值． (1)求f(x)在[－2，1]上的最小值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋b(b∈R)有且只有一个零点，求b的取值范围．
函数的零点--公开课PPT课件
思考：
y
如果x0是二次函数y＝f(x) 的零点，且m<x0<n,那么 f(m)f(n)<0一定成立吗？ -1
1
o 2 3x
函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点， f(a)·f(b)<0吗？
从课本76页“思考”出发，研究课题： 函数的零点与一元二次方程的实根的分布.
1．画出函数y=x2-x-2的图象，并指出函数 y=x2-x-2的零点。 2．证明：（1）函数y=x2+6x+4有两个不 同的零点；
方程f(x) =0的实数根 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标
函数的零点不是点
例1．已知函数y=x2-2x-1.
（1）求证：该函数有两个不同的零点; （2）它在区间（(-21,, 13)）上存在零点吗?
y
-1 o 2 3
x
若f(2)·f(3)<0，则二次函数y＝f(x)在区间 (2，3)上存在零点.
若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x) 在区间(a，b)上有零点.
y y
a
a
ob x
o
bx
零点存在性的一种判定方法
y
y
a
o
bx
ao
x
b
一般地，若函数y＝f(x)在区间 [a，b]上的图象是一条不间断的曲线， 且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间 (a，b)上有零点.
例2.求证：函数f(x)=x3+x2+1在区间 （-2，-1）上存在零点. 证明：因为f(-2)=-3＜0，
（2）函数f(x)=x3+3x-1在区间（0，1）上 有零点。
一般地，我们把使函数y＝ f(x) 的值为0 的实数x称为函数y＝f(x)的零点.
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函数的零点（二）
例1．当关于x 的方程0422=+-ax x 的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：
（1）一根在（0，1）上，另一根在（1，5）上；（2）至少有一个根在（0，1）上． 变题1：若关于x 的方程0122=--x ax
在（0，1）内恰有一解，求a 的取值范围． 变题2：已知函数f （x ）=mx 2+(m-3)x+1的图象与x 轴有两个不同的交点。
（1）若两个交点中有且只有一个在原点的左侧，求实数m 的取值范围；
（2）若两个交点中至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围．
例2．关于x 的方程x 2+x=m+1在0＜x ≤1内有解，求实数m 的范围．
变题：若不等式12+<+m mx x 在)1,0(∈m 上总成立，求实数m 的范围．
【针对训练】 1．若关于x 的方程02)13(722=--++-k k x k x 的两根分别在（0，1）和（1，2）内，则实数k 的
取值范围是_____________________________.
2． 对于函数n mx x x f ++=2)(，若0)(,0)(>>b f a f ，则函数)(x f 在（a,b ）内______.
(1)一定没有零点 (2)一定有零点 (3)可能有两个零点 (4)至多有一个零点
3．已知函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范
围是___________________________.
4．已知函数
2))(()(---=b x a x x f ，并且βα,是方程的两根，则实数a,b,βα,的大小关系可能是________.
(1)βα<<<b a (2)b a <<<βα (3)βα<<<b a (4)b a <<<βα
5．关于x 的方程：3x 2－5x ＋a =0的一根在(－2，0)内，另一根在(1，3)内，则实数k 的取
值范围为 .
6．方程0422=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是
7．关于x 的方程033222=---k x kx
的两根一个小于1，一个大于1，求实数k 的取值范围。
8．已知方程0122=--px x 满足下列条件时，分别求p 的取值范围：
（1）两根在（-2，2）内； （2）至少有一个根在（0，1）上
9．已知集合M={x|x 2-7x+10≤0}，N={x|x 2
-（2-m ）x+5-m ≤0}，且N ⊆M ，求实数m 的范围。
10．若关于x 的方程0122=--x ax
在（0，1）内恰有一解，求a 的取值范围。