一元八次方程求根公式
八种通项公式求解方法
八种通项公式求解方法解一元多项式方程可以使用通项公式的方法有许多种，下面列举八种常见的求解方法。
1. 经典方法：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)来求解。
这是最基本也是最常用的方法。
2.因式分解法：对于形如(x-a)(x-b)=0的方程，可以通过因式分解的方法求解。
将等式两边分解为(x-a)和(x-b)相乘，然后令每个因式等于零，得到方程的解。
3. 求和求积法：对于三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，可以使用求和和求积的方法来求解。
通过将方程写为(x - x1)(x - x2)(x - x3) = 0的形式，利用系数之间的关系来确定x1、x2和x3的值。
4. 齐次方程转换法：对于具有齐次方程形式的方程，可以通过转换为另一个变量的线性方程来求解。
通过令y = x/z，将方程转换为线性方程ax + by + cz = 0，然后解出y的值，再带回原方程求解x和z。
5. 特殊代换法：对于一些特殊的方程，可以使用特殊的代换来简化求解过程。
例如，在解x^n = a的方程时，可以使用代换y = ln(x)，然后将方程转化为y = nln(a)，再通过求指数函数的逆函数来求解。
6.迭代法：对于一些复杂的方程，可以使用迭代的方法逼近方程的解。
通过选取一个初始近似值，然后通过不断迭代逼近真实解。
这种方法在数值计算中广泛使用，但可能需要较多的计算量。
7.图形法：对于一些简单的方程，可以通过绘制方程图形来求解。
通过将方程转换为y=f(x)的形式，然后绘制f(x)的图形，观察图形与坐标轴的交点来确定方程的解。
8.数值求解法：对于高次方程或复杂方程，通项公式可能无法求解。
在这种情况下，可以使用数值方法来逼近方程的解。
常见的数值方法包括二分法、牛顿法、割线法等。
这八种方法是解一元多项式方程常用的求解方法，具体使用哪种方法取决于方程的形式以及求解的精度要求。
根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
根的判别式及其应用【知识梳理】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根； 当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根． 二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根,由解方程中的公式法得,1x 2x = 那么可推得1212,b cx x x x a a+=−=． 这是一元二次方程根与系数的关系【考点剖析】 题型一：判别式的值与根的关系例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值． 【答案】0．【答案】【答案】【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =， ∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠，由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 例2.当m 取何值时，关于x 221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >．【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【变式1】一元二次方程220x x −−=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定. 【答案】B【解析】因为2(1)41(2)1890∆=−−⨯⨯−=+=>，所以方程有两个不相等的实数根. 【变式2】关于x 的方程210x mx m −+−=根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 没有实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 有两个不相等的实数根；D. 有两个实数根. 【答案】D【解析】 因为判别式2224(1)44(2)0m m m m m ∆=−−=−+=−≥，故原方程有两个实数根，故选D. 【变式3】下列方程中，没有实数根的是（ ）A. 2250x x −−=B. 2210x x −+=C. 220x x −= D. 225x x −=−【答案】D.【解析】A 、420240∆=+=>，有两不等实数根；B 、440∆=−=，有两个相等实数根；C 、40∆=>，有两个不相等的实根；D 、420160∆=−=−<，无实数根. 故正确答案选D.【变式4】当a ＝ 时，关于x 的方程2210x ax −+=有两个相等的实数根.【答案】1±【解析】由2440a ∆=−=得，1a =±.【变式5】已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【答案】【答案】【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩， 此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．【变式6】当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【答案】【答案】【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大 题型二：根的判别式的应用例3．证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根．【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．【变式1】当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >．【答案】【答案】【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根； （3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【答案】【答案】【变式2】已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−且1m ≠−．【答案】【答案】【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程， 其中1a m =+，2b m =，c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．【变式3】如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【答案】【答案】【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =， 则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立，由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．【变式4】已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−．【答案】【答案】【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根； 当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算． 题型三：韦达定理例4．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积 （1）2310x x −+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x −−=，12x x += ________；12x x =________．【答案】（1）3，1；（2）23，【答案】【答案】23−．【解析】（1）1a =，3b =−，1c =，根据一元二次方程根与系数的关系，可得123b x x a +=−=，121c x x a ==；（2）3a =，2b =−，2c =−，根据一元二次方程根与系数的关系，可得1223b x x a +=−=，1223c x x a ==−；【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的a 、b 、c 值即可快速得到结果．【变式1】已知方程2560x kx +−=的一个根是2，求另一根及k 值．【答案】方程另一根为35x =−，【答案】【答案】7k =−．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125kx x +=−，1265x x =−， 令12x =，则可求得235x =−，代入可得12755k x x +=−=，可得7k =−． 【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式2】已知：关于x 的方程23190x x m −+=的一个根是1，求另一根及m 值．【答案】方程另一根为163x =，【答案】【答案】16m =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，12193x x +=，123mx x =，令11x =，则可求得2163x =，代入可得121633m x x ==，可得16m =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式3】如果5−是方程25100x bx +−=的一个根，求另一个根及b 值．【答案】方程另一根为25x =，【答案】【答案】23b =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125b x x +=−，121025x x −==−，令15x =−，则可求得225x =，代入可得122355b x x +=−=−，可得23b =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式4】已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出p q 、的值． （1）12x x == （2）1222x x =−+=− 【答案】（1）0p =，21q =−；（2）12p =，3q =．【答案】【答案】【解析】（1）根据韦达定理，可得1203px x +=−=，1273q x x ==−，可得0p =，21q =−； （2）根据韦达定理，可得1243px x +=−=−，1213q x x ==，可得12p =，3q =． 【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．【变式5】设12,x x 是方程22430x x +−=的两个根，求()()1211x x ++的值．【答案】【答案】【答案】52−．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足12422x x +=−=−，1232x x =−， 由此()()()()121212*********x x x x x x ⎛⎫++=+++=−+−+=− ⎪⎝⎭． 【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．【变式6】已知方程22210x ax a +−+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【答案】【答案】【答案】3a =．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足122ax x +=−，12122a x x −=，依题意有 2212174x x +=，即()221212121227224a a x x x x −⎛⎫+−=−−⨯= ⎪⎝⎭，整理即得28330a a +−=，解得：111a =−，23a =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足()2242211680a a a a ∆=−⨯−+=+−≥，仅在3a =时0∆≥成立，综上所述，可得3a =．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足0∆≥．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•徐汇区期末）若方程﹣3x +m ＝0有一根是1，则另一根是（ ） A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根n 的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设方程的另一根为n ， ∵方程x2﹣3x+m ＝0有一根是1， ∴1+n ＝3，解得：n ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根于系数的关系，解题的关键是弄清楚一元二次方程的两根之和与系数a 、b 的关系．2．（2022秋•青浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）A ．B ．（x ﹣2）2＝5C ．x 2+2x ＝0D ．【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：A．x2﹣x+＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根；B．x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C．x2+2x＝0，∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，∴方程有两个不相等的实数根；D．2x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，∴方程没有实数根．故选：A．ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．4．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（）A．2x2+6x＝3B．3x2+4x+6＝0C．x2﹣2x＝0D．3x2﹣4x﹣6＝0【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．【解答】解：A．方程化为一般式为2x2+6x﹣3＝0，Δ＝62﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B．Δ＝42﹣4×3×6＝﹣56＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C．Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D．Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣6）＝88＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式得Δ＝b2+4a2b，根据根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，即可确定判别式得符号，进一步确定根的情况．【解答】解：在一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0中，Δ＝b2+4a2b，根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．6．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），根据三角形的三边关系可知Δ＜0，可知一元二次方程根的情况．【解答】解：Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），∵a、b、c是三角形三边的长，∴b﹣c+a＞0，b﹣c﹣a＜0，∴Δ＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）＜0，∴原方程没有实数根，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为，积为．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系x2﹣3x+2＝0两个根的和为3，积为2．故答案为：3，2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是．【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝﹣4c，将其代入中，即可求出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣c）＝0，∴b2＝﹣4c，又∵c≠0，∴＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．9．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：将原方程转化为一般形式得（m+1）x2+2x﹣1＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：m＞﹣2且m≠﹣1，∴m的取值范围是m＞﹣2且m≠﹣1．故答案为：m＞﹣2且m≠﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．10．（20222，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为．【分析】讨论：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，利用判别式的意义得到∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解方程得到m的值；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，求出m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系可判断这种情况不符合题意．【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，综上所述，m的值为9．故答案为9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．11．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是．【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m×1＞0且m≠0，解得：m＜1且m≠0．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．12．（2022秋•徐汇区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，得出Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，∴Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，∴m＜﹣，故答案为：m＜﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，关键是掌握Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．13．（2022秋•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是．【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．【解答】解：设关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别为a、b．∵方程x2﹣10x+m＝0有两个实数根，∴Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25．①当底边长为3时，另两边相等时，a+b＝10，∴另两边的长都是为5，则m＝ab＝25；②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，而a+b＝10，∴另一根为：7．∵3+3＜7，不能构成三角形．∴m的值为25．故答案为：25．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．14．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，则m＝．【分析】根据根的判别式得出方程（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，解得：m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．15．（2022秋•奉贤区期中）当k时，关于x的方程有两个实数根．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，解得k≤且k≠0，即k的取值范围为k≤且k≠0．故答案为：≤且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（2022秋•杨浦区期中）如果关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，解得m＞﹣且m≠0，即m的取值范围为m＞﹣且m≠0，故答案为：m＞﹣且m≠0，【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．17．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为．【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．【解答】解：当m﹣3＝0，即m＝3时，方程为8x+24＝0，解得x＝﹣3，不合题意舍去；当m﹣3≠0，即m≠3时，（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0[（m﹣3）x﹣（2m+2）]（x﹣m）＝0，∴x1＝＝，x2＝m，∵方程的两个实数根都为正整数，∴是正整数，∴m＝4或5或7或11，故答案为：3或4或5或7或11．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．18．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是．【分析】根据根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程．【解答】解：∵1+（﹣）＝1﹣，1×（﹣）＝﹣，∴这个方程的一般式是x2+（﹣1）x﹣＝0．故答案为：x2+（﹣1）x﹣＝0．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．【分析】设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，利用根与系数的关系得到a+b＝10，ab＝m，讨论：当a＝b＝5时，易得m＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4或b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形．【解答】解：设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则a+b＝10，ab＝m，当a＝b＝5时，m＝5×5＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4时，b＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；当b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；综上所述，当m＝25时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为5，5；当m＝24时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为4，6．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了等腰三角形的判断．20．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数）．（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．（3）如果该方程没有实数根，求m的取值范围．【分析】先求出Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，进一步求解即可；（2）根据该方程有两个相等的实数根，可得Δ＝4m+8＝0，进一步求解即可；（3）根据该方程没有实数根，可得Δ＝4m+8＜0，进一步求解即可．【解答】解：关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数），a＝m+1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据题意，得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，解得m＞﹣2且m≠﹣1；（2）根据题意，得Δ＝4m+8＝0，解得m＝﹣2；（3）根据题意，得Δ＝4m+8＜0，解得m＜﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．21．（2022x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根．求m的值并求出两个实数根．【分析】由一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，得Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，可解得m＝±2，然后把m＝±2代入方程，解此方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，原方程变为：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1，当m＝﹣2时，原方程变为：x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键．22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论可得出m可取的最大非零整数为﹣1，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4×1×m2＝4﹣8m≥0，解得：m≤，∴m的取值范围为m≤．（2）∵m≤，∴当m取最大非零整数时，m＝﹣1．当m＝﹣1时，原方程为x2+4x+1＝0，解得：x1＝＝﹣2﹣，x2＝＝﹣2+．∴当m取最大非零整数时，方程的两个根分别为x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2+．【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）代入m的值，利用公式法求出一元二次方程的解．23．（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1，∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．24．（2022秋•青浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，然后求出m的取值范围，进而求出结果．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，解得m≤3且m≠1．故m能取的正整数值为2，3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．25．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2+6kx+4k﹣1＝0．（1）只有一个根，求k的值，并求此时方程的根；（2）有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由题意得k﹣2＝0≠0，即k＝2，列出方程求解可得；（2）根据题意得：k﹣2≠0且Δ＝0，解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得．【解答】解：（1）因为只有一个根所以k﹣2＝0且6k≠0，解得k＝2，∴方程为12x+7＝0，解得x＝，所以方程的根为x＝；（2）根据题意，得：k﹣2≠0，即k≠2，Δ＝0，即（6k）2﹣4（k﹣2）×（4k﹣1）＝0，解得k1＝，k2＝﹣2，当k＝时，方程为9x2﹣6x+1＝0，即（3x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝，当k＝﹣2时，方程为4x2+12x+9＝0，即（2x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．26．（2022秋•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根，∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，解得：m≥2，∴当方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2．（2）当7为底时，由题意得，Δ＝，则8m﹣16＝0，解得m＝2，此时一元二次方程x2﹣6x+9＝0解得x＝3，因为3+3＜7，舍去；当7为腰时，将x＝7代入得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m＝4或m＝10，当m＝10时，得三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去），当m＝4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形，故m的值为4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．27．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个。
解一元二次方程公式法
公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章 一 元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并 同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参 考 答 案 ：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个 一个连 直角续 三角偶 的 形三数 一 边的中 个 长x为间 ,为 根 三个据 连续题 偶 意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角 形2 的2 .三边长.
八年级同步第8讲：一元二次方程求根公式及综合
第8讲 一元二次方程求根公式及解法综合知识框架一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用．同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握．通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础．8.1 一元二次方程求根公式1. 公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b aca -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b aca -<这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2. 求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3. 用公式法解一元二次方程一般步骤①一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．【例1】 用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【例2】 用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【例3】 当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？【例4】 用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【例5】 用公式法解方程：21)30x x ++-．【例6】 用公式法解关于x 的方程：20x px q ++=．【例7】 用公式法解关于x 的方程：222240x mx n m --+=．【例8】 观察求根公式x =，求出12x x +的值，并用得到的结果求解：设a 、b 是方程220130x x +-=的两个实数根，求22a a b ++的值．8.2 一元二次方程解法综合一元二次方程解法总结①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解即：222222440()0()2424b b ac b b acax bx c a x x a a a a--++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【例9】 用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【例10】 用因式分解法解下列方程：（1）212193x x +=-；（2）2225(21)9(3)0x x +-+=．【例11】 用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=；（2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=； （4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【例12】 用配方法解下列方程：（1）2252x x -=；（2）211.30.604x x ++=．【例13】 用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【例14】 用配方法解下列关于x 的方程： （1）230x x t +-=； （2）220ax x ++=（0a ≠）．【例15】 用公式法解下列方程： （1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【例16】 用公式法解下列方程：（120x -=； （2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【例17】 用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a -=．【例18】 用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=； （2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=；（6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【例19】 用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【例20】 如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b *=+试解方程：2(2)210x x *+*=．【例21】 已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【例22】 如果x 满足2710x x -+=，求1x x-的值．【例23】 用因式分解法和公式法2种方法解关于x 的方程：2222222()2()()0p q x p q x p q -+++-=，（其中p 、q 为常数，且00p q p q +≠-≠，）．【例24】 已知22()(2)8x y x y -+-=，求2x y -的值．【例25】 阅读材料，回答问题材料：为解方程4260x x --=，可将方程变形为222()60x x --=，然后设2x y =，则222()x y =，原方程化为260y y --=①解得12y =-、23y =当2y =-时，22x =-无意义，舍去；当3y =时，23x =，x =∴原方程的解为1x =2x =问题：（1）在由原方程到方程①的变化过程中，利用 法达到了降次的目的，将关于x 的一元高次方程转化为关于y 的一元二次方程．（2）解方程：①222()4()120x x x x ----=；②422(1)9x x -+=．【例26】 已知a 是实数，方程230x x a -+=的一个解的相反数是方程230x x a +-=的一个解，求方程230x x a -+=的解．【例27】 对任意实数k ，方程2(1)3()40k x k m x kn +-++=，总有一根为1，求m 、n 的值，并解此方程．【例28】 关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数，求整数m 的值．8.3 课堂检测1. 用配方法解关于x 的方程20x bx c ++=时，方程可变形为（）（A ）22()24b b x +=；（B ）224()24b b cx -+=；（C ）224()24b b cx +-=；（D ）224()24b b cx --=．2. 用适当方法解下列方程：（1）2(1)25x -=；（2）26153x x +=；（3）2(4)5(4)x x +=+； （4）242011x x +=；（5）22(23)(1)04x x +--=；（6）4(210x x +=．3. 当x 为何值时，274x x ++的值与23(32)x x -的值相等？4. 二次方程(1)(2)(2)(3)(3)(1)0a x x b x x c x x ++++++++=有根0与1，求::a b c 的值．5. 已知k 是方程210x x --=的一个根，求代数式3220162k k -+的值．6. 解关于x 的方程：22222()4m n x mnx m n --=-（0mn ≠）．7. 解下列方程：（1）42163290x x --=； （2）(1)(2)(3)(4)120x x x x ++++=．8. 已知关于x 的方程：22112()1x x x x +++=，求11x x++的值．8.4 课后作业1. 按照要求解下列关于x 的一元二次方程：（1）2650x x +-=（用配方法）； （2）26153x x +=（用配方法）；（3）2734y y =+（用公式法）； （4）20-=（用公式法）．2. 已知2514x x =-，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值．3. 用适当方法解下列关于x 的方程：（1）23)12-=；（2）225180x x +-=；（3）(2)(5)2x x --=-；（4）2(25)(1)(25)0x x x x +--+=；（5）221(0.5)0.25(2)039x x ---=； （6）2(21)10x -+=；（7）2(1)1)10x x -+--=；（8）(1)(21)x x a x a -=--．4. 若1x =是一元二次方程22(56)(21)50m m x m x -+++-=的一个根，求m 的值．5. 解关于x 的方程：222()0 (0,0)abx a b x ab a b -++=≠≠．6. 已知202(21)22x x x x ++=--，求x 的值．。
第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与
第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合【知识梳理】一：一元二次方程求根公式1、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b ac a -< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b ac x a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =，2x 这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．二：一元二次方程解法综合①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：222222440()0()2424b b ac b b ac ax bx c a x x a a a a --++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【考点剖析】题型一：一元二次方程求根公式例1.求下列方程中24b ac -的值：（1）220x x -=；（2）2220x x --+=；（3）224(32)26x x x -+=-；（42+．【变式1】用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．【变式2】用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．【变式3】用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【变式4】用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【变式5】用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【变式6】用公式法解方程：21)30x x ++-．【变式7】当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？题型二：一元二次方程解法综合例2.口答下列方程的根：（1）(2)0x x +=；（2）(1)(3)0x x --=；（3）(32)(4)0x x +-=；（4）()()0x m x n -+=．【变式1】用开平方法解下列方程：（1）21(3)63x +=；（2）224(1)(2)x x +=-．【变式2】用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【变式3】用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=； （2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=； （4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【变式4】用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【变式5】用配方法解下列关于x 的方程：（1）230x x t +-=；（2）220ax x ++=（0a ≠）．【变式6】用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【变式7】用公式法解下列方程：（120x -=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【变式8】用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=； （2）2100.1a x a -=．【变式9】用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=； （2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=； （6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【变式10】用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【变式11】如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b =+．试解方程：2(2)210x x +=．【变式12】．已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级期末）方程（x +1）（x ﹣3）＝5的解是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝﹣3B ．x 1＝4，x 2＝﹣2C ．x 1＝﹣1，x 2＝3D ．x 1＝﹣4，x 2＝22．（2023春•浦东新区期末）方程2x 2﹣2＝0的解是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝0C ．x ＝1D ．x ＝±1．3．（2022春•上海期中）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A ．ax +1＝0B ．ax 2+1＝0C ．x +a ＝0D ．x 2+a ＝04．（2021秋•奉贤区校级期末）用配方法解方程x 2+5x +2＝0时，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程ax 2+b ＝0有实数根，则条件是（ ）A ．a ≠0，b ＞0B ．a ≠0，b ＜0C ．a ≠0，a ，b 异号或b ＝0D ．a ≠0，b ≤06．（2020秋•杨浦区校级月考）若方程（2016x ）2﹣2015•2017x ﹣1＝0较大的根为m ，方程x 2+2015x ﹣2016＝0较小的根为n，则m﹣n＝（）A．2016B．2017C．D．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•青浦区校级期末）方程x2＝3的根是．8．（2022秋•长宁区校级期中）一元二次方程x2＝2x的根是．9．（2022秋•虹口区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的解是．10．（2022秋•宝山区校级期中）方程x2﹣5x＝4的根是．11．（2022秋•闵行区校级期中）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝．12．（2022秋•浦东新区校级月考）若m、n为实数，且（m2+n2）（m2﹣1+n2）＝30，则m2+n2＝．13．（2023春•长宁区校级月考）把二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是和．14．（2021秋•奉贤区校级期末）方程x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0的根是．15．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是．16．（2021秋•宝山区期末）方程2（x﹣3）＝x（x﹣3）的根为．17．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为．18．（2022秋•奉贤区校级期中）方程x2+x﹣1＝0的根是．三．解答题（共12小题）19．（2023春•杨浦区期中）解关于x的方程：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0．20．（2022秋•徐汇区校级期末）解方程：y+＝．21．（2022秋•闵行区校级期中）解方程：x2+3x＝222．（2022秋•奉贤区期中）解方程：（x﹣2）（x+4）＝1．23．（2022秋•嘉定区月考）解方程：4x2﹣（x﹣2）2＝11．24．（2023春•虹口区期末）解方程：x2﹣4x＝9996．25．（2022秋•浦东新区期中）解方程：．26．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：ax2+4x﹣6＝0．27．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：（a﹣b+c）x2+2ax+（a+b﹣c）＝0．28．（2022秋•黄浦区校级月考）解方程：2x2+4x﹣1＝0．29．（2022秋•黄浦区校级期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．30．（2022秋•闵行区期中）已知：a、b是实数，且满足+|b+2|＝0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0的根．。
初中数学全套公式
初中数学全套公式初中数学是义务教育的基础学科，其公式和概念的学习是这门课程的核心部分。
以下是一套完整的初中数学公式，这些公式涵盖了初中数学的大部分内容，对于理解和应用数学概念具有重要意义。
一、代数公式1、乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)4、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)6、两数和乘两数差：2(a+b)(a-b)=2a²-2b²7、两数平方和：a²+b²=(a+b)²-2ab8、两数和的平方：(a+b)²=a²+2ab+b²9、两数差的平方：(a-b)²=a²-2ab+b²10、幂的乘方：anbn=(ab)n11、积的乘方：anbn=(ab)n12、分式的约分：同时分子分母除以公因式。
13、提公因式法：一般地，如果想要提取一个多项式的公因式，我们把这个多项式的各项都含有的相同字母因式提到括号外面，将多项式化成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
14、运用公式法：如果一个式子的值等于几个其他式子的值乘积，那么这个式子就叫公式的原式，这几个其他式子就叫这个公式的因式。
如果把一个公式的所有因式分解出来，那么它们就都叫这个公式的因式分解。
二、几何公式1、勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
2、平行线间的距离公式：如果两条直线平行，那么一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等。
3、三角形的面积公式：一个三角形的面积等于底边乘以高再除以2。
公式法及根的判别式
八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标：1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点：1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点：1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根.2、运用判别式求出符合题意的字母的取值X 围. 一、学习新知，推导公式我们以前学过的一元一次方程0=+b ax 〔其中a 、b 是数，且a ≠0〕的根唯一存在，它的根可以用数a 、b 表示为ab x -=，那么对于一元二次方程02=++c bx ax 〔其中a 、b 、c 是数，且a ≠0〕，它的根情况怎样？能不能用数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式.用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax解： c bx ax -=+2移常数项a cx a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数〔由于a ≠0，因此不需要分类讨论〕 222)2()2(aba c ab x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方22244)2(aac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。
因此对上面这个方程要进展讨论 因为2040a a ≠>所以〔1〕当240b ac -≥时，22404b aca-≥。
利用开平方法，得2b x a += 那么2b x a =-所以x =，〔2〕当240b ac -<时，22404b aca -<。
方程的解法
方程的解法在数学教学中，应注重传授问题解决的方法，让学生从繁杂的数学推导中解脱出来。
为此，我结合自己的学习实际，将初等数学和高等数学中有关方程的问题归类并给出了一些解决的方法。
（一）一元一次方程的解法1、消除分数项：等式两边同乘以分母的最小公倍数；2、合并同类项：将所有带x的项的系数相加，所有常数项（不带x）项相加；3、移动：带x的项移至等号左边，常数项移至等号右边（注意变+、-号）；4、相除：用常数除以x的系数（即：等号右边的数除以等号左边的数），结果就是方程的解。
例1.解下列方程(1)8-9x=9-8x(2)解：(1)8-9x=9-8x-9x+8x=9-8-x=1x=-1易错点关注：移项时忘了变号；(2)6x-3(3-2x)=6-(x+2)6x-9+6x=6-x-212x+x=4+913x=13x=1易错点关注：两边同乘，每项均乘到，去括号注意变号；（二）一元二次方程的解法此类问题的内容不仅基础而且非常重要，因此要引起重视一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法（或十字交叉法）。
一、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如 (x-m)^2=n (n≥0)的方程例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，此方程也可用直接开平方法解。
2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)先将数c移到方程右边：a x^2 + b x=-c将二次项系数化为1．方程两边分别加上一次项系数的一半的平方．方程左边成为一个完全平方式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x3,4 =
16a
√−2G−2√y1 +2√G2 +2G√y1 +2y1 −D−2sgn(E)√y2 y3
±
16a
������
−2b+√2G−2√y1 +2√G2 −2G√y1 +2y1 −D+2sgn(E)√y2 y3
x5,6 =
16a
√−2G+2√y1 +2√G2 −2G√y1 +2y1 −D+2sgn(E)√y2 y3
一元八次方程求根公式（天珩公式） 標準型：(係數∈R 且 a≠0) ax 8 + bx 7 + cx 6 + dx 5 + ex 4 + fx 3 + gx 2 + hx + j = 0 重根判別式：
G = 7b2 − 16ac H = 7b3 − 24abc + 32a2 d J = 15b2 c − 100abd + 256a2 e K = b3 c − 8ab2 d + 32a2 be − 64a3 f L = 5b3 d − 72ab2 e + 528a2 bf − 2048a3 g M = b4 d − 16ab3 e + 144a2 b2 f − 896a3 bg + 3584a4 h { N = b4 e − 28ab3 f + 464a2 b2 g − 5952a3 bh + 65536a4 j D = 3G2 − 8aJ {E = G3 − 4aGJ + 16a2 L F = 3G4 + 16a2 J 2 − 16aG2 J + 32a2 GL − 64a3 N A = D2 − 3F {B = DF − 9E 2 C = F 2 − 3DE 2
(2)若 E=0 且 D<0 且 F>0，方程有八個虛根。 公式 16:x1,2 = x3,4 = x5,6 = x7,8 =
−2b+√2G+2√G2 −D+2√F 16a
±
√−2G+2√G2 −D+2√F 16a
������ ������ ������ ������
−2b+√2G+2√G2 −D−2√F 16a −2b−√2G+2√G2 −D+2√F 16a −2b−√2G+2√G2 −D−2√F 16a
b 8a
±
√−D2 G−9DE 8aD
������
x3,4 = x5,6 = x7,8 = −
b 8a
±
√−D2 G+3DE 8aD
������
(2)若−9DE ≤ D2 G < 3DE，方程有兩個實根和六個虛根。 公式 5:x1,2 =
−bD±√D2 G+9DE 8aD
x3,4 = x5,6 = x7,8 = −
√−2G+√2D+2√A−F+2√G2 −G√2D+2√A−F+√A−F
±
16a
������
−2b−√2G−√2D+2√A−F+2√G2 −G√2D+2√A−F+√A−F
x7,8 =
16a
√−2G+√2D+2√A−F+2√G2 −G√2D+2√A−F+√A−F
± (4)若 E≠0 且 D>0 且 F>0。 公式 18:x1,2 = x5,6 =
±
16a
������
−2b−√2G−2sgn(E)√D−B⁄A+2√G2 +D−2Gsgn(E)√D−B⁄A−3B⁄A
x3,4 =
16a
√−2G+2sgn(E)√D−B⁄A+2√G2 +D−2Gsgn(E)√D−B⁄A−3B⁄A
±
16a
������
x5,6 = x7,8 =
−b±√G+sgn(E)√D−B⁄A 8a
√−G+√D 8a
������
x5,6 = x7,8 = −
b 8a
±
√−G−√D 8a
������
(2)若 D>0 且−√D ≤ G < √D，方程有四個實根和四個虛根。 公式 9:x1,2 = x3,4 =
−b±√G+√D 8a
x5,6 = x7,8 = −
b 8a
±
√−G+√D 8a
������
±
16a
������
−2b−√2G+√2D+2√A−F+2√G2 +G√2D+2√A−F+√A−F
x3,4 =
16a
√−2G−√2D+2√A−F+2√G2 +G√2D+2√A−F+√A−F
±
16a
������
−2b+√2G−√2D+2√A−F+2√G2 −G√2D+2√A−F+√A−F
x5,6 =
16a
3 3 3 4aJ+ 3 √z1 + √z2 +√z−Gsgn(E)√3D+3( √z1 + √z2 )
6
y1,2 = √y ±
6
3 3 3 −b±√G+sgn(E)√(D+ 3 √z1 + √z2 )⁄3+√(2D− √z1 − √z2 +2√z)⁄3
公式 14:x1,2 =
8a
3 3 3 −b±√G+sgn(E)√(D+ 3 √z1 + √z2 )⁄3−√(2D− √z1 − √z2 +2√z)⁄3
16a
������
−b±√G+√y1 +√y2 +sgn(E)√y3 8a −b±√G+√y1 −√y2 −sgn(E)√y3 8a
x3,4 = x7,8 =
−b±√G−√y1 −√y2 +sgn(E)√y3 8a −b±√G−√y1 +√y2 −sgn(E)√y3 8a
(5)若 E≠0 且min{D, F} ≤ 0，方程有八個虛根。
公式 7: x1,2 =
−bD±√D2 G+9DE 8aD
x3,4 = x5,6 = x7,8 =
−bD±√D2 G−3DE 8aD
④當 D≠0，H=K=M=E=F=0 時，方程有四個二重根。 (1)若 D>0 且G < −√D，方程有八個虛根。 公式 8:x1,2 = x3,4 = −
b 8a
±
(3)若 D>0 且G ≥ √D，方程有八個實根。 公式 10: x1,2 = x3,4 =
−b±√G+√D 8a
x5,6 = x7,8 =
−b±√G−√D 8a
(4)若 D<0，方程有八個虛根。 公式 11:x1,2 = x3,4 = x5,6 = x7,8 =
−2b+√2G+2√G2 −D 16a
總判別式：Δ = B2 − 4AC ①當 G=H=J=K=L=M=N=0 時，方程有一個八重實根。 公式 1:x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x8 = − −
7h 2g b 8a
=−
2c 7b
=−
d 2c
=−
4e 5d
=−
5f 4e
=−
2g f
=
=−
8j h
②當 H=K=M=D=E=F=0 時，方程有兩個四重根。 (1)若7b2 > 16ac，方程有八個實根。 公式 2:x1,2 = x3,4 = x5,6 = x7,8 =
± ± ±
√−2G+2√G2 −D−2√F 16a √−2G+2√G2 −D+2√F 16a √−2G+2√G2 −D−2√F 16a
(3)若 E=0 且 F<0，方程有八個虛根。
−2b+√2G+√2D+2√A−F+2√G2 +G√2D+2√A−F+√A−F
公式 17:x1,2 =
16a
√−2G−√2D+2√A−F+2√G2 +G√2D+2√A−F+√A−F
x3,4 = x5,6 =
−b+√y1 8a
8a
±
√y2 8a
������
x7,8 =
θ
−b−√y1 8a
±
√y2 8a
������
θ 3
⑦當Δ<0，H=K=M=0 時。 θ = arccos
3B−2AD 2A√A
y1,2 =D+√A(co来自 ±√3 sin ) 3 3 3
θ
y3 =
D−2√A cos 3
−2b+√2G+2√y1 +2√G2 +2G√y1 +2y1 −D−2sgn(E)√y2 y3
公式 19:x1,2 =
16a √−2G−2√y1 +2√G2 +2G√y1 +2y1 −D−2sgn(E)√y2 y3
±
16a
������
−2b−√2G+2√y1 +2√G2 +2G√y1 +2y1 −D−2sgn(E)√y2 y3
b 8a
±
√−D2 G+3DE 8aD
������
(3)若3DE ≤ D2 G < −9DE，方程有六個實根和兩個虛根。 公式 6: x1,2 = −
2 b 8a
±
√−D2 G−9DE 8aD