空间的角和距离
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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
空间角及其计算
建筑学中的应用
建筑设计
空间角在建筑设计中具有重要应用，如确定建筑物的朝向、布局和采光等。通 过合理利用空间角，可以优化建筑物的空间布局和采光效果，提高居住和使用 质量。
室内设计
在室内设计中，空间角的应用同样重要。通过合理调整室内家具和装饰品的摆 放角度，可以营造出更加舒适和美观的室内环境。
物理学中的应用
物理学
在物理学的力学、电磁学和光学等 领域，空间角也具有重要应用，如 描述带电粒子的运动轨迹、光的折 射和反射等。
02
空间角的计算方法
几何法
定义
几何法是利用空间几何知识，通 过作垂线、平行线、中线等手段， 将空间角转化为平面角或线线角，
然后进行计算的方法。
步骤
1. 作出相关垂线、平行线或中线； 2. 将空间角转化为平面角或线线 角；3. 利用平面几何知识计算角
空间角在其他领域的应用拓展
航天工程
利用空间角计算，优化航天器的轨道设计和姿态控制，提高航天 任务的可靠性和成功率。
机器人技术
通过空间角的计算，实现机器人的精准定位和自主导航，拓展机器 人在工业、医疗等领域的应用。
虚拟现实与游戏设计
利用空间角技术，提升虚拟环境的真实感和沉浸感，为游戏玩家和 设计师提供更加丰富的体验。
空间角及其计算
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角与空间几何的关系 • 空间角的未来发展与展望
01
空间角的基本概念
定义与性质
定义
空间角是指两个非平行直线或平 面在三维空间中形成的角度。
性质
空间角具有方向性，其大小和方 向可以通过几何学和三角函数来 描述。
光学研究
在光学研究中，空间角是描述光线传播方向和角度的重要参数。通过测量和计算 空间角，可以研究光线的反射、折射和散射等现象，进一步探索光与物质之间的 相互作用。
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1(共27张PPT)
4
3
D. 2
B.
答案:B
解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
· = = 0,
则
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
1 · = -1 + = 0,
点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
)
3
2
A.
B.
2
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一
点到另一个平面的距离,即点面距.
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
PQ= 2 -(·)2 .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,
则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,
3
D. 2
B.
答案:B
解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
· = = 0,
则
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
1 · = -1 + = 0,
点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
)
3
2
A.
B.
2
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一
点到另一个平面的距离,即点面距.
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
PQ= 2 -(·)2 .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,
则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,
向量法求空间的距离和角
所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一 个法向量，因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0)， ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲 由眄 即 取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, )，且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为 。 2
例1：如图1所示： 三棱柱ABC - A1 B1C1中，CA=CB， AB = AA1， ? BAA1 60o， （ 1）求证：AB^ A1C （2）若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B， AB =CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解：由(1)知OC ^ AB，OA1 ^ AB， 又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B，交线 为AB，所以OC ^ 平面AA1 B1 B， 故OA、OA1、OC两两相互垂直。 建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量，则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲 即 可取n = ( 3,1, -1)， 眄 镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |
用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时+用空间向量研究距离问题)课件
= -,
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
空间角与空间距离
n
O
a
A
n
a
B
（3）二面角
(0, ]
设m、分别是平面 n a、b的法向量，二面角a l b的大 m n mn 小为，则cos = 或cos = . | m|| n| | m|| n|
n
a
A
O
m
n
l
B
P
m
b
2.用空间向量求空间距离：
（1）点到直线的距离
P
b
d
N
M
a
l
d PM sin PMN | b | 1 cos 2 a, b
（2）点到平面的距离
P
d
a
n
H
Q
d PH PQ cos PQ, n
PQ n n
（3）异面直线间的距离
n
A1
D1
b
B1
C1
d
A
D
C
a
B
d AA1 AC1 cos AC1 , n
（1）异面直线所成的角 (0, ] 2
设a、分别是直线 b a、b的方向向量， 是直线a、b所成 ab 的角，则cos cos a, b . | a||b|
（2）直线与平面所成的角 [0, ] 2
设a是直线a的方向向量， n是平面a的法向量， 为直线 an a与平面a 所成的角，则sin cos a,n . | a|| n|
AC1 n |n|
《空间角、空间距离》
复相关的重要定理：
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两
边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. a Q c
a
考点08 空间角的求解问题(解析版)
考点08 空间角的求解问题立体几何是历年高考的必考题，其考查形式主要为空间几何体的有关计算（主要是体积计算），空间线面的位置关系以及空间角和距离的求解。
例如：2022年全国乙卷（理）[18]，2022年全国甲卷（理）[18]，2022年浙江高考[19]，2022年新高考Ⅰ卷[19]，2022年新高考Ⅱ卷[20]，2022年天津高考[17]，2022年北京高考[17]等都对空间几何体的体积进行了考查。
〔1〕平移法求异面直线所成的角求异面直线所成的角的方法为平移法，平移法一般有3种 (1)利用图形中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移； (3)补形平移.〔2〕线面角、二面角1.线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解.2.二面角的求法：二面角的大小用它的平面角来度量. 平面角的作法常见的有①定义法；①垂面法。
〔3〕利用空间向量求空间中的角与距离 1.异面直线所成角若异面直线1l ，2l 所成的角为θ，则|||||cos |cos b a b a b a ==θ(注意：两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的两向量的夹角的取值范围为(0，π)，所以公式中要加绝对值)，其中a ，b 分别是直线1l ，2l 的方向向量。
2.直线与平面所成角已知直线l 与平面α，A l =α ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成的角，则|||||cos |sin n a n a n a ==θ。
(注意:直线与平面所成角的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，而向量的夹角的取值范围为[]π,0，所以公式中要加绝对值)。
3.二面角设1n 为平面α的法向量，2n 为平面β的法向量，1n ，2n 的夹角为θ，l =βα ，则二面角βα--l 的大小为θ或θπ-。
设二面角βα--l 的大小为ϕ，则|||||cos ||cos |2121n n ==θϕ①①所示。
空间几何关系
空间几何关系
在日常生活中，我们经常接触到各种空间物体，它们之间的关系是空间几何的重要问题。
空间几何关系是指空间中不同物体的位置、方向、距离、角度等相互联系的情况。
下面我们将探讨空间几何关系的几个方面。
一、位置关系
1. 相离：物体之间没有任何接触或重叠。
2. 相交：物体之间存在公共部分。
3. 相切：物体之间只有一个点相交。
4. 平行：物体之间没有交点，但它们在同一平面内且方向相同或互为平行。
6. 垂直平分：两个相交的物体之间存在垂直平分线，即两个物体之间的公共点与垂直平分线的距离相等。
二、方向关系
1. 方向相同：两个物体朝着同一个方向运动或排列。
5. 垂直关系：两个物体的方向相互垂直。
三、距离关系
1. 远离：两个物体之间的距离越来越远。
3. 逼近：一个物体向另一个物体移动，距离越来越近。
四、角度关系
1. 相互垂直：两个物体之间的交点处的角度为90度。
总而言之，空间几何关系是研究空间中物体之间相互位置、方向、距离、角度等相互联系的学科。
在现实中，空间几何关系在数学、物理、工程、建筑等多个领域都有广泛的应用，是几何学中不可或缺的一部分。
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B
α
练习
已知圆锥母线长为4， 已知圆锥母线长为 ，底面半径 为2，求母线和底面所成的角 ，
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 1）A’B与面 与面DCC’D’ 所成角 ） 与面
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 2）A’B与面 与面ADB’C’ 所成角 ） 与面
练习
在棱长是a的正方体 在棱长是 的正方体ABCD-A’B’C’D’中， 的正方体 中 分别是B’C’,C’D’的中点，求： 的中点， 若E，F分别是 ， 分别是 的中点 1）D’到B’C的距离 ） 到 的距离 2）A到A’C的距离 2）A到A’C的距离 3）四边形 ）四边形EFDB的面积 的面积
练习
在三棱锥C-ABD中，E、F分别是 中 分别是AC 在三棱锥 、 分别是 的中点， 和DB的中点，若CD=2AB=4， 的中点 ， EF⊥AB，求EF和CD所成角的大小 ⊥ ， 和 所成角的大小
C
E D G F A B
直线与平面所成的角（线面角） 直线与平面所成的角（线面角）
定义： 定义：平面的斜线和它在面内的射影所成 的锐角。 的锐角。 规定：线面垂直时，线面角是直角； 规定：线面垂直时，线面角是直角； 线面平行时，线面角是0° 线面平行时，线面角是0°角。 a 范围： 范围：[0°,90°] 解题思路： 解题思路： 寻找垂线， 寻找垂线，构造射影
空间的距离
两异面直线间的距离 一般先作出公垂线段，再进行计算； 一般先作出公垂线段，再进行计算； 点到直线的距离： 点到直线的距离： 作出垂线段，再求解； 作出垂线段，再求解； 点到平面的距离： 点到平面的距离： 垂面法： ① 垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段 确定已知面的垂面是关键）， ），再结合三 （确定已知面的垂面是关键），再结合三 角函数知识求解； 角函数知识求体积可知的三棱 锥的高，利用等体积法来求出高， 锥的高，利用等体积法来求出高，即为点 到面的距离。 到面的距离。
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 3）A’B与面 与面A’ADD’ 所成角 ） 与面
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 4）A’B与面 与面BB’C’C 所成角 ） 与面
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 5）A’B与面 与面A’C’CA 所成角 ） 与面
' '
练习
正方体ABCD-A’B’C’D’中，E,F,G分 中 正方体 分 别是AB， ， 的中点， 别是 ，AD，DD’的中点，求： 的中点 1）AC和A’D所成角的大小 ） 和 所成角的大小 2）A’C’和EF所成角的大小 2）A’C’和EF所成角的大小 3）B’E和CG所成角的大小 ） 和 所成角的大小
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，E,F分 ， 已知正方体 分 别是棱BC， 的中点， 别是棱 ，CC’的中点，求： 的中点 1）面ABC’D’与面 与面ABCD 所成二面角的 ） 与面 大小 2) 面ABC’D’与面 与面A’B’CD 所成二面角 与面 的大小 3) 面AEFD’与面 与面ABCD所成二面角 与面 所成二面角 的正弦值
在两个半平面内分别做垂直于棱的射线， 在两个半平面内分别做垂直于棱的射线， 得到二面角的平面角
三垂线法：由一个半面内一点作（或找） ② 三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一 α 个半平面的垂线，过垂足做棱垂线， B 个半平面的垂线，过垂足做棱垂线，连接棱垂线 的垂足和点，构造二面角的平面角， 的垂足和点，构造二面角的平面角，再求解 θ 垂面法： ③垂面法：过棱上一点做垂直于棱的平面与两个半 A 平面相交， 平面相交，两条交线所成的角即为二面角的平面 β C 角
2010-12-7
两直线的夹角
等角定理： 等角定理：
如果两个角的对边对应平行， 如果两个角的对边对应平行，则这两个
角相等或互补
两异面直线所成的角
定义 直线a， 是异面直线 是异面直线， 直线 ，b是异面直线，过空间任意点 O，分别引直线 ，分别引直线a’//a，b’//b ，则a ’和b’ ， 和 所成的锐角或直角叫异面直线a，b所成 所成的锐角或直角叫异面直线 ， 所成 的角 a a b 范围 (0°,90°] α b 解题思路:平移 解题思路 平移
O
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 5）A’B与面 与面DCA’B’ 所成角 ） 与面
O
O
二面角
定义:已知二面角 内作BA⊥l， 定义 已知二面角α-l-β，分别在 已知二面角 ，分别在α，β内作 内作 CA⊥l，则∠BAC叫二面角 叫二面角α-l-β的平面角。 的平面角。 ⊥， 叫二面角 的平面角 范围 求法 [0°,180°] 定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点）， ①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），
α
练习
已知圆锥母线长为4， 已知圆锥母线长为 ，底面半径 为2，求母线和底面所成的角 ，
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 1）A’B与面 与面DCC’D’ 所成角 ） 与面
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 2）A’B与面 与面ADB’C’ 所成角 ） 与面
练习
在棱长是a的正方体 在棱长是 的正方体ABCD-A’B’C’D’中， 的正方体 中 分别是B’C’,C’D’的中点，求： 的中点， 若E，F分别是 ， 分别是 的中点 1）D’到B’C的距离 ） 到 的距离 2）A到A’C的距离 2）A到A’C的距离 3）四边形 ）四边形EFDB的面积 的面积
练习
在三棱锥C-ABD中，E、F分别是 中 分别是AC 在三棱锥 、 分别是 的中点， 和DB的中点，若CD=2AB=4， 的中点 ， EF⊥AB，求EF和CD所成角的大小 ⊥ ， 和 所成角的大小
C
E D G F A B
直线与平面所成的角（线面角） 直线与平面所成的角（线面角）
定义： 定义：平面的斜线和它在面内的射影所成 的锐角。 的锐角。 规定：线面垂直时，线面角是直角； 规定：线面垂直时，线面角是直角； 线面平行时，线面角是0° 线面平行时，线面角是0°角。 a 范围： 范围：[0°,90°] 解题思路： 解题思路： 寻找垂线， 寻找垂线，构造射影
空间的距离
两异面直线间的距离 一般先作出公垂线段，再进行计算； 一般先作出公垂线段，再进行计算； 点到直线的距离： 点到直线的距离： 作出垂线段，再求解； 作出垂线段，再求解； 点到平面的距离： 点到平面的距离： 垂面法： ① 垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段 确定已知面的垂面是关键）， ），再结合三 （确定已知面的垂面是关键），再结合三 角函数知识求解； 角函数知识求体积可知的三棱 锥的高，利用等体积法来求出高， 锥的高，利用等体积法来求出高，即为点 到面的距离。 到面的距离。
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 3）A’B与面 与面A’ADD’ 所成角 ） 与面
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 4）A’B与面 与面BB’C’C 所成角 ） 与面
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 5）A’B与面 与面A’C’CA 所成角 ） 与面
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练习
正方体ABCD-A’B’C’D’中，E,F,G分 中 正方体 分 别是AB， ， 的中点， 别是 ，AD，DD’的中点，求： 的中点 1）AC和A’D所成角的大小 ） 和 所成角的大小 2）A’C’和EF所成角的大小 2）A’C’和EF所成角的大小 3）B’E和CG所成角的大小 ） 和 所成角的大小
练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，E,F分 ， 已知正方体 分 别是棱BC， 的中点， 别是棱 ，CC’的中点，求： 的中点 1）面ABC’D’与面 与面ABCD 所成二面角的 ） 与面 大小 2) 面ABC’D’与面 与面A’B’CD 所成二面角 与面 的大小 3) 面AEFD’与面 与面ABCD所成二面角 与面 所成二面角 的正弦值
在两个半平面内分别做垂直于棱的射线， 在两个半平面内分别做垂直于棱的射线， 得到二面角的平面角
三垂线法：由一个半面内一点作（或找） ② 三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一 α 个半平面的垂线，过垂足做棱垂线， B 个半平面的垂线，过垂足做棱垂线，连接棱垂线 的垂足和点，构造二面角的平面角， 的垂足和点，构造二面角的平面角，再求解 θ 垂面法： ③垂面法：过棱上一点做垂直于棱的平面与两个半 A 平面相交， 平面相交，两条交线所成的角即为二面角的平面 β C 角
2010-12-7
两直线的夹角
等角定理： 等角定理：
如果两个角的对边对应平行， 如果两个角的对边对应平行，则这两个
角相等或互补
两异面直线所成的角
定义 直线a， 是异面直线 是异面直线， 直线 ，b是异面直线，过空间任意点 O，分别引直线 ，分别引直线a’//a，b’//b ，则a ’和b’ ， 和 所成的锐角或直角叫异面直线a，b所成 所成的锐角或直角叫异面直线 ， 所成 的角 a a b 范围 (0°,90°] α b 解题思路:平移 解题思路 平移
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练习
已知正方体ABCD-A’B’C’D’，求： ， 已知正方体 5）A’B与面 与面DCA’B’ 所成角 ） 与面
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二面角
定义:已知二面角 内作BA⊥l， 定义 已知二面角α-l-β，分别在 已知二面角 ，分别在α，β内作 内作 CA⊥l，则∠BAC叫二面角 叫二面角α-l-β的平面角。 的平面角。 ⊥， 叫二面角 的平面角 范围 求法 [0°,180°] 定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点）， ①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），