2016年清华大学领军计划招生数学试题(问卷)
清华北大真题集
2015年清华大学领军计划测试（物理）注意事项：1.2016清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积120分钟：2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题。
1、在α粒子散射实验中，以下1到5五个区域哪个可能是中心原子存在的区域？2、质量为m，电阻为R的圆环在如图的磁场中下落，稳定时速度为v。
求匀速下落时电动势，有以下两种计算方案。
方法一：由受力平衡RvLBmg22=BLv=ε有结论mgRv=ε方法二：由功能关系mgvPR=RPR2ε=有结论mgvR=ε问：关于以上哪种方法说法正确的是（）A.都正确B.都不正确C.只有方案一正确D.只有方案二正确3、理想气体做kVp=的准静态过程，已知定容比热V C和R，求该过程的比热C4、如图所示，光滑且不计电阻的导轨上有一金属棒，金属棒电阻为R，初速度为smv/1=，空间中有恒定的垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度为B，当金属棒减速到10v时，用时s1，速度识别器最低记录是sm/001.0，求总共记录的该导体棒运动时间为多少？5、高为H出平抛一物体，同时在其正下方水平地面斜抛一物体，二者同时落到同地，则斜抛物体的射高为。
6、有一厚度为D的透明玻璃砖，一束白光以入射角60°角射入。
（1）求最早射出色光的折射率（玻璃折射率最小值为n）m in（2）若白色只有红黄绿三种颜色（并给出折射率）问那种色光最先射出？7、小磁铁在铝制空心杆中运动（无裂缝、有裂缝、有交错的矩形裂孔），则先落地的一个是哪一个？.8、均匀带电半圆环，一半带正电，一半带负电，电荷密度为λ，求P 点的场强和电势。
9、一个人在岸上以速度v 水平拉船，岸高度为h ，绳子与河夹角为θ。
此时船的速度和加速度为？2015年清华大学暑期夏令营测试（物理）本试卷共100分，考试用时90分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2016年清华大学领军计划试题及解析
2. 如图 1 所示，在光滑地面上，物块与弹簧相连做简谐运动，小车向右做匀速直线运 动，则对于弹簧和物块组成的系统，当以地面为参考系时，动量 不守恒 ，机械能 守恒 ；当以小车为参考系时，动量 不守恒 ，机械能 不守恒 .(填“守恒”或者 “不守恒”)
解：墙壁对弹簧有作用力，故动量不守恒。以地面为参考系，该力的作用点没有 位移，不做功，故机械能守恒。以小车为参考系时，该力的作用点有位移，所做 的功不为零，故机械能不守恒
4. 如图 3 所示，空间存在水平向右的匀强电场 E ，现有一质量为 m、带电量为 q 的小 √ 3mg ，求小球落地点距离抛出点的 球以初速度 v0 从地面斜向上抛出，已知 E = q 最远距离。
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解：小球的运动可以分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的匀变速直线 运动。设发射角为 θ，则落地时小球的运动时间为 t= 此过程中小球在水平方向的位移为 √ 2 2 2 sin θ cos θ 2 3v0 sin θ 1 qE 2 2v0 x = v0 cos θ · t + t = + 2m 3g ] g √ 2[ ( ) 3v0 π = 2 sin 2θ − +1 3g 6 π 当 θ = 时，x 取最大值 3 √ 2 3v0 g 2v0 sin θ g
5. 现有一轻质绳拉动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图 4 所示。小球质量为 m， 速率为 v ，重力加速度为 g ，轻绳与竖直方向夹角为 θ。求在小球运动半周的过程中 拉力的冲量。
解：小球的受力如图 5 所示。根据牛顿第二定律，有 mg tan θ = ma = m 2π v T
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解：当系统稳定时，设左杆的速度为 v1 ，右杆的速度为 v2 ，在此过程中金属杆 ¯。根据动量定理，有 的平均电流为 I ¯ ∆t = mv1 − mv0 −2B Il ¯ ∆t = mv2 B Il 联立式 (1) 和式 (2)，得 v1 + 2v2 = 0 系统稳定时，回路中无电流，则有 2Blv1 − Blv2 = 0 即 2v1 = v2 联立式 (3) 和 (5)，得 1 2 v1 = v0 , v2 = v0 5 5 产生的热量为 1 2 − Q = mv0 2 ( 1 2 1 2 mv + mv 2 1 2 2 ) 2 2 = mv0 5 (5) (4) (3) (1) (2)
2016年清华大学领军计划机考试试题分析
2016年清华大学领军计划机考试试题分析2016年清华大学领军计划/自主招生笔试举行，今年仍然采用了去年的机考模式，在开考前开通了机考模拟系统，让学生提前熟悉考试形式及操作方法。
2016年通过清华大学自主招生、领军计划及自强计划初审的6000余名考生在全国36个考点参加初试。
物理探究科目中涉及了人类首次探测到引力波。
清华招办主任刘震表示，该题通过介绍相关实验背景和结果，考查学生提取信息、加工信息并利用关键信息进行推理判断的能力。
在考试中其中数学40道题目、语文30道题目、物理35道题目。
阅读与表达:《红楼梦》二次入选、文言文考《左传》阅读与表达主要从语文基础知识、阅读角度进行考试，阅读与表达考查了《红楼梦》文本解读以及宋词的格律炼字等。
这也是清华连续第二年将《红楼梦》中的内容放入考题当中。
在选择题目中试题涉及到：字音、字形、词语、句子衔接、错别字、文言文等内容外，还考查了汉字书写的笔顺问题、书体知识、传统文化知识等。
文言文则是考查的《左传》的内容。
语文还有一道创新题，大意是让考生翻译民族语言。
物理探究考察内容：引力波、小船说翻就翻、台球等物理知识实际应用2016年清华大学自主招生的物理与探究对物理学科的基础知识和物理学科的应用进行了科学的地考察，既涉及到物理学科的核心知识，也考察到了物理前沿科学的知识，注重物理学科的社会实际应用：例如大家最熟悉的引力波材料分析、相对论、友谊的小船等，物理学科35道题目中其中有1/3的题目大部分学生是可以做的，剩下的部分相对灵活，涉及面广，试题与大学物理的衔接和部分竞赛内容相似，但是与竞赛不同的是自主招生试题考查学生的知识的应用性和灵活处理，部分题目可以根据知识和推理等得出答案。
例如高空粒子衰变周期考察，像友谊的小船这个题目考察了浮力问题不需要太深的物理知识就可以选择，还有物理学科基础常识向光学仪器分辨率问题、还有科学普及科学史类关于世界诺贝尔奖关于物理学科的内容及人物。
2016年清华大学自主招生领军计划考试分析
2016年清华大学自主招生/领军计划考试分析2016年清华大学领军计划/自主招生笔试仍然采用了去年的机考模式，在开考前开通了机考模拟系统，让学生提前熟悉考试形式及操作方法。
2016年通过清华大学自主招生、领军计划及自强计划初审的6000余名考生在全国36个考点参加初试。
物理探究科目中涉及了人类首次探测到引力波。
清华招办主任刘震表示，该题通过介绍相关实验背景和结果，考查学生提取信息、加工信息并利用关键信息进行推理判断的能力。
在考试中其中数学40道题目、语文30道题目、物理35道题目。
阅读与表达:《红楼梦》二次入选、文言文考《左传》阅读与表达主要从语文基础知识、阅读角度进行考试，阅读与表达考查了《红楼梦》文本解读以及宋词的格律炼字等。
这也是清华连续第二年将《红楼梦》中的内容放入考题当中。
在选择题目中试题涉及到：字音、字形、词语、句子衔接、错别字、文言文等内容外，还考查了汉字书写的笔顺问题、书体知识、传统文化知识等。
文言文则是考查的《左传》的内容。
语文还有一道创新题，大意是让考生翻译民族语言。
物理探究考察内容：引力波、小船说翻就翻、台球等物理知识实际应用2016年清华大学自主招生的物理与探究对物理学科的基础知识和物理学科的应用进行了科学的地考察，既涉及到物理学科的核心知识，也考察到了物理前沿科学的知识，注重物理学科的社会实际应用：例如大家最熟悉的引力波材料分析、相对论、友谊的小船等，物理学科35道题目中其中有1/3的题目大部分学生是可以做的，剩下的部分相对灵活，涉及面广，试题与大学物理的衔接和部分竞赛内容相似，但是与竞赛不同的是自主招生试题考查学生的知识的应用性和灵活处理，部分题目可以根据知识和推理等得出答案。
例如高空粒子衰变周期考察，像友谊的小船这个题目考察了浮力问题不需要太深的物理知识就可以选择，还有物理学科基础常识向光学仪器分辨率问题、还有科学普及科学史类关于世界诺贝尔奖关于物理学科的内容及人物。
1、2016年清华(自招领军自强)数学题招
f f
'
(0) 存在时，曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处存在切线
（B）当曲线 y f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处存在切线时，导数 （C）当导数
'
f
'
(0) 存在
(0) 存在时，函数 f ( x 2 ) 在 x=0 时的导数等于零
2
（D）当函数 f ( x ) 在 x=0 时的导数等于零时，导数 （5）设 z cos
且 AO AB AC , 则实数 和 [ ]
（A）
2 4 , 9 9
（B）
4 2 , 9 9
（C）
1 2 , 9 9
（D）
2 1 , 9 9
(28)三个互异的数 a,b,c 相乘时可以有不同的相乘方法，如 ab c, ba c, c ab , c ba 就是其中 4 种不同的相 乘 方 法 ， 设 n 个 互 异 数 的 不 同 相 乘 方 法 ， 设 n 个 互 异 数 的 不 同 相 乘 方 法 共 有 In 种 ， 则 [ ] （B） I 3 12 （C） I 4 96 （D） I 4 120
f
'
(0) 存在时
[ ]
2 2 z2 2 ，则 z 2 i sin 3 3 z z2
（B）
（A）
1 3 i 2 2
3 1 i 2 2
（C）
1 3 i 2 2
（D）
3 1 i 2 2
(6)甲乙丙丁四人进行网球比赛，首先是甲与乙比，丙与丁比，这两场比赛的胜者再争夺冠军，他们之间相 互获胜的概率如下： 甲 甲获胜概率 乙获胜概率 丙获胜概率 丁获胜概率 则甲获得冠军的概率为 (A)0.165 (B)0.245 0.7 0.7 0.2 0.4 0.7 0.5 [ (C)0.275 (D0.315 ] 乙 0.3 丙 0.3 0.6 丁 0.8 0.3 0.5
清华大学自主招生暨领军计划试题
A. P (A) = 0.4
B. P (B − A) = 0.3
C. P (AB) = 0.2
解析 ABC．
根据题意，有如下联表：
) D. P (A + B) = 0.9
AA B 0.2 0.3
B 0.2 0.3
16. 过 △ABC 的重心作直线将 △ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的 (
6 ，于是原式最小值为 3 ．
事实上，显然 x, y, z ∈ [0, 1] ，于是
5x + 4y + 3z ⩾ 4x2 + 4y2 + 3z = −z2 + z + 3 = z(1 − z) + 3 ⩾ 3,
等号当 x = y = 0 且 z = 1 时取得．
10. 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn．若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得 Sn = am，则 ( ) A. {an} 可能为等差数列 B. {an} 可能为等比数列 C. {an} 的任意一项均可写成 {an} 的两项之差 D. 对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 an = Sm 解析 AC． 对于选项 A，取 an = n, n = 1, 2, · · · 即可； 对于选项 B，若 {an} 为等比数列，设其公比为 q ，显然 q ̸= ±1 ．根据题意，对任何正整数 n ，均有
y
y = kx + m
O
x
y = f (x)
A. 2 个极大值点 解析 BC．
B. 3 个极大值点
C. 2 个极小值点
D. 3 个极小值点
相当于以直线 y = kx + m 为 x 轴观察函数 y = f (x) 的图象的极值点．
2016年清华大学领军计划数学试题(含部分解析)
2016年清华大学领军计划测试1．椭圆22221x y a b +=，两条直线1l ：12y x =，2l ：12y x =-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，分别与两条直线交于M ，N 两点，若||MN=（ ） .A .B .C 2 .D 【解析】C(田)坐标+向量，设(cos ,sin )P a b θθ，OP ON NP =+，MN ON NP =-,1l 方向向量11(1,)2e =，21(1,)2e =-，1ON ne =，2NP me =，12OP ne me ∴=+cos sin 22n m a n mb c θ-=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩ (,)(2sin ,cos )21222n m a aMN m n b b θθ-=+=⇒== （孙）设(cos ,sin )P a b θθ，则PM l ，PN l 已知，M ，N 点已知. 法3：设00(,)P x y ，可得0000111(,)242M x y x y ++，0000111(,)242N x y x y --+，||MN =为定值，所以2241614a b==2=. 注（1）若将这两条直线的方程改为y kx =±1k=； （2）两条相交直线上各取一点M ，N ，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或者椭圆. 2．已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112x y z ++=的解有（ ）组 .A 8 .B 10 .C 11 .D 12【解析】方法一、列举法.○111112666=++，○211131212++，○3 111488++，○41111055++，○51113918++ ○61113824++，○71113742++，○81114612++，○91114520++，○1011131015++方法二、x 最小，1x∴最大，36x ∴≤≤，x 以3,4,5,6分类讨论当3x =时，可得11111236y z +=-=，通分可得66y z yz +=，因式分解可得(6)(6)36y z --=，此时需要对36进行分解，则361362183124966=====，故可得37423824(,,)39183101531212x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，同理当4x =时，4520(,,)4612488x y z ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当5x =时，[](,,)5510x y z = 当6x =时，[](,,)666x y z =3．将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入44⨯的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有______种填法.【解析】我们将题目稍作变形，将本题变为①在44矩阵中染色，黑白二色，要求每行每列正好有两个黑色；②将数字填入这些色块第一步，我们在第一列涂上两个黑色，为方便起见，我们用#代表黑色，用O 代表白色第一列涂两个黑色如图所示##O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样有42⎛⎫ ⎪⎝⎭种涂法，接下来我们研究第二层，分三种情况涂色：第一种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有1种，并且下面两行只有########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这1种涂法、 第二种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有4种，下面的话有########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这2种，所以第二种共有42种涂法第三种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有1种，下面的涂法有224=种，所以第三种有14种涂法， 故共有78种涂法接下来填数，故共有887844⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭种填法.方法二、首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有24C 种选择，下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填一个偶数，设为a ，b 情形一：若a ，b 位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定.情形二：若a ，b 位于不同的两行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.所以偶数的不同位置数为24(362)90C ⋅+⋅=种，因此总的填法数位为448890441000C C ⋅⋅=.4．对于复数(0)z z ≠，10z 和40z 的实部和虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形面积为_______. 【解析】(田)z 与1z的角相等，设为θ，设||z r =，则cos sin 101010z r ri θθ=+⋅，404040cos sin i z r r θθ=+⋅，(cos ,sin )P r r θθ，令cos a r θ=，sin b r θ=，则有10a ≥，0b ≥○1，22140a a b ≥+，22140b a b ≥+222(20)20a b ⇒-+≤○2，222(20)20a b +-≤○3 即为阴影面积S ，1002(503150)3S π=+-(第一可以用积分的方法，第二可以用面积的方法)方法二：设z x yi =+，其中,x y R ∈.由于24040||z z z =，于是 22221,1101040401,1x y y x yx y ⎧≥≥⎪⎪⎨⎪≥≥++⎪⎩ 如图 弓形面积为2110020(sin )1002663πππ⋅⋅-=-，四边形ABCD 的面积为12(10310)1010031002⋅⋅-⋅=-，于是所求面积为 1002002(100)(1003100)100330033ππ-+-=+-5．下列计算正确的是（ ）.A tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=.B tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=-.C tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++= .D tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++=-【解析】BD3tan1tan13tan 61,tan12113tan113tan1+-==-+，故28tan1tan 61tan12113tan 1+=-，22tan 13tan 61tan12113tan 1-=-，由此可证6．从114的正整数中任选出若干数构成一个集合，该集合中任3个数不构成等差数列，求元素最多的集合的元素个数.【解析】(田)列举1,2,4,5,10,11,13,14（从1~14中删去公差为1时的等比数列，然后相继删去公差为2公差为3，为47．已知tan 43α=，求值sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos ααααααααααα+++. 【解析】（金刚）裂项求和，sin(84)sin(42)tan8cos8cos 4cos 4cos 2ααααααααα--++=8．一堆数乘在一起有很多种乘的顺序，如三个数,,a b c 可以有()ab c ，()ba c ，()c ab ，()c ba 四种不同的乘法，记n 个数的乘法为n I ，则（ ） 【解析】AB.A 22I = .B 312I = .C 496I = .D 5120I =根据卡特兰数的定义，可得11121221!(1)!nn n n n n n n I C A C n n C n-----=⋅=⋅⋅=-⋅ 9．,,a b c R ∈，22211a b c a b c ⎧++=⎨++=⎩，那么（ ）.A max 23a =.B max ()0abc = .C min 13a =- .D max 4()27abc =- 【解析】(田)数形结合2221a b c ++=，表示半径为1的球，1a b c ++=表示一个平面（孙）2222222211()(1)122a b c a b c a b c a b c ⎧⎪+=-⎪+=-⎨⎪+-⎪+≥⇒-≥⎩，所以c 范围出来.222222()()(1)(1)ab a b a b c c =+-+=---，所以ab 范围出来.（方法三）由1x y z ++=，2221x y z ++=，可知0xy yz zx ++=.设xyz c =，则x ，y ，z 是关于t的方程320t t c --=的三个实根.令32()f t t t c =--，利用导数可得(0)024()0327f c f c =-≥⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，所以4027c xyz -≤=≤，等号显然可以取到.故选项A ,B 都对，因为22222()(1)2()2(1)x y z x y z +=-≤+=-，所以113z -≤≤，等号显然取到.故选项C 错，选项D 对.10．AB 为圆O 的一条弦，P 为圆O 上一点，OC AB ⊥，PA OC M =，PB 交OC 延长线于N ，则以下结论正确的是（ ）.A OMBP 共圆 .B AMBN 共圆 .C AOPN 共圆 .D AOBN 共圆【解析】P选项A ：首先连接OP 、MB ，即让证明POM PBM ∠=∠，则延长BM 交O 于P '，延长NO 交O于点E ，则易知PBM POE ∠=∠，故四点共圆选项B ，由选项A 可看出，当P 在BPE 上从B 向E 运动时，MBA PAB ∠=∠在逐渐增大，而MBN ∠也在逐渐增大，故MBN ∠并不恒等于2π，故四点并不共圆. 选项C ，连接OA 、AN ，则我们要证AOPN 四点共圆，即要证OPB OAN ∠=∠，而,OAN OBN OPN OBP ∠=∠∠=∠，故四点共圆选项D ： OAB 三点不动，显然不共圆 11．F 为BC 中点，1114A E AA =，正方体1111ABCD ABCD -棱长为1，中心为O ，则O BEF V -=（ ）O PAMBNO PAMBNEP '.A 17144 .B 1738 .C 11144 .D 1138【解析】196. 如图111111221696O EBF G EBF E BCC B V V V ---=⋅=⋅=12．问一个正2016边形，任选顶点顺序相连构成的凸多边形中，正多边形有（ ）个 .A 6552 .B 4536 .C 3528 .D 2016【解析】选C .找2016的约数，若/2016n ，则有n 多边形2016n个，则分解522016237=⨯⨯，2016201620162016481632∴++++，即1111111132016(1)(1)(1)201624816323972=++++++++-⨯3528=13．求不定方程26152yx +=*(,)x y N ∈解的个数（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 326152yx +=⇒2y层数为6,4，故y为偶数，设2y n=，22615(2)(2)(2)6153541n nnx x x +=⇒-+=⇒⨯⨯，252123n nx x ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩或215241nn x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩或232205n nx x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得59x =，12y = 14．O 在ABC ∆内，::4:3:2S AOB S BOC S AOC ∆∆∆=，AO AB AC λμ=+，则λ=____，μ=_____. 【解析】奔驰定理得29，4915．22cos sin 33z i ππ=+，求2322z z z z +=++_______. 【解析】原式21z z +=-=1322i -，1322z i =-+ 16．在N 项有穷数列{}n a 中，满足①1i j N ≤<≤时，i j a a <；②1i j k N ≤<<≤时，i j a a +，i k a a +，j k a a +至少有一项在{}n a 中，则N 的最大值为______.【解析】假设该数列包含正数并且正数项大于3，则取12,,n n n a a a --三项，由②可知12n n n a a a --+=，而假设有第四个正数3n a -出现时，取13,,n n n a a a --，则同理可得31n n n a a a --+=矛盾，故正项至多有三项，同理负项至多有三项，而零当然可以加进来，故至多有七项17．22120()(1sin )n n x x dx ππ--+=⎰______.【解析】22122120()(1sin )(1sin )0n n n n x x dx x x dx ππππ----+=+=⎰⎰18．2|1|||z z +=，求||z 的范围和arg z 的范围. 【解析】几何意义，根据题意画出图形OZ z =,22,1OA z OB z ==+,则在OAB ∆中，2A πθ∠=-，2,OZ OB r OA r ===可得221,1r r r r ->+>r <<，再根据余弦定理求出θ的范围 19．在正三棱锥P ABC -中，ABC ∆的边长为1，设P 到平面ABC 的距离为h ，当h 趋近于正无穷时，异面直线AB 与CP 之间的距离为_____. . 当h →+∞时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC 中AB 20．,,x y z 均为非负实数，满足2221327()(1)()224x y z +++++=，则x y z ++的最大值为______，最小值为______. 【解析】32，32-.222274x y z ⇒++=，求3x y z ++-的最值. 方法二、由柯西不等式可知，当且仅当1(,,)(1,,0)2x y z =时，x y z ++取到最大值32.根据题意，有22213234x y z x y z +++++=，于是213()3()4x y z x y z ≤+++++，解得32x y z -++≥，于是x y z ++的最小值当3(,,))2x y z -=时取到，为32- 21．实数22322()4x y x y +=，则22x y +的最大值为______.【解析】.不等式22223222()44()2x y x y x y ++=≤⋅，221x y ∴+≤ 22．2()()xf x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______.【解析】2'(2)xf x a x e ++有最小值，0∴∆>，个数为223．11a =，22a =，216n n n a a a ++=-，下列叙述正确的是（ ）.A 212n n n a a a ++-为定值 .B 2(mod 9)n a lor ≡.C 147n n a a +-为完全平方数 .D 187n n a a +-为完全平方数【解析】验证，11a =，22a =，311a =，464a =，5a =因为22222231221122112211(6)6(6)n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++-=--=-+=-+ 21.2n n n a a a ++=-，所以A 正确，由于311a =，故2222121111(6)67n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++-=--=-+=-，对任意正整数恒成立，所以21147()n n n n a a a a ++-=-，21187()n n n n a a a a ++-=+，故C ，D 正确.24．已知抛物线E ：24y x =，(1,0)F ，过F 作弦交E 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）.A 以AB 为直径的圆与32x =-始终相离 .B ||AB 的最小值为4.C ||AM 的最小值为2 .D 以BM 为直径的圆与y 轴有且仅有一个交点【解析】ABCD25.对于函数21y x =-和ln y x =，下列说法正确的事 .A .二者在(1,0)处有公切线B .二者存在平行切线C .两者只有一个交点D .两者有两个交点 解析：BD26.p 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ,2F 为左右焦点，下列说法正确的是 .A .a =时，满足1290F PF ∠=的p 点有2个B .a >时，满足1290F PF ∠=的p 点有4个C .124PF F C a <D .1222PF F a S ≤ 【解析】焦点三角形，2tan p S C y S bc θ=⋅=≤，p 为椭圆上下顶点时，12PF F C 最大，22222b c a S bc +≤≤=，12224PF F C a c a =+<.27.随机变量ξ的分布列为()(1,2,,10)k P k a k ξ===，则下列说法正确的是 .A .若1210,,,a a a 成等差数列，则5615a a += B .若1210,,,a a a 满足1(1,2,,9)2n n a n ==，则10912a =C .若2()k P k k a ξ≤=，则11(1,2,,10)10(1)n na n n ==+D .若1(1)n n na n a +=+，则1110(1)n na n =+28.甲，乙，丙，丁四人参加比赛并有两个获奖，以下是四人对获奖人的猜测： 甲：获奖者在乙，丙，丁中 乙：我未获奖，丙获奖 丙：甲丁有一人获奖 丁：乙说的是正确的已知四人中有两个人的猜测是正确的那么获奖人是 . 解析，若乙对，则丁对，甲对，故乙错， 29.下列能够成唯一ABC ∆的是 .A .1a =，2b =，c Z ∈B .150A =，sin sin sin sin a A cC C b B +=C .cos sin cos cos()cos sin 0A B C B C B C ++=D .a =，1b =，60A =【解析】A .2c =，正确；B .正弦定理，余弦定理，135B =，错误；第 11 页 共 11 页 C .cos sin()0A B C -=，60C =，所以为直角或等边三角形，错误；D .显然成立，30B ∠=，正确.31.甲，乙，丙，丁四个人进行网球赛规定甲乙一组，丙丁一组先打，胜者再打决胜局，四人相互对战对战时胜率如图，求甲获胜的概率为 .【解析】0.165根据概率的乘法公式，所求概率为0.3(0.50.30.50.8)0.165⋅⋅+⋅=.32.已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=414141a b c ++++间（ ）..A (11,12) .B (12,13) .C (13,14) .D (14,15)33. sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++为ABC 为锐角形的（ ）..A 充要非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【解析】B .必要性：由于sin sin sin sin()sin cos 12B C B B B B π+>+-=+>，类似的有sin sin 1A C +>,sin sin 1A B +>，于是sin sin sin sin()sin()sin()A B C B C C A A B ++=+++++ (sin sin )cos cos cos cos cycB C A A B C =+>++∑.不充分性：当2A π=，4B C π==时，不等式成立，而ABC 并非锐角三角形.34.已知集合12{,,,}n A a a a =，任取1i j k n ≤<<≤，i j a a A +∈，j k a a A +∈，k i a a A +∈这三个式中至少有一个成立，则n 的最大值（ ）..A 6 .B 7 .C 8 .D 9【解析】B .不妨设12n a a a >>>.若集合A 中的正数的个数大于等于4，由于23a a +和24a a +均大于2a ，于是有23241a a a a a +=+=，所以34a a =，矛盾.所以集合A 中至多有3个正数，同理可知集合A 至多有3个负数.取{3,2,1,0,1,2,3}A =---，满足题意，所以n 的最大值为7.。
2016年清华大学领军计划招生数学试题
ຫໍສະໝຸດ 10. A E四等分点
F B1 .O D
C1
三等分点
C
A B 1 1 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD A1 B1C1 D1 中 ， A1 E AA1 , B1 F B1G ,O 为 中 心 , 求 体 积
4
3
V三棱锥O BEF
11.
P A
正三棱锥，高为 h，当 h→ 时，AC 与 PB 的距离， ΔABC 为边长的正三角形 B
1 i i k N ，ai a j , a j ak , ak ai 至少有一项在 { an } 中， 4.各项均不相同的数列 { an } 中， N 的最大值为
A.6 5.已知实数 x , y, z 满足 A. ( xyz ) max 0 B.7 C.8 D.9 （ C. zmin ） （ ）
C 12.有 4 个 1，4 个 2，4 个 3，4 个 4，填入 4 4 的方格中，保证每行每列均有两个偶数有几种填 法?
13.
sin sin sin sin ，求 24 cos4cos3 cos3cos2 cos2cos cos
14.三角形 AN
D.无法确定
1 1 x ， l2 ： y x 2 2
x2 y2 1 ，C 上任意一点 P，过 P 做 l1 的平行交 l 2 a 2 b2
于点 M，过 P 做 l 2 的平行线交 l1 于点 N， MN 为定值，则 A. a=2b B. a=3b C. A=5b D. A=4b
8.将 16 个数：4 个 1、4 个 2、4 个 3、4 个 4 填入一个 4 4 的矩阵中，要求每行、每列正好有 2 个偶数，则共有___________种填法。 9.已知 O 为 ABC 内一点，且满足 SAOB : SAOC : SBOC 4 : 3 : 2 ， AO AB AC ， 则 ___________， _________。
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1 2016年清华大学领军计划测试数学试题
1.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，两条直线1211:,:22l y x l y x ==-，过椭圆上一点P 作两条直线12,l l 的平行线，又分别交两条直线于,M N 两点，若||MN 为定值，则
a b = （ ）
C.2
D.4
2.已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112
x y z ++=的解的组数为 ( D ) A.8 B.10 C.11 D.12
3.将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入一个44⨯的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有___________种填法。
4.已知O 为ABC ∆内一点，且满足::4:3:2AOB AOC BOC
S S S ∆∆∆=，AO AB AC λμ=+ ， 则λ=___________，μ=_________。
5.“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”是“ABC ∆为锐角三角形”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.各项均不相同的数列{}n a 中，1i i k N ≤<<≤，,,i j j k k i a a a a a a +++至少有一项在{}n a 中，N 的最大值为 （ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
7.已知实数,,x y z 满足22211
x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则 （ ） A.max ()0xyz = B.min 4()27xyz =-
C.min 23z =-
D.以上都不对。