第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3-二阶非线性光学效应
2 2 2
• 则解为
dA3 ( z ) 2 2 k[ A1 (0) 2 A3 ( z ) ] dz A1 (0) A3 ( z ) tanh( 2k A1 (0) z ) 2
•则
A1 ( z ) A1 (0) sech ( 2k A1 (0) z )
直接对方程(3-6)积分求解，并假定E3(z)的边界条件
E1 ( z) E1 (0)
E12 (0)(e ikL 1) (3 7)
晶体长度为L，则得到输出谐波的振幅
( 2)
cn3k
• 引进倍频系数d代替极化率
且
d
( 2)
2
n1 n , n3 n2 ，则式(3-7)变成
•或
8 2 d 2 L2 2 2 kL I3 I sinc ( ) 3 2 1 0c n2 n 2
• 函数 sinc 2 (kL / 2) 与 kL / 2的关系
光倍频的效率表示为倍频光功率P3与基频光功率P1之比
P3 ( L) I 3 8 2 d 2 L2 P 2 kL 1 sinc ( ) 3 2 P I1 0c n2 n S 2 1 (0)
第三章 二阶非线性光学效应
§1 三波相互作用的耦合波方程
一、各向异性介质的慢变振幅近似波方程 只讨论远离共振区的情况，且忽略介质的吸收
在各向异性介质中，由于D和E的方向不同，则光波的
传播方向(k )与能流方向( I E H )不同，其间具有夹
角。对大多数晶体， 很小(<30) x。
k
i ( kz t ) E ( z , ) E ( z )e e0 E ( z )ei ( kz t ) NL NL i ( k z t ) P ( z, ) P ( z )e
光波在非线性介质中传播的基本方程(1)光波在各向异性晶体中的传播特性
第三章 光波在非线性介质中传播
的基本方程
3.1 光波在各向异性晶
体中的传播特性
3.1.1 光波在晶体中传 播的解析法描述
介电常数张量
七大晶系
七大晶系的介电常数张量
晶体中的麦克斯韦方程组
Fresnel方程
双正交条件
光电场矢量方向和电位移矢量方向
光在晶体中的传播规律
利用折射率椭球确定单轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定单轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定双轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定双轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定双轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定双轴晶 体的光学特性
折射率曲面
利用折射率曲面确定单轴晶 体的光学特性
利用折射率曲面确定双轴晶 体的光学特性
利用折射率椭球确定单轴晶 体的光学特性
THANKS!
晶体在各向同性介质中的传播
光在单轴晶体中的传播
光在单轴晶体中的传播
光在单轴晶体中的传播
光在单轴晶体中的传播
光在单轴晶体中的传播
光在双轴晶体中的传播
光在双轴晶体的传播
光在双轴晶体中的传播
3.1.2 光波在晶体中传 播的几何法描述
两种几何描述方法
折射率椭球
折射率椭球
利用折射率椭球确定各向同 性介质的光学特性
6.4 光波在介质中的传输
非均匀介质中光线的传输4.1引言：傍轴方程在第三章里，我们得到了在折射率为n 0=c /v 的均匀介质中传输光场的相位部分所满足的亥姆霍兹方程，其中c 为真空中光速，v 是光束在介质中的传输速度：020222222=+∂∂+∂∂+∂∂p p p p k z y x ϕϕϕϕ, vk 00ω=4.1.1如果把Ψp 写成)exp(),,(),,(0z jk z y x z y x e p -=ϕϕ 4.1.2并且假设Ψe 是z 的缓变函数，即0/k zee 〈〈∂∂ϕϕ 4.1.3就可得到Ψe 的傍轴波动方程e t e jk z ϕϕ2021/∇=∂∂ 4.1.4 其中，(∇t )2为横向拉普拉斯算子2222yx ∂∂+∂∂，对方程4.1.4进行傅里叶变换得到以x ，y 为变量的常微分方程e y x e k k k j dz d Φ+=0222)(ϕ 4.1.5 解该方程课得到与下述方程类似的旁轴传输函数]2)(exp[),,(022k zk k j z k k H y x y x e += 4.1.6当我们考虑光波在传播常数或者折射率是位置的函数的介质中传输时，这种折射率渐变效应是由材料本身的侧面（例如由折射率渐变光纤或介质的三阶非线性效应决定）或者三阶非线性效应导致的，傍轴方程可写成e e t e nk j jk z ϕϕϕ02021/∆-∇=∂∂ 4.1.7 其中△n 是相对于主折射率n 0的偏离量。
当传播常数或者波数是与位置（x , y , z ）有关的方程时，如光栅、光纤或者是折射率与光强有关的介质是，可以把标量波方程4.1.4进行修正得到4.1.7.旁轴传输方程4.1.7是一个偏微分方程，不一定有解析解。
但在某些特殊情况下，如△n 的空间变化率是确定的或者在非线性光学里，可以用精确的积分或者逆散射法寻找该偏微分方程（PDE ）的特殊解。
接下来，我们首先将讨论针对这些情况的一些精确解和解析解。
tty14光电测试技术十四：光波在非线性介质中的传播
1.光混频及光倍频的转换效率
的光波。在小信号近似条件下，可以近似认为混频过程中， ω1和ω2的光波场的强度改变量很小，可视为常数。那么三波 耦合方程组中只剩下频率为ω3光波的一个方程：
和频：设频率为ω1和ω2的光波混频产生ω3=ω1+ω2频率
dE3 32 i 2 eff E1E2 exp(ikz) dz k3c
I3
2 2 2 L2 eff 2 n1n2n33c 0
I1 I 2 sin(kL / 2) /(kL / 2)
2
用-ω2代替ω2，用E2*代替E2，就是差频过程。 当ω1=ω2=ω，ω3=2ω时，就是倍频过程。频率为ω的光波称 为基波，频率为2ω的光波为倍频波，或二次谐波。倍频的 光强为
(r )
2.6.1 非线性电极化率
强光作用下，介质的感应极化强度P:
P PL PNL 0 L E PNL
取
0 (1 L )
非线性作用的波动方程:
2E 2 PNL E 0 2 0 t t 2
所以，只要求出PNL，就可以在一定的边界条件下求解 麦克斯韦方程组，从而求得非线性辐射场。
dE3 i eff E1E2 exp( kz) i dz k3c
2 3 2
三波耦合方程组说明：
某频率的光波随传播距离的变化率是另两个频率的光波 场强的函数，即不同频率的光波在非线性介质中可以发生能 量的互相转移，这种能量的相互转移是通过非线性介质的有 效非线性电极化率χeff来耦合的。
对于二阶非线性光学效应，仅讨论 ijjk (1 , 2 ) 。
在远高于离子共振频率处，极化仅由电子位移引起，而 离子的贡献可忽略（例如红外，中红外，可见光波段）。 若非线性介质无损耗（即场频率低于电子吸收带），则 非线性极化率张量具有完全互易对称性，所以其 独立张量可 进一步减少。
04 第三章 光波在非线性介质中传播的基本方程1
kxk y kyky kz k y
k x k z Ex Ex 2 k y k z E y n E y E E kz kz z z
k k z2 0 2 2 2 1 / n 1 / xx 1 / n 1 / yy 1 / n 1 / zz
no no ne
k
ne ( )
ne
k
no
no ne no
k
cos2 sin 2 ne ( ) 2 2 ne no
1 2
Ee
c. 波面传播与能量传播
波矢：波面传播的方向 能流：光线传播的方向（垂直于折射率曲面） o光（寻常光）：两者一致 e光（非寻常光）：两者不一致，存在离散角 离散角：
Di 0 ii Ei
0 0
yy
0
各晶系的相对介电常数张量矩阵
2 晶体光学的基本方程
Maxwell方程组（均匀、不导电、非磁性介质）
D 0 B 0 B E t D H t
i (t k r ) D D0 e i (t k r ) E E0e i (t k r ) B B 0e H H 0e i (t k r )
2 2 D D Dz2 1 1 x y w ED 2 2 0 xx yy zz Dy Dx Dz x y z 2w 0 2w 0 2w 0
A.
考虑偏振方向
( x, y, z)
x2 y2 z2 2 2 1 2 nx n y nz
xx xy xz Ex 2 kxkx c yx yy yz E y k y k x zx zy zz Ez kz kx
第三章(2)光的吸收、色散、散射全解
性质以及周围介质等关系比较复杂。这种散射称 为米氏散射。 例1、白云由大气中的水汽组成，颗粒较大，它产 生的散射与波长关系不大，所以呈白色，属于米 氏散射。 例2、吸烟时，从点燃的烟头冒出的烟是蓝色的， 而从嘴里吐出的烟是白色的。这是由于烟头冒出 的烟颗粒很小，遵守瑞利散射定律，对蓝光散射 厉害。而从嘴里吐出的烟中，含有颗粒较大的蒸 汽团，属于米氏散射，散射光呈白色。
瑞利群速公式
Vg V p λ
dVp dλ
在真空中 V p ( λ ) c
Vg V p c
dV p c dn 2 d n d
dV p c dn 2 >0 d n d
c 在介质中 V p n
dn 在正常色散区 0 dλ
由瑞利群 速公式
Vg V p
dn 2B 3 将上式对求导得： D dλ λ
2、反常色散
在发生强烈吸收的波段，折射率n 随波长的增 加而增大，即dn /d0 。这种现象称为反常色散。
n
P
Q R
S
T
可见光
吸收带
石英的色散曲线
上图反映了物质在吸收区普遍遵从的色散规律。 在吸收区以外仍是正常色散，只是A、B、C等常量 的具体数值并不一定相同。
I
式中负号表示随吸收 层厚度增加光能量减小
O
x x dx x
若x = 0时光强为I0，x = L时光强为I
由积分
II0L 源自I 0 dx II 得： ln I αL 0
αL
朗伯定律
I I 0e
2、比尔定律 实验表明，当光通过透明溶液时，溶液对光 的吸收与溶液的性质及浓度有关，若不考虑溶剂 对光的吸收，稀溶液的吸收系数与溶质在溶液中 的浓度 (书上称质量分数C)成正比。
在非线性介质中的光传播行为
在非線性介質中的光傳播行為文／石明豐一、簡介1834年時，一位蘇格蘭科學家John S. Russell[1]沿著一條窄而淺的運河旁騎馬，他發現了如下景象，當一艘小船突然停下後，原本在船艏前方被推動的水因慣性的關係繼續向前進，奇特的是，在這單一“突起的水”的前方和後方，運河的水面是非常平靜而沒有任何波動，他好奇地騎馬跟隨這單一“突起的水”走了好幾哩後，發現這“突起的水”的形狀、大小仍不見有任何改變，Russell 於是在他的筆記本記下了他觀察到這樣一個“孤立升起”(solitary elevation)的水波現象。
50年後，兩位荷蘭科學家Korteweg 和de Vries 發現要觀察上述“孤立升起”的水波現象，這升起水面的振幅必須非常的大，如果這升起水面的振幅不夠大時，就只能引起一般的水波，而且在傳播不久後就會消散。
他們了解到，這表示著大的振幅和小的振幅會使水波有不同的行為，也可以說水--這個傳播水波的介質--對水波振幅的反應是非線性的。
現在回到我們的主題--光在非線性材料中傳播的行為，雖然我們在大學時學電磁學及電磁波的時候，教科書總會在例題或習題中假設，電磁波傳播的介質是線性的，意即不管電磁波的振輻大小，折射率(介電係數和介磁係數的函數)總是不會改變，這樣在解題時，線性的微分方程式是比較容易解的，然而介電係數代表的是電場(E)和極化強度(P)之間的比例關係，如同彈簧的虎克定律一樣，當外力大到某一個程度時，彈簧的形變量和外力就不再是成正比，相同地，當電場強度大到某一個程度時，極化強度和電場就不再是正比關係，如此介電係數在電磁波的電場振幅較大時，和電場振幅較小時的值必然不同，這就表示這個傳播電磁波的介質對電磁波振幅的反應是非線性的，換句話說，折射率將會是電磁波振幅的一個函數。
在光學上，我們也可以說，折射率不是一個定值而是一個光強度的函數。
但如此一來，要解一個電磁波或光波在介質中的行為就變得複雜的多了，而且在不同材料中，折射率和電場關係也不儘相同，所以我們無法找到一個電磁波或光波在非線性材料中傳播的通解，甚至在很多的情況下，找不到解析解。
第三章 单模光纤传输特性及光纤中非线性效应
第三章 单模光纤的传输特性及光纤中的非线性效应单模工作模特性及光功率分布 ............................................................. 错误!未定义书签。
单模光纤中LP 01模的高斯近似 ............................................................... 错误!未定义书签。
单模光纤的双折射（单模光纤中的偏振态传输特性） ............................. 错误!未定义书签。
双折射概念 ............................................................................................... 错误!未定义书签。
偏振模色散概念 ..................................................................................... 错误!未定义书签。
单模光纤中偏振状态的演化 ................................................................. 错误!未定义书签。
单模单偏振光纤 ..................................................................................... 错误!未定义书签。
单模光纤色散 ................................................................................................... 错误!未定义书签。
色散概述 ................................................................................................ 错误!未定义书签。
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x
或
xx
y
yy
z
zz
1
(3.1-48)
x2 y 2 z2 2 2 1 2 nx n y nz
(3.1-49)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z k sa rb sb
(k)
O ra x
图 3.1-6 利用折射率椭球确定折射率和D振动方向图示
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
1 cos sin 2 n //
2 2
(3.1-31)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
De Ee
z
se k so
Do x
Eo
O
y
图 3.1-3 单轴晶体中的本征矢E和D
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3) 双轴晶体 介电张量三个主值都不相同的晶体具有两个光轴 , 称为双轴晶体。 属于正交、 单斜和三斜晶系的晶体都 是双轴晶体。 其中, 正交晶体的对称性足够高, 三个介 电主轴方向都沿晶轴方向,单斜晶体只有一个主轴方向
1) 各向同性介质
这是最简单的一种情况。 对于各向同性介质有
εxx=εyy=εzz=εr=n20
代入（3.1-22）式后, 得
(n ) 0
2 r 2
(3.1-23)
由此可得, 折射率n为
n r n0
(3.1-24)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
D′ E′ s E″ D″
1 cos2 sin2 2 2 2 ne ( ) no no
(3.1-52)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z′ k
z y′ n ′e (k)
O O no
ne
no y
x′ x
图 3.1-7 单轴晶体折射率椭球作图法
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z c
0 0 0
O
2
k y
x
图 3.1-5 双轴晶体中k方向的取向
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
由（3.1-11）式出发可以证明,
个传播模的折射率满足下面关系:
若光波波法线方向
与二光轴方向的夹角为θ1和θ2（图3.1-5）, 则相应的两
1 cos2 [(1 2 / 2] sin 2 [1 2 / 2] 2 n1,2 xx zz
2） 单轴晶体
在单轴晶体中, εxx=εyy≠εzz， 或nx=ny=no, nz=ne ≠no, 因此, 折射率椭球方程为
x2 y 2 z2 2 2 1 2 no no ne
(3.1-51)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
现如图3.1-7所示, 对于一个正单轴晶体的折射率椭
球, 光波k与z轴夹角为θ, 由于单轴晶体折射率椭球是 一个旋转椭球, 所以不失普遍性, 可以选择坐标使k在 yOz平面内。 由此作出的中心截面Π(k)与椭球的交线椭 圆, 其短半轴长度与k的方向无关, 不管k方向如 何， 均为no; 长半轴长度则随k的方向而定, 其折射率ne (θ)满足如下关系: 并且可以证明,
式中, θ是z轴与k方向之间的夹角。 将上述关系代
2 (n2 )[n// cos2 sin2 ) // ] 0
(3.1-30)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
由此可见, 对于满足上式第一个因子等于零, 即n2=ε⊥ 的光波来说, 其折射率与光波的传播方向无关, 称为寻 常光（o光）, 折射率为no。 对于由上式第二个因子等 于零所确定的光波, 其折射率满足如下关系:
2 2 y 2 y 2 z 2 zz xx (k z2 k y )] xx yy zz 0
(3.1-22)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
E′
D′
′
′ ″ ″
E″ D″ s″
s′ k
图 3.1-1 与给定k相应的D、E、s方向
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
双 轴 晶 体 传 播 模 的 本 征 矢 可 由 （ 3.1-12 ） 式 和
（3.1-19）式求得, 其电场分量形式为
E
(m) i
(n ii ) N
2 m
ki
( m)
i x, y , z
2 ii i 1/ 2
m 1,2
(3.1-43) (3.1-44)
式中
N
(m)
k 0 2 2 i x , y , z (nm ii )
这里, d是D振动方向上的单位矢量。
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
1） 各向同性介质或立方晶体 在各向同性介质或立方晶体中, 主介电常数 εxx=εyy=εzz, 相应的主折射率nx=ny=nz=n0, 折射率椭球方 程为 x2+y2+z2=n20 (3.1-50)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
图 3.1-2 各向同性介质中E、D、k、s的关系
k
O
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
2) 单轴晶体
对于这类晶体有εxx=εyy=ε⊥=no, εzz=ε∥=ne , 主轴x、 y的
k y sin k z cos kx 0
入（3.1-22）式, 得
(3.1-29)
场矢量E的方向相同, 即D矢量的每个分量只与E矢量的 相应分量线性相关。 对于各向异性晶体, D和E间的关
系为
D 0 r E
(3.1 - 2)
介量常数ε=ε0εr是二阶张量, 该关系的分量形式为
Di 0ij E j
i, j x, y, z
(3.1 - 3)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
(3.1-46)
因而有
D
2e 0 xx
2 x
பைடு நூலகம்
2 Dy
2e 0 yy
D
2e 0 zz
2 z
1
(3.1-47)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
在给定电能密度we的情况下, 该方程表示为
D(Dx,Dy,Dz)空间的椭球面。 若用r2代替D2/2weε0, （3.1-47）式可改写为
(3.1-40)
当θ1=θ2=θ, 即当波法线方向k在二光轴角平分面内时, 相应两个传播模的折射率为
n1 xx cos sin n2 zz xx
2 2 1 / 2
(3.1-41)
(3.1-42)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
zz ( yy xx ) t an xx ( zz yy )
(3.1-39)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
光轴2 -
z
光轴1
O
y (向纸面内)
x
图3.1-4 双轴晶体中光轴的取向
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z c2 c1 -
1
(1) 与波法线方向k相应的两个传播模的折射率n1和
n2, 分别等于这个椭圆两个主轴的半轴长, 即
n1(k)=|ra(k)|
n2(k)=|rb(k)|
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
(2) 与波法线方向k相应的两个传播模的D振动方向 d1和d2, 分别平行于ra和rb, 即
ra ( k ) d1 ( k ) ra ( k ) rb ( k ) d 2 (k ) rb ( k )
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3.1 光波在各向异性晶体中的传播特性 3.2 介质损耗对光波传播的影响
3.3 非线性光学耦合波方程
3.4 非线性介质中的场能量
3.5 非线性光学相位匹配
习题
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
3.1 光波在各向异性晶体中的传播特性
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
2. 晶体光学的基本方程
在均匀、 不导电、 非磁性的晶体中, 若没有自由电 荷存在, 麦克斯韦方程组为
D H t H E 0 t B 0 D 0
(3.1 - 5)
(3.1 - 6)
(3.1 - 7)
(3.1 - 8)
3.1.1 光波在晶体中传播特性的解析法描述 1. 晶体的介电常数张量 由电磁场理论已知, 介电常数是表征介质电学特性 的参量。 在各向同性介质中, 电位移矢量D与电场矢量 E满足如下关系:
D=ε0εrE
(3.1 - 1)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
由于介电常数ε0εr是标量， 所以电位移矢量D与电
x2 x2 2 1 2 n x nz
(3.1-54)
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
z c2 n3 c1 y 圆载面 O n2 n1 x 圆载面
-
图 3.1-9 双轴晶体双光轴示意图
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
椭圆上任一点矢径r与x轴的夹角为ψ, 长度为n, 且n 的大小在nx和nz间随ψ变化。 由于nx＜ny＜nz, 所以总可 以找到某一矢径r0, 其长度为n=ny。 设这个r0与x轴的夹 角为ψ0, 则由（3.1-54）式可以确定ψ0满足
tan0
第3章 光波在非线性介质中传播的基本方程
将（3.1 - 5）式和（3.1 - 6）式中的H消去, 可以得到
n2 D k (k E ) 0n 2 [ E k (k E )] (3.1 - 9) 0c