必修四③三角函数图像与性质

必修四③三角函数图像与性质三角函数图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1] R 对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)对称中心： (k π，0)(k ∈Z)对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0)(k ∈Z 无对称轴 对称中心： ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z) 周期2π2ππ单调性单调增区间⎣⎢⎡2kπ－π2，2kπ＋⎦⎥⎤π2(k∈Z)；单调减区间⎣⎢⎡2kπ＋π2，2kπ＋⎦⎥⎤3π2(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间⎝⎛kπ－π2，kπ＋⎭⎪⎫π2(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．题型分析1、与三角函数有关的函数的定义域※相关链接※（1）与三角函数有关的函数的定义域①与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围；②求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。

（2）用三角函数线解sinx>a(cosx>a)的方法①找出使sinx=a(cosx=a)的两个x值的终边所丰位置；②根据变化趋势，确定不等式的解集。

（3）用三角函数的图象解sinx>a(cosx>a，tanx>a)的方法①作直线y=a，在三角函数的图象了找出一个周期内（不一定是[0，2π]）在直线y=a上方的图象；②确定sinx=a(cosx=a，tanx=a)的x值，写出解集。

注：关于正切函数的不等式tanx>a（tanx<a）,常用图象求解。

※例题解析※〖例〗求下列函数的定义域： （1）求y=lg(sinx-cosx)的定义域； （2）求函数lg(2sin 1)12cos y x x=-+-的定义域。

思路分析：（1）第（1）小题实际就是求使sinx>cosx 的x 的集合，可用图象或三角函数线解决；（2）第（2）小题实际就是求使2sin 1012cos 0x x ->⎧⎨-≥⎩成立的x 的值，可用图象或三角函数线解决。

解答：（1）要使函数有意义，必须使sinx-cosx>0方法一：利用图象。

在同一坐标系中画出[0，2π]上y=sinx 和y=cosx 的图象，如图所示：在[0，2π]内，满足sinx=cosx 的x 为4π，54π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为5{|22,}44x k x k k Z ππππ+<<+∈ 方法二、利用三角函数线，如图，，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sinx>cosx,即MN>OM ，则5()44x πππ<<在[0,2]内。

∴定义域为5{|22,}44x k x k k Z ππππ+<<+∈方法三：24π)>0,将x-4π视为一个整体，由正弦函数y=sinx 的图象和性质可知2k π< x-4π<π+2k π,解得2k π+4π<x<54π+2k π,k ∈Z.∴定义域为5{|22,}44x k x k k Z ππππ+<<+∈（2）要使函数有意义，必须有2sin 1012cos 0x x ->⎧⎨-≥⎩，即1sin x 21cos 2x ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得5226652233k x k k Z k x k ππππππππ⎧+<<+⎪⎪∈⎨⎪+≤≤+⎪⎩，∴522()36k x k k Z ππππ+≤<+∈故所求函数的定义域为52,2()36k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭2、三角函数单调区间的求法※相关链接※（1）准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础；（2）形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx+φ看作一个整体，由22()22k x k k Z πππωφπ-+≤+≤+∈求得函数的增区间，由322()22k x k k Z πππωφπ+≤+≤+∈求得函数的减区间。

（3）形如y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y=-Asin(ωx-φ)，由22()22k x k k Z πππωφπ-+≤-≤+∈得到函数的减区间，由322()22k x k k Z πππωφπ+≤-≤+∈得到函数的增区间。

注：对于函数y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)产单调区间的求法与y=Asin(ωx+φ)的单调区间的求法相同。

※例题解析※〖例〗（1）求函数sin(2),3y x π=-[,]x ππ∈-的单调递减区间；（2）求3tan()64xy π=-的周期及单调区间。

思路解析：题目所给解析式中x 的系数都为负，把x 的系数变为正数，解相应不等式求单调区间。

解答：（1）由sin(2),3y x π=-得sin(2)3y x π=--，由222232k x k πππππ-+≤-≤+得5,,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈又x ∈[-π,π],∴-π≤x ≤712π-,51212x ππ-≤≤,1112x ππ-≤≤.∴函数sin(2),3y x π=- x ∈[-π,π]的单调递减区间为[-π，712π-]，[12π-，512π]，[1112π，π]。

（2）函数3tan()64xy π=-的周期T=414ππ=-。

由3tan()64xy π=-得3tan(),46x y π=--由2462x k k πππππ-+<-<+得4844,33k x k k Z ππππ-+<<+∈，∴函数3tan()64xy π=-的单调递减区间为484,433k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭。

3、三角函数的值域与最值〖例1〗已知函数()2sin(2)3f x a x b π=-+的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的最大值为1，最小值为-5，求a 和b 的值。

思路解析：求出23x π-的范围→a>0时，利用最值求a 、b → a<0,利用最值求a 、b解答：∵0≤x ≤2π,∴22333x πππ-≤-≤,∴3sin(2)123x π-≤-≤,若a>0，则2135a b a b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得123233a b ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩a<0,则2531a b a b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1263193a b ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩。

综上可知，1263a =-，23123b =-+或1263a =-+，193b =-注：解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值，再由方程的思想解决问题。

〖例2〗求函数3cos 2cos xy x-=-的值域 思路解析：（1）因x ∈R 时，cos ∈[-1,1],可利用分离参数法求解；（2）利用cosx 的有界性，把cosx 用y 表示出来解。

解答：方法一：函数的定义域为R ，y=1+12cos x-,∵-1≤cosx ≤1,∴当cosx=-1时，2-cosx 有最大值3，此时min14133y=+=;当cosx=1时，2-cosx 有最小值1，此时max2y=,∴函数的值域为[43，2]。

方法二：由3cos 2cos xy x-=-解出cosx 得23cos 1y x y -=-。

∵-1≤cosx ≤1,∴23111y y --≤≤-,即23||11y y -≤-，也即|23||1|(1),y y y -≤-≠两边同时平方得22(23)(1)(1)y y y -≤-≠，即231080(1),y y y -+≤≠∴（y-2）(3y-4)≤0,∴423y ≤≤,∴函数的值域为[43，2] 注：求三角函数的值域主要有三条途径： （1）将sinx 或cosx 用所求变量y 来表示，如sinx=f(y),再由|sinx|≤1得到一个关于y 的不等式|f(y)|≤1，从而求得y 的取值范围；（2）将y 用sinx 或cosx 来表示，或配方或换元或利用函数的单调性或基本不等式来确定y 的取值范围；（3）利用数形结合或不等式法求解。

在解答过程中，注意化归思想的应用以及应用过程中的等价转化。