高次方程求根公式的故事
高次方程求根故事
高次方程求根的故事源远流长，涉及到多个数学家和学派的发展。
以下是关于高次方程求根的几个关键故事：1. 塔尔塔利亚与卡丹的故事：塔尔塔利亚（Tartaglia）是意大利人，他在1535年发现了三次方程的一般解法，被称为“塔尔塔利亚公式”或“卡尔丹公式”（Cardano's formula），尽管公式实际上是由塔尔塔利亚发现的，但他的名字并未被广泛认可。
这个公式的发表对于数学的发展有重要影响，它解决了长久以来三次方程求解的难题。
2. 霍纳方法与鲁菲尼方法的争议：1819年，英国人霍纳（Horner）在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任意高次方程的巧妙方法，被称为“霍纳方法”。
这一方法在数学界引起了轰动，但由于当时数学界对高次方程求解的理解有限，该方法并未立即被广泛接受。
意大利数学界一度要求将其命名为“鲁菲尼方法”，但这一提议并未得到广泛支持。
3. 费罗的贡献：在文艺复兴时期，意大利数学家费罗（Scipione del Ferro）也对三次方程的解法做出了贡献。
他可能是第一个找到三次方程一般解的人，但遗憾的是，他的方法并未公开，直到塔尔塔利亚独立发现了同样的方法。
4. 高次方程求解的困境：尽管数学家们对于三次和四次方程的求解方法有了突破，但对于五次及以上方程的求解，他们遇到了巨大的困难。
在长达两个世纪的时间里，数学家们尝试了各种方法来求解五次方程，但都未能成功。
这其中包括了诸如莱布尼茨等天才数学家的努力。
最终在19世纪初，挪威数学家阿贝尔（Abel）证明了五次及以上方程无法用根式求解，这一结论标志着高次方程求解问题的一个重要转折点。
这些故事展示了高次方程求根历史的复杂性和多样性，也反映了数学家们在面对难题时的坚韧和创造力。
杨辉 高次方程
杨辉高次方程
杨辉是中国古代著名的数学家，他在数学领域的贡献非常突出，其中
最为著名的是杨辉三角。
除此之外，杨辉还研究了高次方程，提出了
一种解法，被称为“杨辉法”。
高次方程是指次数大于等于3的方程，例如x³+2x²-3x+1=0。
在古代，人们对高次方程的解法一直很感兴趣，但一直没有找到有效的方法。
直到杨辉提出了自己的解法，才让人们对高次方程有了更深入的认识。
杨辉的解法基于“求根公式”，即通过求出方程的根来解决问题。
他
首先将高次方程化为一个新的形式，然后通过一系列的变换，将其转
化为一个低次方程。
最后，通过求解低次方程的根，得到高次方程的解。
杨辉的解法虽然比较繁琐，但却是一种非常有效的方法。
他的方法不
仅适用于一般的高次方程，还可以用于解决一些特殊的高次方程，例
如“降次法”和“代换法”。
杨辉的研究成果对于中国古代数学的发展起到了重要的推动作用。
他
的方法不仅被广泛应用于数学领域，还被应用于其他领域，例如物理
学和工程学等。
杨辉的贡献被后人称为“中国数学史上的一座丰碑”。
总之，杨辉是中国古代数学领域的杰出人物，他的研究成果对于中国数学的发展起到了重要的推动作用。
他提出的“杨辉法”为解决高次方程提供了一种有效的方法，被广泛应用于数学和其他领域。
杨辉的贡献将永远被人们铭记。
求根公式的演变与发展
求根公式的演变与发展一、 三次多项式（方程）的求根公式三次多项式（方程）的求根公式，在1545年由意大利数学家塔尔塔利亚（N.Tartaglia ）和卡当（H.Cardano ）给出。
对于特殊的三次方程，设3()f x x px q 的三个根为(1,2,3)i i 令 23322,cos sin (1)42733q p i 则有331233223333222222q q qq q q对于一般的三次式32(0)ax bx cx d a ，只要令3b y x a ，则可化为3y py q ，再套上述公式，其中2322322927,327ac b b abc a d p q a a 。
二、 四次多项式（方程）的求根公式 四次多项式（方程）的求根公式，由卡当的学生意大利数学家费拉里（L . Ferrari ）给出。
设4320x ax bx cx d 配方得2222()()22ax a x b x cx d 两边加上22()24ax t x t ，得 22222()()()()22424axt a at t x b t x c x d (1)适当选择t 使右边二次式的判别式为0，即222()4()()0244at a t c b t d (2)这时式(2)是关于t 的三次方程,可由卡当公式求t ，设0t 是式(2)的任一根,代入式(1)后，得22222000()()2244t t axa x b t x d (3)将式(3)移项分解因式，可得两个二次方程： 222000222000()()02424()()02424t t a a xb t x d t t a a x b t x d ……（4） 解方程组(4)，即可得原四次方程的 4 个根。
三、 五次以上的多项式（方程）的求根公式对于一般的五次以上的多项式（方程），1824年由挪威数学家阿贝尔(Abel)首先证明不存在求根公式；1828年法国数学家伽罗华(Galois)彻底 解决了这个问题，他不仅证明了所有n (≥5)次多项式都适用的求根公式不存在，而且给出了具有求根公式的具体的n (≥5)次多项式所应满足的条件。
一元高次方程的求解
一元高次方程的求解求解一元高次方程曾是数学史上的难题。
让你去求解一个一元一次，二次方程方程或许是简单的，但三次，四次或更高次的方程呢？为了解决这一问题，数学家们奋斗了几个世纪。
让咱们一路来看一下数学尽力的功效。
n 次方程的一样表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。
当系数01,,a a 1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。
若是存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。
1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中第一证明了“代数大体定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。
依照代数大体定理能够推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。
这一结论也能够用多项式的因式分解语言来表达：“复数域上任何n 次多项式都能够分解成n 个一次式的乘积。
”代数大体定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方式。
要求得n 次方程的根，一样是希望取得n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ①的求解公式，如二次方程20(0)++=≠②的求根公式那样。
众所周知，方ax bx c a程②的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学高作中，都有不同的表述方式。
一个n次方程①的求根公式是指，①的根通过其系数经由加、减、乘、除和乘方、开方的表示式，也称这种情形为方程有根式解。
三次和高于三次的方程是不是有根式解？也确实是说，是不是有求根公式？通过漫长的研究之路，直到16世纪，意大利数学家卡当及其助手才前后给出了三次和四次方程的根式解。
高次方程的解法
高次方程是指方程中最高次数的项大于等于2的方程。
高次方程的解法较为复杂，需要运用代数的知识和数学推导方法。
本文将介绍高次方程的解法。
一般来说，高次方程的解法可以分为两种：一种是可以直接求解得到解析解的方程，另一种是无法得到解析解，只能通过数值逼近的方法求解。
对于可直接求解得到解析解的高次方程，我们可以通过一系列的代数操作将方程化简为一元二次方程、三次方程或四次方程等可以直接求根的方程。
例如，对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a来求解方程的根。
而对于三次方程和四次方程，我们可以使用卡尔达诺公式和费拉里公式来求解方程的根。
然而，对于高于四次的高次方程，我们无法直接求解得到解析解。
这是由于高于四次的高次方程在一般意义上是不可解的。
对于这种情况，我们可以通过数值逼近的方法来求解方程的近似解。
常用的方法有二分法、牛顿迭代法和割线法等。
这些方法通过不断的迭代计算，逐渐逼近方程的解，并可能得到任意精度的解。
除了上述的解法之外，高次方程还存在一些特殊的解法。
例如，对于特殊形式的高次方程，我们可以使用因式分解的方法来求解。
对于齐次方程，我们可以使用换元的方法将方程转化为更简单的形式。
对于含有参数的高次方程，我们可以通过改变参数的值来研究方程解的变化规律。
除了解析解和数值逼近的方法之外，我们还可以使用图像分析的方法来研究高次方程的解的性质。
通过绘制方程的图像，我们可以获得方程解的一些性质，例如解的个数、解的分布等。
这对于我们理解方程的解具有重要的启示作用。
综上所述，高次方程的解法包括可直接求解得到解析解的方程、通过数值逼近方法求解的方程，以及一些特殊解法和图像分析方法。
对于高次方程的解法，我们需要灵活运用代数的知识和数学推导方法，并结合具体的问题进行分析和求解。
通过研究高次方程的解法，我们可以进一步深入理解和探索数学的奥秘。
高次方程解法[整理版]
![高次方程解法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/d2e1172442323968011ca300a6c30c225901f07c.png)
高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。
6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。
【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。
7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
阿贝尔-鲁菲尼定理-详解
阿贝尔-鲁菲尼定理-详解阿贝尔-鲁菲尼定理(Abel - Ruffini theorem)目录• 1 什么是阿贝尔-鲁菲尼定理• 2 阿贝尔-鲁菲尼定理的内容• 3 阿贝尔-鲁菲尼定理的历史• 4 阿贝尔-鲁菲尼定理的现代证明什么是阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。
它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。
这个定理以保罗•鲁菲尼和尼尔斯•阿贝尔命名。
前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。
埃瓦里斯特•伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表阿贝尔-鲁菲尼定理的内容阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。
事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根。
然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。
通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。
例如，任意给定二次方程，它的两个解可以用方程的系数来表示：这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解。
三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。
阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式（求根公式），使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。
或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到。
换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。
这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解。
比如X5− 2 = 0的解就是。
一元三次方程函数求根公式
一元三次方程函数求根公式一元三次方程函数求根公式，这可是数学世界里一个相当有趣的话题。
咱先来说说啥是一元三次方程。
简单来讲，就是形如$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$（其中$a\neq 0$）这样的式子。
那为啥要研究它的求根公式呢？就好比你要打开一个神秘的宝箱，求根公式就是那把关键的钥匙。
话说我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子特别聪明，就是遇到一元三次方程的时候有点犯迷糊。
有一次，我在黑板上写了一道一元三次方程的题目，小李看了半天，眉头皱得紧紧的，就像打了个死结。
我跟他说：“别着急，咱们一步步来。
” 我先给他讲了一元二次方程的求根公式，他一听就懂，还挺得意。
可当我说到一元三次方程的时候，他那眼神又迷茫了。
咱们接着说一元三次方程的求根公式。
这公式看起来挺复杂的，叫卡尔丹公式。
它的形式是这样的：假设方程$x^3 + px + q = 0$，令$x = u + v$，代入方程后得到：$(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0$展开并整理得到：$u^3 + v^3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0$再令$3uv = -p$，就可以得到一个关于$u^3$和$v^3$的二元方程组。
解这个方程组，就能得到$u^3$和$v^3$的值，进而求出$u$和$v$，最终得到方程的根。
听起来是不是有点晕？其实啊，多做几道题，多琢磨琢磨，也就慢慢明白了。
就像小李，一开始晕头转向的，后来我给他布置了几道练习题，让他自己去琢磨。
他一开始做得磕磕绊绊，还老出错。
但是这孩子有股子不服输的劲儿，错了就改，不会就问。
经过几天的努力，他终于掌握了一元三次方程的求根方法。
有一天，他兴冲冲地跑来找我，说：“老师，我现在不怕一元三次方程啦！” 看着他那开心的样子，我也打心眼里高兴。
总之，一元三次方程的求根公式虽然复杂，但只要咱们有耐心，多练习，就一定能掌握。
别被它一开始的样子吓到，就像小李一样，勇敢地去面对，总会找到解决的办法。
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高次方程求根公式的故事
1545年意大利学者卡丹将一元三次方程ax3 +bx2+cx+d=0的求根公式公开发表，后来人们就把它叫做“卡丹公式（也有人译作“卡尔丹公式”）。
事实上，发现公式的人并不是卡丹本人，而是塔尔塔利亚。
塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。
他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了。
他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。
有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。
结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。
塔尔塔利亚大获全胜。
后来，意大利医生兼数学家卡丹请求塔尔塔利亚把解方程的方法告诉他，但遭到了拒绝。
尽管卡丹千方百计地想探听塔尔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔尔塔利亚都守口如瓶。
可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓对此保守秘密，于是塔尔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。
六年后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作中将经过改进的三次方程的解法公开发表。
他在书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友——布里西亚的塔尔塔利亚。
塔尔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。
我找到了几种证法。
证法很难，我把它叙述如下。
”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为“卡丹公式”，而塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。
卡丹没有遵守誓言，因而受到塔尔塔利亚及许多文献资料的指责。
但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔尔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。
卡丹用自己的工作对塔尔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。
一元三次方程应有三个根。
塔尔塔利亚公式给出的只是一个实根。
又过了大
约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。
一元四次方程的求根公式由卡丹的学生费拉里找到了。
一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。
后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n≥5)没有公式解。
不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求根公式。
那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢？
不久，这一问题在19世纪上半期，被法国数学家伽罗瓦利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。