机械原理基本杆组分析法

机械原理机构运动分析基本杆组法上机指导书Ⅱ级机构的杆组分析法通用子程序设计随着计算机的普及，用解析法对机构进行运动分析得到越来越广泛的应用。

解析法中有矢量方程解析、复数矢量、杆组分析、矩阵运算等方法。

本文采用杆组分析的方法，设计通用的Ⅱ级杆组子程序，可对一般的Ⅱ级机构进行运动分析。

1. 单杆运动分析子程序单杆的运动分析，通常是已知构件三角形△P 1P 2P 3的边长l 、r 夹角α以及构件上某基点P 1的运动参数x 1，y 1，x ’ 1，y ’ 1，x ’’1，y ’’1和构件绕基点转动的运动参数θ，θ’ ，θ’’，要求确定构件上点P 2和P 3的运动参数。

显然，由图1可得下列关系式：x 2=x 1+lcos θ， y 2=y 1+lsin θ x ’ 2=x ’ 1-lsin θθ’ ， y ’ 2=y ’ 1+lcos θθ’x ’’2=x ’’1-lsin θθ’’-lcos θθ’ 2, y ’’2=y ’’1+lcos θθ’’-lsin θθ’2 x 3=x 1+rcos(θ+α)， y 3=y 1+rsin(θ+α) x ’ 3=x ’ 1-(y 3-y 1)θ’ ， y ’ 3=y ’ 1+(x 3-x 1)θ’x ’’3=x ’’1-(y 3-y 1)θ’’-(x 3-x 1)θ’ 2, y ’’3=y ’’1+(x 3-x 1)θ’’-(y 3-y 1)θ’2 由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。

图12. RRR 杆组运动分析子程序图2所示RRR Ⅱ级杆组中，杆长l 1，l 2及两外接转动副中心P 1，P 2的坐标、速度、加速度分量为x 1，x ’ 1，x ’’1，y 1，y ’ 1，y ’’1，x 2，x ’ 2，x ’’2，y 2，y ’2，y ’’2，要求确定两杆的角度、角速度和角加速度θ1，θ’ 1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2。

1) 位置分析将已知P 1P 2两点的坐标差表示为：u=x 2-x 1，v=y 2-y 1 (1) 杆l 1及l 2投影方程式为： l 1cos θ1-l 2cos θ2=ul 1sin θ1-l 2sin θ2=v (2) 消去θ1得：vsin θ2+ucos θ2+c=0 (3)其中：c=(u 2+v 2+l 22-l 12)/2l 2 解式(3)可得：tan(θ2/2)=(v ±222c u v -+)/(u-c) (4)式中+号和-号分别对应图2中m=+1和m=-1两位置。

图2由式(2)可得：tan θ1=(v+l 2sin θ2)/(u+l 2cos θ2) (5) 2) 速度分析对式(2)求导一次得：A 1θ’1+A 3θ’2=u ’，A 2θ’1+A 4θ’2=v ’ (6) 其中：A 1=-l 1sin θ1，A 2=l 1cos θ1，A 3=l 3sin θ2，A 4=-l 2cos θ2解式(6)可得：ω1=θ’1=(A 4u ’-A 3v ’)/D ，ω2=θ’2=(A 1v ’-A 2u ’)/D (7) 其中：D=A 1A 4-A 2A 3=l 1l 2sin(θ1-θ2)3) 加速度分析对式(6)求导一次得：A 1θ’’1+A 3θ’’2=E ，A 2θ’’1+A 4θ’’2=F (8) 其中：E=u ’’+A 2θ’12+A 4θ’22，F=v ’’-A 1θ’12-A 3θ’22 解式(8)可得：α1=θ’’1=(A 4E-A 3F)/D ，α2=θ’’2=(A 1F-A 2E)/D (9) 由上述式子可设计出RRR 杆组运动分析子程序（见程序单）。

3. RRP 杆组运动分析子程序图3所示RRP Ⅱ级杆组中，已知杆长l 1及两外接点P 1，P 2的运动和移动副轴线P 2P 3的方向角变量（θ2，θ’2，θ’’2），P 2点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，要求确定运动变量l 2，θ1，l ’2，θ’1，l ’’2，θ’’1。

1) 位置分析由于θ2已知，l 2待求，将式(2)消去θ1可得： l 22+2(ucos θ2+vsin θ2)l 2+(u 2+v 2-l 12)=0 由此解得：l 2=-(ucos θ2+vsin θ2)±22221)cos v sin u (l θ-θ- (10)式中+号用于转动副中心P 3处在P 2H 线段之外（ 图3中m=+1的位置），-号用于P 3处在P 2H 线段 之内（图3中m=-1的位置）。

θ1由式(5)而定。

2) 速度分析对式(2)求导一次得： 图3A 1θ’1+A 5l ’2=G ，A 2θ’1+A 6l ’2=H (11) 其中：A 1，A 2同前，A 5=-cos θ2，A 6=-sin θ2，G=u ’+l 2A 6θ’2，H=v ’-l 2A 5θ’2解式(11)可得：ω1=θ’1=(A 6G-A 5H)/D 8，l ’2=(A 1H-A 2G)/D 8(12) 其中：D 8=A 1A 6-A 2A 5=l 1cos(θ1-θ2) 3) 加速度分析对式(11)求导一次得：A 1θ’’1+A 5 l ’’2=E 1，A 2θ’’1+A 6 l ’’2=F 1(13) 其中：E 1=u ’’+A 2θ’12+2A 6l ’2θ’2+l 2A 5θ’22+l 2A 6θ’’2 F 1=v ’’-A 1θ’12-2A 5l ’2θ’2+l 2A 6θ’22-l 2A 5θ’’2解式(13)可得：α1=θ’’1=(A 6E 1-A 5F 1)/D 8，l ’’2=(A 1F 1-A 2E 1)/D 8(14) 由上述式子可设计出RRP 杆组运动分析子程序（见程序单）。

4. RPR 杆组运动分析子程序图4所示RPR Ⅱ级杆组中，已知杆长l 1及两外接点P 1，P 2的运动，l 1为P 1点至导路的垂直距离， P 2为过P 2'与导路垂直延伸点，延伸距离为w （当P 2与P 1在导路同侧时，w 取正，在异侧时，w 取负），要求确定运动变量l 2，θ1，θ2，l ’2，θ’1，θ’2，l ’’2，θ’’1，θ’’2。

1) 位置分析θ1与θ2的关系为：θ2=θ1±π/2 (15)式中+号和-号分别对应图4中m=+1和m=-1两 位置。

l 1与l 2有如下关系： 21222)w l (v u l --+=(16)由式(4)和式(16)可得：tan(θ2/2)=[v ±(l 1-w)]/(u-l 2) (17)2) 速度分析由于θ’1=θ’2，引进符号θ’i（i=1,2），对 式(2)求导一次得：A 7θ’i +A 5l ’2=u ’，A 8θ’i +A 6l ’2=v ’ (18) 其中：A 7=-(l 1-w)sin θ1+l 2sin θ2A 8= (l 1-w)cos θ1-l 2cos θ2 图4 解式(18)可得： ωi =θi =(A 6u ’ -A 5v ’)/(-l 2)，l ’2=(A 7v ’ -A 8u ’)/(-12) (19)3)加速度分析对式(18)求导一次得：A7θ’’i+A5l’’2=E2，A8θ’’i+A6l’’2=F2(20)其中：E2=u’’+A8θ’i2+2A6l’2θ’i，F2=v’’-A7θ’i2-2A5l’2θ’i解式(20)可得：αi=θ’’i=(A6E2-A5F2)/(-l2)，l’’2=(A7F2-A8E2)/(-l2) (21)由上述式子可设计出 RPR杆组运动分析子程序（见程序单），在子程序中，以+m代替前面各式中出现的±计算符。

m称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类Ⅱ级杆组不同的布置型式，确定m的取值（m可取+1，-1和0）。

5．PRP杆组运动分析子程序图5所示PRPⅡ级杆组中，已知导路1，2两外接点P1，P2的运动，h1，h2分别为未知运动点P3至导路1，2的垂直距离，导路1，2的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2）均已知，要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l’1，l’2，l’’1，l’’2）以及P3点的运动（x3，x’3，x’’3，y3，y’3，y’’3）。

1）位置分析推导l1，及l2的方程式：x1+l1cosθ1+h1sinθ1 = x2+l2cosθ2-h2sinθ2y1+l1sinθ1-h1cosθ1 = y2+l2sinθ2+h2cosθ2整理得：l1cosθ1 - l2cosθ2 = E1l1sinθ1 - l2sinθ2 = F1 (22)其中：E1=u- A3h1-A4l2，F1=v+A1h1+A2h2，A1=cosθ1，A2=cosθ2，A3=sinθ1，A4=sinθ2。

由于θ1 ，θ2均已知，由此解得：l1 =（F1 cosθ2 - E1sinθ2） / D8l2 =（F1 cosθ1 - E1sinθ1） / D8 (23)其中：D8 = A2A3 - A1A4 = sin（θ1-θ2)P3点的位置为：x3 = x1 + l1cosθ1 + h1sinθ1y3 = y1 + l1sinθ1 - h1cosθ1 (24)2）速度分析对式（22）求导一次，整理得：l’1cosθ1 - l’2cosθ2 = E2 图5l’1sinθ1 - l’2sinθ2 = F2 (25)其中：E2 =u’ + A6θ’1 – A8θ’2 ，F2 = v’ - A5θ’1 – A7θ’2 ，A5 = l1cosθ1 + h1sinθ1 ，A6 = l1sinθ1 - h1cosθ1 ，A7 = l2cosθ2 - h2sinθ2 ，A8 = l2sinθ2+ h2cosθ2 。

由（25）解得：l’1=（F2 cosθ2 - E2sinθ2）/ D8l’2=（F2 cosθ1 - E2sinθ1) / D8 (26) P3点的速度为对式（24）求导得：x’3 = x’1 + l’1cosθ1 + A6θ’1y’3 = y’1 + l’1sinθ1 - A5θ’1 (27)3）加速度分析对式（25）求导一次，整理得：l’’1cosθ1 - l’’2cosθ2 = E3l’’1sinθ1 - l’’2sinθ2 = F3 (28) 其中：E3 = u’’ + 2A3l’1θ’1 + A5θ’12+ A6θ’’1–2A4l’2θ’2–A7θ’22– A8θ’’2 ，F3 = v’’ - 2A1l’1θ’1 + A6θ’12- A5θ’’1 +2A2l’2θ’2–A8θ’22+ A7θ’’2 。

解（28）式得：l’’1=（F3 cosθ2 – E3sinθ2） / D8l’’2=（F3 cosθ1 – E3sinθ1） / D8 (29) P3点的加速度为对式（27）求导得：x’’3 = x’’1 + A1l’’1 - 2A3l’1θ’1 - A5θ’12- A6θ’’1y’’3 = y’’1 + A3l’’1 - 2A1l’1θ’1 - A6θ’12- A5θ’’1 (30)由上述式子可设计出 PRP杆组运动分析子程序（见程序单）。