n次方程求根公式
本科毕业论文_多项式方程的判别式与求根公式
本科毕业论⽂_多项式⽅程的判别式与求根公式东莞理⼯学院本科毕业论⽂（2015届）题⽬: 多项式⽅程的判别式与求根公式学⽣姓名: 姚培基学号: 201141410230院（系）:计算机学院专业班级: 信息与计算科学（2）班指导教师:起⽌时间: 2015年1⽉—2015年5⽉多项式⽅程的判别式与求根公式摘要: 近代数学史甚⾄能说是⼀部求解多项式⽅程的历史。
对于⾼次⽅程的数值根求解法，⼈们从很早就开始并⼀直探求这样的问题。
⽽且在古代，很多⼈都想出了⼀个办法来解决各种各样的多项式⽅程。
如卡尔⽶诺的《⼤术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。
在⽬前，有关问题求解多项式⽅程根的在⼯程实践中占有举⾜轻重的地位。
如在⼈类的⽣活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算⼀直起着⾮常重要的作⽤。
当⼈们在进⾏科学或者⼯程计算时，求解多项式⽅程组更是⾮常容易遇到的问题之⼀。
许多领域如⾃然⽣活和⼯程科学最终都可以归结为求解多项式⽅程组的问题。
这个时候⼈们就通常需要处理求解代数⽅程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单⼀些;但是当项⾮常复杂或变元⾮常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到⽐较多的困难。
对多项式⽅程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际⼯程计算中，具有⼗分重要的意义。
关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLABDiscriminant and seek the root of polynomial equationsAbstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, itssolving process is often more difficult.The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB⽬录⼀、引⾔ (1)（⼀）⼀元⼆次⽅程的判别式和求根与韦达定理 (1)⼆、⼀元多次多项式 (8)（⼀）代数基本定理 (9)（⼆）域论基础 (10)（三）多项式⽅程的判别式 (11)（四）⽜顿恒等式 (12)（五）关于⼀元五次⽅程 (19)三、总结与展望 (20)参考⽂献 (23)致谢 (25)⼀、引⾔在⼈类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天⽂学家及地理学家花拉⼦⽶作为第⼀⼈给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法。
谁先推出三次方程的求根公式
谁先推出三次方程的求根公式解代数方程是古典代数学中基本的组成部分。
我们知道：形如n n-1ax+ax +…+a=0（a ≠0）的一元n次方程，必定有n个根，这就是著名0 1 n 0的代数基本定理。
这是德国大数学家高斯在1799年第一次给出证明的。
然而，高斯的证明以及其他的一些证明方法纯属非构造性的。
也就是说高斯仅仅肯定了根的存在，而并未给出具体求根的方法。
因此，在高斯的前后，人们对解方程的方法曾作了长期的艰苦探索。
早在数千年以前，古代巴比伦人曾研究过这样一个有趣的问题：求出一个未知数，使它与它的倒数之和等于已知数。
这个问题如果用现代的记号来表述的话，也就是需要求出这样的x，使xx = 1，x + x = b。
毫无疑问，从这2样的两个方程中就可以得出关于x的一个二次方程式，即x-bx+1=0。
据说，b b 2古代巴比伦人解决这个问题的过程是先分别求出与（），再求出2 2 b b b ( )2 2 2 2古代巴比伦人早就会用配方法来解一元二次方程了。
二次方程的求解有了很完美的代数方法，人们可以很方便地根据求根公式求出它们的全部根。
人们自然会想到三次、四次以至高次的代数方程是否会有类似的求根公式，即能不能把一个方程的根用该方程的系数经过有限次的使用加、减、乘、除、开方运算得到代数式来表示呢？3阿拉伯人奥玛尔·海牙姆曾利用圆锥曲线对特殊的三次方程如x+Bx+c=0提出了几何解法，但是这种方法只能得到表示未知数的线段长度，而不是理想的求根公式。
1494年，著名的数学家柏沙尔曾断言：一般的三次方程是不可能求解的。
这个论断既代表了当时一般人的认识，又刺激了人们对寻找三次方程求根公式的强烈兴趣，以至于使寻找三次方程的公式解法成了当时数学界十分时髦的课题。
在寻求三次方程求根公式的研究中，16世纪意大利数学家作出了很大贡献。
当时，意大利有一所欧洲最大也是最著名的大学——波罗尼亚大学。
波罗尼亚大学教授齐波·德尔·菲洛在1514～1515年期间，把三次方程全部简 3 3 3化为三种简单类型：x+px=q，x=px+q，x+q=px，其中p、q均为正数。
根的判别式及求根公式.2.2 公式法
b b2 4ac 2 16
x
2a
21
x1 3, x2 1
公
用求根公式
式
解一元二次
法
方程的方法
课堂小结
求根公式
x b b2 4ac 2a
(b2－4ac≥0)
一元二次方程根的 判别式Δ= b2－4ac
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业
1.完成练习册本课时的习题。 2.预习新课；
新课导入
（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ （2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法 ——公式法.
（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
（2）会用公式法解一元二次方程.
方程无实数根
x(x+4)=8x+12. 方程化为x2-4x-12=0
Δ=b2-4ac =(-4)2-4×(-12) =64>0
方程有两个不等的实数根
知识点2 用公式法解一元二次方程
当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可
写为
x b b2 4的a形c 式，这个式子叫做一元
易错点：计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.
随堂演练
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的
实数根，则b2-4ac满足的条件是（ B ）
A.b2-4ac=0
B.b2-4ac＞0
求根公式公式法
求根公式公式法
求根公式是一种用来求解一元二次方程（ax^2+bx+c=0）的方法。
它由欧拉在16世纪提出，并且在数学和实际应用中都有重要的地位。
一元二次方程的求根公式如下：
x=(b±√(b^24ac))/(2a)
其中，a、b和c分别代表二次项、一次项和常数项的系数，±表示两个解。
这个公式被称为二次方程的求根公式或者根式公式。
使用求根公式的步骤如下：
1.将一元二次方程化简为标准形式，确保系数已经排列好。
2.根据方程中的系数a、b和c，计算出Δ（即判别式，
Δ=b^24ac）。
3.判断Δ的值：
若Δ>0，方程有两个不相等的实数根，可以使用求根公式计算根的值。
若Δ=0，方程有两个相等的实数根，使用求根公式计算根的值时，两个解会重合。
若Δ<0，方程没有实数根，但是有两个共轭复数根，使用求根公式计算根的值时，会涉及到虚数。
根据上述步骤，我们可以使用求根公式来解决一元二次方程的问题。
这个公式的推导过程涉及一些数学原理，超出了本回答的范围，所以我们只介绍了最终的求根公式和使用方法。
如果你想了解更多关于求根公式的数学原理和推导过程，可以参考相关的教材或者网上的学习资源。
一元n次方程的解法
分类号O151.1编号2012010634毕业论文题目学院姓名专业学号研究类型指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：年月日论文指导教师签名：一元n次方程的解法摘要:讨论了几类特殊五次以上的代数方程的根式解,并且介绍了方程的一种新的求根方法,通过求其相应矩阵的特征值来解方程.关键字: 高次方程;根;倒数方程;二项方程;特征值Special-ary n-equation SolutionAbstract This paper discussed the radical solution of algebraic equations about some special classes of more than five times, and introduced a new equation of roots, by solving the corresponding matrix eigenvalue to solve equations.Keywords higher degree equation, root, reciprocal equation, two equations, eigenvalue目 录0引言 .............................................................. 1 1二,三,四次方程根的情况: . (1)1.1二次方程求根公式 ............................................. 1 2.1三次方程求根公式 ............................................. 2 3.1.四次方程求根公式 ............................................ 3 2 几类特殊高次方程的解法.. (4)1.2 解方程0=-A x n............................................. 4 2.2解方程02=++c bu au n n ........................................ 4 3.2 解方程0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n ......................5 4.2求解方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a.............. 6 5.2求解方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a ............. 7 3 利用a Mathematic 软件解方程 . (9)1.3求解步骤: .................................................... 92.3例题展示..................................................... 9 4 小结............................................................. 13 参考文献........................................................... 14 致谢 (15)一元n 次方程的解法0引言方程根式解得问题就是如何把方程的根用公式表示出来.二,三,四次方程的根的表达式以及根与系数之间的关系都已经很成熟.但求五次及更高次方程的根式解法,数学家们经历了一个非常艰难的过程.第一个证明“高于四次方程不能用根号求解”的是挪威数学家阿贝尔.对于一般的高于五次的方程没有一般的根式解法.因此,数学家们转而研究特殊的高次方程,他们能用方程系数的代数式来表示.代数学基本定理[]1 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根. 定义1 形如0)(122110=+++++=---n n n n n a x a x a x a x a x f 的方程称为在一个数域S 上的一个未知数的n 次代数方程，)(x f 称为一元n 次多项式，式中n 为正整数,0a ,1a ,2a ,...,1-n a ,n a 都是属于数域S 的常数,称为方程的系数.定义2 若存在一个常数C,使0)(=c f ,则称C 为多项式)(x f 或方程0)(=x f 的根.1 二,三,四次方程根的情况: 1.1 二次方程求根公式1.1.1 一般形式 02=++c bx ax )0(≠a 1.1.2 根的表达式 aacb b x 2422,1-±-=1.1.3 根与系数的关系 a b x x -=+21 a cx x =211.1.4 判别式 ac b 42-=∆当0>∆,方程有两个不相等的实根; 当0=∆,方程有两个相等的实根;当0<∆,方程有两个复根.1.2 三次方程求根公式1.2.1 一般形式023=+++d cx bx ax )0(≠a (1) 求解过程: 对(1)式除以a,并设aby x 3-=.则(1)式可以化成如下形式, 03=++q py y (2) (1),(2)式有相同的根，因此求解方程(1)的根可以转化为求解方程(2)的根. 对于方程(2)的三个根有:3323321322322⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y33233222322322⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y ωω33223323322322⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p q q p q q y ωω其中 231i +-=ω,2312i --=ω. 再把321,,y y y 带入aby x 2-=解出321,,x x x . 例1 解方程0223223=++-x x x .解 对方程0223223=++-x x x 两边同除以2,再设21+=y x ,方程化为,054433=++y y ,45,43=-=q p代人以上公式解得:i y i y y -=+=-=21,21,1321 因此解得：i x i x x -=+=-=1,1,21321.1.2.2 根与系数的关系a b x x x -=++321,a c x x x -=++321111, a dx x x -=3211.2.3 方程(2)的判别式3232⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆p q当0>∆时,方程有一个实根和两个复根;当0=∆时,方程有三个实根;0==q p 时,有一个三重零根;03232≠⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛p q 时,三个实根中有两个相等;当0<∆时,有三个不等的实根.1.3 四次方程求根公式1.3.1 一般形式0234=++++e dx cx bx ax (0≠a ) （3） 给(3)式两边同除以a,原方程可以转化成首项系数为1的四次方程；而方程0234=++++e dx cx bx x 的四个根与下面两个方程的四个根完全相同.()()048248048248222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-+++c b y d by y x c b y b x c b y d by y x c b y b x其中y 是三次方程()()0482482223=--+-+-d b c e y e bd cy y 的任一实根. 在方程0234=++++a bx cx bx ax 中,设xx y 1+=,则原方程可化为二次方程,可解出四个根为2424,3,2,1-±=y y x , 其中a a ac b b y 28422+-±-= 若四次方程为024=++e cx ax ,则设2x y =,原方程可化为二次方程02=++e cy ay ,可解出四个根为aaec c x 2424,3,2,1-±-±=阿贝尔定理]2[ 五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.由代数数基本定理可知,任何方程在复数域中至少有一根.以下我们来讨论几类特殊一元高次方程的解法.2 几类特殊高次方程的解法定义3 形如0=-A x n 的方程称为二项方程.2.1 解方程0=-A x n解题过程: 把A 写成()θθsin cos i r A +=,则方程0=-A x n 的n 个根是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n k n i n k nr x n k πθπθ2sin 2cos ()1,,2,1-=n k几何说明: 复平面上与数()θθsin cos i r +的n 次方根对应的点是一个正n 边形的顶点,这些顶点在以原点为中心,以n r 为半径的圆上,而这个n 边形的顶点之一有辐角nθ.定义4 形如02=++c bu au n n 的方程称为三项方程,其中a,b,c,n 都不等于0,n 为整数.2.2 解方程02=++c bu au n n 解题过程: l 令x u n =,代入以上方程得02=++c bx ax ，由此解出x,则0=-x u n 是一个二项方程,从而再解出u,方程的解.例 2031124=+-u u 解 令 x u =21,代入方程得 0342=+-x x ，求解此方程得 3,121==x x ,从而有112=u ,或312=u,解这两方程,得出原方程的解为31,31,1,14321-==-==u u u u .定义5 形如0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n 的方程称为倒数方程（其中k n x -和k x 项 的系数相同）.2.3 解方程0221=++++++--a bx cx cx bx ax n n n2.3.1 方程求解过程：a) 解偶次()k n 2=倒数方程,对方程两边除以k x ,再令xx z 1+=,则原方程可化为z 的k 次方程,解此方程,得z 值,然后对应x 的值可由二次方程012=+-zx x 求出.b) 解奇次()12+=k n 倒数方程归结到解偶次倒数方程,奇数次倒数方程必有一个根为11-=x ,因此,先把原方程除以1x +化成偶数次方程再求解.例 3 求方程0251313522345=++--+x x x x x 的根.解 由于11-=x 是原方程的一个根,因此把原方程除以1+x ,得到四次倒数023*******=++-+x x x x再对其除以2x ,然后合并整理得：016131222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x令 x x z 1+=,则22112222-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+z x x x x 从而上式变为:()0163222=---z z ,即 020322=-+z z ,解得25,421=-=z z 因而有确定x 得两个方程:025201422=+-=++x x x x 和,由这两个方程解得:21,2,32,325432==--=+-=x x x x . 定义6 对于一般的方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a假定1,1,2,,,kk a q k n a -==则原方程可解.2.4求解方程()101n-10n n n f x a x a x a x a -=++++=()00≠a求解过程: 对于101n-10n n n a x a x a x a -++++=,利用0n n a a q =,则此方程为1100000n n n n a x a qx a q x a q --++++=方程两边同除以0a ,得 110n n n n x qx q x q --++++= (4)对(4)同乘以x q得, 10n n x q q+-=, 即11n n xq ++=,解得:x =n k n k i n k q x k ,,2,1,012sin 12cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ. 去掉增根.q x =得到原方程的解.,,2,112sin 12cos n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ特别的,当1=q 时.,,2,112sin 12cosn k n k i n k x k =+++=ππ 例4 解方程 032168422345=+++++x x x x x .解 方程的系数成等比数列,且公比2=q ,直接利用以上公式求解,由.,,2,112sin 12cos n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππ得()ii x ii x i x ii x ii x 3135sin 35cos 23134sin 34cos 22sin cos 23132sin 32cos 2313sin 3cos 254321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππππππ定义7对于一般的方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a假定,,,2,1,1n k q a a k k==-则此方程也可解. 2.5 求解方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ()0≠n a求解过程: 对于0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n ,由于n n q a a 0=,代入以下方程0012211=+++++--a x a x a x a x a n n n n得 0002201100=+++++--a qx a x q a x q a x q a n n n n 两边同除以0a ,得到012211=+++++--qx x q x q x q n n n n (5)再给(3)两边同乘以qx ,得到0223311=+++++++qx x q x q x q x q n n n n (6)()()56-得,0111=-++n n x q即()11=+n qx则 .,,2,1,0,12sin 12cos11n k n k i n k qx n =+++==+ππ.,2,1,0,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ去掉增根qx 1=,则原方程的解为 .,2,1,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ例 5 0124816322345=+++++x x x x x解 方程的系数成等比数列,且公比2=q ,直接利用以上公式求解,由.,2,1,12sin 12cos 1n k n k i n k q x k =⎪⎭⎫⎝⎛+++=ππ可得,()()()()()ii x ii x i x ii x ii x 314135sin 35cos 21314134sin 34cos 2121sin cos 21314132sin 32cos 2131413sin 3cos 2154321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππππππ定理2]3[设()n n n n a x a x a x x f ++++=--111 是数域P 上的任意多项式,那么方程()0=x f 的根与矩阵A 的特征根相同,其中A 的形式如下:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0000100000100001121n n aa a a A 证 设矩阵A 对应的特征矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=--λλλλλ00010000100010121n n aa a a A E 则按第一列展开λλλλλ000100010001121 nn a a a a A E ---+=-- ()()()()()()()()nn n n n n n n n n n n n nn n na a a a a a a a a a a a +++++=--+--++++=----+---++-----+----+----+-λλλλλλλλλλλλλλλλ122111121221111211111100010000011000010*******0010000010100001令x =λ,以上定理得证.因此,把求方程()0=x f 的根转化为求矩阵A 的特征值的问题,关于求矩阵的特征值问题,可以用a Mathematic 软件求得.3 利用a Mathematic 软件解方程 3.1 求解步骤:第一步:写出方程所对应的矩阵A ;第二步:打开a Mathematic 软件,输入命令Eigenvalues[A]; 第三步:求得矩阵A 得特征值; 第四步:得到原方程的解.3.2 例题展示例 6 0223223=++-x x x解 取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0011010123A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果.运行过程:原方程的解为: i x i x x -=+=-=1,1,21321例 7 求解方程0251313522345=++--+x x x x x .解 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0000110002501002130010213000125A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果.运行过程:即原方程的解: 32,21,1,2,3254321+-==-==--=x x x x x .例8 解方程 032168422345=+++++x x x x x .解 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=000032100016010080010400012A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果. 运行过程:原方程的解:.31,31,31,31,254321i x i x i x i x x -=+=--=+-=-=例 9 解方程0124816322345=+++++x x x x x .解 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=00003211000161010081001041000121A求矩阵A 的特征值,打开a Mathematic 软件,输入()A s Eigenvalue 命令,运行得出结果. 运行过程:原方程的解:()()()()ix ix i x i x x 31413141314131412154321-=+=--=+-=-=4 小结通过以上方程的求解过程可以看出,求解一个高次方程的根非常困难,利用Mathematic软件,可以简化计算过程,提高计算的准确度和效率,同时,也可以利a用aMathematic软件检验所求得方程根的正确性,因此,利用这种求解高次方程的方法给求解高次方程带来了极大地方便.参考文献:[1]王萼芳,石生明.高等代数[M].第三版.高等教育出版社:2003.7:27[2]安敏,彭亚绵,杨爱民.数学中特殊高次方程的解法研究[J].高校讲台.2007.12:134-135[3]罗芳.求解高次实系数代数方程的Excel算法[J].雁北师范学院学报.2004.20(5):60-61[4]张景晓.四类高次代数方程的升幂解法[J].聊城大学学报.2003.16(3):20-22[5]张景晓,董立华,连秀国.系数成等比数列的一元高次方程的求解[J].河北理工教学研究.2003.2:5-7[6]张景晓,连秀国,王俊青.一类实系数高次方程的求解[J].数学通报.2003.8:42-43[7]张栋恩,许晓革.高等数学实验[M].高等教育出版社.2004.7致谢:在天水师范学院的四年学习过程中,我得到了数学系各位领导,老师及班主任的悉心帮助和支持,使得我不仅学到了许多知识,也使我在大学这个社会群体中得到了很好的锻炼和发展.同时也为我顺利的走向工作岗位打下了坚实的基础.在此,谨向他们表示我衷心的感谢.本论文在选题及写作过程中得到了老师的悉心指导,老师多次询问写作进程,并为我指点迷津,帮我开拓思路,热枕鼓励.老师一丝不苟的作风,严谨治学的态度,踏踏实实的指导精神,不仅授我以论文,而且教会了我做学问的可贵的精神,使我受益终生.为此,我表示我最真心的感谢!在整个论文的写作过程中,得到了许多老师和同学的帮助,才使我的毕业论文得以顺利完成.在此对他们表示最诚挚的感谢.最后,我要特别感谢我的指导老师老师,感谢您对我毕业论文的悉心指导.我想真心地说声:老师,您辛苦了!。
一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。
这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。
南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。
（《数学九章》等）一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。
可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约1499~1557）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。
医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。
当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。
尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。
可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。
卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。
他在此书中写道："这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。
塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。
我找到了几种证法。
证法很难，我把它叙述如下。
"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。
塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。
按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。
于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。
方程求根(计算方法)
高斯(3)
曲面的微分几何学，并提出了内蕴曲面理论。高斯 的曲面理论后来由黎曼进一步发展。高斯一生共发 表155篇学术论文，他对待学问十分严谨，只是把 他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还 有《地磁概论》(1839)和《论与距离平方成反比的 引力和斥力的普遍定律》(1840)等。
高斯像(1)
§2.1 问题的提出
阿拉伯人对高次代数方程的数值解法亦有研究，花 拉子米(9世纪)第一个给出了二次方程的一般解法, 奥马海亚姆(1100年)给出了一些特殊三次方程的解 法。1541年塔尔塔利亚得到三次方程的一般解法。 1545年卡尔达诺在其名著《大术》一书中发展了塔 尔塔利亚的这一成果，并记载了费拉里得到的四次 方程的一般解法。牛顿在1736年出版的《流数法》 一书中，给出了著名的高次代数方程的一种数值解 法,1690年Raphson 也提出了类似的方法，它们的结 合就是现代常用的方法－牛顿法(也叫NewtonRaphson方法)。它是一种广泛用于高次代数方程求 解的迭代法，亦称为切线法，并不断产生新的变形,
牛顿(3)
亲手制作了第一具反射望远镜。在哲学上深信物质、 运动、空间和时间的客观存在性，坚持用观察和实 验方法发现自然界的规律，力求用数学定量方法表 述的定律说明自然现象，其科学研究方法支配后世 近300年的物理学研究。
牛顿像(1)
牛顿像(2)
牛顿像(3)
牛顿像(4)
牛顿像(5)
牛顿像(6)
牛顿(Newton Isaac 1643.1.4-1727.3.31)：英国数学 家、物理学家、天文学家、自然哲学家。生于林肯 郡伍尔索普，卒于伦敦。早年在格兰瑟姆读书， 1661年以优异成绩考入剑桥大学三一学院，数学上 受教于巴罗。1664年毕业后曾为躲避鼠疫回乡， 1665－1666年做出流数法、万有引力和光的分析三 大发明，年仅23岁。1667年回剑桥在三一学院执教。 1669年继巴罗之后任卢卡斯数学教授职位。晚年致 力于哲学和公务，1696年任造币厂监督，3年后任 厂长。1703年当选为英国皇家学会主席。他在数学 上以创建微积分学而著名，其流数法始于1665年， 系统叙述于《流数法和无穷级数》(1671年完
求根公式与配方法的关系
求根公式与配方法的关系标题：求根公式与配方法的关系：数学解题中的巧妙应用在数学的世界中，求解一元二次方程是基础的技能之一。
求根公式和配方法是解决这类问题的两种常见方法。
本文将探讨这两种方法之间的关系，并展示它们在实际解题中的巧妙应用。
一、求根公式一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这个公式可以直接计算出方程的两个根，使得求解一元二次方程变得简单直接。
二、配方法配方法是一种通过构造完全平方公式来解决一元二次方程的方法。
其基本步骤如下：1.将方程ax^2 + bx + c = 0 中的常数项移到等号右边，得到ax^2 + bx = -c。
2.将方程左边的二次项和一次项进行配方，即将ax^2 + bx 转化为一个完全平方公式。
3.利用完全平方公式的性质，解出方程的根。
三、求根公式与配方法的关系实际上，求根公式和配方法是两种相互关联的解题方法。
我们可以从以下两个方面理解它们之间的关系：1.求根公式推导过程中的配方法在求根公式的推导过程中，我们需要对二次项和一次项进行配方。
具体来说，我们将方程ax^2 + bx + c = 0 中的二次项和一次项分别除以a，得到x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0。
接着，我们将方程左边的二次项和一次项配方，即：x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - (c/a)这样，我们就得到了一个完全平方公式。
通过移项和开方，最终可以得到求根公式。
2.配方法在求根公式中的应用在利用求根公式求解一元二次方程时，我们可以通过配方法来简化计算过程。
具体来说，当我们计算出判别式Δ = b^2 - 4ac 的值后，如果Δ 是一个完全平方数，那么我们可以直接利用配方法来求解方程，从而避免复杂的开方运算。
四、巧妙应用实例以下是一个利用求根公式和配方法巧妙解题的实例：题目：求解一元二次方程x^2 - 6x + 9 = 0。
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9de9ee1526c3b44eed985ab433ce1044410cef6e7e5f465599ed25594af0266950c18e14e3070c7806d 47ad3830caf7e2c8e8e179b8f9c82925cf06765f64013是作者真实身份的一份SHA-512验证。
n次方程根求根公式（1≤n≤7）（Ver 6.0）
符号注释，和摘要:
Solve(F(x),x) 表示以x为未知数求解该方程。
此为Maple定义
虚数单位定义
摘要：（?表示有新发现，整理中，或未整理完全（中间公式））
公式次数目前发现数记录数
1 1 1
2 3+? 1
3 12+?+1 9+1
4 8+1 4
5 3+?+1 3
6 1+? 1
7 1(?) 1(?)
8 ? 0
1次方程求根公式
2 次方程求根公式
3 次方程求根公式（9+1种/已知12+1种）
卡丹法
[1] 李煌法
待定系数法
群置换法
强配方法
盛金公式法
复变函数法
单开立方法（构造者sc303165）
以下提供一个由一根求其他二根的公式：
4 次方程求根公式（3种/已知8+1种）费拉里法
[2] Descartes法：
（以上方程任取一根）
Euler法：
三角法（构造者sc303165）
5 次方程求根公式（3种/已知3+1种）
标准式超几何函数法（构造者 God→Osiris）
（标准式转化）
S3=-3 c3
S4=-4 c4
S5=-5 c5
S6=3 c32
S7=7 c3 c4
S8=4 c42+8 c3 c5
S9=-3 c33+9 c4 c5
S10=-10 c32 c4+5 c52
S11=-11 c3 c4-11 c32 c5
S12=3 c34-4 c43-24 c3 c4 c5
S13=13 c33 c4-13 c42 c5-13 c3 c52
S14=21 c32 c42+14 c33 c5-14 c4 c52
S15=-3 c5+15 c3 c43+45 c32 c4 c5-5 c53
S16=-16 c34 c7+4 c44+48 c3 c42 c5+24 c32 c52 S17=-c1 S16-c2 S15-c3 S14-c4 S13-c5 S12
S18=-c1 S17-c2 S16-c3 S15-c4 S14-c5 S13
S19=-c1 S18-c2 S17-c3 S16-c4 S15-c5 S14
S20=-c1 S19-c2 S18-c3 S17-c4 S16-c5 S15
(此处接5次方程最简型求根公式)
(原方程的根，求解结束)
用程序化简的源代码详见附录1
5次方程最简型求根公式椭圆函数法
[3] [4] [7] 公式详解见附录2
5次方程最简型求根公式白杨法（只限于已确定有根式解的5次方程）
u1~u4需两两不同
（j=1~5，求解结束）6 次方程求根公式[8]
,O,P任取一值
（以上方程任取一根）
7 次方程求根公式（超几何公式法构造者God→Osiris）
如要解完全式的7次方程，需用[10]化简。
详细的转化将会另外公布。
=======================================结语====================================== Update 1，Ver 0.40
以上即是所有内容。
如有错漏，请立即告诉我。
如有建议，欢迎和我联系:Edison00001@
接下来的工作为完善3,4次方程求根公式。
Update 2，Ver 0.60，Part 2012-07-20
修正了6次方程求根公式。
Update 3，Ver 0.70，Part 2012-08-23
补完了4次方程求根公式。
接下来会用
/f/15487092.html?from=like&retcode=0
来补完5次方程求根公式；用
/p/1001603984
来补完3次方程求根公式；用
www.dse.nl/~geertjan/Publikatie/The%20septic%20equation%20reduced.pdf
来组建7次方程化简式。
如果我脑子进地沟油的话还会手动构筑
的求根公式。
（如果那么容易构筑的了{3}的作者就不会搁置了，现在只知道要用超几何函数）
当然还可能会象白杨一样构筑Descartes法8次扩展来手动构筑8次方程求根公式；
所以各位就期待本文还有第5,6次更新吧
鉴于6次方程白杨法求根公式的提出，我们已经占据该问题的世界领先地位，（好无用的地位啊）
所以我们的口号是（不是没有蛀牙！）向8次方程进军！
Update 4，Ver 1.0：
此为第一次正式版。
除五次方程简化式外皆已完成。
庆祝！！
Update 5，Ver 2.0：
第2次正式版。
接下来只用补充公式即可。
Update 6，Ver 3.0，Part 2013-02-01 10:00
第3次正式版。
取得不少进展，公式收集基本完成，目前转战7,8次方程。
2,3,4次方程接下来我要去英文维基百科收集。
=======================================待续======================================
=======================================引用====================================== [1] 引用：
.tw/%AF%CE%BA%D6%A5%C3/%BC%C6%BE%C7/%A4T%A6%B8%A1B%A5%7C%A6%B8%A4%E8%B5%7B%A6%A1
%A8D%B8%D1%A4%BD%A6%A1.pdf
[2] 引用：
/view/b763d051ad02de80d4d8402f.html
[3] 引用：
/mathematica/tutorial/EllipticIntegralsAndEllipticFunctions.html?1335360250
/examples/quintic/steps.html?1342674219
/QuinticEquation.html
/Stat/Math_World/math/q/q111.htm?1342676874
[4] 引用：
/wiki/%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%A7%AF%E5%88%86
[5][6] 引用：
/wiki/Theta_%E5%87%BD%E6%95%B0
[7]引用：
/examples/quintic/steps.html
[8]引用：
http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/21/tm1124.pdf
2元2次方程与一元6次方程白杨辽宁省沈阳市外贸局(110400)
[9] 引用：
/f/15487092.html?from=like&retcode=0
[10] 引用：
www.dse.nl/~geertjan/Publikatie/The%20septic%20equation%20reduced.pdf
=======================================附录====================================== 附录1
以下提供一个基于Wolfram Mathematica的求解程序：[7]
设r = 你需要求解的方程；
附录2
（第一类完全椭圆积分）[4]
（雅可比Θ函数）[5]
（雅可比Θ辅助函数）[6]
=======================================致谢====================================== （排名不分先后）
@heraga
@Meteor860
@thoury999
@丁香丛中的雪狼
@longqi2008
@KeyTo9
@四元数
@物理这东西
@God→Osiris
=======================================附件====================================== 感谢每一个下载该文件的朋友，作为报答，你将得到一份大礼包：
首先你要到/p/2134825895
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