江苏省金陵中学2020学年第一学期高一数学期中考试卷苏教版
江苏省2020学年高一数学上学期期中试题(含解析) (4)
高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.能正确表示集合{|02}M x R x =∈≤≤和集合2{|0}N x R x x =∈+=的关系的韦恩图的是（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】求出集合N 的元素，即可得到两集合的关系，再用韦恩图表示出来． 【详解】解：集合{}2{|0}0,1N x R x x =∈+==-，集合{|02}M x R x =∈≤≤，{}0MN ∴=且互不包含，故选：A ．【点睛】本题主要考查了韦恩图表达集合的关系，是基础题． 2.函数()2()ln 41f x x x =-+ 的定义域是 A .[12-，）B. (2,2)-C. (1,2)-D.(2,1)(1,2)---【答案】C 【解析】 【分析】根据分母不等于0，及对数函数和根号有意义的条件列得不等式组，进行求解. 【详解】由题意可得21040x x +>⎧⎨->⎩ 解得12x -<< ，即f x （） 的定义域是(1,2)- . 故选C.【点睛】此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为0； 3.设0.60.3a =，0.30.6b =，0.30.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. b c a <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性得出0.60.30.30.3<，而根据幂函数的单调性得出0.30.30.30.6<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：0.3x y =在定义域上单调递减，且0.360.<，0.60.30.30.3∴<，又0.3y x∴=在定义域上单调递增，且0.360.<，0.30.30.30.6∴<， 0.60.30.30.30.30.6∴<<，a cb ∴<<故选：B ．【点睛】考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义． 4.函数()23f x log x x=-的一个零点所在的区间是（ ） A. ()1,2 B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数()23f x log x x=-是定义域上的减函数，再利用函数的零点判断． 【详解】解：易知函数()23f x log x x=-是定义域上的减函数，()3121022f =-=>；()231log 30f =-<；故函数()23f x log x x=-的零点所在区间为：()2,3；【点睛】本题考查了函数的零点的判断，是基本知识的考查，属于基础题．5.函数22y x x =-，[]1,3x ∈-的值域为（ ）A. []0,3 B. []1,3-C. []1,0-D. []1,3【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的最值和对称轴的关系进行求解即可． 【详解】解：函数的对称轴为1x =，[]1,3x ∈-，∴当1x =时，函数取得最小值121y =-=-，当3x =或1x =-时函数取得最大值123=+=y ， 即函数的值域为[]1,3-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数的值域，结合二次函数的性质是解决本题的关键，比较基础． 6.函数()y f x =在R 上为减函数，且()()29f m f m >-+，则实数m 的取值范围是（ ） A. (),3-∞ B. ()0,+∞C. ()3,+∞D. ()(),33,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用函数的单调性的性质可得29m m <-+，由此解得m 的范围． 【详解】解：函数()y f x =在R 上是减函数，且()()29f m f m >-+，则有29m m <-+，解得3m <， 实数m 的取值范围是：(),3-∞．【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．7.已知函数23x y a -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则31log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】令20x -=,可得定点(2,4)P ,代入()f x x α=,可得幂函数的解析式,进而可求得31log 3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】令20x -=,得2,4x y ==,所以(2,4)P ，∴幂函数2()f x x = ， ∴3311log ()log 239f ==-． 故选A .【点睛】本题考查了指数函数,幂函数,属基础题. 8.已知213alog <，(0a >且1)a ≠，则a 的取值范围为（ ） A. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()30,11,2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D. ()20,1,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】直接分a 大于1和大于0小于1两种情况讨论再结合函数单调性即可求解． 【详解】解：因为：21log 3a a log a <=， 当1a >时，须23a <，所以1a >；精品 WORD当01a <<时，21log 3aa log a <=，解得203a >>． 综上可得：a 的取值范围为：()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：D ．【点睛】本题主要考查对数不等式的求解以及分类讨论思想的运用，属于基础题． 9.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）． A .2xy =B. 22y x =-C. 1y x=D. y x =【答案】D 【解析】A 选项，2xy =在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故A 错；B 选项，22y x =-是偶函数，且()f x 在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数，故B 错； C 选项，1y x=是奇函数且()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，故C 错；D 选项，y x =是奇函数，且y x =在R 上是增函数，故D 正确．综上所述，故选D ．10.设()()220(0)x x f x log xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 01a << B. 01a ≤<C. 01a <≤D. 01a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】本题关键是画出函数()f x 大致图象，然后根据题意()0f x a -=有三个不同的实数根，等价于函数()y f x =与y a =的交点来判断a 的取值范围． 【详解】解：由题意，函数()f x 大致图象如下：由图形，若()0f x a -=有三个不同的实数根，等价于函数()y f x =与y a =有三个不同的交点，由图可知a 必须01a <≤． 故选：C ．【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，以及根据图象来判断方程的实数根问题，将代数问题转化为图形问题．本题属中档题． 二、填空题（本大题共6小题）11.已知集合2{4,21,}A a a =--，{5,1,9}B a a =--，且{9}AB =，则a 的值是__________． 【答案】3- 【解析】 【分析】由交集的运算可知9A ∈，则219a -=或29a =，分别求值并验证集合是否满足题意和元素的互异性，把不符合的舍去. 【详解】{} 9A B ⋂=，∴9A ∈且9B ∈又{}24,21,A a a =-- ∴219a -=或29a =，解得5a =或3a =±；当5a =时，{}4,9,25A =-，{}0,4,9B =-，{}49A B ⋂=-，与已知矛盾，舍去; 当3a =时，{}4,5,9A =-，{}2,2,9B =--，集合B 不满足集合的互异性，舍去; 当3a =-时，{}4,-7,9A =-，{}8,4,9B =-，{}9A B ⋂=，满足题意; 故答案为3-.【点睛】本题考查元素与集合的关系以及交集的运算，当集合含有参数时，需要分类求解，并将结果代入集合，检验是否符合题意和元素的互异性.12.已知函数()2,167,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()()1f f -=______． 【答案】1 【解析】 【分析】推导出()21(1)1f -=-=，从而()()()11ff f -=，由此能求出结果．【详解】解：函数()2,167,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩， ()21(1)1f ∴-=-=，()()()21111f f f ∴-===．故答案为：1．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()12f x x x=-，则()2f -=______． 【答案】72- 【解析】 【分析】由奇函数的性质得()()22f f -=-得到． 【详解】解：0x >时，()()117222222f x x f x =-∴=⨯-=，而()f x 是R 上的奇函数，()()22f f ∴-=-，即()722f -=-；故答案为：72-．【点睛】本题考查函数的奇函数性质，属于简单题．14.某人根据经验绘制了2019年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量(y 千克)随时间(x 天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月31日大约卖出了______千克西红柿．(结果保留整数)【答案】23 【解析】 【分析】利用待定系数法先求出前10天的解析式，然后令7x =，即可求出1月31日卖出西红柿的数量．【详解】解：前10天满足一次函数，设()f x ax b =+， 将点()1,10，()10,30代入函数解析式得101030a b a b +=⎧⎨+=⎩，得209a =，709b =，则()207099f x x =+， 则在1月31日，即当7x =时，()20702107723999f =⨯+=≈千克， 故答案为：23．【点睛】本题主要考查函数的应用问题，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键．比较基础．15.已知一次函数()f x 是增函数且满足()2f f x x ⎡⎤=-⎣⎦，则函数()f x 的表达式为______． 【答案】()1f x x =- 【解析】 【分析】设出()f x kx b =+，利用待定系数法求出()f x ． 【详解】解：设()f x kx b =+，0k >， 则()()()22ff x kf x b kx kb b x =+=++=-则21k =，1k ∴=，2kb b +=-，22b =-，即1b =-，故答案为：()1f x x =-．【点睛】考查函数求解析式，用来待定系数法，基础题．16.若函数224y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]5,4--，则m 的取值范围是______．【答案】[]1,2 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，结合函数的定义域和值域，即可得出m 的取值范围． 【详解】解：函数2224(1)5y x x x =--=--，其中[]0,x m ∈，函数图象如图所示，且()15f =-，()()024f f ==-， 由函数y 的值域为[]5,4--， 所以m 的取值范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题）17.已知集合{|22}A x a x a =≤<+，{|1B x x =<-或5}x >．()1若1a =-，求A B ，()R A B ⋂；()2若()R RA B B =，求实数a 的取值范围．【答案】(1){|1A B x x =<或5}x >，(){|2R C A B x x =<-或5}x >；(2)1{|}2a a ≥-． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出集合A ，集合B ，根据交并补的定义进行运算， （2）根据题意求出集合包含关系，解出参数． 【详解】解：()1当1a =-时，则{|21}A x x =-≤<， 所以{|2R C A x x =<-或1}x ≥， 由{|1B x x =<-或5}x >， 所以{|1AB x x =<或5}x >，(){|2R C A B x x =<-或5}x >；()2因为()R R A C B C B =，所以R A C B ⊆，又{|15}R C B x x =-≤≤，当A =∅时，有22a a ≥+，解得2a ≥；当A ≠∅时，有222125a a a a <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，解得122a -≤<；综上：2|}1{a a ≥-．【点睛】本题考查集合的运算及由集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题． 18.计算下列各式的值()241539271272log log log +++； ()120.75031227()256()631---++-．【答案】 (1) 1114；(2) 32 【解析】 【分析】（1）先将根式转化为分数指数幂，再由对数的性质及换底公式求解． （2）根据分数指数幂的运算计算即可.【详解】解：（1）、22214155343933272723322log log log log log log -+++=++⨯ 1311011424=-++=（2）、1120.750333127()256()(3)36641631---++=-++- 33664132=-++=【点睛】本题考查分数指数幂的运算及对数的性质和换底公式等知识，属于基础题．19.已知函数()21,02,036,3x xf x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域. 【答案】（1）作图见解析；（2）定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞. 【解析】 【分析】（1）根据函数()y f x =的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数()y f x =的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域. 【详解】（1）图象如图所示：（2）由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【点睛】本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.20.已知函数()221,1x f x x R x =+∈+．()1判断并证明函数的奇偶性；()2求()1f x f x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()3计算()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】(1) 偶函数；证明见解析；(2) 3；(3)212． 【解析】 【分析】（1）利用函数的性质，判断奇偶函数的定义判断函数的奇偶性得到()f x 为偶函数；（2）先()f x 的解析式求出1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的解析式，然后再求()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （3）观察所要求的代数式，要用（2）的结论．进而求出代数式的值． 【详解】解：（1）该函数是偶函数；证明：()2211x f x x =++的定义域为R ，关于原点对称．因为()()2222()111()1x x f x f x x x --=+=+=+-+， 所以()2211x f x x=++是偶函数． （2）()2211x f x x=++， 2221()1111111()x f x x x⎛⎫∴=+=+ ⎪+⎝⎭+()13f x f x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭；（3）由（2）可知，()13f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭所以()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()][()][()1112112342342f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】考查函数的奇偶性及求函数值，属于基础题．21.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x x =+．()1求0x <时，()f x 的解析式；()2问是否存在这样的非负数a ，b ，当[],x a b ∈时，()f x 的值域为[]42,66a b --？若存在，求出所有的a ，b 值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()2f x x x =- (2)存在，12a b ==，或13a b ==，或23a b ==，， 【解析】 【分析】（1）设0x <，则0x ->，利用0x ≥时，()2.f x x x =+得到()2f x x x -=-+，再由奇函数的性质得到()()f x f x -=-，代换即可得到所求的解析式．（2）假设存在这样的数a ，.b 利用函数单调性的性质建立方程求参数，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．【详解】解：（1）设0x <，则0x ->，于是()2f x x x -=-+，又()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，()2f x x x ∴-=-+，即0x <时，()2.f x x x =-（2）假设存在这样的数a ，b ．0a ≥，且()2f x x x =+在0x ≥时为增函数，[],x a b ∴∈时，()()()[],42,66f x f a f b a b ⎡⎤∈=--⎣⎦，()()226642b f b b b a f a a a ⎧-==+⎪∴⎨-==+⎪⎩22560320b b a a ⎧-+=∴⎨-+=⎩2312b b a a ==⎧∴⎨==⎩或或，即1123a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或或2223a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或， 考虑到0a b ≤<，且4266a b -<-，可得符合条件的a ，b 值分别为11223 3.a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及函数的值域，解题的关键是利用函数的性质进行灵活代换求出解析式，第二问的解题关键是根据单调性建立方程求参数，此是函数中求参数常用的建立方程的方式．1、在最软入的时候，你会想起谁。
江苏省2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
高一数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|23}x x -<<B. {3,6}C. {1,2}-D. {1,2,3}-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，结合集合交集的定义可得答案． 【详解】解：集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，{}1,2A B ∴=-，故选：C .【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2.函数()2log (1)a f x x =++（0a >，且1a ≠）恒过定点（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (1,3)D. (0,2)【答案】D 【解析】 【分析】令()2log (1)a f x x =++的真数值为1，求得自变量x 的值即可求得答案． 【详解】解：()2log (1)a f x x =++令11x +=，得0x =，()()02log 012a f =++=，∴函数()2log (1)a f x x =++的图象经过定点()0,2．故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，属于基础题．3.已知幂函数图像经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是（ ）A. 3xy = B. x y = C. 3y x =D. y x =【答案】C 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可． 【详解】解：设幂函数为()f x x α=， 因为图象经过点(2,8)， ()228f α∴==，解得3α=，函数的解析式3()f x x =， 故选：C ．【点睛】本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，属于基础题． 4.设()338xf x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内近似解的过程中得()()()10, 1.50, 1.250,f f f <><则方程的根落在区间（ ）A. ()1,1.25B. ()1.25,1.5C. ()1.5,2D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法求根的方法判断即可.【详解】由()()1.50, 1.250,f f ><可知方程的根落在()1.25,1.5内. 故选：B【点睛】本题主要考查了二分法求根方法等,属于基础题型.5.已知()f x 是奇函数，当0x >时()(1)f x x x =-+，当0x <时，()f x 等于（ ） A. (1)x x -- B. (1)x x - C. (1)x x -+ D. (1)x x +【答案】A【解析】 【分析】由0x <时，0x ->，则()(1)f x x x -=-，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式； 【详解】当x 0<时，x 0->，则()()f x x 1x -=-．又()f x 是R 上的奇函数，所以当x 0<时()()()f x f x x 1x =--=--． 故选项A 正确．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6.函数()f x 的增区间是(2,3)-，则(5)y f x =+的单调增区间是（ ） A. (3,8) B. (7,2)-- C. (2,8)- D. (2,3)-【答案】B 【解析】 【分析】函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位，利用函数()f x 在区间(2,3)-是增函，即可得到结论．【详解】解：函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位 函数()f x 在区间(2,3)-是增函数(5)y f x ∴=+增区间为(2,3)-向左平移5个单位，即增区间为(7,2)--，故选：B ．【点睛】本题考查图象的变换，及函数的单调性，属于基础题．7.设13log 5a =，153b =，0.315c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b <<D.a cb <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，可以判断出a ＜0，b ＞1，根据指数函数的值域及单调性可判断出0＜c ＜1，进而得到a 、b 、c 的大小顺序． 【详解】∵y=13log x 在定义域上单调递减函数，∴a 13log =5＜13log 1=0，y=3x 在定义域上单调递增函数，b 10533==＞1，y=（15）x在定义域上单调递减函数，0＜c ＝（15）0.3＜（15）0=1， ∴a ＜c ＜b 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是利用函数的单调性比较数的大小，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．8.若2log 13<a ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 023a << B. 23a > C. 023a <<或1a >D.213a << 【答案】C 【解析】 【分析】讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a 的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果． 【详解】∵log a 23＜1＝log a a ，当a ＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a ＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a 23＜， 综上可知a 的取值范围是203a <<或1a >， 故选C.【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是讨论底数与1的关系，属于基础题．9.函数()221f x ax x =-+在区间()1,1-和区间()1,2上分别有一个零点，则实数a 的取值范围是 （ ）A. ()3,1--B. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭C. 33,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()3,3,4⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】利用排除法：当1a =时，()()22211f x x x x =-+=-，此时函数只有一个零点1，不合题意，排除D 选项， 当2a =-时，()2221f x x x =--+，此时函数有两个零点12-±，不合题意，排除AC 选项，本题选择B 选项.10.已知函数3())8f x x x =+-，且(2)10f -=，那么(2)f =（ ） A. 10 B. 10-C. 18-D. 26-【答案】D 【解析】 【分析】 令g （x）＝)lnx ，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f （2）的值． 【详解】令g （x）＝)lnx ，则g （-x）＝)lnx ，g （x ）+ g （-x ）=))ln ?ln10x x ln +==，可得其为奇函数，又y=3x 为奇函数，则f （x ）+8为奇函数，所以f （﹣2）+8+f(2)+8＝0，即10+8+ ()280f +=， 则f （2）＝﹣26， 故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性的判定及应用，以及整体代换求函数值的方法，属于中档题．11.已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立，所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ．【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力． 12.设函数3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则(2)cab +的取值范围是（ ） A. (3,4) B. (3,27) C. (9,27) D. (27,81)【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，由a b c <<，且()()()f a f b f c ==，可得1ab =，34c <<，根据指数函数的单调性即可求出(2)cab +的取值范围.【详解】解：3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩可作函数图象如下所示：因为实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，由图可知11343a b c ∴<<<<<< 33log log a b ∴=33log log a b ∴-=即1a b -=1ab ∴=(2)3c c ab ∴+=3x y =在定义域上单调递增，且()3,4c ∈()327,81c ∴∈即()(2)27,81c ab ∴+∈故选：D【点睛】本题考查数形结合思想，函数单调性的应用，以及对数的运算，属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13.已知函数()f x 满足()xf e x =，则(5)f =________.【答案】ln 5 【解析】 【分析】由已知，()xf e x =，将5写成e α形式，则实数α为所求．【详解】解：由于()xf e x =，令5x e =，转化为对数式得出，log 55e x ln ==，即有()55()5ln f f e ln ==故答案为：5ln ．【点睛】本题考查函数的解析式表示法，函数值求解．根据函数的解析式构造出()()55ln f f e=是关键，属于基础题． 14.已知集合1|22xA x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =________. 【答案】-1 【解析】 【分析】由题意解出集合A ，根据集合的包含关系求出参数a 的取值范围，即可得到c 的值. 【详解】解：1|22x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭{}(]|1,1A x x ∴=≤-=-∞-(,)B a =-∞且A B ⊆1a ∴>-即()1,a ∈-+∞又a 的取值范围是(,)c +∞1c ∴=-故答案为：1-【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围问题，属于基础题. 15.定义域{|0}x x >为的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+且(8)3f =，则(2)f =_______.【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得()()832f f =，从而求得()2f 的值． 【详解】解：函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()(),0,x y ∈+∞且(8)3f =，()()()()842323f f f f ∴=+==∴()21f =，故答案为：1．【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的值，属于基础题.16.函数()y f x =是定义域为R 的增函数，且()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B ，则不等式()3f x <的解集为________. 【答案】(2,1)- 【解析】 【分析】由题意()3f x <等价于3()3f x -<<根据函数的单调性与特殊点的函数值,将函数不等式转化为自变量的不等式,即可求解. 【详解】解:()3f x <3()3f x ∴-<<()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B()23f ∴-=-,()13f =又因为()y f x =是定义域为R 的增函数,()()()21f f x f ∴-<<21x ∴-<<故答案为: ()2,1-【点睛】本题考查函数单调性,属于基础题. 三、解答题：请把答案填写在答题卡相应位置.17.计算：（1）22333(0.9)()(3)28--+⋅+（2）7log 23log lg25lg47+-. 【答案】（11 ； （2）32. 【解析】 【分析】根据实数指数幂的运算公式和对数的运算公式，即可求解的结果.【详解】由题意，（1）原式4911)194=+⨯+=； （2）原式3133log 27(lg 25lg 4)222222=++-=+-=.【点睛】本题主要考查了指数幂的化简，运算求值和对数的运算求值问题，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知函数1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为M .（1）求M ；（2）当x M ∈时，求111()242x x g x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域.【答案】（1）(1,2]M =-（2）[1,2) 【解析】 【分析】（1）根据偶次方根的被开方数大于等于零，对数函数的真数大于零，得到不等式组，解得；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭将函数转化为关于t 的二次函数，结合t 的取值范围求出函数的值域.【详解】解：（1）1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭201303x x -≥⎧⎪∴⎨->⎪⎩，解得12x -<≤，即(1,2]x ∈-，即函数的定义域(1,2]M =-. （2）因(1,2]M =-，令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,24t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 则22()22(1)1g t t t t =-+=-+，而()g t 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，[1,2)上单调递增， 所以()[(1),(2))g t g g ∈，即()[1,2)g t ∈，所以值域为[1,2).【点睛】本题考查函数的定义域值域的求解，利用换元法求函数的值域，属于基础题.19.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:n P y ax =，22:Py bx c =+，如图所示.（1）求函数12,y y 的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？【答案】（1）154y x =214y x =；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 【解析】【详解】试题分析：（1）由图可知，点()()1,1.25,4,2.5在曲线1P 上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得154y x =.同理()4,1在曲线2P 上，将其代入曲线的方程可求得214y x =.（2）设投资甲商品x 万元，乙商品10x -万元，则利润表达式为515442y x x =+，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6512万元. 试题解析：（1）由题知()1,1.25，()4,2.5在曲线1P 上，则 1.2512.54nn a a ⎧=⋅⎨=⋅⎩， 解得54{12a n ==，即1y =又()4,1在曲线2P 上，且0c，则14b =， 则14b =，所以214y x =. （2）设甲投资x 万元，则乙投资为()10x -万元，投资获得的利润为y 万元，则()1104y x =-1542x =+，t ⎡=∈⎣， 则2215515654424216y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭. 当52t =，即25 6.254x ==（万元）时，利润最大为6516万元，此时10 3.75x -=（万元）， 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 20.已知函数13()log 1a x f x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在(1,1)-区间上的单调性，并证明；（3）求不等式(2)(1)0f x f x +->的解集.【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，证明见解析（3）10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据函数为在(1,1)-上的奇函数，则()00f =，得到关于a 的方程，求解可得，需注意检验；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照“设元，作差，变形，判断符号，下结论”五步来完成即可；（3）根据函数的单调性奇偶性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域，得到不等式组，解得；【详解】解：（1）因为函数13()log 1a x f x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数， 所以13(0)log 0f a ==，解得1a =， 此时131()log 1x f x x -=+，由101x x ->+，得定义域为(1,1)-， 而131()log 1x f x x +-=-131log 1x x -=-+()f x =-， 则函数13()log 1a x f x x -=+是奇函数， 所以1a =满足题意.（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，下面证明：任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，则()()121211123311log log 11x x f x f x x x ---=-++()()()()12112311log 11x x x x -+=+-， 而()()()()()()()1221121211211111x x x x x x x x -+--=+-+-，因为12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，所以210x x ->，1210,0x x +>->,所以()()()()()()()12211212112101111x x x x x x x x -+--=>+-+-， 所以()()()()121211111x x x x -+>+-， 所以()()()()()()1212112311log 011x x f x f x x x -+-=<+-， 所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增.（3）因为函数()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数，所以不等式(2)(1)0f x f x +->可化为(2)(1)f x f x >-，又因为函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，所以12111121x x x x -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩， 解得10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，函数单调性的证明，利用函数的单调性解不等式，属于综合题.21.已知f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0），满足条件f （x+1）-f （x ）=2x （x∈R），且f （0）=1．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）当x≥0时，f （x ）≥mx -3恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）（-∞，3].【解析】【分析】（Ⅰ）根据f （0）=1及f （x+1）-f （x ）=2x ，代入解析式，根据对应位置系数相等，即可求得a 、b 、c 的值，得到f （x ）的解析式．（Ⅱ）将解析式代入不等式，构造函数g （x ）=x 2-（m+1）x+4，即求当x∈[0，+∞）时g （x ） 4≥0恒成立．讨论g （x ）的对称轴x=m 12+与0的大小关系，根据对称及单调性即可求得m 的取值范围．【详解】（Ⅰ）由f （0）=1得，c=1，由f （x+1）-f （x ）=2x ，得a （x+1）2+b （x+1）+1-（ax 2+bx+c ）=2x化简得，2ax+a+b=2x ，所以：2a=2，a+b=1，可得：a=1，b=-1，c=1，所以f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）由题意得，x 2-x+1≥mx -3，x∈[0，+∞）恒成立．即：g （x ）=x 2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．其对称轴x=m 12+， 当m 12+≤0，即m≤-1时，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， g （0）=4＞0∴m≤-1成立 ②当m 12+＞0时， 满足m 1020+⎧⎪⎨⎪≤⎩＞计算得：-1＜m≤3综上所述，实数m 的取值范围是（-∞，3]．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数对称轴、单调性与恒成立问题的综合应用，属于中档题．22.已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <,()()2[13]g x f x x x =--⋅，求函数()g x 在[t ，2]上的最大值和最小值；（3）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)2()11f x x x =++;(2)见解析;(3)见解析.【解析】 分析：（1）由1()2f x -是偶函数，知函数()f x 的对称轴是12x =-，再由二次函数性质可得； （2）由（1）()(2)g x x x =-⋅，按x 的正负分类去绝对值符号，得两个二次函数，配方得对称轴，再按对称轴与区间[],2t 的关系分类可求得最值；（3）假设存在，并设点坐标P ()2,m n，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦ ，注意到43是质数，且2210n m ++>，可得22143n m ++=，2211n m +-=，从而得解.详解：（1）因为函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数，所以二次函数()2f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. 又因为二次函数()2f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为()211f x x x =++. （2）()()2g x x x =-⋅ 当0x ≤时，()()211g x x =--+， 当0x >时，()()211g x x =--，由此可知()max g x =0．当12t ≤<，()2min 2g x t t =-；当11t ≤<，()min 1g x =-；当1t <，()2min 2g x t t =-+； （3）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P ()2,m n，其中m 为正整数，n为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦.注意到43是质数，且()()221221n m n m ++>-+，()2210n m ++>，所以有()()22143,2211,n m n m ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩ 因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.点睛：本题考查二次函数的性质，特别是二次函数在某个区间上的最值问题，求最值主要是根据对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.另外本题还考查了整数的问题，在解不定方程()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦时，由整数质因数分解定理得到22143n m ++=，2211n m +-=，否则其解不确定.。
2020-2021学年南京一中、金陵中学、海安中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年南京一中、金陵中学、海安中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知i是虚数单位，a∈R.若复数a+2ia−2i的虚部为1，则a=()A. 14B. 1C. 2D. 2±2√22.已知集合，则等于()A. B. C. D.3.等差数列{a n}的前n项和为S n，S13=133π，则tana7=()A. √33B. √3 C. −√33D. −√34.包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有()A. 240种B. 252种C. 264种D. 288种5.函数y=xsinx+cosx的图象大致为()A. B.C. D.6.已知全集，，则()．A. B. C. D.7.在△ABC中，三边长a，b，c，满足a+c=3b，则tan A2tan C2的值为()A. 15B. 14C. 12D. 238.双曲线x2−3y2=3右顶点到渐近线的距离为()A. 12B. √32C. √3D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度，得到函数g(x)，若g(x)满足g(2π−x)=g(x)，则下列结论正确的是()A. ω=2B. φ=π2C. sin(2a−π3)=±1 D. a的最小值为5π1210.关于(√x−1)2020及其展开式，下列说法正确的有()A. 该二项展开式中第六项为C20206x1007B. 该二项展开式中非常数项的系数和为−1C. 该二项展开式中不含有理项D. 92020除以100的余数是111.下列不等式正确的为()A. 若a，b∈R+，a<b，则a+mb+m <abB. 若a，b∈R+，a+b=1，则1a +2b≥4√2C. 若ca >cb>0，则lg ba>0D. 若a，b∈R+，a+b=1，则a2+b2≥1212.2021年开始，我省将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学，外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定正确的是()A. 甲的物理成绩相对他其余科目领先年级平均分最多B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是物理、化学、地理D. 对甲而言，物理、化学、生物是最理想的一种选科结果三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设抛物线y2=8x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若点M满足OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1 2(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=4，则M点的横坐标为______．14.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验收集到的数据如表：由最小二乘法求得回归方程为ŷ=0.67x+54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______．零件数x1020304050加工时间y/min6275818915.已知南北回归线的纬度为23°26′，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ=90°−|φ−δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地(纬度为φ0)的一幢高为ℎ0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______(结果用含有ℎ0和φ0的式子表示)．16.若一个球的体积为43π，则它的表面积等于______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本小题满分12分)已知数列中，．(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．19. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，四棱锥B−AA1C1D的体积为3．(1)求证：AB1//平面BC1D.(2)求直线A1C1与平面BDC1所成角的正弦值．(3)求二面角C−BC1−D的正弦值．20. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差，其中为x 1，x 2，…，x n的平均数)21. 如图，已知A1，A2，B1，B2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点，△A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M．(1)求椭圆C及圆M的方程；(2)若点D是圆M劣弧Â1B2上一动点(点D异于端点A1，B2)，直线B1D分别交线段A1B2，椭圆C于点E，G，直线B2G与A1B1交于点F．(Ⅰ)求GB1EB1的最大值；(Ⅱ)试问：E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22. 已知函数f(x)=x3+|ax−3|−2，a>0．(1)当a=2时，求函数y=f(x)的单调递增区间；(2)若函数y=f(x)只有一个零点，求实数a的取值范围；(3)当0<a<1时，试问：过点P(2,0)存在几条直线与曲线y=f(x)相切？。
【20套试卷合集】金陵中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,2A B == ,则∁U (A ∪B) =( )A ．{}134，， B ．{}34， C ． {}3 D ． {}4 2．若函数32)32()(-+=m xm x f 是幂函数，则实数m 的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 3．函数f(x)＝2x ＋3x 的零点所在的区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(1,2)4．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为( )A ．34B ．34或0 C ．0 D ．11k k +- 5．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝( )A ．±32B ．32C ．－32D ．不能确定 6．下列各式中正确．．的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 168°<cos 10°<sin 11°D ．sin 11°<sin 168°<cos 10° 7．下列函数中，不是．．周期函数的是( )A ．y ＝|sin x|B ．y ＝sin|x|C ．y ＝|cos x|D ．y ＝cos|x|8．设f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f(2 013)＝1，则f(2 014)＝ ( )A ．3B ．2C ．－1D ．以上都不对 9．函数y ＝|tan x －sin x|－tan x －sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )10．函数y ＝xkx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则实数k 的取值范围为 ( )A ．k<0或k>4B ．k≥4或k≤0C ．0<k<4D ．0≤k<411．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－2)＜f(lg x)的解集是 ( )A ．(0,100)B ．1(,100)100C ．1(,+)100∞ D ．1(0)100，∪(100，＋∞)第Ⅱ卷 （非选择题满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________。
江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高一上学期数学期中模拟试卷(含答案)
2024/2025学年度第一学期高一期中模拟试卷数 学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C.D. 2．若，则（ ）A ．3B ．4C ．9D ．163．设函数，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．4设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知集合，则的非空真子集的个数为（ ）A.2B.3C.4D.66.已知，则（ ）A. B. C. D.2{}2450A x x x =--<∣{}2,0,2,4,10B =-A B = {}2,0,2,4-{}2,10-{}0,2,4{}2,424log log 2m n +=2m n =()()cos f x x ωϕ=+0ω>()f x ()01f =()00f =()01f '=()00f '=0.1e 1=-a 111b =ln1.1c =b c a <<c b a <<a b c <<a c b <<{}{}4,3,0,6,3A B x x =--=∈≤Z A B ⋂3212log 61a a +=+-a =39log 2323log 47.已知a ，b 为正数，若，有函数，则的最小值为（ ）A.B.C.9D.8设集合，若，则的取值范围为（ ）A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的两个零点分别为，且，则（ ）A. B. C. D.10. 设是非空的实数集，若，则（ ）A. 函数的定义域为B. 函数的值域为C. 函数值域为D. 函数无极值11. 若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则是3阶聚合点集B. 存在对任意正数，使不是阶聚合点集C. 若，则不是阶聚合点集D. “”是“是阶聚合点集”的充要条件第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．.x b ∀>-()()1x a f x x b -=+≥18a b +9+9+{}{}25,(1)0A x x B x x a x a =>=-++<A B =∅ a (,5]-∞[5,)+∞(,5)-∞(5,)+∞()e x f x a bx c =++1,1-()00f <1e e 2c a -+=-⋅0a >2e 0b a +<0a b c ++<,A B :f A B →()f x A()f x B ()3f x ax bx =+R ()3233f x x x x =-+M (,)x y M ∈()0,t ∞∈+(,)tx ty M ∈M t {}(,)M x y x y =≥M M t M t 22(,)14x M x y y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭M 13[1,+t ∞∈）{}2(,)M x y y x =≥t12．已知集合A ，B ，C 均是集合的非空真子集，则以集合A ，B ，C 为元素所构成的集合的个数为 .13. 关于不等式的解集为，则实数的取值范围为_________．14．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC =b ，BC =a (b ≥a )，AB =c ，图中两个阴影三角形的周长分别为l 1，l 2，则l 1+l 2a +b 的最小值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15.已知命题，命题.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.16.已知集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求a 的取值范围.17. 已知函数.{}1,3,5,7,9{},,A B C x ()()222240a x a x -+--<R a 2: 12,0p x x a ∀≤≤-≥22:, 220q x x ax a a ∃∈+++=R p ⌝a p q ⌝a {}(){}21,lg 310A x a x aB x y x x =≤≤+==--1a =()B A ⋂R ðx A ∈x B ∈R ð()()211R y m x mx m m =+-+-∈(1)若不等式的解集为，求的取值范围；(2)当时，解不等式；(3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.18（1）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．（2）已知不等式的解集是，求不等式的解集．19.高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，.（1）求的解集和的解集.（2）若，恒成立，求取值范围.（3）若的解集为，求的范围.0y <∅m 2m >-y m ≥[]1,1x ∈-21y x x ≥-+m p x 22430x ax a -+<0a <q x 23100x x +->q p a 210ax bx -->1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭20x bx a --≥[]y x =[]x x []1.21=[]1.22-=-[]5522x -≤≤[][]2211150x x -+≤712x ∀≤≤[][]240x m x -+>m [][]22210x x a --+≤{}|03x x ≤<a参考答案选择题答案1-5 C D DA A 6-8 A B A多项选择题答案9 ABD 10.AD 11 ACD填空题答案12.4060 13. 14. 1+2215. 解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.实数的取值范围是.(2)由(1)知命题为真命题时，.命题为真命题时，，解得为真命题时，.，解得，即实数的取值范围为.16.解：（1）由题意，即，解得或，所以，或当时，，且，故.（2）“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集.则满足两边等号不能同时成立，解得，综上所述，的取值范围为.17. （1）当时，由，得到，所以，不合题意，当时，由，得到，解得，{}22a a -<≤12x ≤≤214x ≤≤2: 12,0p x x a ⌝∃≤≤-<1a ∴>∴a {}|1a a >p 1a ≤q ()224420a a a ∆=-+≥0,a q ≤∴⌝0a >10a a ≤⎧∴⎨>⎩01a <≤a {}|01a a <≤23100x x -->()()250x x +->2x <-5x >{2B xx =<-∣5},x >1a ={}12A xx =∣……{}25B x x =-R ∣ð……(){}R 12B A xx ⋂=∣ð……x A ∈x B ∈R ðA B R ð2,15,a a -⎧⎨+⎩……24a -……a []2,4-1m =-0y <20x -<2x <1m ≠-0y <210Δ4(1)(1)0m m m m +>⎧⎨=-+-≤⎩m ≥所以实数的取值范围为.（2）当时，，即，可得，因为，①当时，即，不等式的解集为②当时，，因为，所以不等式的解集为③当时，．又，所以不等式的解集为,综上：，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．（3）由题对任意，不等式恒成立．即，因为时，恒成立．可得，设，则，所以，可得因为，当且仅当所以故得m 的取值范围18. 【解】（1）命题，m ∞⎫+⎪⎪⎭2m >-y m ≥2(1)1m x mx m m +-+-≥[(1)1](1)0m x x ++-≥2m >-10m +=1m =-{|1}x x ≥21m -<<-1(1)01x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭111m ->+1|11x x m ⎧⎫-≥≥⎨⎬+⎩⎭1m >-1(1)01x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭1011m -<<+1{|1}1x x x m ≤-≥+或1m =-{|1}x x ≥21m -<<-1|11x x m ⎧⎫-≥≥⎨⎬+⎩⎭1m >-1{|1}1x x x m ≤-≥+或[1,1]x ∈-22(1)11m x mx m x x +-+-≥-+()212m x x x -+≥-[1,1]x ∈-()210x x -+>221x m x x -≥-+2t x =-13t ≤≤2x t =-222131(2)(2)13x t x x t t tt -==-+---++-3t t+≥t =221x x x -≤=-+2x =∞⎫+⎪⎪⎭22:{|430,(0)}{|3,(0)}p A x x ax a a x a x a a =-+<<=<<<命题或，是的必要不充分条件，∴ ，或，又，故实数的取值范围是．（2）依题意有和是方程的两根，且，则有，解得，即，解得或，即不等式的解集为或.19. 【1】由题意得，且，由，即，所以，故的解集为；由，即，，则，所以.所以的解集为.【2】，[x ]2−m [x ]+4>0恒成立，即，恒成立，2:{|3100}{|5q B x x x x x =+->=<-2}x >q p A B 32a ∴≥5a ≤-0a <a (,5]-∞-12-13-210ax bx --=0a <0112311123a b a a ⎧⎪<⎪⎪⎛⎫-+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎩65a b =-⎧⎨=⎩20x bx a --≥2560x x -+≥2x ≤3x ≥{2x x ≤}3x ≥[][]1x x x ≤<+[]x ∈Z []5522x -≤≤[]22x -≤≤23x -≤<[]5522x -≤≤{}|23x x -≤<[][]2211150x x -+≤[]()[]()3250x x --≤[]532x ∴≤≤[]3x =34x ≤<[][]2211150x x -+≤{}|34x x ≤<712x ∀≤≤[]13x ≤≤此时712x ∀≤≤[][]4m x x <+又，当且仅当时，即时等号成立.故的最小值为，所以要使[x ]+4[x ]>m 恒成立，则.故的取值范围为.【3】不等式，即，由方程可得或.①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意；②若，，由，解得，因为不等式的解集为，所以，解得③若，，由，解得，因为不等式解集为，所以，解得.综上所述， 或.故的范围为.[][]44x x +≥[]2x =23x ≤<[][]4x x +44m <m (),4∞-[][]22210x x a --+≤[]()[]()110x a x a +---≤[]()[]()110x a x a +---=[]1x a =-1a +0a =[][]2210x x -+≤[]1x =01x ≤<0a >11a a -<+[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a -≤≤+[]{}{}{}|11|03|1[]3x a x a x x x x -≤≤+=≤<=-<<110213a a -<-≤⎧⎨≤+<⎩12a ≤<0a <11a a +<-[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a +≤≤-{}{}{}|1[]1|03|1[]3x a x a x x x x +≤≤-=≤<=-<<110213a a -<+≤⎧⎨≤-<⎩21a -<≤-21a -<≤-12a ≤<a (][)2,11,2--⋃。
江苏省南京市金陵中学、海安中学联考2020—2021学年度第一学期期中检测试题高三数学试题
20202021学年度第一学期期中检测试题高三数学一､单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()212i z i +=-i,其中i 为虚数单位,则z = A.1B.-1C.iD.-i2.已知集合2{||0}A x x x =->,则R A ∂= A.{|01}x x <<B.{|01}x xC.{|01}x x x <>或D.{|01}x x x 或3.在1,2,3,…,2020这2020个自然数中将能被2除余1,且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列,构成数列{}n a ,则50a = A.289B.295C.301D.3074.重阳节,农历九月初九,二九相重,谐音是“久”,有长久之意,人们常在此日感恩敬老,是我国民间的传统节日某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是 A.35B.40C.50D.705.函数222xy x x -=+的图象大致为6.某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛｡高()1三班的45名同学中,只参加了其中一项比赛的同学有20人,两项比赛都没参加的有19人,则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是 A.15B.17C.21D.267克罗狄斯托勒密()Ptlosy 所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号｡根据以上材料,完成下题:如图,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上的一点,2OA =,B 为半圆上一点,以AB 为一边作等边三角形ABC,则当线段OC 的长取最大值时,AOC ∠=.30o AB.45︒C.60︒D.908已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的焦点为1F 2F ,其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=,则a = A.14B.12C.2D.4二､选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.下列四个函数中,以π为周期,且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是A.||y sin x =⋅B.2y cos x =C.y tanx =-D.|2|y sin x =10.若2nx⎛⎝的展开式中第6项的二项式系数最大,则n 的可能值为A.9B.10C.11D.1211.已知0a >，0b >,且221a b +=,则 A.2a b+B.1222a b -<<C.12log log -D.221a b ->-12.我们知道,任何一个正实数N 都可以表示成()10110,nN a a n =⨯<∈Z . 定义: (),0,0,0,N n W N N n ≥⎧=⎨<⎩的整数部分的位数的非有效数字的个数如()21.2103W ⨯=,()1.23102W ⨯=,()23102W -⨯=,()13.001101W -⨯=,则下列说法正确的是A.当10>,1M>,1N >时,()()()W M N W M W N ⋅=+B.当10<时,()W M n =-C.若1002N =,20.301lg ≈,则()31W N =D.当*k ∈N 时,()()22k k W W -=三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知抛物线()220y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为52,则p =___. 14.已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如下数据:x 与y 之间具有线性相关关系,且y 关于x 的线性回归方程为(a 为常数)｡ 据此估计,使用年限为7年时,维护费用约为___千元.(参考公式:线性回归方程ˆybc a =+中的系数121()(),()niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑)15.如图,水平广场上有一盏路灯挂在10m 长的电线杆上,记电线杆的底部为点A 把路灯看作一个点光源,身高1.5m 的女孩站在离点A5m 的点B 处.若女孩向点A 前行4m 到达点D,然后从点D 出发,沿着以BD 为对角线的正方形走一圈,则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为___2m .16.已知三棱锥P ABC -中,PA,PB,PC 两两垂直,且1PA PB PC ===,以P 为球心，2为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为___.四､解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a α+=，24a =. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设p b =_______,求数列{}n b 的前n 项和n S . 请在2;|2,9|n n a log a ⋅-①②;③()1(21)21nnn a -++这三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并完成解答.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 18.(本小题满分12分)在ABC ∠中,设角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,且()()()c b sinC a b sinA sinB -=-+. (1)求A;(2)若2b =,且ABC ∠为锐角三角形,求ABC ∠的面积S 的取值范围.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形,//AB CD ,AD CD ⊥,1AB AD ==,2CD =,PD ⊥平面ABCD.(1)求证:BC ⊥平面PBD;(2)已知2PD =,点E 为棱PB 的中点,求直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给10位病人服用,试验方案为:若这10人中至少有2人痊愈,则认为该药有效,提高了治愈率;否则,则认为该药无效.(1)如果在该次试验中有5人痊愈,院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人的个数为X,求X 的概率分布及数学期望;(2)如果新药有效,将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率p,并根据p 的值解释该试验方案的合理性.(参考结论:通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2,且经过点A ⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程;(2)设F 为椭圆C 的右焦点,直线l 与椭圆C 相切于点P(点P 在第一象限),过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q,问:线段PQ 的长是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.22.(本小题满分12分) 已知函数()1x f x ae+=,()1xg x lna=-,其中0a >. (1)若1d =,在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点O 分别作函数()y f x =与()y g x =的图像的切线1l ,2l .求1l ,2l 的斜率之积;(2)若()()f x g x 在区间()0,+∞上恒成立,求a 的最小值.。
苏教版高一上学期期中数学试题(含解析)
苏教版高一期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若1∈{x，x2}，则x=（）A. 1B.C. 0或1D. 0或1或2.已知集合，集合，则P与Q的关系是A. B. C. D.3.已知集合A={a-2，2a2+5a，12}，-3∈A，则a的值为（）A. B. C. 或 D. 或4.如果集合S={x|x=3n+1，n∈N}，T={x|x=3k-2，k∈Z}，则（）A. B. C. D.5.已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（）A. B. C. D.6.函数f（x）=的定义域为，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知偶函数在区间单调递增,则满足-的x取值范围是( )A. B. C. D.8.下列四个函数中,在上为增函数的是A. B. C. D.9.已知函数f（x）=4x2+kx-1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.10.已知函数y =f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，且f（2a-1）＜f（1-a），则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.函数的最小值为（）A. 0B.C.D.12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i=（）A. 0B. mC. 2mD. 4m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是______ ．14.设A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是______ ．15.已知集合A={x|ax2-3x+2=0，a∈R}，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值为______ ．16.已知函数，＞，是R上的递增函数，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求值：（1）-（2-π）0-+；（2）已知0＜x＜1，且x+x-1=3，求．18.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．19.已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．20.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P （x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？21.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式-．22.已知二次函数f（x）=ax2-4x+b满足f（x）=f（4-x），且f（1）=-2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若m≠1，f（x）在区间[m，m+2]上的最小值为f（x1），最大值为f（x2），求2x2-x1的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，需要注意集合中元素的互异性，属于基础题.根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：x=1或者x2=1，每种情况下求出x的值，并验证是否符合集合中元素的性质，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的表示方法，进行集合间的元素或判断集合间的关系时，应该先化简各个集合，再借助数轴或韦恩图进行运算或判断，属于基础题.通过求集合P中函数的定义域化简集合p，通过求集合Q中函数的值域化简集合Q，利用集合间元素的关系判断出集合的关系．【解答】解：依题意得，P={x|x+1≥0}={x|x≥-1}，Q={y|y≥0}，∴Q P，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】由于-3∈A则a-2=-3或2a2+5a=-3，求出a的值然后再代入再根据集合中元素的互异性对a进行取舍．本题主要考察了集合中元素的互异性，属常考题型，较难．解题的关键是求出a的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．【解答】解：∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a2+5a∴a=-1或a=-，∴当a=-1时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去当a=-时，a-2=-，2a2+5a=-3，满足．∴a=-．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】若t=k-1，则将T化简为S的形式，对比常用数集即可得到答案本题考查了集合间相等关系的判断与应用，属于基础题【解答】解：由T={x|x=3k-2=3（k-1）+1，k∈Z}={x|x=3（k-1）+1，k-1∈Z}令t=k-1，则t∈Z，则T={x|x=3t+1，t∈Z}通过对比S、T，且由常用数集N与Z可知N Z故S T故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数定义域的求解，是基础题，根据函数定义域之间的关系得-2≤2x-1≤3，计算得结论．【解答】解：因为函数y=f（x）定义域是[-2，3]，所以-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，因此函数y=f（2x-1）的定义域为[-，2].故选C．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域，考查含有参数的不等式恒成立问题，考查运算求解能力和分类讨论思想，属于基础题.根据题意，可得在R上恒成立，当时，有在R上恒成立；当时，可得，即可求出结果.【解答】解：∵函数的定义域为R，∴在R上恒成立，①当时，有在R上恒成立，符合条件；②当时，则，解得；综上，实数的取值范围是.故选B.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性,同时考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键,属于中档题.根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），∴不等式等价为f（|2x-1|），∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴，解得．故选A．8.【答案】C【解析】【分析】由题意知A和D在（0，+∞）上为减函数；B在（0，+∞）上先减后增；C在（0，+∞）上为增函数，本题考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答．【解答】解：∵f（x）=3-x在（0，+∞）上为减函数，∴A不正确；∵f（x）=x2-3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，∴B不正确；∵f（x）=-在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，∴C正确；∵f（x）=-|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，∴D不正确．故选C．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的单调性的判断，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．求出f（x）的对称轴方程，讨论f（x）在区间[1，2]上是单调增函数和减函数，注意对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=4x2+kx-1的对称轴为x=-，若f（x）在区间[1，2]上是单调增函数，可得-≤1，解得k≥-8；若f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，可得-≥2，解得k≤-16，综上可得k的取值范围是.故选A.10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的性质的运用，属于基础题利用函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，将f（2a-1）＜f（1-a）转化为：2a-1＞1-a求解，注意定义域的范围．【解答】解：函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，则有：，解得：＜＜.故选B．11.【答案】C【解析】解：设=t，t≥0，则x=t2-1，解析式化为y=，t≥0，所以t=1时，原函数的最小值为-1．故选：C．设，t≥0，则x=t2-1，将已知函数化为关于t的二次函数，进一步求出最小值．本题考查函数的最值，属于基础题．利用换元方法是解题的关键，考查计算能力．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．根据已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2-2x-3|与y=f （x）图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又函数y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称，故函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，当m为偶数时，此时x i=×2=m，当m为奇数时，必有一个交点在x=1上，此时x i=×2+1=m，故选B．13.【答案】(-1，+∞）【解析】【分析】本题考查集合之间的基本运算问题，是基础题．因集合M、N是数集，容易得出结论．【解答】解：∵集合M={x|-1＜x＜2}，N={x|x-k≤0}={x|x≤k}，且M∩N≠∅，∴k的取值范围是：(-1，+∞）．故答案为(-1，+∞）．14.【答案】m≤3【解析】【分析】A∩B=B⇔B A，利用集合的基本关系转化为元素与集合，元素与元素的关系求解．注意B=∅情情形．本题考查的知识点是交集及其运算及集合的包含关系判断及应用，解答时容易漏掉B=∅的情况．【解答】解：①由B={x|m+1≤x≤2m-1}=∅，可得m+1＞2m-1，m＜2，满足A∩B=B．②B≠∅时，需，解得2≤m≤3，综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3．故答案为：m≤3．15.【答案】0或【解析】【分析】通过集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，方程只有一个解或重根，求出a的值即可．解题时容易漏掉a=0的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．【解答】解：因为集合A={x|ax2-3x+2=0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，当a=0时，ax2-3x+2=0只有一个解x=，当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，即△=9-8a=0即a=．所以实数a=0或．故答案为0或．16.【答案】（-∞，-10]【解析】解：根据函数，＞，是R上的单调递增函数，可得：每一段均为增函数，且当x=1时，左段函数值不大于右段函数值，所以＞，解得：m≤-10．故实数a的取值范围为：（-∞，-10]．故答案为：（-∞，-10]．分段函数，＞，是R上的单调递增函数，则每一段均为增函数，且当x=1时，左段函数值不大于右段函数值，进而可得实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的单调性，熟练掌握并正确理解分段函数的单调性的实际含义，是解答的关键．17.【答案】解：（1）（）-（2-π）0-（）+，原式=-1-+=-1-+=-+8=8.（2）由题意：0＜x＜1，∴＜0所以：（）2=x+x-1-2．∵x+x-1=3,∴（）2=1,故得=-1.【解析】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）由题意0＜x＜1，且x+x-1=3，判断x-x的值为负，采用两边平方后，再开方可得答案．18.【答案】解：集合A={x|x2＜9}={x|-3＜x＜3}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}={x|-4＜x＜2}；（1）集合A∩B={x|-3＜x＜2}；（2）∵A∪B={x|-4＜x＜3}，且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（-4，3），∴2x2+ax+b=0的根是-4和3，由根与系数的关系得，解得a=2，b=-24．【解析】本题考查了集合的化简与运算，以及根与系数的关系应用问题，是基础题目．（1）化简集合A、B，根据交集的定义进行计算即可；（2）求出A、B的并集，再由根与系数的关系，即可求出a、b的值．19.【答案】解：（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，（2）若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2+2x+1=0根的情况，是解答本题的关键．（1）若A中只有一个元素，表示方程ax2+2x+1=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值，（2）A为空集，表示方程ax2+2x+1=0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．20.【答案】解：（1）由题意得P（x）=12+10x，则f（x）=Q（x）-P（x）=,即f（x）=；（2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212-160=52万元，当0≤x≤16时，函数f（x）=-0.5x2+12x-12，=-0.5（x-12）2+60，当x=12时，f（x）有最大值60万元，所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．【解析】本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，正确求出分段函数式，求出各段的最值是解题的关键，属于中档题．（1）先求得P（x），再由f（x）=Q（x）-P（x），由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．21.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式f（x2）-f（x）＞f（3x）的解集即可．22.【答案】解：（I）根据题意得，f（1）=a-4+b=-2，又因为f（x）=f（4-x），所以二次函数的对称轴为，解得a=1，所以b=1，（II）由（I）可知，f（x）=x2-4x+1=（x-2）2-3x2-4x+1=（x-2）2-3，当m＞2时，最小值f（x1）=f（m）f（x1）=f（m），最大值f（x2）=f（m+2）f（x2）=f（m+2），所以2x2-x1=m+42x2-x1=m+4；当m+1＜2＜m+2，即0＜m＜1时，最小值为f（x1）=f（2）f（x1）=f（2），最大值f（x2）=f（m）f（x2）=f（m），所以2x2-x1=2m-22x2-x1=2m-2；当m≤2＜m+1，即1＜m≤2，最小值为f（x1）=f（2）f（x1）=f（2），最大值为f（x2）=f（m+2）f（x2）=f（m+2），所以2x2-x1=2m+22x2-x1=2m+2；当m+2≤2时，即m≤0时，最小值为f（x1）=f（m+2）f（x1）=f（m+2），最大值f（x2）=f（m）f（x2）=f（m），所以2x2-x1=m-2故得2x2-x1=，，＜＜，＜，＞函数的图象如图：观察图象可知，函数的值域为（-∞，0）∪（4，+∞）．故得2x2-x1的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用二次函数的对称轴，即可得；（Ⅱ）利用二次函数的性质，即可得最值，借助函数的图象，即可得分段函数的的值域．本题主要考查函数的解析式与分段函数，利用函数的图象求函数的值域，利用二次函数的性质研究最值．。
江苏省金陵中学2020学年第一学期高一数学期中考试卷 苏教版
江苏省金陵中学2020学年第一学期高一数学期中考试卷一、选择题1．幂函数n x y =的图象（ ）．A ．一定经过点（0，0）B ．一定经过点1(-，)1-C ．一定经过点1(-，)1D ．一定经过点1(，)12．若全集1{=U ，2，3，}4，集合1{=A ，}2，则满足U B A =Y 的集合B 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．当x ≥3-时，化简-+2)3(x 33)3(-x 得（ ）．A ．6B ．x 2C ．6或x 2-D ．x 2-或6或x 24．设10<<a ，则函数()5log +=x y a 的图象不经过（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若函数x m y )1(-=是R 上的减函数，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．1(，)∞+B ．0(，)1C ．-∞(，)1D ．1(-，)1 6．已知函数)(x f y =的图象如右图所示，则函数 |)(|x f y =的图象为（ ）． 7．下列关于函数x y 2log =的结论中，正确的是（ ）．A ．是函数2x y =的反函数B ．图象过点1(，)0C ．图象与直线x y -=无交点D ．定义域为0[，)∞+8．23.0，3.0log 2与3.02的大小关系是（ ）．A ．3.0log 23.023.02<<B ．3.02223.0log 3.0<<C ．23.023.023.0log <<D ．3.02223.03.0log << A B C9．若函数)(x f 的定义域是1[-，]1，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）．A ．1[-，]1B ．0[，]2C ．2[-，]0D ．0[，)210．若函数c bx x x f ++=2)(满足)3()1(f f =-，则（ ）．A ．)1()1(->>f c fB ．)1()1(-<<f c fC ．)1()1(f f c >->D ．)1()1(f f c <-<11．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．1[，)∞+B ．[0，2]C ．-∞(，]2-D ．1[，]212．已知指数函数x a y =在[0，]1上的最大值与最小值的和为3，则实数a 的值为（ ）．A ．41B ．21 C ．2 D ．4 二、填空题13．已知集合}02|{2=--=x x x P ，集合x x T <-=1|{≤}2，则集合=T P I ．14．若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(+=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = ．15．若函数)26(log 22+-=x mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．16．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ⋅是定义在R 上的偶函数，试写出满足条件的一组函数：=)(x f ，=)(x g ．（只要写出满足条件的一组即可） 三、解答题17．对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|A a ∈，B b ∈}记作B A ⨯．例如：=A {1，2}，=B {3，4}，则有=⨯B A {(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，=⨯A B {(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，=⨯A A {(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，=⨯B B {(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试解答下列问题：（1）已知=C {m }，=D {1，2，3}，求D C ⨯；（2）已知=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，求集合A ，B ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定B A ⨯有几个元素．18．完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．19．计算：（1）已知0>a 且32=x a，求x x x x a a a a --++33的值； （2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+的值．20．已知函数1212log )(21+-=x x x f （-∞∈(x ，21()21Y -，)∞+）． )2(（1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）指出函数)(x f 在区间21(，)∞+上的单调性，并加以证明．21．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数)(x f y =的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？附加题22．设)(x f 是定义在1[-，]1上的奇函数，且对任意的1[,-∈b a ，]1， 当0≠+b a 时，都有ba b f a f ++)()(＞0． （1）若a ＞b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小；（2）解不等式)21(-x f ＜)41(-x f ；（3）如果)()(c x f x g -=和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．[参考答案]一、选择题1．幂函数n xy=的图象（）．DA．一定经过点（0，0） B．一定经过点)1,1(--C．一定经过点1(-，)1 D．一定经过点1(，)12．若全集1{=U，2，3，}4，集合1{=A，}2，则满足UBA=Y的集合B有（）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个选D．}4,3{，}4,3,1{，}4,3,2{，}4,3,2,1{．3．当x≥3-时，化简-+2)3(x33)3(-x得（）． AA．6 B．x2C．6或x2- D．x2-或6或x24．设10<<a，则函数()5log+=xya的图象不经过（）． A A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若函数xmy)1(-=在R上是减函数，则m的取值范围是（）． B A．1(，)∞+ BC．-∞(，)1 D6．已知函数)(xfy=的图象为（）． B7．下列关于函数xy2log=的结论中正确的是（）． BA．是函数2xy=的反函数 B．图象恒过定点1(，)0 C．图象与直线xy-=无交点 D．定义域为0[，)∞+8．23.0，3.0log2与3.02的大小关系是（）． DA．3.0log23.023.02<<0 B．3.02223.0log3.0<<C．23.023.023.0log<< D．3.02223.03.0log<<9．若函数)(xf的定义域是1[-，]1，则函数)1(+xf的定义域是（）． CA．1[-，]1 B．0[，]2 C．2[-，]0 D．0[，)210．若二次函数cbxxxf++=2)(，且)3()1(ff=-，则（）．A．)1()1(->>fcf B．)1()1(-<<fcfC．)1()1(ffc>-> D．)1()1(ffc<-<解选B．∵)3()1(ff=-，∴函数cbxxxf++=2)(的对称轴是直线1=x，画出)(xf的草图（如图），又∵cf=)0(，)(xfA B在1[-，]1上递减，故)1()1(-<<f c f ，∴选B ．11．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间0[，]m 上的值域是2[，]3则m 的取值范围是（ ）．DA ．1[，)∞+B ．[0，2]C ．-∞(，]2-D ．1[，]212．已知指数函数x a y =在[0，]1上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为（ ）．C A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 二、填空题13．已知集合}02|{2=--=x x x P ，集合x x T <-=1|{≤}2，则集合=T P I ． }2{．14．若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，)1()(+=x x x f ，则当0<x 时， )(x f = ． )1()(x x x f -= 15．若函数)26(log 22+-=x mx y 的定义域为R ，则m 的取值范围是 ． (∈m ),29+∞． 16．已知)(x f 与)(x g 是定义在R 上的非奇非偶函数，且)()(x g x f ⋅是定义在R 上的偶函数，写出满足条件的一组函数：=)(x f ，=)(x g ． 1)(+=x x f ，1)(-=x x g （答案不惟一）三、解答题17．对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|A a ∈，B b ∈}记作B A ⨯．例如：=A {1，2}，=B {3，4}，则有=⨯B A {(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，=⨯A B {(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，=⨯A A {(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，=⨯B B {(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试解答下列问题：（1）已知=C {m }，=D {1，2，3}，求D C ⨯；（2）已知=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，求集合A ，B ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定B A ⨯有几个元素．解：（1）由题知=⨯D C {(m ，1)，(m ，2)，(m ，3)}．（2）因为=⨯B A {(1，2)，(2，2)}，所以A 中有元素1，2，B 中含有元素2，即=A {1，2}，=B {2}．（3）B A ⨯中含有12个元素．18．完成下列填空，并按要求画出函数的简图，不写画法，请保留画图过程中的痕迹，痕迹用虚线表示，最后成图部分用实线表示．（1）函数|32|2--=x x y 的零点是 ，利用函数322--=x x y 的图象，在直角坐标系（1）中画出函数|32|2--=x x y 的图象．（2）函数12||+=x y 的定义域是 ，值域是 ，是 函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．利用x y 2=的图象，通过适当的变换，在直角坐标系（2）中画出函数12||+=x y 的图象．19．计算：（1）已知0>a ，32=xa ，求xx xx a a a a --++33的值； （2）求1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+的值． 解：（1）原式x x x x x x a a a a a a ---++-+=)1)((221122-+=xx a a 371313=-+=． （2）原式10lg )1(10lg 215lg 2lg 5lg 2lg 33-⨯--+=21)5lg 2(lg 2-+=10lg 4-=4-=． 20．已知函数1212log )(21+-=x x x f （-∞∈(x ，21()21Y -，)∞+）． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）指出函数)(x f 在区间21(，)∞+上的单调性，并加以证明．解 （1）因为1212log )(21+---=-x x x f 1212log 21-+=x x 1211212log -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x )(x f -=， 所以函数)(x f 是奇函数．（3）设1212)(+-=x x x g 1221+-=x ． 设21x x m <<-，则)()(21x g x g -)12)(12(42112++-⋅-=x x x x ， 因为0<m ，2121x x <<，所以012>-x x ，0121>+x ，0122>+x ， 所以0)12)(12(42112<++-⋅-x x x x ，即)()(21x g x g <， 因为x y 21log =是减函数，所以)(log )(log 221121x g x g >，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在21(，)∞+上是减函数．21．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．（1）求函数)(x f y =的解析式及定义域；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？解：（1）当x ≤6时，11550-=x y ，令011550>-x ，解得3.2>x ．∵∈x N ，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，且∈x N ．当x <6≤20时，115)]6(350[---=x x y 1156832-+-=x x ．综上可知⎩⎨⎧∈≤<-+-∈≤≤-=).,206(,115683),,63(,115502N N x x x x x x x y （2）当3≤x ≤6，且∈x N 时，∵11550-=x y 是增函数，∴当6=x 时，185max =y 元．当x <6≤20，∈x N 时，1156832-+-=x x y 3811)334(32+--=x ， ∴当11=时，270max =y 元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元． 附加题22．设)(x f 是定义在1[-，]1上的奇函数，且对任意的1[,-∈b a ，]1，当0≠+b a 时，都有ba b f a f ++)()(＞0． （1）若a ＞b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小；（2）解不等式)21(-x f ＜)41(-x f ； （3）如果)()(c x f x g -=和)()(2c x f x h -=这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．解：设1-≤1x ＜2x ≤1，由奇函数的定义和题设条件，得)()()()()()()()(1212121212x x x x x f x f x f x f x f x f --+-+=-+=-＞0， ∴)(x f 在]1,1[-上是增函数．∵∈b a ,]1,1[-，a ＞b ，∴)(a f ＞)(b f ．（2）∵)(x f 是]1,1[-上的增函数，∴不等式)21(-x f ＜)41(-x f 等价于 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-,4121,1411,1211x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--<--≤-⇔,141,4121,211x x x x ∴原不等式的解集是}4521|{≤≤-x x ．（3）设函数)(),(x h x g 的定义域分别是P 和Q ，则1|{-=x P ≤c x -≤}11|-=c x ≤x ≤}1+c ， 1|{-=x Q ≤2c x -≤}11|{2-=c x ≤x ≤}12+c ．于是=Q P I φ的充要条件是1+c ＜12-c 或12+c ＜1-c ．解得c 的取值范围是-∞(，2()1Y -，)+∞．。