高等数学同济六版第九章9-2

V 4 4 2 2 d d
D
y
2 ax x 2 及x轴所围成
0
R
x2
dx ) 2 ;
I 1 e
D1
x2 y2
dxdy
r2

0 d 0
D2
2
R
e
R2 rdr (1 e ); 4 2R2 ); dxdy (1 e 4
同理 I 2 e
x2 y2
I1 I I 2 ,
R R2 x2 2 2R2 (1 e ) ( e dx ) (1 e ); 0 4 4
显然有 D1 S D2
e
x2 y2
0,

e
D1
x2 y2
dxdy
e
S
x2 y2
dxdy
e
D2
x2 y2
dxdy .
又 I
e
S
x2 y2
dxdy
R y2


R
0
e
x2
dx e
0
dy ( e
2
1
x
1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
例4
计算积分 I
y x

1 2
1 4
dy
y
1 2
e dx dy
1 2
y x
1
y y
e dx .
y x
解 e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式 I
D
o
A

D
f ( cos , sin ) d d
2
图（D）

0
d
( )
0
f ( cos , sin ) d .
极坐标系下区域的面积
dd .
D
如果闭区域D如图（A）所示，则由公式（1）有 Nhomakorabea
dd
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y 2 ( x)
y
A( x0 )
a
0x
得

D
y 1 ( x) b 2 ( x) f ( x , y )d dx f ( x , y )dy .(1)
D
x2 y2
dxdy ，其中 D 是由中心在原
点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解
在极坐标系下
D： 0 a ， 0 2 .
ex
D
2
y
2
dxdy
a2
0
2
d e
0
a
2
d
(1 e
).
利用上面结果可以 求广义积分 e 0
一、利用直角坐标计算二重积分
如果积分区域为： a x b, ［X－型］
y 2 ( x)
1 ( x ) y 2 ( x ).
y 2 ( x)
D
y 1 ( x )
a
b
D
y 1 ( x )
a
b
其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b ] 上连续.


2
1
(2 y
y
3
2
)dy [ y
2
y
4
8
] 1
2 1
1 8
y
yx
D
y
y1
2 y
1
O
x y
D
x2
x
O
1x 2
x
图( A )
图( B )
例 2 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面 所围成的立体的体积
设这两个圆柱面的方程分别为 x 2 y 2 R 2及 x 2 z 2 R 2 利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第 一卦限部分（图A）的体积V1，然后再乘以8就是
2 2
利用公式（1），得
V1 R x d [
2 2 0 D
R
R2 x2
0
R 2
R x dy ]dx
2 2
2
[ R x y ]0
2 2 0
R
R2 x2
( R x )dx
0
2 3
R3
16 3 从而所求立体的体积为 V 8V1 R 3
当 R 时,
I1 , 4
I2 , 4
2
即 ( e x dx ) 2 , 故当 R 时, I , 0 4 4
所求广义积分
0

e
x2
dx . 2
例6
求柱体
x 2 y 2 z 2 4a 2 被圆柱面
x 2 y 2 2ax ( a 0 )
o


1 ( )
D
2 ( )
f ( cos , sin ) dd
D
A
图（A）

d ( )
1

2 ( )
f ( cos , sin ) d .( 5 )
区域特征如图
,
1 ( )
a
b
x
1 ( x )
如果积分区域为： c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ). ［Y－型］
d d
x 1 ( y )
D
x 2 ( y)
x 1 ( y )
D
c
c
x 2 ( y)
f ( x , y )d
D


d
c
dy
2 ( y)
解 曲面围成的立体如图.
所围立体在 xoy 面上的投影是
0 x y 1, x y xy ,
所求体积V
( x y xy )d
D

0 dx 0
1
1
1 x
( x y xy )dy
1 7 3 0 [ x (1 x ) (1 x ) ]dx . 24 2
D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 } D 2 {( x , y ) | x 2 y 2 2 R 2 }

x2
dx .
D2
D1 D1
D S2
S
S {( x , y ) | 0 x R ,0 y R }
R
2R
{ x 0, y 0}
例 3 求 ( x y )dxdy ，其中 D 是由抛物
2 D
线 y x 和 x y 所围平面闭区域.
2 2
x y2
解
两曲线的交点
y x ( 0,0 ) , (1,1), 2 x y
2
y x2
( x y )dxdy
2 D
1 2
dx x 2 ( x 2 y )dy 0
解
z
图（A） y
D
图（B）
y R X
2 2
O
R
x
R
y
O
x R x
所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱 体，它的底为
D {( x , y ) 0 y R 2 x 2 ,0 x R}
如图（B）所示.它的顶是柱面Z= R 2 x 2
，
于是
V1

D
R x d
e dx .
y x
解 e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式 I
y x
y x2
dx
1 2
1
x
2
x
e dy
y x


1
1 2
3 1 x ( e e )dx e e. 8 2
x
例 7 求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy ， x y 1 ， x 0 ， y 0 .
D

（ ） 2 d d （ ） 1
1 [ 2 2 ( ) 2 2 ( )]d 2
特别地，如果闭区域D如图（ C ）所示，则
1( ) 0, 2( ) 0.
于是
1 2 ( )d 2
例 5 计算 e
i i
o
i
i
D
i i i ,
D D
i
A
f ( x , y )dxdy f ( cos , sin ) dd .
(4)
二重积分化为二次积分的公式
区域特征如图
,
1 ( ) 2 ( ).
y x
y x2
dx
1 2
1
x
2
x
e dy
y x


1
1 2
3 1 x ( e e )dx e e. 8 2
x
例5
求 x e
2 D
y2
dxdy ，其中 D 是以( 0,0 ), (1,1),
( 0,1) 为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示