初二数学 平行四边形 综合提优测试及答案
《中心对称图形—平行四边形》综合提优测试(时间:100分钟 满分:100分)一、选择题(每题2分，共20分)1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，在ABC ∆中，65CAB ∠=︒，将ABC ∆在平面内绕点A 旋转到AB C ''∆的位置，使//CC AB '，则旋转角的度数为( ).A. 35°B. 40°C. 50°D. 65°3.如图，在平行四边形ABCD 中，4,6,AB BC AC ==的垂直平分线交AD 于点E ，则CDE ∆的周长是( ).A. 7B. 10C. 11D. 124.如图，将一个长为10 cm ，宽为8 cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开得到的菱形的面积为( ).A. 10 cm 2B. 20 cm 2C. 40 cm 2D. 80 cm 25.矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm 和5 cm 两部分，则矩形的周长为( ). A. 16 cm B. 22 cm C. 26 cm D. 22 cm 和26 cm6.矩形具有而菱形不具有的性质是( ).A.两组对边分别平行B.时角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等7.如图，正方形ABCD 的边长为2 . ABE ∆是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为( ). A. 2 B. 22 C.2 D. 68.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上的点F 处，且//DE BC ，下列结论中，一定正确的个数是( ).①BDF ∆是等腰三角形;②12DE BC =; ③四边形ADFE 是菱形;④2BDF FEC A ∠+∠=∠.A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，将ABC ∆沿着它的中位线DE 折叠后，点A 落到点A '，若120C ∠=︒，26A ∠=︒，则A DB '∠的度数是( ).A. 120°B. 112°C. 110°D. 108°10.将正三角形每条边四等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为( ).A. 15B. 18C. 21D. 24 二、填空题(每题3分，共18分)11.如图，在ABC ∆中，M N 、分别是AB AC 、的中点，且120A B ∠+∠=︒，则ANM ∠= .12.如图，在ABC ∆中，BE 平分,6,2ABC BC DE ∠==，则ABCD 的周长等于 .13.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点,30O ACB ∠=︒，则AOB ∠的大小为 .14.在凸四边形ABCD 中，,70AB BC BD ABC ==∠=︒，则ADC ∠等于_______° 15.已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则这个菱形的面积为 cm 2. 16.已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE AD =,过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么FAD ∠ = .17.如图，在平行四边形ABDC 中，EDC ∆是由ABC ∆绕顶点C 旋转40°所得，顶点A 恰好转到AB 上一点E 的位置，则1∠= 度.18.如图，E F G H 、、、分别是正方形ABCD 各边的中点，I J K L 、、、分别是四边形EFGH 各边的中点，M N 、分别是IJ IL 、的中点.若图中阴影部分的面积是10，则AB的长是 .19．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长为 cm ．20.小明尝试着将矩形纸片ABCD (如图(1) , AD CD >)沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在边AD 上的点F 处，折痕为AE (如图(2));再沿过点D 的直线折叠，使得点C 落在边DA 上的点N 处，点E 落在边AE 上的点M 处，折痕为DG (如图(3)).如果第二次折叠后，点M 正好在NDG ∠的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为 .三、解答题(共60分)21. ABC ∆在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示.(1)作ABC ∆关于点C 成中心对称的111A B C ∆ .(2)将111A B C ∆向右平移4个单位，作出平移后的222A B C ∆.(3)在x 轴上求作一点P ，使12PA PC +的值最小，并写出点P 的坐标.(不写解答过程，直接写出结果)22.如图，ABC ∆中，,AB AC AD =是ABC ∆的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ,使OE OD =，连接AE BE 、. (1)求证:四边形AEBD 是矩形;(2)当ABC ∆满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由.23. (1)如图(1)，在正方形ABCD 中，点E F 、分别在边BC CD 、上，AE BF 、交于点O ,90AOF ∠=︒.求证: BE CF =;(2)如图(2)，在正方形ABCD 中，点E H F G 、、、分别在边AB BC CD DA 、、、上，EF GH 、交于点O ,90,4FOH EF ∠=︒=.求GH 的长.24.如图，在凸四边形ABCD 中，M 为边AB 的中点，且MC MD =，分别过C D 、两点，作边BC AD 、的垂线，设两条垂线的交点为P .过点P 作PQ AB ⊥于点Q . 求证: PAD PBC ∠=∠.25. 如图，在Rt ABC ∆中，90,60,2ACB B BC ∠=︒∠=︒=.点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交边AB 于点D .过点C 作//CE AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.(1)①当α=度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 . ②当a=度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ; (2)当90α=︒时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由.26．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处． （1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF 的面积．27．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．参考答案1.A2.C3.B4.A5.D6.B7.A8.C9.B 10.C 11.60° 12. 20 13.60° 14.145° 15. 24 16.22.5° 17. 70 18. 8 19.13 20. 2 21.(1)、(2)如图；(3)8(,0)3;22.(1)点O 为AB 的中点，OE OD =,∴四边形AEBD 是平行四边形.,AB AC AD =是ABC ∆的角平分线，.AD BC ∴⊥∴四边形AEBD 是矩形.(2)当ABC ∆是等腰直角三角形，矩形AEBD 是正方形.理由如下：ABC ∆是等腰直角三角形，45.BAD CAD DBA ∴∠=∠=∠=︒.BD AD ∴=由(1)知四边形AEBD 是矩形，∴四边形AEBD 是正方形. 23.(1)四边形ABCD 为正方形，,90.AB BC ABC BCD ∴=∠=∠=︒90.EAB AEB ∴∠+∠=︒ 90,EOB AOF ∠=∠=︒90..FBC AEB EAB FBC ABE ∴∠+∠=︒∴∠=∠∴∆≌.BCF ∆.BE CF ∴=(2)过点A 作//AM GH 交BC 于点M ，过点B 作//BN EF 交CD 于点N ，AM 与BN 交于点O '.则四边形AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边行.,.EF BN GH AM ∴==90,//,//,FOH AM GH EF BN ∠=︒90NO A '∴∠=︒.故由(1)得，ABM ∆≌BCN ∆.. 4.AM BN GH EF ∴=∴==24. 如图，取AP 、BP 的中点分别是F 、E ；连接DF 、MF 、EC 、ME ；易证：11,,22MF BP CE ME AP DF ==== ,MC MD =MDF ∴∆≌CME ∆..DFM MEC ∴∠=∠四边形MFPE 是平行四边形，..MFP MEP DFP CEP ∴∠=∠∴∠=∠2,2,DFP PAD CEP PBC ∠=∠∠=∠.PAD PBC ∴∠=∠25.(1)①30,1 ②60,1.5(2)当90α∠=︒时，四边形EDBC 是菱形.90ACB α∠=∠=︒, //.BC ED ∴//,CE AB∴四边形EDBC 是平行四边形.在Rt ABC ∆中， 90,60,ACB B ∠=︒∠=︒2BC =,30.A ∴∠=︒4,2 3.AB AC ∴==13.2AO AC ∴== 在Rt AOD ∆中，30,A ∠=︒ 2. 2..AD BD BD BC ∴=∴=∴= 又四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形.26. （1）证明：∵折叠，∴AM=AB ，CN=CD ，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°， ∴∠ANF=90°，∠CME=90°， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB=CD ，AD ∥BC ，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．27. （1）是平行四边形，证明：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)测试卷(含答案)
第18单元《平行四边形》测试卷一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．平行四边形一边的长是12cm ，则这个平行四边形的两条对角线长可以是( )A ．4cm 或6cmB ．6cm 或10cmC ．12cm 或12cmD ．12cm 或14cm2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝6，BE ＝2，则平行四边形ABCD 的周长是( )A ．60B ．30C ．20D ．163．下列说法正确的是( )A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4．如图所示，在菱形ABCD 中，5AC =，120BCD ∠=︒，则菱形ABC 的周长是( )．A ．20B ．15C ．10D ．55．如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C D 、，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知，四边形ADBC 一定是( )．A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形6．如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．6B ．8C ．3D ．47．如图，以AB 为斜边的Rt ABC 和Rt ABD △位于直线AB 的同侧，连接CD ．若135,6BAC ABD AB ∠+∠=︒=，则CD 的长为( )A ．3B ．4C ．D ．8．已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠= ，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是( )A ．90D ∠= ；B ．AB CD =；C ．AD BC =；D ．BC CD =．9．如图， ABE 、 BCF 、 CDG 、 DAH 是四个全等的直角三角形，其中，AE ＝5，AB ＝13，则EG 的长是( )A ．B ．C ．7D ．10．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE CD ⊥，GF BC ⊥，1500m AD =，小敏行走的路线为B AG E →→→，小聪行走的路线为B A D E F →→→→．若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为( )A ．3100mB ．4600mC ．5500mD ．6100m11．如图，直线L 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的边长分别为1和3，则b 的面积为( )A ．8B ．9C ．10D ．1112．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，15CAE ∠=︒．连接OE ，则下面的结论：①DOC 是等边三角形；②BOE △是等腰三角形；③2BC AB =；④150∠=︒AOE ；⑤AOE COE S S = ，其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个13．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点(不与A ，B 重合)，作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是( )A ．6B ．C ．4+D ．4+14．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是( )A ．①③④B ．②③⑤C ．①③④⑤D ．②③④⑤二、填空题(本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上)15．如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CF BE ⊥，连接AE ，G 是AB 的中点，连接GF ，若4AE =，则GF =_____．16．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若118ABC ∠=︒，则BAC ∠=_______．17．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线BD 的长为16，点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，连接EF 并延长与BC 的延长线相交于点G ，则EG 的长为________．18．勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，AB 为Rt ABC △的斜边，四边形ABGM ，APQC ，BCDE 均为正方形，四边形RFHN 是长方形，若3BC =，4AC =，则长方形RFHN 内空白部分的面积之和是________．三、解答题(本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分)19．如图，在ABC 中， 2AB AC ==，延长BC 至点D ，使CD BC =，连接AD ，E F 、分别为AC AD 、中点，连接EF ，若120ACD ∠=︒，求线段EF 的长度．20．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上－点，DF ＝DC ，DF ⊥AE 于P ．若AB ＝3，AF ＝4，求EC 的长．21．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠．(1)求APB ∠的度数；(2)如果5cm,AD AP ==，求PB 的长．22．如图，四边形ABCD 是矩形，过点B 作BF AC ⊥于点F ，连接EF ，DE AF =，90DEC ∠=︒．(1)求证：//AC DE ；(2)试判断四边形BCEF 的形状，并说明理由．23．在四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，且AC 垂直平分,BD BD 平分ADC ∠．(1)如图1，求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如图2，过点B 作//BE AC ，交DC 延长线于点E ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CBE ∆面积相等的三角形(CBE ∆除外)24．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90A D ∠=∠=︒，点E 是AD 的中点，连接BE ，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE ，且点G 在四边形ABCD 内部，延长BG 交DC 于点F ，连接EF ．(1)求证：EGF EDF △△≌；(2)求证：BG CD =；(3)若点F 是CD 的中点，8BC =，求CD 的长．25．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．(1)求证：四边形EGFH 是平行四边形；(2)当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；(3)若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠= ︒．26．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''(点A '，B '，C '，D ¢分别是点A ，B ，C ，D 的对应点)．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：(1)“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；(2)“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．深入探究：(3)“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''DD OC 的值．答案一、选择题1．D．2．C．3．D．4．A．5．B．6．A．7．Ｃ．8．D．9．A．10．B．11．C.12．B．13．D14．D.二、填空题15．2【详解】16．31°．17．1218．60三、解答题19．∵∠ACD＝120°，∴∠ACB＝60°，∵AB＝AC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝2，∴CD＝BC＝2，∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF＝12CD＝1．20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD//BC，∴∠AEB＝∠DAF，∵DF＝DC，∴AB＝DF，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，在△ABE和△DFA中，∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD，AB＝DF∴△ABE≌△DFA(AAS)，∴BE＝AF＝4，∵AE＝AD，∴AE＝BC．∵∠B＝90°，∴AE5==，∴BC＝5，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝121．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA＝12(∠DAB+∠CBA)＝90°，∴∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=90°；(2)∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5cm，同理：PC=CB=5cm，∴AB=DC=DP+PC=10cm，在Rt△APB中，AB=10cm，AP=，∴BP=cm．22．(1)证明：在矩形ABCD 中，DC AB =，又BF AC ⊥，∴90AFB DEC ∠=∠=︒，∵DE AF =，∴()Rt DEC Rt AFB HL ∆≅∆，∴EDC FAB ∠=∠，又//AB CD ，∴FAB ACD ∠=∠，∴EDC ACD ∠=∠，∴//DE AC ；(2)答：四边形BCEF 为平行四边形，证明：因为()Rt DEC Rt AFB HL ∆≅∆，知CE BF =，又,CE DE BF AC ⊥⊥，且//DE AC ，∴//CE BF ，∴四边形BCEF 为平行四边形．23．(1)证明：∵AC 垂直平分BD ，∴AB=AD ，BC=CD ，∵BD 平分∠ADC ，∴∠ADO=∠CDO ，又OD=OD ，∠AOD=∠COD=90︒，∴△AOD ≌△COD(ASA)，∴AD=CD，∴AB=AD=CD=BC，∴四边形ABCD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∵BE∥AC，∴四边形ACEB是平行四边形，∴DC=AB=CE，∴图中所有与△CBE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．24．解：(1)∵E是AD中点，∴AE=DE，由折叠可知：AE=EG，∠EGB=∠EGF=∠D=∠A=90°，∴EG=ED，又EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EOF(HL)；(2)△ABE折叠得到△GBE，∴AB=BG，∵AD∥BC，∠A=∠D=90°，∴∠ABC=90°，∠C=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=DC，∴BG=CD；(3)∵点E是AD中点，AD=BC=8，∴AE=DE=4，∵点F是CD中点，∴设CD=x，则DF=12x，则BE2=BG2+EG2，即BE2=CD2+AE2，即BE2=x2+42，且EF 2=DE 2+DF 2，即EF 2=42+(12x)2，且BF 2=BC 2+CF 2，即BF 2=82+(12x)2，∵∠AEB=∠GEB ，∠DEF=∠GEF ，∴∠BEF=∠GEB+∠GEF=90°，∴BF 2=BE 2+EF 2，∴82+(12x)2= x 2+42+42+(12x)2，解得：x=CD=．25．证明：(1)E G 、分别是AD BD 、的中点，//EG AB ∴，且12GE AB =，同理可证：//HF AB ，且12HF AB =，//EG HF ∴，且EG HF =，∴四边形EGFH 是平行四边形；(2)GH EF ⊥，理由：G F 、分别是BD BC 、的中点，12GF CD ∴=，由(1)知12GE AB =，又AB CD = ，GE GF ∴=，又 四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，GH EF ∴⊥；(3)E G 、分别是AD BD 、的中点，F H 、分别是BC AC 、的中点，//EG AB ∴，//HF AB ，12GE AB =，//EG HF ∴，同理可证//EH GF ，12GF CD =，∴四边形EGFH 是平行四边形，∵AB CD =，GE GF ∴=，∴四边形EGFH 是菱形，20,70ABD BDC ∠=︒∠=︒ ，EG ∥AB ，GF ∥CD ，∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，∵FE 平分∠GEH ，∴∠GEF=11502522GEH ∠=⨯︒=︒．故答案为：25︒．26．解：(1)由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．点O 是线段BC 的中点OB OC ∴=，''∴=OB OC ，OB OC =．∴四边形''BB CC 是平行四边形．又BC B C ''= ，∴平行四边形''BB CC 是矩形．(2)证明： 四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90C ∠=︒．180180904522-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB 454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．四边形A B C D ''''是正方形，90'∴∠=︒OB M ∴四边形OB MC '是矩形OB OC = ，OC=OC ′ ，OB ′=OB ，∴OC=OB ′∴矩形OB MC '是正方形，(3)2'='DD OC ．如图，过D 作DN ⊥B ′C ′可知，∠A ′=∠B ′=∠B ′ND=90°，∠D ′=∠C ′=∠C ′ND=90°，∴四边形DNC ′D ′为矩形，四边形DNB ′A ′为矩形，在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，∵OD=OD ，DN=DC ，∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)设OC=a ，则OB=2OC=2a ，∴ON=OC=OC ′=a∴BC=OB+OC=3a ，DD ′=NC ′=ON+OC ′=2a ，∴2DD a OC a '='=2．。
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试提优卷试题
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试提优卷试题一、选择题1．如图,矩形ABCD 中,AB=5,AD=4,M 是边CD 上一点,将△ADM 沿直线AM 对折,得△ANM ,连BN ,若DM=1,则△ABN 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图,在四边形ABCD 中, AD//BC,且AD>BC,BC= 6cm, AD=9cm, P 、Q 分别从A 、C 同时出发,P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动,Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动,多少s 时直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形( )A ．1B ．2C ．3D ．2或33．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ＝4，BD ＝43，E 为AB 的中点，点P 为线段AC 上的动点，则EP+BP 的最小值为（ ）A ．4B ．25C ．27D ．84．如图，在菱形ABCD 中，两对角线AC 、BD 交于点O ，AC =8，BD =6，当△OPD 是以PD 为底的等腰三角形时，CP 的长为（ ）A ．2B ．185C ．75D ．525．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，BE DP ⊥的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作FA AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC.下列结论中：ABE ①≌ADF ；PF EP EB =+②；BCF ③是等边三角形；ADF DCF ④∠∠=；APF CDF S S .=⑤其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②④⑤D ．①③⑤6．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP +最小值的是( )A ．AB B ．CEC ．ACD ．AF7．如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE BE DE ，，，过点A 作AE 的垂线交DE 于F ，若210AE AF BF ===，，则下列结论不正确的是( )A ．AFD AEB ∆≅∆B ．点B 到直线AE 的距离为2C ．EB ED ⊥D ．16AFD AFB S S ∆∆+=+ 8．如图，E 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且AE AB =，F 为BE 上任意一点，FG AC 于点G ，FH AB ⊥于点H ，则FG FH +的值是（ ）A ．22B 2C ．2D ．19．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF ＝4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．810．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，2BD AD =，点E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点，EG 交FD 于点H ，下列4个结论中说法正确的有（ ）①ED CA ⊥；②EF EG =；③12FH FD =；④12EFD ACD S S =△△．A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．12．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．13．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．14．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．15．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．16．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．17．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．18．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度； （2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MNCF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．22．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为 时，四边形BCEF 是菱形．23．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.24．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE 2．（1）如图1，求证：DG =BE ；（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ．①连结BH ，BG ，求BH BG的值；②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．25．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．26．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．27．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．28．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动． 设运动时间为 t 秒，问：（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？29．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．30．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5，AQ=8.5，即可求出△ABN的面积．【详解】解：延长MN交AB延长线于点Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=42+x2，解得：x=7.5，∴NQ=7.5，AQ=8.5，∵AB=5，AQ=8.5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××4×7.5=；故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ或CQ=PD，计算即可求出t值.【详解】根据题意设t 秒时，直线将四边形ABCD 截出一个平行四边形则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t要使构成平行四边形则：AP=BQ 或CQ=PD进而可得：62t t =- 或29t t =-解得2t = 或3t =故选D.【点睛】本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可.3．C解析：C【解析】【分析】连结DE 交AC 于点P ，连结BP ，根据菱形的性质推出AO 是BD 的垂直平分线，推出PE+PB=PE+PD=DE 且值最小，根据勾股定理求出DE 的长即可．【详解】如图，设AC ，BD 相交于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ＝3 ∵AB ＝4，∴AO ＝2，连结DE 交AC 于点P ，连结BP ，作EM ⊥BD 于点M ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，且DO ＝BO ，即AO 是BD 的垂直平分线，∴PD ＝PB ，∴PE+PB ＝PE+PD ＝DE 且值最小，∵E 是AB 的中点，EM ⊥BD ， ∴EM ＝12AO ＝1，BM ＝12BO 2， ∴DM ＝DO+OM ＝32BO ＝3，∴DE ＝2222E DM 1(33)27M +=+=，故选C ．【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，关键是根据菱形的判定和三角函数解答．4．C解析：C【解析】【分析】过O 作OE ⊥CD 于E ．根据菱形的对角线互相垂直平分得出OB ，OC 的长，AC ⊥BD ，再利用勾股定理列式求出CD ，然后根据三角形的面积公式求出OE ．在Rt △OED 中，利用勾股定理求出ED ．根据等腰三角形三线合一的性质得出PE ，利用CP =CD -PD 即可得出结论．【详解】过O 作OE ⊥CD 于E ．∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OB 12=BD 12=⨯6=3，OA =OC 12=AC 12=⨯8=4，AC ⊥BD ，由勾股定理得：CD 2222OD OC 34=+=+=5． ∵12OC ×OD =12CD ×OE ，∴12=5OE ，∴OE =2.4．在Rt △ODE 中，DE =22OD OE -=223 2.4-=1.8．∵OD =OP ，∴PE =ED =1.8，∴CP =CD -PD =5-1.8-1.8=1.4=75．故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求出OE 的长是解题的关键．5．B解析：B【解析】【分析】根据正方形的性质可得AB AD =，再根据同角的余角相等求出BAE DAF ∠∠=，再根据等角的余角相等求出ABE ADF ∠∠=，然后利用“角边角”证明ABE ≌ADF ；根据全等三角形对应边相等可得AE AF =，判断出AEF 是等腰直角三角形，过点A 作AM EF ⊥于M ，根据等腰直角三角形点的性质可得AM MF =，再根据点P 是AB 的中点得到AP BP =，然后利用“角角边”证明APM 和BPE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AM =，EP MP =，然后求出PF EP EB =+；根据全等三角形对应边相等求出DF BE AM ==，再根据同角的余角相等求出DAM CDF ∠∠=，然后利用“边角边”证明ADM 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==；再求出CD CF ≠，判定BCF 不是等边三角形；求出CF FP >，AM DF =，然后求出APF CDF SS <．【详解】在正方形ABCD 中，AB AD =，DAF BAF 90∠∠+=， FA AE ⊥，BAE BAF 90∠∠∴+=，BAE DAF ∠∠∴=，BE DP ⊥，ABE BPE 90∠∠∴+=，又ADF APD 90∠∠+=，BPE APD(∠∠=对顶角相等)，ABE ADF ∠∠∴=，在ABE 和ADF 中， BAE DAF AB ADABE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABE ∴≌()ADF ASA ，故①正确；AE AF ∴=，BE DF =，AEF ∴是等腰直角三角形，过点A 作AM EF ⊥于M ，则AM MF =，点P 是AB 的中点，AP BP ∴=，在APM 和BPE 中，90BPE APD BEP AMP AP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，APM ∴≌()BPE AAS ，BE AM ∴=，EP MP =，PF MF PM BE EP ∴=+=+，故②正确；BE DF =，FM AM BE ==，AM DF ∴=，又ADM DAM 90∠∠+=，ADM CDF 90∠∠+=，DAM CDF ∠∠∴=，在ADM 和DCF ， AD DC DAM CDF AM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADM ∴≌()DCF SAS ，CF DM ∴=，ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==，故④正确； 在Rt CDF 中，CD CF >，BC CD =，CF BC ∴≠，BCF ∴不是等边三角形，故③错误；CF DM DF FM EM FM EF FP ==+=+=≠，又AM DF =，APF CDF S S ∴<，故⑤错误；综上所述，正确的有①②④，故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点．6．D解析：D【解析】【分析】连接DP ，当点D ，P ，E 在同一直线上时，由△PCF ≌△PCB 可得DP=BP ,BP EP + 的最小值为DE 长，依据△ADF ≌△DCE ，AF=DE,即可得到BP EP +最小值等于线段AF 的长.【详解】解：如图，连接DP ，∵PC=PC, ∠PCD=∠PCB=45°∴△PCF ≌△PCB∴BP=DP∴BP+PE =DP+PE∴当点D ，P ，E 在同一直线上时，BP EP +的最小值为DE 长，又∵AB=CD ，∠ADF=∠ECD ，DF=EC ，∴△ADF ≌△DCE∴AF=DE ，∴BP EP +最小值等于线段AF 的长，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A 关于BD 的对称点C 是解答此题的关键．7．B解析：B【分析】A 、首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD ≌△AEB ；B 、利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答；C 、由（1）可得∠BEF ＝90°，故BE 不垂直于AE 过点B 作BP ⊥AE 延长线于P ，由①得∠AEB ＝135°所以∠PEB ＝45°，所以△EPB 是等腰Rt △，于是得到结论；D 、根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∵AF ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠BAF ＝90°，又∵∠DAF ＋∠BAF ＝∠BAD ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAF ，在△AFD 和△AEB 中，AE AF BAE DAF AB AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝∴△AFD ≌△AEB （SAS ），故A 正确；∵AE＝AF，AF⊥AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠AEB＝∠AFD＝180°−45°＝135°，∴∠BEF＝135°−45°＝90°，∴EB⊥ED，故C正确；∵AE＝AF2，∴FE2AE＝2，在Rt△FBE中，BE221046FB FE-=-=∴S△APD＋S△APB＝S△APE＋S△BPE，＝112226 22⨯16=D正确；过点B作BP⊥AE交AE的延长线于P，∵∠BEP＝180°−135°＝45°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴BP＝2632=，即点B到直线AE3，故B错误，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．8．B解析：B【分析】过点E作EM⊥AB，连接AF，先求出EM，由S△ABE＝12AB•EM＝12AE•GF+12AB•FH，可得FG+FH=EM，则FG+FH的值可求．【详解】解：如图，过点E作EM⊥AB，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴△AEM是等腰直角三角形，∵AB=AE=2，∴222224 AM EM EM AE+===∴EM2，∵S△ABE=S△AEF+S△ABF，∴S△ABE＝12AB•EM＝12AE•GF+12AB•FH，∴2；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，运用面积法得出线段的和差关系是解题的关键．9．D解析：D【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×h CF的值即可．【详解】连接DE、EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥CD，∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，∴四边形ACFM是平行四边形，∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，同理△ADE的面积和△AME的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是12×CF×h CF，∵△ABC的面积是24，BC＝3CF∴12BC×h BC＝12×3CF×h CF＝24，∴CF×h CF＝16，∴阴影部分的面积是12×16＝8，故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.10．B解析：B【分析】由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF=12AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=12CD，即可得EF=EG；连接FG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得FH=12FD，由三角形中位线定理可证得S△OEF=14S△AOB，进而可得S△EFD=S△OEF+S△ODE=316S▱ABCD，而S△ACD=12S▱ABCD，推出S△EFD12S△ACD，即可得出结论．【详解】连接FG，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，∵BD=2AD，∴OD=AD，∵点E为OA中点，∴ED⊥CA，故①正确；∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，∴EF∥AB，EF=12 AB，∵∠CED=90°，G是CD的中点，∴EG=12 CD，∴EF=EG，故②正确；∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，EF=EG=DG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴FH=DH，即FH=12FD，故③正确；∵△OEF∽△OAB，∴S△OEF=14S△AOB，∵S△AOB=S△AOD=14S▱ABCD，S△ACD=12S▱ABCD，∴S△OEF=116S▱ABCD，∵AE=OE，∴S△ODE=12S△AOD=18S▱ABCD，∴S△EFD=S△OEF+S△ODE=116S▱ABCD+18S▱ABCD316=S▱ABCD，∵12S△ACD14=S▱ABCD，∴S△EFD12≠S△ACD，故④错误；综上，①②③正确；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．二、填空题11．【解析】分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P 从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明CE=12（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，∵△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP，∠AOP=90°，易得四边形OECF为矩形，∴∠EOF=90°，CE=CF，∴∠AOE=∠POF，∴△OAE≌△OPF，∴AE=PF，OE=OF，∴CO平分∠ACP，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，即AC-CE=CF-CP，而CE=CF，∴CE=12（AC+CP），∴2CE=22（AC+CP），当AC=2，CP=CD=1时，2×（2+1）=322，当AC=2，CP=CB=5时，OC=22×（2+5）=722，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=22-3222．故答案为2点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．12．18【分析】由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．【详解】在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，CD ＝22OC +OD =5，∵ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ＝5，∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，∴EF ＝8，作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，则E 1（0，2），F 1（3，6），则E 1F 1即为所求线段和的最小值，在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝22211EE +EF =-+(8-5)=52(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．【点睛】本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大． 13．8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=627=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴()()2222=6262CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．14．①②③④【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE =，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．【详解】∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =． ∵AD =，∴AE =AD ．在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；∵∠AHB 12=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，HE =DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣HE ）=2HE ，所以④正确；∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；综上所述：结论正确的是①②③④．故答案为①②③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．15．②③【分析】根据菱形的性质可知AC⊥BD，所以在Rt△AFP中，AF一定大于AP，从而判断①；设∠BAE=x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE，根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BFE和∠BE的度数，从而判断②③．【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF．故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE 的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．16．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可． 【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．17．（-2，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），∴OD ==将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．18 【分析】根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝，再根据BE ＝2OB EC ． 【详解】设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，由勾股定理得：BC∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ＝2， ∵12•BC •AH ＝12•AB •AC ，∴AH ＝613， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ，∵12AD •BO ＝12BD •AH ， ∴OB ＝613， ∴BE ＝2OB ＝121313， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ， ∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)()13-=51313． 故答案为：51313． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．19．【分析】作AB 的中点E ，连接EM 、CE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE 和EM 的长，然后确定CM 的范围．【详解】解：作AB 的中点M ，连接EM 、CM ．在Rt △ABC 中，AB 22AC BC +2286+10，∵M 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，∴CM ＝12AB ＝5． ∵E 是BD 的中点，M 是AB 的中点， ∴ME ＝12AD ＝2．∴5﹣2≤CE ≤5+2，即3≤CE ≤7．∴最大值为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．20．102【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.【详解】过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴53CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，∴DAE DEA ∠=∠，∴3DE AD ==，∴2CE CD DE =-=．∵BAD BEC ∠=∠，∴BCE BEC ∠=∠，∴BC=BE, ∴112CF EF CE ===， ∴22223122BF BC CF =-=-=∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅==．故答案为：【点睛】此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.三、解答题21．（1）AH 2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．【详解】（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.∵AH BD ⊥，∴1302DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=.∴AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.∴ENG ∆是等边三角形.【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（1）详见解析；（2）145． 【分析】（1）由AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ，易证得△ABC ≌DEF （SAS ），即可得BC =EF ，且BC ∥EF ，即可判定四边形BCEF 是平行四边形；（2）由四边形BCEF 是平行四边形，可得当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形，所以连接BE ，交CF 与点G ，由三角形DEF 的面积求出EG 的长，根据勾股定理求出FG 的长，则可求出答案．【详解】（1）证明：∵AF =DC ，∴AC =DF ， 在△ABC 和△DEF 中， AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴BC =EF ，∠ACB =∠DFE ，∴BC ∥EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形；（2）如图，连接BE ，交CF 于点G ，∵四边形BCEF 是平行四边形，∴当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形，∵∠DEF =90°，DE =8，EF =6，∴DF 222286DE EF +=+10，∴S △DEF 1122EG DF EF DE =⋅=⋅， ∴EG 6824105⨯==， ∴FG =CG 22222418655EF EG ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴AF=CD=DF﹣2FG=10﹣365=145．故答案为：145．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．23．（1）见解析；（2）FH+FE=2DF，理由见解析；（3）2 2【分析】（1）如图1中，证明△AFB≌△DGA（AAS）可得结论．（2）结论：FH+FE=2DF．如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，证明四边形DKFJ是正方形，可得结论．（3）如图3中，取AD的中点J，连接PJ，延长JP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．设PT=b．证明△KPJ是等腰直角三角形，推出点P在线段JR上运动，求出JR即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵DG⊥AE，AE⊥BH，∴∠AFB=∠DGH=90°，∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°，∴∠BAF=∠ADG，∴△AFB≌△DGA（AAS），∴AF=DG，BF=AG，∴BF-DG=AG-AF=FG．（2）结论：2DF．理由：如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，。
八年级初二数学数学平行四边形的专项培优易错试卷练习题含答案
一、选择题1．如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，BD=2AD ，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论①BE ⊥AC②四边形BEFG 是平行四边形③EG=GF④EA 平分∠GEF其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④2．如图,矩形ABCD 中,AB=5,AD=4,M 是边CD 上一点,将△ADM 沿直线AM 对折,得△ANM ,连BN ,若DM=1,则△ABN 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，90MON ∠=︒边长为2的等边三角形ABC 的顶点A B 、分别在边OM ，ON 上当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）A ．2.4B 5C 31D ．524．如图，将一个矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，若3,9,AB BC ==则折痕EF 的长度为（ ）A ．3B ．23C ．10D ．31025．如图，四边形,ABCD AD 与BC 不平行，AB CD =．,AC BD 为四边形ABCD 的对角线，,,E F ,G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点下列结论：①EG FH ⊥；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分;EHG ∠④()1 2EG BC AD =-；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE ；②BE:BC=5:2；③S △BHE =S △CHD ；④∠AHB=∠EHD ．其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠D ＝90°．∠A 的平分线交DC 于E ，EF ⊥AB 于F ．已知AD ＝3.5cm ，DC ＝4cm ，BC ＝6.5cm ．那么四边形BCEF 的周长是（ ）A ．10cmB ．11cmC ．11.5cmD ．12cm8．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=，FO FC =，则下列结论：①FB OC ⊥，OM CM =；②EOB CMB ≅；③四边形EBFD 是菱形；④:3:2MB OE =．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE ＝AD ，DF ＝BD ，连接BF 分别交CD ，CE 于H ，G 下列结论：①EC≠2HG ；②∠GDH ＝∠GHD ；③图中有8个等腰三角形；④CDG DHF S S △△＝．其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12BD CD =．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF 于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )A 233B 334C 536D 3二、填空题11．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．12．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的长是__________．13．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．14．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．15．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．16．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．17．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______18．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．19．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．20．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．三、解答题21．在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，PF⊥BD于点F，PA＝PF．（1）试判断四边形AGFP的形状，并说明理由．（2）若AB＝1，BC＝2，求四边形AGFP的周长．22．如图，四边形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x 轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．（1）当t为何值时，四边形BNMP为平行四边形？（2）设四边形BNPA的面积为y，求y与t之间的函数关系式．（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直、重合)，另一直角边与角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A B∠的平分线BF相交于点F．CBM(1)求证: ADE FEM∠=∠;(2)如图(1)，当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．24．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动．（1）求点B 的坐标；（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．25．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．26．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.27．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论.（2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .28．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．29．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D→→→路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？30．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，E，F分别在AB，BC上．（1）若n＝1，AF⊥DE．①如图1，求证：AE＝BF；②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG ＝AG；（2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF．则CFBF的值是_____________（结果用含n的式子表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO=1BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，2又∵BD=2AD，∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=1CD，2∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=1AB=AG=BG，2∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故③错误，∵BG=EF，BG∥EF∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，故②正确，∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠AEG，∴∠AEG=∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5，AQ=8.5，即可求出△ABN的面积．【详解】解：延长MN交AB延长线于点Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=42+x2，解得：x=7.5，∴NQ=7.5，AQ=8.5，∵AB=5，AQ=8.5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××4×7.5=；故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．3．C解析：C【解析】【分析】如图，取AB 的中点D ．连接CD ．根据三角形的边角关系得到OC 小于等于OD+DC ，只有当O 、D 及C 共线时，OC 取得最大值，最大值为OD+CD ，由等边三角形的边长为2，根据D 为AB 中点，得到BD 为1，根据三线合一得到CD 垂直于AB ，在直角三角形BCD 中，根据勾股定理求出CD 的长，在直角三角形AOB 中，OD 为斜边AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB 的一半，由AB 的长求出OD 的长，进而求出DC+OD ，即为OC 的最大值．【详解】解：如图，取AB 的中点D ，连接CD ．∵△ABC 是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=2，∵点D 是AB 边中点，∴BD=12AB=1， ∴22BC BD -2221-33连接OD ，OC ，有OC≤OD+DC ，当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD+CD ，由（1）得，3又∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边AB 的中点，∴OD=12AB=1， ∴3OC 的最大值为3故选：C ．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC 最大时的长为CD+OD 是解本题的关键．4．C解析：C【分析】设AE x =，根据勾股定理得到AE ，进而得出BE 的长，再证明5BF BE ==，根据EG AB =，求出GF 的长，最后在运用勾股定理即可得到EF ．【详解】解：过E 作EG BC ⊥于G ，设AE x =，则9DE BE x ==-，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，2223(9)x x ∴+=-解得4x =，4AE ∴=，945BE DE ∴==-=，DEF BFE ∠=∠，DEF BEF ∠=∠，BFE BEF ∴∠=∠，5BF BE ∴==，1GF ∴=，Rt EFG ∴中，22223110EF EG GF =+=+=即EF 10，故选：C ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．5．C解析：C【分析】先根据三角形中位线定理，得出EF=FG=GH=HE ，进而得到四边形EFGH 是菱形，据此可判断结论是否正确，最后取AB 的中点P ，连接PE ，PG ，根据三角形三边关系以及三角形中位线定理，即可得出()1 2EG BC AD >-． 【详解】解：∵E ，F 分别是BD ，BC 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF=12CD ， 同理可得，GH=12CD ，FG=12AB ，EH=12AB ， 又∵AB=CD ，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故⑤正确，②错误，∴EG⊥FH，HF平分∠EHG，故①、③正确，如图所示，取AB的中点P，连接PE，PG，∵E是BD的中点，G是AC的中点，∴PE是△ABD的中位线，PG是△ABC的中位线，∴PE=12AD，PG=12BC，PE∥AD，PG∥BC，∵AD与BC不平行，∴PE与PG不平行，∴△PEG中，EG＞PG-PE，∴EG＞12BC12AD，即EG＞12（BC-AD），故④错误．综上所述，正确的有①③⑤．故选：C．【点睛】本题主要考查了中点四边形，三角形三边关系以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．D解析：D【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，再证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD:求出∠ABE+∠BAG＝90°;最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到①正确；因为点E是AD边的中点，求出AB= 2AE，5即可求得5，故②正确；根据 AD ∥BC，求出S△BDE=S△CDE，推出 S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确【详解】∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，在△BAE 和△CDE 中∵AE DE BAE CDE AB CDA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CDE （SAS ），∴∠ABE=∠DCE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∵在△ADH 和△CDH 中，AD CD ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADH ≌△CDH （SAS ）， ∴∠HAD=∠HCD ，∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD ，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°-90°=90°，∴AG ⊥BE ，故①正确；∵点E 是AD 边的中点，∴AB= 2AE ，∴∴，故②正确；∵AD ∥BC ，∴S △BDE =S △CDE ，∴S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，即；S △BHE =S △CHD ，故③正确；∵△ADH ≌△CDH ，∴∠AHD=∠CHD ，∴∠AHB=∠CHB ，∵∠BHC=∠DHE ，∴∠AHB=∠EHD ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题的关键是熟练掌握其性质. 7．D解析：D【分析】根据角平分线性质得出AD=AF，根据勾股定理求出EF=DC，求出AB长，求出BE，即可求出答案．【详解】∵AE平分∠DAB，∠D=90°，EF⊥AB，∴AF=AD=3.5cm，EF=DE，∴DC=CE+DE=CE+EF=4cm，过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形，∴AM=DC=4cm，AD=CM=3.5cm，∵BC=6.5cm，∴BM=6.5cm-3.5cm=3cm，在Rt△AMB中，由勾股定理得：22435AB（cm），∴BF=AB-AF=5cm-3.5cm=1.5cm，∴四边形BCEF的周长是BC+BF+CE+EF=6.5cm+1.5cm+CD=8cm+4cm=12cm，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键．8．C解析：C【分析】①证明△OBC是等边三角形，即可得OB=BC，由FO=FC，即可得FB垂直平分OC，①正确；②由FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BOF=90°，再证明△FOC≌△EOA，所以FO=EO，即可得OB垂直平分EF，所以△OBF≌△OBE，即△EOB≌△FCB，②错误；③证明四边形DEBF是平行四边形，再由OB垂直平分EF，根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF，即可得平行四边形DEBF为菱形，③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，可得OE=3，在Rt△OBM中，可得3，即可得BM ：OE =3：2，④正确.【详解】①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，∴FB⊥OC，OM=CM；①正确；②∵FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，∴OB垂直平分EF，∴△OBF≌△OBE，∴△EOB≌△FCB，②错误；③∵△FOC≌△EOA，∴FC=AE，∵矩形ABCD，∴CD=AB，CD∥AB，∴DF∥EB，DF=EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵OB垂直平分EF，∴BE=BF，∴平行四边形DEBF为菱形；③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，3，在Rt△OBM中，3∴BM ：：OB=3：2.④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综合运用所学的知识分析解决问题．9．B解析：B【分析】关键结合图形证明△CHG≌△EGD，即可逐项判断求解【详解】解：∵DF=BD，∴∠DFB=∠DBF，∵AD∥BC，DE=BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∠DFB=∠GBC，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=2∠EFB，∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，∴CG=BC=DE，∵DE=DC，∴∠DEG=∠DCE，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∠DGE=180°-（∠BGD+∠EGF），=180°-（∠BGD+∠BGC），=180°-（180°-∠DCG）÷2，=180°-（180°-45°）÷2，=112.5°，∴∠GHC=∠DGE，∴△CHG≌△EGD，∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，∴∠GDH=90°-∠EDG，∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB，∴∠GDH=∠GHD故②正确；∴∠GDH=∠GHD又∠EFB=22.5°,∴∠DHG=∠GDH=67.5°∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB,∴DG=GF,∴HG=DG=GF∴HF=2HG,显然CE≠HF=2HG,故①正确；∵△CHG ≌△EGD ，∴CHG EGD S S ∆∆=∴CHG DHG EGD DHG S S S S ∆∆∆∆+=+，即CDG DHGE S S △四边形＝而=EFG DHGE DHF S S S ∆+四边形△，故CDG DHF S S ≠△△故④不正确；结合前面条件易知等腰三角形有△ABD ，△CDB ，△BDF ，△CDE ，△BCG ，△DGH ，△EGF ，△CDG ，△DGF 共9个，∴③错误；故正确的有①②，有2个，故选：B【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．10．C解析：C【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt BDE ∆中求得DE 的长，再根据CM 垂直平分DF ，在Rt CDN ∆中求得CN ，利用三角形中位线求得MN 的长，最后根据线段和可得CM 的长．【详解】 解：等边三角形边长为2，12BD CD =， ∴23BD =，43CD =， 等边三角形ABC 中，//DF AB ，60FDC B ∴∠=∠=︒，90EDF ∠=︒，30BDE ∴∠=︒，DE BE ∴⊥，1123BE BD ∴==，2222213()33DE BD BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 如图，连接DM ，则Rt DEF ∆中，12DM EF FM ==，60FDC FCD ∠=∠=︒，CDF ∴∆是等边三角形，43CD CF ∴==， CM ∴垂直平分DF ，30DCN ∴∠=︒，Rt CDN ∴∆中，43DF =，32DN =，23CN =， ∵EM =FM ，DN =FN ，∴132MN ED =， 23353CM CN MN ∴=+． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．二、填空题11．4:9【分析】设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN 22m m +2m ，∴2m=MC ，22PM MC +，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．12【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．【详解】如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，//AD BE ∴，6AC =，624AD AB ∴==-=，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，112,122AM AD EN CE ∴====， AM BE ∴=，∴四边形ABEM 是平行四边形，//,4ME AB ME AB ∴==，60FEM C ∴∠=∠=︒，在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，12,2EF ME MF ∴==== 123FN EN EF ∴=+=+=，则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =+=+=，故答案为：21．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．13．45【分析】设EF ＝x ，根据三角形的中位线定理表示AD ＝2x ，AD ∥EF ，可得∠CAD ＝∠CEF ＝45°，证明△EMC 是等腰直角三角形，则∠CEM ＝45°，证明△ENF ≌△MNB ，则EN ＝MN ＝12x ，BN ＝FN ＝5，最后利用勾股定理计算x 的值，可得BC 的长．【详解】解：设EF ＝x ，∵点E 、点F 分别是OA 、OD 的中点，∴EF 是△OAD 的中位线，∴AD ＝2x ，AD ∥EF ，∴∠CAD ＝∠CEF ＝45°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝2x ，∴∠ACB ＝∠CAD ＝45°，∵EM ⊥BC ，∴∠EMC ＝90°，∴△EMC 是等腰直角三角形，∴∠CEM ＝45°，连接BE ，∵AB ＝OB ，AE ＝OE∴BE ⊥AO∴∠BEM ＝45°，∴BM ＝EM ＝MC ＝x ，∴BM ＝FE ，易得△ENF ≌△MNB ，∴EN ＝MN ＝12x ，BN ＝FN ＝5， Rt △BNM 中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2， 即22215()2x x =+解得，x ＝25，∴BC ＝2x ＝45．故答案为：45．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．14．37【分析】如图，延长CB 到T ，使得BT=DE ，连接DT ，作点B 关于直线AC 的对称点W ，连接TW ，DW ，过点W 作WK ⊥BC 交BC 的延长线于K ．证明BE=DT ，BD=DW ，把问题转化为求DT+DW 的最小值．【详解】解：如图，延长CB 到T ，使得BT=DE ，连接DT ，作点B 关于直线AC 的对称点W ，连接TW ，DW ，过点W 作WK ⊥BC 交BC 的延长线于K ．∵△ABC ，△DEF 都是等边三角形，BC=3DE=3，∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，∴DE ∥TC ，∵DE=BT=1，∴四边形DEBT 是平行四边形，∴BE=DT ，∴BD+BE=BD+AD ，∵B ，W 关于直线AC 对称，∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，∴∠WCK=60°，∵WK⊥CK，∴∠K=90°，∠CWK=30°，∴CK=12CW=32，WK=3CK=332，∴TK=1+3+32=112，∴TW=2222113322TK WK⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=37，∴DB+B E=DB+DT=DW+DT≥TW，∴BD+BE≥37，∴BD+BE的最小值为37，故答案为37．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．15．25【分析】作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则四边形BEDF是矩形，证明△ABE≌△CBF（AAS），得出BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，求出BE=10，即可求得BD的长．【详解】解：作BE⊥AD交DA延长线于E，BF⊥CD于F，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，∴(cm)，∴．故答案为：【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．16．6【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，可证点B ，点A ，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，S △ABC =1242⨯=12cm 2，∵在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB ′C ，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，∴∠BAB'=180°，∴点B ，点A ，点B'三点共线，∵AB ∥CD ，AB'∥CD ，∴四边形ACDB'是平行四边形，∴B'E=CE ，∴S △ACE =12S △AB'C =6cm 2， 故答案为：6．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B ，点A ，点B'三点共线是本题的关键．17．12013【分析】设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO 和OH 长，若MN 最小，则MO 最小即可，而O 点到AC 的最短距离为OH 长，所以MN 最小值是2OH ．【详解】解：设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，∵四边形MCNB 是平行四边形，∴O 为BC 中点，MN ＝2MO ．∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，∴AO ⊥BC ．在Rt △AOC 中，利用勾股定理可得AO 2222135AC CO -=-12．利用面积法：AO ×CO ＝AC ×OH ，即12×5＝13×OH ，解得OH ＝6013． 当MO 最小时，则MN 就最小，O 点到AC 的最短距离为OH 长， 所以当M 点与H 点重合时，MO 最小值为OH 长是6013． 所以此时MN 最小值为2OH ＝12013． 故答案为：12013． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．18．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可19．663【分析】通过四边形ABCD 是矩形以及CE CB BE ==，得到△FEM 是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM ，NK ，KE 的值，进而得到NE 的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN ，BE 即可．【详解】解：如图，设NE 交AD 于点K ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，∴∠MFE=∠FCB ，∠FME=∠EBC∵CE CB BE ==，∴△BCE 为等边三角形，∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，∵∠FEM=∠BEC ，∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，∴△FEM 是等边三角形，FM=FE=EM=2，∵EN ⊥BE ，∴∠NEM=∠NEB=90°，∴∠NKA=∠MKE=30°，∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，∴在Rt △KME 中，=∴NE=NK+KE=6+∵∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∴BN=2NE=12+∴BE=22663-=+，BN NE∴BC=BE=663，故答案为：663【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．20．25﹣2【分析】连接AF，CF，AC，利用勾股定理求出AC、AF，再根据三角形的三边关系得到当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为25﹣2.【详解】解：如图，连接AF，CF，AC，∵长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1，∴AC＝25，AF＝2，∵AF+CF≥AC，∴CF≥AC﹣AF，∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为25﹣2，故答案为：25﹣2．【点睛】此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系.三、解答题21．（1）四边形AGFP 是菱形，理由见解析；（2）四边形AGFP 的周长为：2【分析】（1）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质，以及利用勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形AGFP 是菱形，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP ＝90°，∵PF ⊥BD ，PA ＝PF ，∴∠PBA ＝∠PBF ，∵AE ⊥BD ，∴∠PBF+∠BGE ＝90°，∵∠BAP ＝90°，∴∠PBA+∠APB ＝90°，∴∠APB ＝∠BGE ，∵∠AGP ＝∠BGE ，∴∠APB ＝∠AGP ，∴AP ＝AG ，∵PA ＝PF ，∴AG ＝PF ，∵AE ⊥BD ，PF ⊥BD ，∴AE ∥PF ，∴四边形AGFP 是平行四边形，∵PA ＝PF ，∴平行四边形AGFP 是菱形；（2）在Rt △ABP 和Rt △FBP 中，∵PB ＝PB ，PA ＝PF ，∴Rt △ABP ≌Rt △FBP （HL ），∴AB ＝FB ＝1，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，∴BD =设PA ＝x ，则PF ＝x ，PD ＝2﹣x ，PF 1，在Rt △DPF 中，DF 2+PF 2＝PD 2，∴2221)(2)x x +=-解得：x ＝12，∴四边形AGFP 的周长为：4x ＝4×122=． 【点睛】 此题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识定理进行解题．22．（1）34；（2）y =4t +2；（3）存在，点M 的坐标为（1，0）或（2，0）． 【分析】（1）因为BN ∥MP ，故当BN=MP 时，四边形BNMP 为平行四边形，此时点M 在点P 的左侧，求解即可；（2）y =12（BN +PA ）•OC ，即可求解； （3）①当∠MQA 为直角时，则△MAQ 为等腰直角三角形，则PA =PM ，即可求解；②当∠QMA 为直角时，则NB +OM =BC =3，即可求解．【详解】（1）∵BN ∥MP ，故当BN =MP 时，四边形BNMP 为平行四边形．此时点M 在点P 的左侧时，即0≤t ＜1时，MP =OP ﹣OM =3﹣t ﹣2t =3﹣3t ，BN =t ，即3﹣3t =t ，解得：t =34； （2）由题意得：由点C 的坐标知，OC =4，BN =t ，NC =PO =3﹣t ，PA =4﹣OP =4﹣（3﹣t ）=t +1，则y =12(BN +PA )•OC =12(t +t +1)×4=4t +2； （3）由点A 、C 的坐标知，OA =OC =4， 则△COA 为等腰直角三角形，故∠OCA =∠OAC =45°，①当∠MQA 为直角时，∵∠OAC =45°，故△MAQ 为等腰直角三角形，则PA =PM ，而PA =4﹣(3﹣t )=t +1，PM =OP ﹣OM =(3﹣t )﹣2t =3﹣3t ，故t +1=3﹣3t ，解得：t =12，则OM =2t =1， 故点M （1，0）；②当∠QMA 为直角时，则点M 、P 重合，则NB +OM =BC =3，即2t +t =3，解得：t =1，故OM =OP =2t =2，故点M （2，0）；综上，点M 的坐标为（1，0）或（2，0）．【点睛】本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．23．（1）详见解析；（2）DE EF =，理由详见解析；（3）DE EF =，理由详见解析【分析】（1）根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，等量代换即可证明；（2）DE=EF ，连接NE ，在DA 边上截取DN=EB ，证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案；（3）在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案．【详解】(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=︒，∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴ADE FEM ∠=∠;(2) ;DE EF =理由如下:如图，取AD 的中点N ，连接NE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD AB = ，∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴11,22AN DN AD AE EB AB ====，∴,DN BE AN AE ==又∵90A ∠=︒∴45ANE ∠=︒∴180135DNE ANE ∠=︒-∠=︒，又∵90CBM ∠=︒，BF 平分CBM ∠∴45,135CBF EBF ∠=︒∠=︒．∴DNE EBF ∠=∠在DNE △和EBF △中ADE FEBDN EBDNE EBF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =(3) DE EF =.理由如下:如图，在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，∵四边形ABCD 是正方形， DN EB =，∴AN AE =，∴AEN △为等腰直角三角形，∵45ANE ∠=︒∴18045135DNE ∠=︒-︒=︒，∵BF 平分CBM ∠， AN AE =，∴9045135EBF ∠=︒+︒=︒，∴DNE EBF ∠=∠，在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE ≌△EBF ．24．（1）B （12，4）；（2）52t s =；（3）58,4,3,4,2,4,,42 【分析】（1）由四边形OABC 是平行四边形，得到OA BC =，//OA BC ，于是得到 10OA =，2OE AF ，可求出点B 的坐标； （2）根据四边形PCDA 是平行四边形，得到PC AD =，即1025t -=，解方程即可得到结论；（3）如图2，可分三种情况：①当5PD OD 时，②当5PO OD 时，③当 PD OP =时分别讨论计算即可．【详解】解：如图1，过C 作CE OA ⊥于E ，过B 作BF OA ⊥于 F ，四边形OABC 是平行四边形，OA BC ，//OA BC ， A ，C 的坐标分别为(10,0)， (2,4)， 10OA ∴=，2OE AF ， 10BC ∴=，(12,4)B ；（2）设点P 运动t 秒时，四边形PCDA 是平行四边形，由题意得：102PC t =-，点D 是OA 的中点， 152OD BC AD OA ，四边形PCDA 是平行四边形，PC AD ，即1025t -=，52t ∴=， ∴当52t =秒时，四边形PCDA 是平行四边形； （3）如图2，①当5PDOD 时，过1P 作1PE OA 于 E ，则14PE ，3DE ∴=，1(8,4)P ，又D ，C 的坐标分别为()5,0，(2,4)，∴225245CD ,即有，当点P 与点C 重合时，5PD OD ，。
八年级初二数学第二学期平行四边形单元提优专项训练试题
八年级初二数学第二学期平行四边形单元提优专项训练试题一、选择题1．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG＝12AB；②图中与△EGD 全等的三角形共有5个；③以点A、B、D、E为项点的四边形是菱形；④ S四边形ODGF＝ S△ABF．其中正确的结论是（）A．①③B．①③④C．①②③D．②②④2．在正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，BE PD⊥的延长线于点E ，连接AE 、BE ，FA AE⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC ，下列结论：①ABE ADF≅；②FB =AB ；③CF PD⊥；④FC =EF . 其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④3．如图，正方形ABCD的边长为2a，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(不与点A、D重合)，同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(不与点D、C重合)，点E与点F 的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：①∠BGF是定值；②BF平分∠CBE；③当E运动到AD中点时，GH=5a；④当C△AGB = (2)6a+时，S四边形GEDF =16a2，其中正确的是( )A．①③B．①②③C．①③④D．①④4．如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（）A．70 B．74 C．144 D．1485．如图，正方形ABCD（四边相等、四内角相等）中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE＝DF＝3，则EF的平方为（）A．2 B．125C．3 D．46．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=725.其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，点,,A B E在同一条直线上，正方形ABCD、正方形BEFC的边长分别为23,、H为线段DF的中点，则BH的长为（）A．212B26C ．332D ．2928．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠ADC ＝60°，AB ＝12BC ，连接OE ，下列结论：①∠CAD ＝30°；②·ABCD A S AB C =；③OA ＝OB ；④OE ＝14B C ．其中成立的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点P 在边AD 上从点A 到点D 运动，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BD 于点F ，已知AB=3，AD=4，随着点P 的运动，关于PE+PF 的值，下面说法正确的是（ ）A ．先增大，后减小B ．先减小，后增大C ．始终等于2.4D ．始终等于3 10．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE AF =，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE DF EF +=；③当15DAF ∠=︒时，AEF 为等边三角形；④当60EAF ∠=︒时，AEB AEF ∠=∠．其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④二、填空题11．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62BC=______．12．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．13．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．14．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．16．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、BC 上．将该纸片沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在边DC 上，折痕EF 与AG 交于点Q ，点K 为GH 的中点，则随着折痕EF 位置的变化，△GQK 周长的最小值为____．17．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________18．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.19．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．20．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________三、解答题21．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？ 探究问题：（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系： ；（2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时；情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系： ．22．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．23．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．24．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．25．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．26．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =． （1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：①若52CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =； （2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．27．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．（1）当t ＝1时，求BF 的长度；（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．28．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。
八年级初二数学下学期平行四边形单元测试提优卷试题
八年级初二数学下学期平行四边形单元测试提优卷试题一、解答题1．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．2．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．3．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分∠DCB ；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．4．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．5．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .6．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE 2．（1）如图1，求证：DG =BE ；（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ．①连结BH ，BG ，求BH BG的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．7．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.8．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒3的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.9．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．10．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）152，理由见解析；【分析】（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．【详解】（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形∵∠B＝90°，∠A＝60°∴∠C=30°，CD=2DF，又∵由题意知CD=4t，AE=2t，∴CD=2AE∴AE=DF．（2）能，理由如下；由（1）知AE=DF又∵DF⊥BC，∠B＝90°∴AE∥DF∴四边形AEFD是平行四边形．当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形∵AC＝60cm，DF=12CD，CD=4t，∴AD=60-4t，DF=2t，∴60-4t=2t∴t=10．（3）当t为152时，△DEF为直角三角形，理由如下；由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，∴当DE∥BC时，DF⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED中，∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t∴AD=4t，又∵AC＝60cm，CD=4t，∴AD+CD=AC，8t=60，∴t=152．即t=152时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．2．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形；②2【分析】（1）证明△FCG ≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到结论；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，证明△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF是矩形；②根据四边形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵ G是CD的中点，∴ CG＝DG，在△FCG和△EDG中，FCG EDG CG DGCGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FCG ≌△EDG（ASA），∴ FG＝EG，∵ CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形；②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案为：2.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.3．（1）见解析；（2） HG ＝OH +BG ；（3）能成矩形，y 3342x =-． 【分析】（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG ＝∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；（2）由（1）的Rt△CDG≌Rt△CBG可得出BG＝DG，根据全等直角三角形的判定定理（HL）即可证出Rt△CHO≌Rt△CHD，即OH＝HD，再根据线段间的关系即可得出HG＝HD+DG＝OH+BG；（3）根据（2）的结论即可找出当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形，再根据正方形的性质以及点B的坐标可得出点G的坐标，设H点的坐标为（x，0），由此可得出HO＝x，根据勾股定理即可求出x的值，即可得出点H的坐标，结合点H、G的坐标利用待定系数法即可求出直线DE的解析式．【详解】（1）∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∴CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90°．在Rt△CDG和Rt△CBG中，∵CG CGCD CB=⎧⎨=⎩，∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），∴∠DCG＝∠BCG，即CG平分∠DCB．（2）由（1）证得：Rt△CDG≌Rt△CBG，∴BG＝DG．在Rt△CHO和Rt△CHD中，∵CH CHCO CD=⎧⎨=⎩，∴Rt△CHO≌Rt△CHD（HL），∴OH＝HD，∴HG＝HD+DG＝OH+BG．（3）假设四边形AEBD可为矩形．当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形，如图所示．∵G点为AB中点，∴BG＝GA12=AB，由（2）证得：BG＝DG，则BG＝GA＝DG12=AB12=DE＝GE，又AB＝DE，∴四边形AEBD为矩形，∴AG＝EG＝BG＝DG．∵AG12=AB＝3，∴G点的坐标为（6，3）．设H点的坐标为（x，0），则HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H点的坐标为（2，0）．设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将点H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，得：2063k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：3432kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线DE的解析式为：y3342x=-．故四边形AEBD能为矩形，此时直线DE的解析式为：y33 42x=-．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理．解题的关键是：（1）证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ；（2）找出BG ＝DG 、OH ＝HD ；（3）求出点H 、G 的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边和角是关键．4．（1）见解析；（2）1条；（3）7211t =或185t = 【分析】(1)证△AEH ≌△CGH （SAS ），即可得出AH=CH ；(2)连接BD 交AC 于O ，作直线OE 即可；(3)分两种情况：①连接AH 交BC 于M ，证出BM=CM=12BC=6，由题意得BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GM=6-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可； ②连接AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于K ，证出DM=CM=12CD ，证△KCM ≌△ADM 得CK=DA=12，则BK=BC+CK=24，且BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GK=24-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．【详解】解：(1)四边形BEHG 是正方形， BE BG ∴=，90BEH BGH ∠=∠=︒，90AEH CGH ∠=∠=︒， 又AB BC =，AE CG ∴=，又EH HG =，()AEH CGH SAS ∴∆≅∆，AH CH ∴=．(2)解：连接BD 交AC 于O ，如图1所示：作直线OE，则直线OE矩形ABCD面积平分，即经过点E且把矩形ABCD面积平分的直线有1条，故答案为：1；(3) 解：分两种情况：①如图2所示：连接AH交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴△ABC的面积=△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，∴△ABM的面积=△ACM的面积，∴BM=CM=12CD=6，由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GM=6-t，∵△ABM的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHM的面积，∴12×6×9=12t(9-t)+t²+12t(6-t)，解得：185t=；②如图3所示：连接AH交CD于M，交BC的延长线于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠MCK=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC=12，CD=AB=9，△ABC的面积=△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，∴△ADM的面积=△ACM的面积，∴DM=CM=12CD=92，在△KCM和△ADM中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩D MCKDM CMAMD KMC，∴△KCM≌△ADM(ASA)，∴CK=DA=12，∴BK=BC+CK=24，由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GK=24-t，∵△ABK的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积，∴12×24×9=12t(9-t)+t²+12t(24-t)，解得：7211t=，综上所述，7211t=或185t=，故答案为：7211t=或185t=．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．5．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得CQ∥AM．【详解】解：（1）如图（1），连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN 为所作．理由：在△AOD与△COD中，∵AD CDADO CDOOD OD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠OAD=∠OCD，∴∠BAM =∠BCN ．在△ABM 与△CBN 中，∵BAM BCN AB CB ABM CBN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABM ≌△CBN （ASA ），∴CN =AM ．（2）如图2连接AC 、BD 交与O 点，连接MO 并延长与AE 交于点Q ，连接QC ，则CQ 为所求的线段.在正方形ABCD 中，OA =OB =OC =OD ，AD ∥BC ，∴QO =MO∴四边形AQCM 为平行四边形，∴QC ∥AM【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．6．（1）证明见解析；（2）①2BH BG =②BH 的长为2或2． 【分析】（1）证()DAG BAE SAS △≌△，即可得出结论；（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，证()GAB GFH SAS △≌△，得GH GB =，GHF GBA ∠=∠，证GHB ∆为等腰直角三角形，即得结论；②分两种情况，证出点B 、E 、G 在一条直线上，求出210AF EG AE ===，则5OA OG OE ===，由勾股定理求出12OB =，求出BG ，即可得出答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AD =AB =CB ，AG =AE ，∠DAB =∠GCE =90°，∴∠DAB ﹣∠GAF =∠GCE ﹣∠GAF ，即∠DAG =∠BAE ，在△DAG 和△BAE 中，AD AE DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAG ≌△BAE (SAS)，∴DG =BE ；（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，如图2所示：∵四边形BCHF 是平行四边形，∴HF //BC ，HF =BC =AB ．∵BC ⊥AB ，∴HF ⊥AB ，∴∠HFG =∠FMB ，又AG //EF ，∴∠GAB =∠FMB ，∴∠HFG =∠GAB ，在△GAB 和△GFH 中，AG FG GAB HFG AB FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB ≌△GFH (SAS)，∴GH =GB ，∠GHF =∠GBA ，∴∠HGB =∠HNB =90°，∴△GHB 为等腰直角三角形，∴BH 2=， ∴2BH BG= ②分两种情况：a 、如图3所示：连接AF、EG交于点O，连接BE．∵四边形BCHF为菱形，∴CB=FB．∵AB=CB，∴AB=FB=13，∴点B在AF的垂直平分线上．∵四边形AEFG是正方形，∴AF=EG，OA=OF=OG=OE，AF⊥EG，AE=FE=AG=FG，∴点G、点E都在AF的垂直平分线上，∴点B、E、G在一条直线上，∴BG⊥AF．∵AE=52，∴AF=EG2=AE=10，∴OA=OG=OE=5，∴OB2222AB OA=-=-=12，135∴BG=OB+OG=12+5=17，由①得：BH2=BG=172；b、如图4所示：连接AF、EG交于点O，连接BE，同上得：点B 、E 、G 在一条直线上，OB =12，BG =OG +OB ﹣OG =12﹣5=7，由①得：BH =；综上所述：BH 的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．7．(1)100；(2)见解析.【分析】(1)先证明四边形ABCD 是正方形，再根据已知条件证明△BCF ≌△DCE ，即可得到四边形AECF 的面积=正方形ABCD 的面积；(2) 延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG ，先证明四边形BCEM 是平行四边形，得到BM=CE ，证明△BCF ≌△GCF ，得到BF=GF ，∠FGC=∠FBC=90︒，由AN ⊥MN ，得GM=2MN ，根据∠BAC=45︒，BC ∥AD 得到AM=BF ，再证△BFH ≌△AMN,得到GM=2FH ， 由此得到结论.【详解】(1)∵9,0ABC AB BC ︒∠==，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵ABC ADC ∆≅∆，∴AB=AD=BC=DC ，∴四边形ABCD 是菱形，∵90ABC ADC ︒∠=∠=，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90ABC ADC ︒∠=∠=，∴∠CDE=90ABC ADC ︒∠=∠=，∵BF=DE,BC=DC ，∴△BCF ≌△DCE ，∴四边形AECF 的面积=S 正方形ABCD =AB 2=102=100.(2)延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG,∵△BCF ≌△DCE ，∴∠BCF=∠DCE ，∴∠FCE=∠BCD=90︒,∵BG ⊥CF ，∴∠FHM=∠FCE=90︒,∴BM ∥CE,∵BC ∥AD,∴四边形BCEM 是平行四边形，∴BM=CE.∵CG CB =，BG ⊥CF ，∴∠BCH=∠GCH,∠CBM=∠CGB,∴△BCF ≌△GCF,∴BF=GF,∠FGC=∠FBC=90︒,∵∠BAC=45︒，∴∠AFG=∠BAC=45︒，∴FG=AG,∵BC ∥AD,∴∠CBM=∠AMB,∴∠AGM=∠CGB=∠CBM=∠AMB,∴AM=AG,∵AN ⊥MN ，∴GM=2MN,∵∠BAD=∠ANM=90︒,∴∠ABM+∠AMN=∠MAN+∠AMN=90︒,∴∠ABM=∠MAN,∵AM=AG=FG=BF,∠BHF=∠ANM=90︒,∴△BFH ≌△AMN,∴FH=MN,∴GM=2FH,∵BG+GM=CE,∴2BG FH CE +=.【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题中注意综合思想的方法积累.8．（1）2t =；（2）222=2433PD PE PD PE ++⋅-； (3)①当06x ≤≤时，S △PAE (6)(33)x -+②当6x ≥时, S △PAE (6)(33)x -+ 【解析】【分析】（1）设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入，求得k ，确定解析式；再设设t 秒后构成平行四边形，根据题意列出方程，求出t 即可；（2）过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）得到当t=2时，有C （3，0），D(33+,3)，再根据AB ∥CD ，求出直线CD 和AB 1的解析式，确定E 的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答.（3）根据（1）可以判断有06x ≤≤和6x ≥两种情况，然后分类讨论即可.【详解】（1）解：设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入得：033k =-+ ∴1k =∴3y x由题意得： 设t 秒后构成平行四边形，则3333222t t ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭解之得：2t =，（2）如图:过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）t=2得：∴C 30），D(33,3)∵AB ∥CD∴设CD 为1y x b =+把C 30）代入得b 1=3∴CD 为：y x 3=-易得1AB 为：3y x =-+∴33y x y x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩解之得：E(32+∴2222222()324PD PE PD PE PD PE E D '⎛++⋅=+==++=- ⎝⎭⎝⎭(3)①当06x ≤≤时S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=13(6)(3(6)3224x x ⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭②当6x ≥时：S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=13(6)(3(6)3224x x ⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信.9．（1）证明见解析；（2）菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得到BDE A ∠=∠，根据题意得到DEFBDE ∠=∠，根据平行线的判定定理得到//AD EF ，根据平行四边形的判定定理证明；（2）根据三角形中位线定理得到12DE AC =，得到AD DE =，根据菱形的判定定理证明；（3）根据等腰三角形的性质得到AE EG ⊥，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【详解】 （1）证明：//DE AC ，BDE A ∴∠=∠，DEF A ∠=∠，DEF BDE ∴∠=∠，//AD EF ∴，又//DE AC ，∴四边形ADEF 为平行四边形；（2）解：ADEF 的形状为菱形， 理由如下：点D 为AB 中点， 12AD AB ∴=， //DE AC ，点D 为AB 中点，12DE AC ∴=， AB AC =，AD DE∴=，∴平行四边形ADEF为菱形，故答案为：菱形；（3）四边形AEGF是矩形，理由如下：由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，∴，AF DE//AF DE=，EG DE，=，∴，AF GE//AF DE∴四边形AEGF是平行四边形，=，AD AG，EG DE∴⊥，AE EG∴四边形AEGF是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．10．（1）证明见解析；（2）①AF2AE=②42或22.【分析】()1如图①中，结论：AF2AE=，只要证明AEF是等腰直角三角形即可；()2①如图②中，结论：AF2AE=，连接EF，DF交BC于K，先证明EKF≌EDA再证明AEF是等腰直角三角形即可；=时，四边形ABFD是菱形.b、如图④中当②分两种情形a、如图③中，当AD AC=时，四边形ABFD是菱形.分别求解即可.AD AC【详解】()1如图①中，结论：AF2AE=．理由：四边形ABFD是平行四边形，∴=，AB DF=，AB AC∴=，AC DF=，DE EC∴=，AE EFDEC AEF 90∠∠==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF 2AE ∴=．故答案为AF 2AE =．()2①如图②中，结论：AF 2AE =．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．四边形ABFD 是平行四边形，AB//DF ∴，DKE ABC 45∠∠∴==，EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，EKF ADE ∠∠∴=， DKC C ∠∠=，DK DC ∴=，DF AB AC ==，KF AD ∴=，在EKF 和EDA 中，EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， EKF ∴≌EDA ，EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，FEA BED 90∠∠∴==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF 2AE ∴=．②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，=时，四边形ABFD是菱形，易知如图④中当AD AC=-=-=，AE AH EH32222综上所述，满足条件的AE的长为4222【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．。
八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试提优卷试题
八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试提优卷试题一、解答题1．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 2．综合与探究 如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．3．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．4．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上． （1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．5．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②6．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．7．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。
八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试提优卷
八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试提优卷一、解答题1．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．2．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．3．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC 等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．4．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．（1）求证：AF ∥CE ；（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为32cm 2； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．5．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②求PE 的长．6．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠． （1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．7．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．8．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．9．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．10．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ，数量关系为 ．（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP 的取值范围为 ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，n=1，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF ⊥DE ，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF ，∴△ADE ≌△BAF （ASA ），∴AE=BF ；②结论：AG=BF+AE ．理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，由（1）可知AE=BK ，∵AH=AD ，AK ⊥HD ，∴∠HAK=∠DAK ，∵AD ∥BC ，∴∠DAK=∠AKG ，∴∠HAK=∠AKG ，∴AG=GK ，∵GK=GB+BK=BF+AE ，∴AG=BF+AE ；（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值21a n +⋅21n +， 21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2， ∴2142n x k n+=⋅， ∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-， 故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．2．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）152，理由见解析； 【分析】（1）利用题中所给的关系式，列出CD ，DF ，AE 的式子，即可证明．（2）由题意知，四边形AEFD 是平行四边形，令AD=DF ，求解即可得出t 值．（3）由题意可知，当DE ∥BC 时，△DEF 为直角三角形，利用AD+CD=AC 的等量关系，代入式子求值即可．【详解】（1）由题意知：三角形CFD 是直角三角形∵∠B ＝90°，∠A ＝60°∴∠C=30°，CD=2DF ，又∵由题意知CD=4t ，AE=2t ，∴CD=2AE∴AE=DF ．（2）能，理由如下；由（1）知AE=DF又∵DF ⊥BC ，∠B ＝90°∴AE ∥DF∴四边形AEFD 是平行四边形．当AD=DF 时，平行四边形AEFD 是菱形∵AC ＝60cm ，DF=12CD ，CD=4t ， ∴AD=60-4t ，DF=2t ，∴60-4t=2t∴t=10．（3）当t 为152时，△DEF 为直角三角形，理由如下； 由题意知：四边形AEFD 是平行四边形，DF ⊥BC ，AE ∥DF ，∴当DE ∥BC 时，DF ⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED 中，∵∠DEA=90°，∠A ＝60°，AE=2t∴AD=4t ，又∵AC ＝60cm ，CD=4t ，∴AD+CD=AC ，8t=60，∴t=152． 即t=152时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF 为直角三角形． 【点睛】 本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．3．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析【分析】（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.【详解】(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，∴OD CF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∴OB CF =，在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FCE BOE AAS ≌．(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形∴,,,OA OC OB OD AC BD ===∴OC OD =，∴四边形OCFD 为菱形【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.4．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）t ＝1．【分析】（1）由菱形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD ，可求CF ＝AE ，可得结论；（2）由菱形的性质可求AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，由直角三角形的性质可求AN＝cm ，由三角形的面积公式可求解；（3）由菱形的性质可得EF ⊥GH ，可证四边形DFEM 是矩形，可得DF ＝ME ，由直角三角形的性质可求AM ＝1，即可求解．【详解】证明：（1）∵动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动， ∴DF ＝BE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴CF ＝AE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ∥CE ；（2）如图1，过点A 作AN ⊥CD 于N ，∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝12AD＝1cm，AN＝3DN＝3cm，∴S△ADF＝12×DF×AN＝12×12t×3＝32，∴t＝2；（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，∵四边形AECF是平行四边形，∴FA＝CE，∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，∴FG＝CH，∴四边形FGHC是平行四边形，∴CF∥GH，∵四边形EHFG为菱形，∴EF⊥GH，∴EF⊥CD，∵AB∥CD，∴EF⊥AB，又∵DM⊥AB，∴四边形DFEM是矩形，∴DF＝ME，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM ＝12AD ＝1cm ， ∵AM+ME+BE ＝AB ，∴1+12t+12t ＝2， ∴t ＝1．【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．5．（1）见解析；（2）①见解析；②PE =【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形知∠D=∠ECQ=90°，由E 是CD 的中点知DE=CE ，结合∠DEP=∠CEQ 即可得证；（2）①由PB=PQ 知∠PBQ=∠Q ，结合AD ∥BC 得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，由△PDE ≌△QCE 知PE=QE ，再由EF ∥BQ 知PF=BF ，根据Rt △PAB 中AF=PF=BF 知∠APF=∠PAF ，从而得∠PAF=∠EPD ，据此即可证得PE ∥AF ，从而得证；②设AP x =，则1PD x =-，1CQ x =-，2BQ x =-，利用三角形中位线定理得到()122EF x =-，由EF AP =，构造方程即可求得23x =，在Rt PDE ∆中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E 是CD 的中点，∴DE=CE ，又∵∠DEP=∠CEQ ，∴△PDE ≌△QCE （ASA ）；（2）①∵PB=PQ ，∴∠PBQ=∠Q ，∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，∵△PDE ≌△QCE ，∴PE=QE ，∵PF=BF ，∴EF 是PBQ ∆的中位线，∴EF ∥BQ ，∴在Rt △PAB 中，AF=PF=BF ，∴∠APF=∠PAF ，∴∠PAF=∠EPD ，∴PE ∥AF ，∵EF ∥BQ ∥AD ，∴四边形AFEP 是平行四边形；②设AP x =，则1PD x =-，∴1CQ x =-，∴2BQ x =-，∵EF 是PBQ ∆的中位线， ∴()122EF x =-， ∵EFAP =， ∴()122x x -=， ∴23x =， 在Rt PDE ∆中，222PD DE PE +＝，即22221(1)()32PE -+＝，∴13PE =． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识点．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．6．（1）①见解析；②GFC 是等腰三角形，证明见解析；（2）4+25或4﹣25．【分析】（1）①只要证明△DAH ≌△DCH ，即可解决问题；②只要证明∠CFG=∠FCG ，即可解决问题；（2）分两种情形解决问题：①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．②当点F 在线段DC 的延长线上时，连接DE ．分别求出EC 即可解决问题．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，DA ＝DC ，在△DAH 和△DCH 中，DA DC ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAH ≌△DCH ，∴∠DAH ＝∠DCH ；∵∠ECG=∠DAH ，∴∠ECG=∠DCH ，∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90°，∴∠DCH+∠FCG=90°，∴CH ⊥CG.②∵在Rt △ADF 中，∠DFA+∠DAF ＝90°，由①得∠DCH+∠FCG=90°，∠DAH ＝∠DCH ；∴∠DFA ＝∠FCG ，又∵∠DFA ＝∠CFG ，∴∠CFG ＝∠FCG ，∴GF ＝GC ，∴△GFC 是等腰三角形（2）BE 的长为 4+25或425- ．①如图①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．∵∠GFC ＝∠GCF ，又∵在Rt △FCG 中，∠GEC+∠GFC ＝90°，∠GCF+∠GCE ＝90°，∴∠GCE ＝∠GEC ，∴EG ＝GC ＝FG ，∴G 是EF 的中点，∴GM 是△DEF 的中位线∴DE ＝2MG ＝6，在Rt △DCE 中，CE 22DE DC -2264-5∴BE ＝BC+CE ＝4+25②当点F 在线段DC 的延长线上时，连接DE ．同法可知GM 是△DEC 的中位线，∴DE ＝2GM ＝5，在Rt △DCE 中，CE 22DE DC -2264-5∴BE ＝BC ﹣CE ＝4﹣5综上所述，BE 的长为4+54﹣25【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）见解析；（2）928；（3）4或6 【分析】（1）由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠，BC EC =，由平行四边形的性质得AD BC =，//AD BC ．则EC AD =，ACB CAD ∠=∠，得ACE CAD ∠=∠，证出OA OC =，则OD OE =，由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠，证出CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠，即可得出结论；（2）证四边形ABCD 是矩形，则90CDO ∠=︒，3==CD AB 6AD BC ==OA OC x ==，则6OD x ，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得出方程，求出36OA =，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分两种情况：90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒，需要画出图形分类讨论，根据含30角的直角三角形的性质，即可得到BC 的长．【详解】解：（1）证明：由折叠的性质得：ABC ∆≅△AEC ∆，ACB ACE ∴∠=∠，BC EC =，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ．EC AD ∴=，ACB CAD ∠=∠，ACE CAD ∴∠=∠，OA OC ∴=，OD OE ∴=，ODE OED ∴∠=∠，AOC DOE ∠=∠，CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠，//AC DE ∴；（2）平行四边形ABCD 中，90B ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，90CDO ∴∠=︒，==CD AB AD BC ==由（1）得：OA OC =，设OA OC x ==，则OD x =，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222)x x +=，解得：x =OA ∴=，OAC ∴∆的面积1122OA CD =⨯=； （3）分两种情况：①如图3，当90EAD ∠=︒时，延长EA 交BC 于G ，AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，//AD BC ，90EAD ∠=︒，90EGC ∴∠=︒，30B ∠=︒，AB =30AEC ∴∠=︒，1122GC EC BC ∴==， G ∴是BC 的中点，在Rt ABG ∆中，3BG AB ==， 26BC BG ∴==；②如图4，当90AED ∠=︒时AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，由折叠的性质得：AE AB =，AE CD ∴=，在ACE ∆和CAD ∆中，AE CD CE AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACE CAD SSS ∴∆≅∆，ECA DAC ∴∠=∠，OA OC ∴=，OE OD ∴=，OED ODE ∴∠=∠，AED CDE ∴∠=∠，90AED ∠=︒，90CDE ，//AE CD ∴，又//AB CD ，B ∴，A ，E 在同一直线上，90BAC EAC ∴∠=∠=︒，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，23AB =，32AC AB ∴==，24BC AC ==； 综上所述，当AED ∆是直角三角形时，BC 的长为4或6．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．8．（1）9或5；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD 的边长为3，求出正方形ABCD 的面积为9；②如图1-2，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB=225AE BE +=，即可得出答案；（2）①过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），得出△ABE ≌△CDM （AAS ），得出BE=DM 即可； ②由①得出AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，得出正方形ABCD 的面积S=AB 2=AE 2+BE 2，即可得到答案.【详解】解：（1）①如图，当点B D ，分别在14,l l 上时，面积为：339⨯=；②如图，当点B D ，分别在23,l l 上时，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF=2，∴AB=2222215AE BE +=+=，∴正方形ABCD 的面积=AB 2=5；综上所述，正方形ABCD 的面积为9或5；（2）①证明：过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，如图所示：则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中，90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），∴△ABE ≌△CDM （AAS ），∴BE=DM ，即h 1=h 3．②解：由①得：AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，∵正方形ABCD 的面积：S=AB 2=AE 2+BE 2，∴S=（h 2+h 1）2+h 12=2h 12+2h 1h 2+h 22．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．（1）四边形PBCE 为平行四边形，证明过程见解析；（2）见解析；（3）四边形APCE 为矩形，证明过程见解析.【分析】（1）证明四边形ABCD 为平行四边形，从而得BP//CE ，根据内错角相等证明AD//PE,从而可证PE//BC ，得四边形PBCE 为平行四边形；（2）证明△CBP≌△ACE 即可证明CP=AE ；（3）证明四边形APCE 为平行四边形，然后根据三线合一证明∠APC=90°，可证四边形APCE 为矩形.【详解】解：（1）四边形PBCE 为平行四边形.证明：∵AD BC =，AD BC ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴PB//EC,∵DAE AEP ∠=∠,∴AD//PE,∴PE//BC,∴四边形PBCE 为平行四边形.（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B=∠D，AB//CD,∴BAC ACE =∠∠又∵D ∠=BAC ∠，∴∠B=BAC ∠，∴BC=AC ，B ACE ∠=∠∵四边形PBCE 为平行四边形，∴PB=CE，在△CBP 和△ACE 中BP CE B ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBP≌△ACE.∴CP AE =.（3）四边形APCE 为矩形，证明：∵P 为AB 的中点∴BP=AP ,∵四边形PBCE 为平行四边形，∴BP=CE,∴AP=CE,又∵AB//CD∴四边形APCE 为平行四边形，∵CB=CA ，AP=BP ，∴CP ⊥AB ，∴∠APC=90°，∴ABCD 为矩形.【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形“三线合一”.熟记平行四边形的判定和矩形的判定定理，能根据题意分析得出线段与线段、角与角之间的关系，选择合适的定理是解决本题的关键.10．（1）AP⊥BF，12AP BF=（2）见解析；（3）1≤AP≤2【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理可得12AP ED PD==，即△APD为等腰三角形推出∠DAP=∠EDA，可证△AED≌△ABF可得∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED由三角形内角和可得∠AOF=90°即AP⊥BF由全等可得1122AP ED BF==即12AP BF=（2）延长AP至Q点使得DQ∥AE，PA延长线交于G点，利用P是DE中点，构造△AEP≌△PDQ可得∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA可得∠QDA=∠FAB可证△FAB≌△QDA 得到∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB由三角形内角和可得∠FAG=90°得出AG⊥FB即AP⊥BF由全等可得1122 AP AQ FB ==（3）由于12AP BF=即求BF的取值范围，当BF最小时，即F在AB上，此时BF=2，AP=1当BF最大时，即F在BA延长线上，此时BF=4，AP=2可得1≤AP≤2【详解】（1）根据直角三角形斜边中线定理有AP是△AED中线可得12AP ED PD==，即△APD为等腰三角形．∴∠DAP=∠EDA又AE=AF，∠BAF=∠DAE=90°，AB=AD ∴△AED≌△ABF∴∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED设AP与BF相交于点O∴∠ABF+∠AFB=90°=∠DAP+∠AFB∴∠AOF=90°即AP⊥BF∴1122AP ED BF==即12AP BF=故答案为AP⊥BF，12 AP BF=（2）延长AP至Q点使得DQ∥AE，PA延长线交于G点∴∠EAP=∠PQD，∠AEP=∠QDP∵P是DE中点，∴EP=DP∴△AEP≌△PDQ则∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA∠QDA=180°-（∠PAD+∠PQD）=180°-∠EAD而∠FAB=180°-∠EAD，则∠QDA=∠FAB∵AF=DQ，∠QDA=∠FAB ，AB=AD∴△FAB≌△QDA∴∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB而∠EAP+∠FAG=90°∴∠AFB+∠FAG=90°∴∠FAG=90°∴AG⊥FB即AP⊥BF又1122 AP AQ FB ==∴1 AP2BF=（3）∵12 AP BF=∴即求BF的取值范围BF最小时，即F在AB上，此时BF=2，AP=1BF最大时，即F在BA延长线上，此时BF=4，AP=2∴ 1≤AP≤2【点睛】掌握三角形全等以及直角三角形斜边上的中线，灵活运用各种角关系是解题的关键．。
八年级初二数学下学期平行四边形单元达标测试提优卷试卷
八年级初二数学下学期平行四边形单元达标测试提优卷试卷一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积2．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 3．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .（1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+4．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ． （1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．5．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．(1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．6．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②7．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.8．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.9．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。
八年级初二数学下学期平行四边形单元 期末复习测试提优卷
八年级初二数学下学期平行四边形单元期末复习测试提优卷一、选择题1．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=2OE；③OF=12 CG,其中正确的结论只有()A．①②③B．②③C．①③D．①②2．如图，在边长为5的正方形ABCD中，以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．64．如图，在▭ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P为▭ABCD内一点，点Q在BC边上，则PA+PD+PQ的最小值为( )A3719B．3C．3D．105．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点F是边CD上一点，连接ED，EF，ED平分∠AEF，过点D作DG⊥EF于点M，交BC于点G，连接GE，GF，若FG∥DE，则ABAD的值是()A ．32B ．2C ．2D ．36．如图的△ABC 中，AB>AC>BC,且D 为BC 上一点．现打算在AB 上找一点P ,在AC 上找一点Q,使得△APQ 与以P 、D 、Q 为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法： 甲：连接AD,作AD 的中垂线分别交AB 、AC 于P 点、Q 点，则P 、Q 两点即为所求； 乙：过D 作与AC 平行的直线交AB 于P 点，过D 作与AB 平行的直线交AC 于Q 点，则P 、Q 两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误乙正确7．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，若1S =3，3S =8，则2S 的值为（ ）A ．22B ．24C ．44D ．488．如图，45A ABC C ∠=∠=∠=︒，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则下列结论：①EF BD ⊥，②12EF BD =，③ADC BEF BFE ∠=∠+∠，④AD DC =，其中正确有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若BF ＝3，AB ＝2.5，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．510．如图，在ABCD 中，2,AB AD F =是CD 的中点，作BE AD ⊥于点E ，连接EF BF 、，下列结论:①CBF ABF ∠=∠；②FE FB =；③2EFB S S ∆=四边形DEBC ；④3BFE DEF ∠=∠；其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC = ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．14．已知：点B 是线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 的同侧作等边ABD △和等边BCE ，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点，连接MN ．若AC=6，设BC=2，则线段MN 的长是__________．15．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．16．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________17．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．18．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．19．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．三、解答题21．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．22．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．23．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED 的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．（1）求证：CG平分∠DCB；（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．25．如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x．（1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______；（2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°．①求证：点M是CD的中点；②求x的值．（3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．26．探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．（1）求证：△ACN≌△CBM；（2）∠CPN= °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN= °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．27．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．28．（问题情境）在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）（变式探究）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l 1：y=443x -+与直线l 2：y=2x+4相交于点A ，直线l 1、l 2与x 轴分别交于点B 、点C ．点P 是直线l 2上一个动点,若点P 到直线l 1的距离为1.求点P 的坐标.29．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证△ECG≌△BCG，可得OE；根据直角三角形性质得OF=12BE=12CG.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=12∠ABO=22.5°，∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB；故①正确；∵OA=OB，AE=BG，∴OE=OG，∵∠AOB=90°，∴△OEG是等腰直角三角形，∴OE，∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，∴△ECG≌△BCG，∴BG=EG，∴OE；故②正确；∵∠AOB=90°，EF=BF，∵BE=CG，∴OF=12BE=12CG．故③正确．故正确的结论有①②③．故选A．【点睛】运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．C解析：C【分析】分别以3为底和以3为腰构造等腰三角形即可.注意等腰三角形的大小不同.【详解】①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可,此时三角形为腰为3的等腰三角形；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°，∵EF⊥AC∴△AEH与△AHF为等腰直角三角形∴EF=EH+FH=AH+AH=3.且AE=AF=2AH故△AEF为底为3的等腰三角形；③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC 一个点，连接即可，此时三角形为腰为3的等腰三角形；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；理由如下：与②同理可证EF=3，且EC=FC，在△DEC和△DFC中，∵AC=AC,∠ACE=∠ACF，EC=FC∴△DEC≌△DFC∴AE=AF,故△AEF为底为3的等腰三角形.⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，三角形为底为3的等腰三角形．故满足条件的所有图形如图所示：故选C.【点睛】本题考查作图——应用与设计作图, 等腰三角形的性质与判定, 勾股定理, 正方形的性质. 明确等腰三角形的性质是解答本题的关键.3．D解析：D【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，∴AP＝CP，即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，所以此时△PAE周长的值最小，∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，由勾股定理得：CE＝5，∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型. 4．C解析：C【分析】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，通过边长转换，可将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式，再利根据两点之间线段最短，得出最小值．【详解】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，连接FP，过点E作BC的垂线，交BC于点G，AD于点H，过点A作BC的垂线，交BC于点K∵△AFE是△APD绕点A逆时针旋转60°得到∴∠FAP=60°，∠EAD=60°，AF=AP，EF=PD∴△APF是等边三角形，∴AP=PF∴PA+PD+PQ=PF+FE+PQ≥EG∵四边形ABCD是平行四边形，BC=6∴AE=AD=BC=6，AD∥BC∴在Rt△AHE中，AH=3，3∵HG⊥BC，AK⊥BC，AD∥BC∴AK⊥AD，GH⊥AD，∴AK=HG∵∠ABC=60°，AB=4∴在Rt△ABK中，BK=2，3∴3∴32353=故选：C【点睛】本题考查最值问题，解题关键是旋转△APD，将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式．5．C解析：C【分析】由题意得△AED≌△MED、△BEG≌△MEG、△MGF≌△CGF，设CG=x，用含x的式子表示AD =2x，AB22x=，即可得出AB22x2 AD2x==【详解】∵ED平分∠AEF∴∠AED=∠DEM在矩形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=90°∵DG ⊥EF∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90°∴∠A=∠DME=90°∵DE=DE∴△AED ≌△MED∴ME=AE∵点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点∴AE=BE∴ME=BE∵∠EMC=∠B=90°， EG=EG∴Rt △BEG ≌Rt △MEG∵AD ∥BC∴∠ADG=∠CGD∵ED ∥GF∴∠EDM=∠FGM∴∠ADE=∠CGF∴∠CGF=∠FGM∴△MGF ≌△CGF∴MG=CG=BG设CG=x∴BC=2x∴AD=DM=2x∴DG=3x根据勾股定理可得CD =∴AB =∴AB AD ==故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．6．A解析：A【分析】如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD ，QA=QD ，则根据"SSS"可判断APQ ≌DPQ ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ 为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ ，PD=AQ ， 则根据"SSS"可判断△APQ≌△DQP,则可对乙进行判断.【详解】解：如图1，∵PQ垂直平分AD，∴PA= PD,，QA= QD，∵PQ= PQ，∴△APQ≌△DPQ (SSS)，所以甲正确；如图2，∵PD ∥AQ，DQ ∥AP，∴四边形APDQ为平行四达形，∴PA=DQ,，PD=AQ，∵PQ=QP，∴△APQ≌△DQP (SSS)，所以乙正确；故选：A.【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定.7．C解析：C【分析】根据已知条件得到AB3CD＝2，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝2BAE＝90°，根据勾股定理得到BE22，于是得到结论．AB AE【详解】∵S1＝3，S3＝8∴AB3，CD＝2过A作AE∥CD交BC于E则∠AEB ＝∠DCB∵AD ∥BC∴四边形AECD 是平行四边形∴CE ＝AD ，AE ＝CD ＝22∵∠ABC +∠DCB ＝90°∴∠AEB +∠ABC ＝90°∴∠BAE ＝90°∴BE 3811+=∵BC ＝2AD∴BC ＝2BE ＝211∴S 2＝(21144=故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键． 8．C解析：C【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得//EF AC ，12EF AC =，再由45°角可证△ABQ 为等腰直角三角形，从而可得可得AQ BQ =，进而证明AQC BQDASA ≅△△（)，利用三角形的全等性质求解即可． 【详解】解：如图所示：连接AC ，延长BD 交AC 于点M ，延长AD 交BC 于Q ，延长CD 交AB 于P ．45ABC C ∠=∠=︒，CP AB ∴⊥，45ABC BAD ∠=∠=︒，AQ BC ∴⊥，点D 为两条高的交点，BM ∴为AC 边上的高，即：BM AC ⊥，由中位线定理可得//EF AC ，12EF AC =， BD EF ∴⊥，故①正确；45DBQ DCA ∠+∠=︒，45DCA CAQ ∠+∠=︒，DBQ CAQ ∴∠=∠，BAD ABC ∠=∠，AQ BQ ∴=，90BQD AQC ∠=∠=︒，∴根据以上条件得AQC BQD ASA ≅△△（)，BD AC ∴=，12EF AC ∴=，故②正确； 45A ABC C ∠=∠=∠=︒，()18045DAC DCA BAD ABC BCD ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒，180135()180ADC DAC DCA BEF BFE ABC ∴∠=︒-∠+∠=︒=∠+∠=︒-∠，故③ ADC BEF BFE ∠=∠+∠成立；无法证明AD CD =，故④错误．综上所述：正确的是①②③，故选C ．【点睛】本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明AQC BQD ASA ≅△△（)．9．B解析：B【分析】连接EF ，先证AF =AB =BE ，得四边形ABEF 是菱形，据此知AE 与BF 互相垂直平分，继而得OB 的长，由勾股定理求得OA 的长，继而得出答案．【详解】由题意得：AF =AB ，AE 为∠BAD 的角平分线，则∠BAE =∠FAE ．又∵四边形ABCD 是平行四边形，则AD ∥BC ，∠BAE =∠FAE =∠BEA ，∴AF =AB =BE ． 连接EF ，则四边形ABEF 是菱形，∴AE 与BF 互相垂直平分，设AE 与BF 相交于点O ，OB 2BF ==1.5．在Rt △AOB 中，OA 22222515AB OB =-=-=．．2，则AE =2OA =4．故选B ．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的尺规作图方法等． 10．C解析：C【分析】由平行四边形的性质结合AB=2AD ，CD=2CF 可得CF=CB ，从而可得∠CBF=∠CFB ，再根据CD ∥AB ，得∠CFB=∠ABF ，继而可得CBF ABF ∠=∠，可以判断①正确；延长EF 交BC 的延长线与M ，证明△DFE 与△CFM(AAS)，继而得EF=FM=12EM ，证明∠CBE=∠AEB=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得S △BEF =S △BMF ，S △DFE =S △CFM ，继而可得S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，继而可得2EFB S S ∆=四边形DEBC ，可判断③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，则可得AD//FN ，则有∠DEF=∠EFN ，根据等腰三角形的性质可得∠BFE=2∠EFN ，继而得∠BFE=2∠DEF ，判断④错误.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AB=CD ，AD//BC ，∵AB=2AD ，CD=2CF ，∴CF=CB ，∴∠CBF=∠CFB ，∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴CBF ABF ∠=∠，故①正确；延长EF 交BC 的延长线与M ，∵AD//BC ，∴∠DEF=∠M ，又∵∠DFE=∠CFM ，DF=CF ，∴△DFE 与△CFM(AAS)，∴EF=FM=12EM ， ∵BF ⊥AD ，∴∠AEB=90°，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠CBE=∠AEB=90°，∴BF=12EM ， ∴BF=EF ，故②正确；∵EF=FM ，∴S △BEF =S △BMF ，∵△DFE ≌△CFM ，∴S △DFE =S △CFM ，∴S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，∴2EFB S S ∆=四边形DEBC ，故③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，∴∠AEB=∠FEN ，∴AD//EF ，∴∠DEF=∠EFN ，又∵EF=FB ，∴∠BFE=2∠EFN ，∴∠BFE=2∠DEF ，故④错误，所以正确的有3个，故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.二、填空题11．12或20根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222=-=-=,BE AB AE543∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222-=-,BE AB AE543∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得222+=-，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）. x x4(8)故答案为：（-10，3）【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．1421【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得//,4ME AB ME AB ==，再根据平行线的性质可得60FEM C ∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得2,23EF MF ==，从而可得3FN =，最后在Rt FMN 中，利用勾股定理即可得．【详解】如图，连接ME ，过点M 作MF CE ⊥，交CE 延长线于点F ，ABD △和BCE 都是等边三角形，2BC =，60,2,A CBE C BE CE AD A C B B ∴∠=∠=∠=︒====，//AD BE ∴，6AC =，624AD AB ∴==-=，点M ，N 分别是AD ，CE 的中点， 112,122AM AD EN CE ∴====， AM BE ∴=，∴四边形ABEM 是平行四边形，//,4ME AB ME AB ∴==， 60FEM C ∴∠=∠=︒，在Rt EFM △中，906030EMF ∠=︒-︒=︒，2212,232EF ME MF ME EF ∴===-=， 123FN EN EF ∴=+=+=，则在Rt FMN 中，22223(23)21MN FN MF =+=+=，故答案为：21．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．15．8个【分析】作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【详解】如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，∴∠ACM ＝90°，∴EM 2222EC +CM =4+2=25则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为55，在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，∴点P在CH上时，25＜PE＋PF≤6，在点H左侧，当点P与点B重合时，∵FN⊥BC，∠ABC＝90°，∴FN∥AB，∴△CFN∽△CAB，∴FN CN CF1===AB CB CA3，∵AB＝BC＝22AC＝32，∴FN＝13AB＝2，CN＝13BC＝2，∴BN＝BC－CN＝22，BF＝22FN+BN=2+8=10，∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF＝10，∴PE＋PF＝210，∴点P在BH上时，25＜PE＋PF＜210，∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．即共有8个点P满足PE＋PF＝5，故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．16．①②④⑤【分析】根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；【详解】∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，∴∠BAE=∠BEA=45°，又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，∴△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，∴AD//BC，∴∠ADE=∠DEC，∴∠AED=∠DEC，又∵DC⊥BC，∴∠DCE=∠DHE=90°∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即：DE平分∠HDC，所以①正确；∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，∴∠HDO=12∠HDC=12×45°=22.5°，∵∠BAE=45°，AB=AH，∴∠OHE=∠AHB= 12(180°−∠BAE)=12×(180°−45°)=67.5°，∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，∴OD=OH，在△AED中，AE=AD，∴∠AED=1 2(180°−∠EAD)=12×(180°−45°)=67.5°，∴∠OHE=∠HEO=67.5°，∴OE=OH，∴OD=OE，所以②正确；在△DHE和△DCE中，DHE DCEHDE CDEDE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔDHE≅ΔDCE(AAS)，∴DH=DC，∠HDE=∠CDE=12×45°=22.5°，∵OD=OH，∴∠DHF=22.5°，∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，∴△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③不正确；如图，过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∴JH=JE，又∵J是BC的中点，H是BF的中点，∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，即有：BC−CF=2CE，所以④正确；∵AD//BC，∴IJ⊥AD，又∵△AHD是等腰直角三角形，∴I是AD的中点，∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，∴J是BC的中点，∴H是BF的中点，所以⑤正确；综上所述，正确的有①②④⑤，故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．17．①②③④【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，∵AH ⊥BC ，∴∠ABH +∠BAH ＝90°，∵∠BAE ＝90°，∴∠EAP +∠BAH ＝90°，∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，∴△ABH ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AH ，同理可得GQ ＝AH ，∴EP ＝GQ ，∵在△EPM 和△GQM 中，90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPM ≌△GQM （AAS ），∴EM ＝GM ，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．18．16或10【分析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C 时，作辅助线，构建平行四边形AGHD 和直角三角形EGB'，计算EG 和B'G 的长，根据勾股定理可得B'D 的长；【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=18．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°又GH∥AD，∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD是矩形，∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，又B'D=B'C，∴DH＝HC＝18CD=，AG=DH=8，3∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt△EGB'中，由勾股定理得：GB′2213512，∴B'H=GH×GB'=18-12=6，在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D22+=6810综上，DB'的长为16或10．故答案为： 16或10【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．19．65【分析】先由正方形的性质得到∠ABF的角度，从而得到∠AEB的大小，再证△AEB≌△AED，得到∠AED 的大小【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD∵∠FBC=20°，∴ABF=70°∴在△ABE 中，∠AEB=65°在△ABE 与△ADE 中45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADE∴∠AED=∠AEB=65°故答案为：65°【点睛】本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.20【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．【详解】由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，∵四边形EFCB 为矩形，∴FC=BE=1，∵AB ∥FC ，∴∠GFC=∠DAF=45°，∴GC=FC=1，∴FG ===．【点睛】本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．三、解答题21．（1）112；（2）112或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形。
八年级初二数学下学期平行四边形单元测试提优卷试卷
八年级初二数学下学期平行四边形单元测试提优卷试卷一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．23 2．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（ ）A ．65B ．125C ．32D ．42 3．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心1O ，再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中点2O ，又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ，再从中心3O 走到正方形3O KJP 的中心4O ，一共走了312m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）A ．36mB ．48mC ．96mD ．60m4．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,E F 在正方形ABCD 内， ,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，则EF 的长为（ ）A ．23B ．32-C 31D 35．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（ ）①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．A ．①⑥B ．①②④⑥C ．①②③④D ．①②④⑤⑥6．如图：点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形，且菱形AECF 的周长为20，BD 为24，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．24B ．36C ．72D ．1447．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片，使AD 落在BC 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB ，AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论①∠AGD ＝110.5°；②S △AGD ＝S △OGD ；③四边形AEFG 是菱形；④BF ＝2OF ；⑤如果S △OGF ＝1，那么正方形ABCD 的面积是12+82，其中正确的有（ ）个．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形1OAA B 的两个顶点，以1OA 对角线为边作正方形121OA A B ，再以正方形的对角线2OA 作正方形121OA A B ，…，依此规律，则点8A 的坐标是（ ）A．（－8，0）B．（0，8）C．（0，82）D．（0，16）9．如图，ABCD中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则ABAD的值为（）A．12B．33C．22D．3210．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=725.其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM-MN的最大值为________．12．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．13．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．14．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （23，0），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．15．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)16．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．17．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．18．如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则AF的值为______．19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝12AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为_____．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝2CD；其中正确的是_____（填序号）三、解答题21．在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，PF⊥BD于点F，PA＝PF．（1）试判断四边形AGFP的形状，并说明理由．（2）若AB＝1，BC＝2，求四边形AGFP的周长．22．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．23．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．24．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）25．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．（1）求EAF ∠的度数；（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：2BD BG DG AF DM =+=+．26．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.27．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。