第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教材)人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
高中数学第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直练习含解析新人教A版必修第二册
D．垂心
【答案】D 【解析】连接 AO 并延长，交 BC 于 D，连接 BO 并延长，交 AC 于 E.因为
PA⊥PB，PA⊥PC，故 PA⊥平面 PBC，故 PA⊥BC．因为 PO⊥平面 ABC，故 PO⊥BC，故 BC
平面 ABCD 为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形⇒AB⊥BC C 不正确．
7．若 a，b 表示直线，α表示平面，给出下列命题：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b ⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的命题为________．(填序号)
【答案】①④ 【解析】由线面垂直的性质知①、④正确．②中 b 可能满足 b⊂α，故② 错误；③中 b 可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③错误．
2 则 AD2＋SD2＝SA2，所以 AD⊥SD． 又 BC∩SD＝D，所以 AD⊥平面 SBC． 因此∠ASD 即为直线 AS 与平面 SBC 所成的角． 在 Rt△ASD 中，SD＝AD＝ 2a，
2 所以∠ASD＝45°，即直线 AS 与平面 SBC 所成的角为 45°.
B 级——能力提升练 11．(2019 年汕头期末)在下列四个正方体中，能得出 AB⊥CD 的是( )
6．(多选)已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面，则下列结论中正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 【答案】ABD 【解析】PA⊥平面 ABCD⇒PA⊥BD，D 正确；
PA⊥平面 ABCD⇒PA⊥BC ⇒BC⊥平面 PAB⇒BC⊥PB．故 A 正确；同理 B 正确；
位置关系是( )
A．相交
B．异面
C．平行
D．不确定
【答案】C 【解析】因为 l⊥AB，l⊥AC 且 AB∩AC＝A，所以 l⊥平面 ABC．同理可证
高中数学新教材人教版2019必修第二册第八章《立体几何初步》空间平行垂直复习课教学设计
师生互动、分组探究、个别指导等多种形式相结合，学生在学习中既能感受轻松愉悦的参与感、又能体验被个别关注的存在感；在方法技术上，将实物模型观察、课件演示、思维导图展示、投影、小组竞赛等引入课堂，学生既可以借助这些技术手段帮助思考，同时还可以体会学科知识的学习与实际生活以及信息技术的联系，从而提高学习兴趣，激发学习欲望和探究精神。
■六、教学过程设计教学环节（一）回顾知识强化记忆教学内容师生活动设计意图回顾平行与垂直的相关知识，展示平行与垂直在空间位置关系之间的的地位以及知识之间的联系完成三种语言转化表格问题1：请同学们完成以下表格！学生完成学案上三种语言的转化表格，师生共同浏览幻灯片回顾知识；并和学生一起核对答案学生通过浏览了解整个小节知识框架和地位，培养学生看待问题的整体意识和联系意识的习惯。
学生通过完成表格方式替代老师念读或幻灯片放映，既强化了对知识的理解和记忆，同时也在这样的学习习惯中养成自主学习意识.请大家核对答案教学环节（二）分析强调、深化理解教学内容师生活动设计意图课堂演练1、判断正误（一道5分）（1）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行。
（）（2）若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。
（）（3）若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行。
（）（4）若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，学生自主完成后，小组交流讨论，并把讨论的最终答案交上来老师逐题询问，考查学生对空间的认知能力，并掌握判断空间位置的方法则这两条直线互相垂直。
（ ）学生分析后，给出答案教学环节（三）一题多问，空间平行、垂直之间的转化2、解答题：如图，已知四棱锥中，底面ABCD 是正方形，PA 平面,点是的中点，点是的中点问题1.求证：//平面P ABCD ABCD M CD N PB MN PAD-⊥学生自主完成后，小组交流讨论，并把解题思路整理出来，以抢答的形式，小组派代表展示，有需要时老师适当引导。
高中数学第八章立体几何初步 直线与直线平行 直线与平面平行课后提能训练新人教A版必修第二册
第八章 8.5 8.5.1 8.5.2A级——基础过关练1．若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( ) A．全等B．不可能全等C．仅有一个角相等D．全等或相似【答案】D【解析】由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等．2．(多选)下列命题中,错误的有( )A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行【答案】AC【解析】这两个角相等或互补,选项A错误；由等角定理知选项B正确；在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误；由基本事实4知选项D正确．3．如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则( )A．GH∥SA B．GH∥SDC．GH∥SC D．以上均有可能【答案】B【解析】因为GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD＝SD,所以GH∥SD,显然GH与SA,SC均不平行．故选B.4．直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有( )A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条【答案】C【解析】过直线a与n条直线的交点作平面β,设平面β与α交于直线b,则a∥b.若所给n条直线中有1条是与b重合的,则此直线与直线a平行,若没有与b重合的,则与直线a 平行的直线有0条．5．梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α的位置关系是________．【答案】平行【解析】因为AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,由线面平行的判定定理可得CD∥α.6．给出下列四个命题,其中正确命题的序号是________．①在空间,若两条直线不相交,则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交,那么它也和另一条相交；④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.【答案】②④【解析】①错,可以异面；②正确,基本事实4；③错误,和另一条可以异面；④正确,由平行直线的传递性可知．7．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1【解析】(1)因为B1D1∥BD,B1C1∥BC且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．8．如图,已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图,连接AC.因为在△ACD中,M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△ACD的中位线．所以MN ∥AC ,MN ＝12AC .由正方体的性质得AC ∥A 1C 1,AC ＝A 1C 1.所以MN ∥A 1C 1,且MN ＝12A 1C 1,即MN ≠A 1C 1.所以四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又因为ND ∥A 1D 1,所以∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角, 所以∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.9．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是棱BC ,C 1D 1的中点,求证：EF ∥平面BDD 1B 1.证明：如图,取D 1B 1的中点O ,连接OF ,OB .因为OF 綉12B 1C 1,BE 綉12B 1C 1,所以OF 綉BE .所以四边形OFEB 是平行四边形． 所以EF ∥BO .因为EF ⊄平面BDD 1B 1,BO ⊂平面BDD 1B 1,所以EF ∥平面BDD 1B 1.B 级——能力提升练10．如图所示,在空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 上的点,EH ∥FG ,则EH 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定【答案】A【解析】因为EH ∥FG ,FG ⊂平面BCD ,EH ⊄平面BCD ,所以EH ∥平面BCD .因为EH ⊂平面ABD ,平面ABD ∩平面BCD ＝BD ,所以EH ∥BD .11．(2021年武汉模拟)对于直线m ,n 和平面α,下面命题中的真命题是( ) A ．如果m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线,那么n ∥α B ．如果m ⊂α,n 与α相交,那么m ,n 是异面直线 C ．如果m ⊂α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n D ．如果m ∥α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n 【答案】C【解析】对于A,如果m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线,则n ∥α或n 与α相交,故A 错误；对于B,如果m ⊂α,n 与α相交,则m ,n 相交或是异面直线,故B 错误；对于C,如果m ⊂α,n ∥α,m ,n 共面,由线面平行的性质定理,可得m ∥n ,故C 正确；对于D,如果m ∥α,n ∥α,m ,n 共面,则m ∥n 或m ,n 相交,故D 错误．12.如图,四棱锥S －ABCD 的所有的棱长都等于2,E 是SA 的中点,过C ,D ,E 三点的平面与SB 交于点F ,则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 3C ．3＋2 3D ．2＋2 3【答案】C【解析】由AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2,得AB ∥CD ,即AB ∥平面DCFE ,∵平面SAB ∩平面DCFE ＝EF ,∴AB ∥EF .∵E 是SA 的中点,∴EF ＝1,DE ＝CF ＝ 3.∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.13．(多选)如图所示,在四面体ABCD 中,M ,N ,P ,Q ,E 分别是AB ,BC ,CD ,AD ,AC 的中点,则下列说法正确的是( )A ．M ,N ,P ,Q 四点共面B ．∠QME ＝∠CBDC ．△BCD ∽△MEQ D ．四边形MNPQ 为矩形【答案】ABC【解析】由条件易得MQ ∥BD ,ME ∥BC ,QE ∥CD ,NP ∥BD ,所以MQ ∥NP .对于A,由MQ ∥NP ,得M ,N ,P ,Q 四点共面,故A 正确；对于B,根据等角定理,得∠QME ＝∠DBC ,故B 正确；对于C,由等角定理知∠QME ＝∠DBC ,∠MEQ ＝∠BCD ,则△BCD ∽△MEQ ,故C 正确；对于D,没有充分理由推证四边形MNPQ 为矩形,故D 不正确．14.(2021年安庆期末)如图,P 为□ABCD 所在平面外一点,E 为AD 的中点,F 为PC 上一点,当PA ∥平面EBF 时,PFFC＝________．【答案】12【解析】连接AC 交BE 于G ,连接FG ,因为PA ∥平面EBF ,PA ⊂平面PAC ,平面PAC ∩平面BEF ＝FG ,所以PA ∥FG ,所以PF FC ＝AG GC .又因为AD ∥BC ,E 为AD 的中点,所以AG GC ＝AE BC ＝12,所以PFFC＝12.15.(2021年哈尔滨月考)如图所示,ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M ,N 分别是下底面的棱A 1B 1,B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,AP ＝a3,过P ,M ,N 的平面交上底面于PQ ,Q在CD 上,则PQ ＝________．【答案】223a【解析】∵MN ∥平面AC ,平面PMN ∩平面AC ＝PQ ,∴MN ∥PQ .∵MN ∥A 1C 1∥AC ,∴PQ ∥AC .∵AP ＝a 3,∴DP ＝DQ ＝2a 3.∴PQ ＝2×2a 3＝223a .16．在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ACB ＝90°,EF ∥AB ,FG ∥BC ,EG ∥AC ,AB ＝2EF ,M 是线段AD 的中点,求证：GM ∥平面ABFE .证明：因为EF ∥AB ,FG ∥BC ,EG ∥AC ,∠ACB ＝90°, 所以△ABC ∽△EFG ,∠EGF ＝90°. 由于AB ＝2EF ,因此BC ＝2FG .如图,连接AF .由于FG ∥BC ,FG ＝12BC ,在□ABCD 中,M 是线段AD 的中点,则AM ∥BC ,且AM ＝12BC .因此FG ∥AM 且FG ＝AM .所以四边形AFGM 为平行四边形． 因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ,GM ⊄平面ABFE , 所以GM ∥平面ABFE .C 级——探索创新练17．如图,在四面体PABC 中,PC ⊥AB ,PA ⊥BC ,点D ,E ,F ,G 分别是棱AP ,AC ,BC ,PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ,到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． (1)证明：∵D ,E 分别为AP ,AC 的中点,∴DE ∥PC . ∵DE ⊄平面BCP ,PC ⊂平面BCP , ∴DE ∥平面BCP .(2)解：∵D ,E ,F ,G 分别为AP ,AC ,BC ,PB 的中点, ∴DE ∥PC ∥FG ,DG ∥AB ∥EF . ∴四边形DEFG 为平行四边形．∵PC ⊥AB ,∴DE ⊥DG ,∴四边形DEFG 为矩形．(3)解：存在点Q 满足条件,理由如下：连接DF ,EG ,设Q 为EG 的中点,由(2)知DF ∩EG ＝Q ,且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ,AB 的中点M ,N ,连接ME ,EN ,NG ,MG ,MN ,与(2)同理,可证四边形MENG 为矩形,其对角线交点为EG 的中点Q ,且QM ＝QN ＝12EG ,∴Q 为满足条件的点．。
习题课平行与垂直的综合问题-【新】人教A版高中数学必修第二册ppt下载
(1)若 G 为 FB 的中点，求证：AG⊥平面 BCEF. (2)求二面角 C－AB－F 的正切值.
返回导航
习题课平行与垂直的综合问题-【新】 人教A 版高中 数学必 修第二 册ppt下 载【PP T教研 课件】
第八章
立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)证明：因为AF＝BF，∠AFB＝60°，所以△AFB为等边三角 形.
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] (1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定 注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤， 如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已 知平面相交，这时才有直线与交线平行.
(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定 理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应 用定理解决问题时，经常采取“线线垂直”⇒“线面垂直”⇒“面面垂 直”的转化思想进行推理.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习 】❶ 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB， AB1⊥B1C1．
求证：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. [证明] (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1． 因为AB⊄平面A1B1C， A1B1⊂平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C.
第八章
立体几何初步
习题课 平行与垂直的综合问题
关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
关键能力·攻重难
2020-2021学年高中人教A版数学必修第2册：第8章习题课平行与垂直的综合问题
第八章 习题课A 组·素养自测一、选择题1．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为( B ) A ．平行 B ．相交 C ．异面D ．垂直[解析] 因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交. 2．已知P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A ，B 两点的任一点，则下列关系不正确的是( C )A ．P A ⊥BCB ．BC ⊥平面P AC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC[解析] 由P A ⊥平面ACB ⇒P A ⊥BC ，故A 不符合题意；由BC ⊥P A ，BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，可得BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥PC ，故B 、D 不符合题意；AC ⊥PB 显然不成立，故C 符合题意.3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ︰EB ＝CF ︰FB ＝1︰2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定[解析] 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .4．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( D ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α[解析] 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，不符合题意；同理，选项B 、C 也不符合题意；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件，故选D ．5．(多选题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值.其中正确的命题是(ACD)A．①B．②C．③D．④[解析]由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面).∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V)，∴S△BEF·BC＝V，即12BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选ACD．二、填空题6．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__3__个；与AP垂直的直线有__1__个.[解析]∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.7．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且__________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__①或③__(填序号).[解析] 由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.故应填入的条件为①或③.8．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确命题的序号是__①③__.[解析] 如图所示，因为AA 1∥平面α，平面α∩平面AA 1B 1B ＝EH ，所以AA 1∥EH .同理AA 1∥GF ，所以EH ∥GF ，又ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，易知EH ＝GF ＝AA 1，所以四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB 1C 1C ，由平面α∩平面A 1B 1C 1＝GH ，平面BCC 1B 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1C 1，知GH ∥B 1C 1，而GH ∥B 1C 1不一定成立，故②错误；由AA 1⊥平面BCFE ，结合AA 1∥EH 知EH ⊥平面BCFE ，又EH ⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE ，故③正确.三、解答题9．如图，在圆锥PO 中，AB 是⊙O 的直径，C 是AB ︵上的点，D 为AC 的中点.证明：平面POD ⊥平面P AC .[证明] 如图，连接OC ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，所以AC ⊥PO .因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD .又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC .10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1．求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .[证明] (1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1，因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D .又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ，因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 组·素养提升一、选择题1．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是( C )A ．若m ∥n ，m ⊂α，则α∥βB ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥nC ．若m ∥n ，m ⊥α，则α⊥βD ．若α∥β，m ⊥n ，则m ⊥α[解析] 对于A ，两个平面内各一条直线互相平行，不能保证两个平面互相平行，A 错误；对于B ，分别在两个互相平行的平面内的两条直线不能保证相互平行，B 错误；对于C ，两条平行线中的一条垂直于一个平面，可得另一条也垂直于这个平面，于是β内有一条直线垂直于α，故α⊥β，C 正确；对于D ，m 垂直于β内的一条直线，不能保证m 垂直于β，故不能得到m 垂直于α，D 错误.2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB .若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为( C )A ．63 B ．22C ．33D ．13[解析] 取DD 1的中点G ，连接EG 、FG 、EC 1，易知∠FEG 为直线EF 与平面ADD 1A 1所成的角，设AB ＝a ，则AA 1＝AD ＝2a ，在△ED 1C 1中可求出EC 1＝2a ，在△EFC 1中可求出EF ＝3a ，所以在△EFG 中，sin ∠FEG ＝FG EF ＝33，故选C ．3．如图，在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论不成立的是( D )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDF ⊥平面P AED ．平面PDE ⊥平面ABC[解析] 因为BC ∥DF ，DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC ∥平面PDF ，故选项A 正确.在正四面体P －ABC 中，AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，AE ∩PE ＝E ，所以BC ⊥平面P AE ，又DF ∥BC ，则DF ⊥平面P AE ，从而平面PDF ⊥平面P AE .因此选项B 、C 均正确.4．如图所示，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′-BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( B )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′-BCD 的体积为13[解析] 因为平面A ′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面A ′BD ，所以CD ⊥BA ′.由勾股定理，得A ′D ⊥BA ′.又因为CD ∩A ′D ＝D ，所以BA ′⊥平面A ′CD ，所以∠BA ′C ＝90°.二、填空题5．已知直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线P A ⊥l ，则AP 与平面α的位置关系是__AP ⊂α__.[解析] 设AP 与l 确定的平面为β.假设AP ⊄α，不妨设α∩β＝AM ，AP 与AM 不重合，如图所示.因为l ⊥α，AM ⊂α，所以l ⊥AM .又AP ⊥l ，所以在平面β内，过点A 有两条直线垂直于l ，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以假设不成立.所以AP ⊂α.6．如图所示，等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 的中点，沿AD 把△ADC 折叠到△ADC ′处，使二面角B -AD -C ′为60°，则折叠后二面角A -BC ′-D 的正切值为__2__.[解析] 易知∠BDC ′即二面角B －AD －C ′的平面角，有∠BDC ′＝60°，所以△BDC ′为等边三角形.取BC ′的中点M ，连接DM ，AM ，则易知DM ⊥BC ′，AM ⊥BC ′，所以二面角A －BC ′－D 的平面角即∠AMD .在等边三角形ABC 中，易知AD ＝23，在等边三角形BDC ′中，易知DM ＝3，所以tan ∠AMD ＝ADDM＝2． 三、解答题7．(江苏高考题)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5．求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .[证明] (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥P A .又P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8， 所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4．又因为DF ＝5，所以DF 2＝DE 2＋EF 2．所以∠DEF ＝90°.即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若∠ABC ＝60°，求证：平面P AB ⊥平面P AE ；(3)棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面P AE ？说明理由.[解析] (1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥BD .因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC .(2)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AE .因为底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，且E 为CD 的中点， 所以AE ⊥CD .所以AB ⊥AE . 又AB ∩P A ＝A ，所以AE ⊥平面P AB .因为AE ⊂平面P AE ，所以平面P AB ⊥平面P AE . (3)棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面P AE .取PB 的中点F ，P A 的中点G ，连接CF ，FG ，EG ， 则FG ∥AB ，且FG ＝12AB .因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE ＝12AB .所以FG ∥CE ，且FG ＝CE .所以四边形CEGF 为平行四边形.所以CF ∥EG . 因为CF ⊄平面P AE ，EG ⊂平面P AE ， 所以CF ∥平面P AE .莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
习题课平行与垂直的综合问题【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❸ 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是圆内接四 边形(记此圆为 W)，且 PA⊥平面 ABCD.
(1)当 BD 是圆 W 的直径时，PA＝BD＝2，AD＝CD＝ 3，求四棱锥 P－ABCD 的体积.
(2)在(1)的条件下，判断在棱 PA 上是否存在一点 Q， 使得 BQ∥平面 PCD？若存在，求出 AQ 的长；若不存在， 请说明理由.
又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.
如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已 (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P， 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算.
又G为FB的中点，所以AG⊥FB.
习题课 平行与垂直的综合问题
返回导航
第八章 立体几何初步
题型二 立体几何中的折叠问题
数学（必修·第二册RJA）
典例 2 如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，AB∥ CD，AD＝CD＝12AB＝2，E 为 AC 的中点，将△ACD 沿 AC 折起，使折 起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直，得到如图 2 所示的几何体 D－ABC.
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)点 F 在棱 CD 上，且满足 AD∥平面 BEF，求几何体 F－BCE 的体积.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)证明：∵AC＝ AD2＋CD2＝2 2， ∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4， ∴在△ABC 中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC. ∵平面 ACD⊥平面 ABC， 平面 ACD∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC， ∴BC⊥平面 ACD.
数学人教A版高中必修二(2019新编)8-5-2直线与平面平行(当堂达标)
第八章 立体几何初步 8.5.2直线与平面平行(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 平行于平面α内的无数条直线,则//l αB ．若直线a 在平面α外,则//a αC ．若直线//,a b b α⊂,则//a αD ．若直线//,a b b α⊂，则直线a 平行于α内的无数条直线 【答案】D【解析】对于A ,若直线l 平行于平面α内的无数条直线,则//l α或l α⊂,故A 不正确;对于B ,若直线a 在平面α外,则//a α或a 与α相交,故B 不正确;对于C ,若直线//,a b b α⊂,则//a α或a α⊂,故C 不正确;对于D ,若直线//,a b b α⊂，则直线a 平行于α内的无数条直线,是正确的. 故选:D2．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F 平面1BD E 的图形为（ ）A ．①B ．①②C ．②D ．①②③【答案】C【解析】①中，平移1A F 至1D F '，知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与面1BD E 不平行；②中，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则易知11//A F D E ，而1⊄A F 平面1BD E ，1D E ⊂平面1BD E ，故1//A F 平面1BD E ；③中，同①平移1A F 至1D F '，知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与面1BD E 不平行；故选：C ．3．已知直线，和平面，，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选:D ．4．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，且::1:4AE EB AF FD ==，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则（ ）A ．//BD 平面EFG ，且四边形EFGH 是矩形B ．//EF 平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．//HG 平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．//EH 平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形 【答案】B【解析】如下图所示：在平面ABD 内，::1:4AE EB AF FD ==，//EF BD ∴，且15EF BD =.又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，//EF 平面BCD .又在平面BCD 内，H 、G 分别是BC 、CD 的中点，//HG BD ∴，且12HG BD =. //HG EF ∴，且HG EF ≠，∴四边形EFGH 为梯形. 故选:B5.下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．①③④D ．②④【答案】B【解析】对于①，如图，依题意M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知////,//BC AD MN BD NP ，由于BC ⊄平面MNP ，MN ⊂平面MNP ，所以//BC 平面MNP ； 由于BD ⊄平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，所以//BD 平面MNP ； 由于BCBD B =，所以平面//ACBD 平面MNP ，所以//AB 平面MNP ，所以①正确.对于②，如图，设BC与DE相交于O，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正AB ON，因为ON与平面MNP相交，所以AB与平面MNP不平行，所方体的性质可知//以②错误.AB CM，而CM与平对于③，如图，设C是AD的中点，因为M是BD的中点，所以//面MNP相交，所以AB与平面MNP不平行，所以③错误.AB CD NP，对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知////AB平面MNP，所以④正确.AB⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，所以//综上所述，正确的序号有①④.故选：B.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．已知直线b ，平面α，下列能推出b ∥α的选项有（ ） 有以下条件：A.b 与α内一条直线平行；B.b 与α内所有直线都没有公共点；C.b 与α无公共点；D.b 不在α内，且与α内的一条直线平行. 【答案】BCD【解析】【解析】①中b 可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b ∥α.故选:BCD7．如图，下列正三棱柱111ABC A B C 中，若M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，则能得出//AB 平面MNP 的是（ ）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】在A 、B 选项中，M 、N 分别为11A C 、11B C 的中点，则11//MN A B ，在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，//MN AB ∴，MN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ，则//AB 平面MNP ，A 、B 选项正确； 在C 选项中，如下图所示：取AB 的中点Q ，连接MQ 、PQ ，M 、N 分别为11A B 、11B C 的中点，则11//MN AC ，同理可证//PQ AC ，在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ，//MN PQ ∴，同理可证//MQ PN ，则四边形MNPQ 为平行四边形，则AB 与平面MNPQ 相交，C 选项错误；在D 选项中，在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，且N 、P 分别为1AA 、1BB 的中点，//AN PB ∴，则四边形ABPN 为平行四边形，//AB PN∴，AB ⊄平面MNP ，PN ⊂平面MNP ，//AB ∴平面MNP ，D 选项正确.故选：ABD.8．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．直线a 与平面α无交点B ．直线a 平行于平面α内的所有直线C ．平面α内有无数条直线与直线a 平行D ．平面α内存在无数条直线与直线a 为异面直线 【答案】ACD【解析】由题意，知直线a 平行于平面α，则：对于A ，直线a 与平面α无交点是正确的；对于B ，直线a 与平面α内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于C ，平面内有无数条直线与直线a 平行，是正确的；对于D ，平面α内存在无数条直线与直线a 成异面直线，是正确的.故选:ACD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．如果直线//m 直线n ，且//m 平面α，那么n 与α的位置关系是___________ 【答案】α//n 或α⊂n【解析】 直线//m 直线n ，且//m 平面α，当n 不在平面α内时，平面α内存在直线m n m m '⇒'////，符合线面平行的判定定理可得α//n ，当n 在平面α内时，也符合条件，n 与α的位置关系是α//n 或α⊂n ,故答案为:α//n 或α⊂n10．如图所示,四边形ABCD 是梯形,//AB CD ,且//AB 平面α,AD ,BC 与平面α分别交于点,M N ,且点M 是AD 的中点,4AB =,6CD =,则MN =____.【答案】5【解析】因为//AB 平面α,⊂AB 平面ABCD ,平面ABCD平面MN α=,所以//AB MN .又点M 是AD 的中点,所以MN 是梯形ABCD 的中位线,故5MN =. 故答案为:511．如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则1BD OE 与的位置关系为_________;线段CE 的长度为___________．【答案】1//OE BD 5【解析】连接1BC ，交1B C 与O ，连接EO ，则O 为1BC 的中点，因为1//BD 平面1B CE ，1BD ⊂平面1D BC ，平面1D BC ⋂平面1B CE OE =，所以1//OE BD ，故E 为11D C 的中点，所以112EC =， 在1Rt EC C ∆中，221115142CE CC EC =+=+=. 故答案为:1//OE BD52四、解答题：（本题共3小题，共45分。
平行与垂直综合问题ppt
已知两条直线a和b垂直，可以作直线c与直线a平行且与直线b相交，那么交点P就是直线a与直线b的交点。
求两条直线的交点
垂直的辅助线应用举例
解题技巧和方法总结
要点三
熟练掌握垂直辅助线的作法
要想熟练准确地添加垂直辅助线，必须熟练掌握垂直辅助线的作法，特别是对于一些特殊图形，需要学会添加垂直辅助线的技巧。
针对平行与垂直综合问题的研究具有重要的理论和应用价值。
平行四边形定理
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
定义和定理介绍
垂直的定义
两条直线相交成直角，则两条直线互相垂直。
平行与垂直的性质
平行线与垂直线的交点为直角点；垂直线段的长度等于平行线段长度的乘积；两个平行平面同时垂直于第三个平面，则它们相互平行。
01
02
03
总结词
这是总结平行与垂直问题的解题技巧和方法的题型
详细描述
这类问题通常会针对平行与垂直的知识点进行总结和归纳，对解题方法和技巧进行梳理。
解题方法
根据题目给出的信息和知识点的特点，总结出解题方法和技巧，并进行归纳和梳理。
解题技巧和方法总结
05
平行的辅助线添加方法
如何添加平行的辅助线
确定平行条件
两条直线或线段相交成直角，则称它们互相垂直(perpendicular)，记作$a \perp b$，或$\angle 1 \perp \angle 2$。
垂直定义
在平面几何中，垂直通常用符号"$ \perp $"表示，其中一条直线或线段为$a$，另一条直线或线段为$b$。
符号表示
垂直的定义及符号表示
练习题一：平行的判定和性质
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
返回导航
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
返回导航
第八章 立体几何初步
(2)因为OE∥PA，PA⊥PD， 所以OE⊥PD. 因为OP＝OC，E为PC的中点， 所以OE⊥PC. 又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P， 所以OE⊥平面PCD. 因为OE⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面PCD.
数学（必修·第二册RJA）
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] (1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定 注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤， 如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已 知平面相交，这时才有直线与交线平行.
(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定 理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应 用定理解决问题时，经常采取“线线垂直”⇒“线面垂直”⇒“面面垂 直”的转化思想进行推理.
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❷ (2020·湖南师范大学附属中学高二期中)如图(1)，
在等腰梯形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AB 的中点，CD＝2，AB＝4，
AD＝BC＝ 2.沿 EF 将梯形 AFED 折起，使得∠AFB＝60°，如图(2).
(1)若 G 为 FB 的中点，求证：AG⊥平面 BCEF. (2)求二面角 C－AB－F 的正切值.
第八章
立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
题型三 立体几何中的探索性问题 典例 3 如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧C︵D 所在平面垂直，
M 是C︵D 上异于 C，D 的点.
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
(1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC. (2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由.
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
数学（必修·第二册RJA）
返回导航
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
第八章
立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
返回导航
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
第八章
立体几何初步
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 理由如下： 如图，连接AC交BD于O. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为AC的中点. 连接OP，因为P为AM的中点， 所以MC∥OP. 又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD， 所以MC∥平面PBD.
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
返回导航
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
第八章
立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
课堂检测·固双基
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
第八章
立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)因为 BD 是圆 W 的直径，所以 BA⊥AD， 因为 BD＝2，AD＝ 3，所以 AB＝1． 同理 BC＝1，所以 S 四边形 ABCD＝AB·AD＝ 3. 因为 PA⊥平面 ABCD，PA＝2， 所以四棱锥 P－ABCD 的体积 V＝13S 四边形 ABCD·PA＝233.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前
后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中
没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的
空间图形的结构特征.
解决此类问题的步骤为：
返回导航
第八章 立体几何初步
返回导航
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
第八章
立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❸ 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是圆内接四 边形(记此圆为 W)，且 PA⊥平面 ABCD.
(1)当 BD 是圆 W 的直径时，PA＝BD＝2，AD＝CD＝ 3，求四棱锥 P－ABCD 的体积.
返回导航
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
第八章
立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)证明：由题设知， 平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD.因为 BC⊥CD，BC⊂平面 ABCD， 所以 BC⊥平面 CMD， 又 DM⊂平面 CMD，所以 BC⊥DM. 因为 M 为C︵D 上异于 C，D 的点， 且 DC 为直径，所以 DM⊥CM. 又 BC∩CM＝C，所以 DM⊥平面 BMC. 因为 DM⊂平面 AMD，所以平面 AMD⊥平面 BMC.
返回导航
第八章 立体几何初步
题型二 立体几何中的折叠问题
数学（必修·第二册RJA）
典例 2 如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，AB∥ CD，AD＝CD＝12AB＝2，E 为 AC 的中点，将△ACD 沿 AC 折起，使折 起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直，得到如图 2 所示的几何体 D－ABC.
求证：(1)直线PA∥平面BDE. (2)平面BDE⊥平面PCD.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[证明] (1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交 点，所以O为AC的中点.
又E为PC的中点，所以OE∥PA. 因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 所以直线PA∥平面BDE.
返回导航
第八章 立体几何初步
(2)如图，连接CG. 因为在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4， 点E，F分别是CD，AB的中点，G为FB的中点， 所以EC＝FG＝BG＝1，从而CG∥EF. 因为EF⊥平面ABF，所以CG⊥平面ABF. 如图，过点G作GH⊥AB于H，连接CH. 由三垂线定理可得CH⊥AB， 所以∠CHG为二面角C－AB－F的平面角.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B. 因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC. 因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)点 F 在棱 CD 上，且满足 AD∥平面 BEF，求几何体 F－BCE 的体积.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)证明：∵AC＝ AD2＋CD2＝2 2， ∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4， ∴在△ABC 中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC. ∵平面 ACD⊥平面 ABC， 平面 ACD∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC， ∴BC⊥平面 ACD.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册）
【对点练习 】❶ 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB， AB1⊥B1C1．
求证：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. [证明] (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1． 因为AB⊄平面A1B1C， A1B1⊂平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C.
返回导航
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)证明：因为AF＝BF，∠AFB＝60°，所以△AFB为等边三角 形.
又G为FB的中点，所以AG⊥FB. 在等腰梯形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，所以EF⊥AB. 于是EF⊥AF，EF⊥BF. 又AF∩BF＝F，所以EF⊥平面ABF. 因为AG⊂平面ABF，所以AG⊥EF. 又AG⊥BF，EF∩BF＝F，所以AG⊥平面BCEF.
数学（必修·第二册RJA）
返回导航
第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教 材)人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第二册 课件【 精品】
第八章
立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
在 Rt△BHG 中，BG＝1，∠GBH＝60°，所以 GH＝ 23. 在 Rt△CGB 中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝ 2，所以 CG＝1． 因为 CG⊥平面 ABF，GH⊂平面 ABF，所以 CG⊥GH.