2017年清华大学自主招生暨领军计划数学试题解答
2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案
2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案甘志国;张荣华【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)005【总页数】5页(P19-23)【作者】甘志国;张荣华【作者单位】北京丰台二中;山西临汾三中【正文语种】中文2017年北京大学自主招生数学试题，包含20道单项选择题,试题简洁基础,涵盖面广，对自主招生及高考复习备考都有极高的参考价值.本文将给出其详细解答.1. 若实数 a、b 满足 (a2+4)(b2+1)=5(2ab-1),则的值为( ).A 3/2;B 5/2;C 7/2;D 前3个答案都不对解法1 由题设,可得(a2b2-6ab+9)+(a2-4ab+4b2)=0,(ab-3)2+(a-2b)2=0, ab=3且a=2b,解法2 由题设,可得(a2+4)b2-10a·b+(a2+9)=0.①因为关于b的一元二次方程①有实数解,所以Δ=(-10a)2-4(a2+4)(a2+9)=-4(a2-6)2≥0,因为关于b的一元二次方程①有2个相等的实数解,由根与系数的关系可得所以ab=3,从而故选C.2. 函数在[-1,2]上的最大值与最小值的差所在的区间是( ).A (2,3);B (3,4);C (4,5);D 前3个答案都不对解法1 可得当时,f(x)的取值范围分别是可得f(x)在[-1,2] 上的值域是所以 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.解法2 在解法1中,已得可知函数f(x)在每一段的图象都是抛物线段,最值只可能在端点处或对称轴处取到.而抛物线段的端点是对称轴分别是得其中的最大值最小值就分别是函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值.所以函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.3. 不等式组所表示的平面区域的面积为( ).A 6;B 33/5;C 36/5;D 前3个答案都不对图1可得题设中的平面区域即图1中的四边形ABCD,其中进而可求得四边形ABCD的面积为选项为C.的值为( ).前3个答案都不对由题意可得1+2coscos+coscos=1+coscos=选项为B.5. 在圆周上逆时针摆放了 4个点A、B、C、D,若BA=1,BC=2,BD=3,∠ABD=∠DBC,则该圆的直径为( ).前3个答案都不对图2解法1 如图2所示,可设∠ABD=∠DBC=θ(0<θ<π).由∠ABD=∠DBC,可得DA=DC.在△ABD,△BCD中,由余弦定理可得12+32-2·1·3cos θ=22+32-2·2·3cos θ,θ=π/3.连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为解法2 如图2所示,由托勒密定理AB·CD+AD·BC=AC·BD,可得CD+2AD=3AC.由∠ABD=∠DBC,可得CD=AD,所以CD=AD=AC,得正再由题设可得连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为故选项为D.6. 若三角形3条中线长度分别为 9,12,15,则该三角形面积为( ).A 64;B 72;C 90;D 前3个答案都不对设△ABC的3边长分别为AB=c,BC=a,CA=b,3条中线长分别为AD=9,BE=12,CF=15.由余弦定理,可证得“平行四边形各边的平方和对于其2条对角线的平方和”.由此结论,可得把它们相加后,可得3(a2+b2+c2)=(2·3)2(52+32+42)=2(2·3·5)2,a2+b2+c2=600.进而可求得再由余弦定理,得所以△ABC的面积为故选项为B.7. 若x 为实数,使得 2,x,x2 互不相同,且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍,则这样的实数 x的个数为( ).A 3;B 4;C 5;D 前3个答案都不对由题设知,包括下面的6种情形: 1) 由2=2·x,得x=1,检验知,不满足题意；2) 由x=2·2,得x=4,检验知,满足题意；3) 由2=2·x2,得x=±1,经检验知,仅有x=-1满足题意；4) 由x2=2·2,得x=±2,经检验知,仅有x=-2满足题意；5) 由x=2·x2,得x=0或检验知,仅有满足题意；6) 由x2=2·x,得x=0或2,检验知,均不满足题意.综上,可得进而可知选B.8. 若整数 a,m,n 满足则这样的整数组 (a,m,n) 的组数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对已知|a|、m、n∈N*,m>n,且此时题中的等式等价于②进而可得③所以8(m+n-a2)=0,a2=m+n(否则式③左边是无理数,右边是整数,不可能).再由式②得mn=20 (m>n，m、n∈N*),所以20=mn>n2,n≤4,因而n=1,2或4.可得(n,m)=(1,20),(2,10)或(4,5).再由a2=m+n(|a|∈N*),可得(a,m,n)=(±3,5,4),进而可知选C.9. 若则不超过 S且与 S 最接近的整数为( ).A -5;B 4;C 5;D 前3个答案都不对可得又因为所以不超过 S且与 S 最接近的整数为[S]=-5.故选A.10. 若复数 z 满足是实数,则 |z+i|的最小值等于( ).C 1;D 前3个答案都不对可设z=r(cos θ+i sin θ)(r>0),得由是实数,得sin θ=0或即当sin θ=0时,可得z是非零实数,故|z+i|=|z-(-i)|,表示复平面xOy上的点-i与x轴上非原点O的点z之间的距离.由“垂线段最短”可得|z+i|>1.当即时,可得当且仅当时,因为所以故选D.11. 已知正方形A、B、C、D的边长为1,若P1、P2、P3、P4是正方形内部的4个点使得△ABP1,△BCP2,△CDP3和△DAP4都是正三角形,则四边形P1P2P3P4的面积等于( ).前3个答案都不对图3如图3所示,建立平面直角坐标系xOy后,可求得可得四边形P1P2P3P4的对角线互相垂直平分且相等,所以四边形P1P2P3P4是正方形,其面积为故选A.12. 已知某个三角形的2条高的长度分别为10和20,则它的第三条高的长度的取值范围是( ).前3个答案都不对设该三角形3边分别为a、b、c,这些边上的高分别为10,20,h(h>0),可得2S△ABC=10a=20b=ch, a=2b, c=20b/h，进而可得该三角形3边分别为这样的三角形存在的充要条件是即故选C.13. 已知正方形ABCD与点P在同一平面内,该正方形的边长为1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD| 的最大值为( ).前3个答案都不对以A为原点，建立平面直角坐标系xAy,可得A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).设P(x,y),由|PA|2+|PB|2=|PC|2,可得(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=(x-1)2+(y-1)2,x2+y2=1-2y,因而|PD|2=x2+(y-1)2=x2+y2+1-2y=进而可得:当且仅当点P的坐标是时, 故选A.14. 方程log4(2x+3x)=log3(4x-2x)的实根个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对可设log4(2x+3x)=log3(4x-2x)=t,得所以4t-3x=4x-3t, 3t+4t=3x+4x. 因为f(u)=3u+4u (u∈R)是增函数,所以t=x,得设可得它是减函数,且所以函数g(x)有唯一的零点,进而可知选B.15. 使得和都是整数的正实数x的个数为( ).A 1;B 2;C 无穷多;D 前3个答案都不对由及和都是整数,可得是正整数,因而可设由是整数,可得n=1或或1.再由是整数,可得x=1.进而可知选A.16. 满足f(f(x))=f4(x)的实系数多项式f(x)的个数为( ).A 2;B 4;C 无穷多;D 前3个答案都不对若f(x)是实数常数,则可设f(x)=k (k∈R),由题设得k=k4,k=0或1,得f(x)=0或f(x)=1.若f(x)不是实数常数,则可设f(x)=anxn+…+a2x2+a1x+a0(an,…,a2,a1,a0∈R;an≠0,n∈N*).再由题设,可得an(anxn+…+a2x2+a1x+a0)n+…+a1(anxn+…+a2x2+a1x+a0)+a0=(anxn+…+a2x2+a1x+a0)4.比较该等式两边的首项,得解得因而可设f(x)=x4+bx3+cx2+dx+e(b、c、d、e∈R),再由题设,可得(x4+bx3+cx2+dx+e)4+b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=(x4+bx3+cx2+dx+e)4.即b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.比较该等式两边x12的系数,可得b=0,所以c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.再比较该等式两边x8的系数,可得c=0,所以d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.又比较该等式两边x4的系数,可得d=0,所以e=0，所以f(x)=x4.检验知f(x)=x4满足题设，从而满足题设的f(x)有且仅有3个:f(x)=0或f(x)=1或f(x)=x4.故选D.17. 使得p3+7p2为完全平方数的不大于100的素数p的个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对由已知,设p2(p+7)=a2 (a∈N*),因而p|a,设a=pb(b∈N*),得p+7=b2 (b∈N*).由p是不大于100的素数,可得9≤b2≤106,3≤b≤10,因而p+7=b2=9,16,25,36,49,64,81或100. p=2,9,18,29,42,57,64或93.再由p是素数,可得p=2或29,进而可得答案为C.18. 函数f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值为( ).A -1;B -1.5;C -2;D 前3个答案都不对由已知可得f(x)=x(x+3)·(x+1)(x+2)=(x2+3x)(x2+3x+2)=(x2+3x+1)2-1.设得进而可知选A.19. 若动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ).A 双曲线;B 双曲线的一支;C 抛物线;D 前3个答案都不对可得圆x2+y2=1的圆心是O(0,0),半径是1;圆x2+y2-6x+7=0的圆心是A(3,0),半径是设动圆圆心为M(x,y),半径是r.再由题设“……都外切”,可得因而所以动圆的圆心M的轨迹是以O、A为焦点,实半轴长为的双曲线的右支.故选B.20. 在△ABC中,若则该三角形是( ).A 锐角三角形;B 钝角三角形;C 无法确定;D 前3个答案都不对由题设,可得B是锐角,所以再由正弦定理,可得B>A,进而可得A是锐角,所以所以cosC=-cos(A+B)=sin AsinB-cos Acos B=得C是锐角,因而△ABC是锐角三角形.故选A.(本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”(课题编号FT2017GD003,课题负责人:甘志国)阶段性研究成果.)。
清华大学自主招生试题数学
2021年自主招生华约数学试题一、选择题(1) 设复数z满足|z|<1且15||2zz+=那么|z| = ( )4321 A B C D 5432解：由15||2zz+=得25||1||2z z+=，已经转化为一个实数的方程。
解得|z| =2〔舍去〕，12 。
(2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角。
那么异面直线DM与AN所成角的余弦为( )1111A B C D36812[分析]此题有许多条件，可以用“求解法〞，即假设题中的一局部要素为，利用这些条件来确定其余的要素。
此题中可假设底面边长为〔不妨设为2〕，利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。
然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，。
如图建立坐标系，那么A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，)，那么1111(,,),(,,222222M N-，31213(,,),(,,222222DM AN=-=-。
设所成的角为θ，那么1 cos6DM ANDM ANθ==。
解法二：如图，设底面边长为2，。
平移DM 与AN 在一起。
即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。
于是QN = DM = AN 。
而PA = PB = AB = 2，所以QN = AN= AQ= ，容易算出等腰ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=。
解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。
即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。
以下略。
(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，那么直线l 的斜率为 ( )A 2B1C 1D 2 - -此题有误，原题丢了，待重新找找。
(4)假设222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 () 3131A1,B ,C1D ,122222222--+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
2018年清华大学自主招生试题数学Word版含解析
一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为33(D)△ABC 的外接圆半径为337.设函数2()(3)xf x x e =-，则（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)23(C)2 (D)313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ） (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2α2α),12b =(2β2β)，记θ=α−β，则（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则）(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为1328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()33sin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]66i ππ-+-1sin )662i i ππ+=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥22,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离1，正确。
清华大学自主招生暨领军计划试题
A. P (A) = 0.4
B. P (B − A) = 0.3
C. P (AB) = 0.2
解析 ABC．
根据题意，有如下联表：
) D. P (A + B) = 0.9
AA B 0.2 0.3
B 0.2 0.3
16. 过 △ABC 的重心作直线将 △ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的 (
6 ，于是原式最小值为 3 ．
事实上，显然 x, y, z ∈ [0, 1] ，于是
5x + 4y + 3z ⩾ 4x2 + 4y2 + 3z = −z2 + z + 3 = z(1 − z) + 3 ⩾ 3,
等号当 x = y = 0 且 z = 1 时取得．
10. 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn．若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得 Sn = am，则 ( ) A. {an} 可能为等差数列 B. {an} 可能为等比数列 C. {an} 的任意一项均可写成 {an} 的两项之差 D. 对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 an = Sm 解析 AC． 对于选项 A，取 an = n, n = 1, 2, · · · 即可； 对于选项 B，若 {an} 为等比数列，设其公比为 q ，显然 q ̸= ±1 ．根据题意，对任何正整数 n ，均有
y
y = kx + m
O
x
y = f (x)
A. 2 个极大值点 解析 BC．
B. 3 个极大值点
C. 2 个极小值点
D. 3 个极小值点
相当于以直线 y = kx + m 为 x 轴观察函数 y = f (x) 的图象的极值点．
9大高校自主招生考试真题汇总(2017年)
9大高校自主招生考试真题汇总(2017年)二、清华大学清华大学2017年自主招生测试主要分为笔试和面试，笔试依然采用机考的模式来进行据悉，2017年清华笔试在全国44个城市设有61考点，相比去年增加25个考点其中，每个城市还设有多个考点。
1、笔试题型理科：数学30题，物理20题，化学18题，一共68题，180分钟合在一起考的。
题。
2、笔试真题文科综合（文史）类笔试试题：考题有明清时的自然经济解、抗日战争、诗词等内容，不是考知识点记忆，主要考查阅读面、逻辑思维深度等，数学与逻辑难度较大。
今年的语文试题对语文基础知识与运用能力提出了更高要求，材料多出自社会热点或经典著作，注重对知识联系实际、学以致用能力的考查注重考查对经典或常识的精准理解，注重对独立思考与批判思维的考查化学试题成为新考查内容今年化学成为新考查内容。
刘震表示，新增化学试题注重对学科基础内容的考查综合多模块内容、加强化学学科的应用性、创新试题的设问模式，充分体现化学学科的学术价值，考查了考生的基础知识、综合能力、科学素养和创新精神，关注环境问题，讨论产生酸雨的原因及危害、食品中的增塑剂与人体健康等社会焦点问题。
物理试题注重基本概念的准确理解和灵活运用。
通过采用单选和多选题随机编排的方式，来考查学生构建正确、合理的物理模型，综合运用物理知识分析、解决实际问题的能力，同时増加了能力考查的区分度。
除了定量的分析和计算外，试题还设置了部分内容来考查学生运用物理学基本原理来定性和半定量分析题的能力3、面试模式复试中，领军人才选拔及自强计划考生需参加综合面试，自主招生考生及部分领军人オ选拔考生需参加学科专业面试。
清华大学2017年自主招生考核的特色有1．综合面试新增材料阋读环节综合面试在清华自主选中已开展多年，今年这一考察方式有了新变化新增了材料阅读环节。
考生在进入考场接受半结构化面试之前，在候场教室里将会得到一份阅读材料，经过半小时备考后进入考场、接受提问。
2019年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(解析版)
清华大学自主招生暨领军计划数学试题（解析版）1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x =，答案C ．2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）A ．Z c b a ∈==,2,1B ．B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+= C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B AD ．060,1,3===A b a【答案】AD ．3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离B ．||AB 的最小值为4C ．||AB 的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=a a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误．5．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有（ ）A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个B ．b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C ．21F PF ∆的周长小于a 4D ．21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD ．【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅．6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆D ．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ．8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π， 类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】B【解析】由于x z y x 311121≤++=，故63≤≤x ．若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ；若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ；若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ． 10．集合},,,{21n a a a A =，任取Aa a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B11．已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ）A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB ．3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC ． 3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβα D ． 3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zx zx yz y z xy x y ，所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy ．类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zx x z yz z y xy y x ，以上三式相加，即有3111-=++=++xyz zy x zx yz xy ．答案BD ．12．已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A ．)12,11(B ．)13,12(C ．)14,13(D ．)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图，于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ，左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得．因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈．答案B ．13．已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A ．xyz 的最大值为0B ．xyz 的最大值为274-C ．z 的最大值为32D ．z 的最小值为31-【答案】ABD14．数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ） A ．nn n a a a 221++-为定值 B ．)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC ．741-+n n a a 为完全平方数 D ．781-+n n a a 为完全平方数【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a nn n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=，选项A 正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误． 说明：若数列}{n a 满足nn n a pa a -=++12，则nn n a a a 221++-为定值．15．若复数z 满足11=+z z ，则z 可以取到的值有（ ）A ．21B ．21-C ．215-D ． 215+【答案】CD【解析】因为11||1||=+≤-z z z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得．答案CD ．16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A ．6552B ．4536C ．3528D ．2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k 2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++．答案C ．17．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点．若||MN 为定值，则=b a（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C【解析】设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++，故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b ab a ，答案：C ．说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则k b a 1=；（2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆．18． 关于y x ,的不定方程yx 21652=+的正整数解的组数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有nI 种，则（ ）A ．22=IB ．123=IC ．964=ID ．1205=I【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n n n n n C n n C n A C I ．答案：AB ．关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯． 21．在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y ．则=∞→y x lim ．【答案】23【解析】当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23．22．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 ．【答案】196【解析】如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V ．23．=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ ．【答案】0【解析】根据题意，有)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ．24．实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 ．【答案】1【解析】根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1．25．z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 ． 【答案】2322-【解析】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23．根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ，于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x ．于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-． 26．若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则=+μλ ． 【答案】23【解析】根据奔驰定理，有329492=+=+μλ．27．已知复数32sin 32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z ．【答案】12i - 【解析】根据题意，有i z z z z z z 35sin 35cos 122223+=-=+=+++ππ28．已知z 为非零复数，z z 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .【答案】2003003π+-【解析】设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图，弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ，四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ.29．若334tan =x ，则=+++x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin ．【解析】根据题意，有x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x ．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法．【答案】44100031．设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k ．不妨假设k a a a <<< 21．若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a ．同理759≥-a a ．又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k ．另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意．综上所述，A 中元素个数的最大值为8．。
清华大学自主招生面试题及答案
清华⼤学⾃主招⽣⾯试题及答案清华⼤学⾃主招⽣⾯试题及答案1.如何看待⾼考加分政策：答：我觉得⾼考加分是可⾏的，⾼考加分是⿎励考⽣向多⽅⾯发展的⼀种激励机制，⽐如说⼀些省级奖项、科技创新奖项以及为社会贡献的⼀些先进事迹等，尤其是贫困地区、少数民族的加分，还可以促进教育的公平和少数民族的发展。
但是这种激励机制反倒成为权势加分的武器的话，那这种机制需要相关部门有更规范更系统的加分准则，⽽且在⼀定时间内要具有相对稳定性，严格加分的审核制度。
这样才能使⾼考加分政策更有利于良性竞争！2、《阿凡达》很⽕，如何在这种情况下发展中国⽂化答：《阿凡达》很⽕跟雄厚的科技实⼒分不开。
欧美⼤⽚、⽇本动漫也很受欢迎的深层原因在于他们能够将科技、⽂化结合起来，成功地通过⼀部电影挖掘⽂化内涵，引起观众共鸣。
因此，在这种情况要发展中国⽂化，需要⼤⼒发展科技、培育⼈才，通过科技、⼈⽂和⽂化相结合，使丰厚的中华⽂化在世界⽂化林⾥⼤发异彩。
3、⽤⼀个成语形容你眼中的哥本哈⽓候会议答：在各国与⼈类利益中寻求平衡点，各谋其政。
海岛国家极⼒主张减排为的就是⾃⼰能够获得可能的地球变暖灾难来临时，⾃⼰国家能够有⽣存下去的权利。
发达国家（尤其是以欧洲国家）希望通过不公平的强制减排是希望通过⾃⼰的技术优势占据未来经济发展的制⾼点，并挤压其他国家的发展空间，最终主导未来世界的发展。
以中国、印度、南⾮、巴西为⾸的77个发展中国家极⼒反对发达国家的⽅案，并主张新帐旧账⼀起算，是为了维护⾃⼰的发展权利不被发达国家剥夺。
从结果⾓度概括：悬⽽未决。
是从形势上来说，迫在眉睫。
4、⽤关键词概括2009年中国现状答：危机，机遇，改⾰，⾃信，重⼤，盛⼤，成功，团结，克服，稳定，发展。
5、中国是否已步⼊⾼房价时代，你的观点是？答：中国尚未步⼊⾼房价时代。
中国⽬前正处快速城镇化阶段，住房的供需关系达到新的平衡点。
同时，我国经济持续稳定增长，⼈均GDP已超过3000美元。
因此，就全国范围内来看，我国尚未步⼊⾼房价时代。
清华大学2019年自主招生数学试题(含详细解析)
1清华大学自主招生数学试题2019.061.一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径.2.求值：1221(1sin )x x dx --⎰.3.已知P 为单位圆上一动点，(0,2)A ，(0,1)B -，求2||||AP BP ⨯的最大值.4.AB 为圆O 的直径，CO AB ⊥，M 为AC 中点，CH MB ⊥，则下列选项正确的是（）A.2AM OH =B.2AH OH =C.△BOH ∽△BMAD.忘记5.{1,2,3,,15}A =⋅⋅⋅，{1,2,3,4,5}B =，f 是A 到B 的映射，若满足()()f x f y =，则称有序对(,)x y 为“好对”，求“好对”的个数最小值.6.若对c ∀∈R ，,a b ∃，使得()()()f a f b f c a b -=-成立，则称函数()f x 满足性质T ，下列函数不满足性质T 的是（）A.32()33f x x x x =-+ B.21()1f x x =+ C.1()x f x e += D.()sin(21)f x x =+7.已知||||1a b == ，12a b ⋅= ，()()0c a c b --= ，若||1d c -= ，求||d 的最大值.8.椭圆22162x y +=，过(2,0)F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点C 在直线3x =上，若△ABC 为正三角形，求△ABC 的面积.9.圆224x y +=上一点00(,)x y 处的切线交抛物线28y x =于A 、B 两点，且满足90AOB ∠=︒，其中O 为坐标原点，求0x .10.设a 为44444444各位数字和，b 是a 的各位数字之和，c 为b 的各位数字之和，求c 的值.11.实数x 、y 满足22(2)1x y +-≤的最大值和最小值.初高中数学学习资料的店。