一元四次方程求根公式
拉格朗日一元四次方程
拉格朗日一元四次方程拉格朗日一元四次方程是指关于未知量的四次方程，即最高次数为4的一元方程。
它的一般形式可以表示为：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0其中，a、b、c、d和e为已知系数，而x为未知数。
拉格朗日一元四次方程是求解曲线与x轴的交点问题，它的解通常可以使用代数和数值方法来求解，其中拉格朗日插值法是求解这类方程的一种常用方法。
拉格朗日插值法是通过插值多项式来逼近原函数，将方程转化为代数问题。
具体步骤如下：第一步，假设方程有四个不同的根x1、x2、x3和x4，则可以将方程表示为：(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) = 0第二步，展开上述方程并将其化简，可以得到：x^4 - (x1 + x2 + x3 + x4)x^3 + (x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4)x^2 - (x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4)x +x1x2x3x4 = 0该方程是拉格朗日一元四次方程的标准形式，其中x1x2x3x4为因式分解中的常数项。
通过上述方式，我们将拉格朗日一元四次方程转化为了标准形式，从而可以更方便地进行求解。
当然，对于复杂的情况，我们可能需要借助计算器或计算软件来得到更精确的解。
另外，除了拉格朗日插值法，还有其他方法可以用来求解拉格朗日一元四次方程，比如求根公式和数值迭代法等。
总之，拉格朗日一元四次方程是一类重要的数学问题，它可以通过拉格朗日插值法以及其他数值方法来求解。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择最合适的方法，以获得准确的解。
变换与恒等式在一元三次、四次方程求根中的应用
变换与恒等式在一元三次、四次方程求根中的应用
闫艳丽
【期刊名称】《科教导刊》
【年(卷),期】2013(000)028
【摘要】任意的一个一元四次方程通过换元,总可以化为一个不含三次项的方程y4 +py2+ qy+ r=0,总可以找到一个三次方程z3+ 2pz2+(p2-4r)z-q2=0的根该四次方程根相关.任意一个一元三次方程通过换元,总可以化为一个不含二次项的方程y3+py+q =0.方程y3+py+q=0的解法可以通过换元与利用恒等式来解.这样一元四次、三次方程的求根的核心问题为求解不含二次项的三次方程y3 +py+q =0的问题.
【总页数】2页(P204-205)
【作者】闫艳丽
【作者单位】天津师范大学数学科学学院天津300387
【正文语种】中文
【中图分类】O24
【相关文献】
1.论一元四次方程的求根法 [J], 邹昊轩
2.计算机高级语言在数值分析中的应用--浅谈在计算机上实践一元非线性方程求根的方法 [J], 谢凤艳
3.拐点和一元三次方程的求根公式 [J], 辜青萍
4.一元三次方程求根公式推演探究 [J], 李青柏
5.一元三次方程求根公式推演探究 [J], 李青柏
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
冀教版-数学-七年级上册-了解一元三次和一元四次方程的解法
了解一元三次和一元四次方程的解法塔塔利亚发现的一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0，如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。
所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时3ab+p=0。
这样上式就成为 a3-b3=q，两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3，由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3。
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。
进而可解出b和根x。
费拉里与一元四次方程的解法卡当在《重要的艺术》一书中公布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后，塔塔利亚谴责卡当背信弃义，提出要与卡当进行辩论与比赛。
这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行，代表卡当出场的是卡当的学生费拉里。
费拉里(Ferrari L.，1522~1565)出身贫苦，少年时代曾作为卡当的仆人。
卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，当其数学才能被卡当发现后，卡当就收他作了学生。
费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。
一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。
一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了一元二次方程从而得解的。
于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。
费拉里的方法是这样的：方程两边同时除以最高次项的系数可得4320x bx cx dx e++++= (1)移项可得432x bx cx dx e+=--- (2)两边同时加上21()2bx，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为222211()()24x bx b c x dx e +=--- (3)在（3）式两边同时加上2211()24x bx y y ++ 可得 2211[()]22x bx y ++222111()()424b c y x by d x y e =-++-+- (4)（4）式中的y 是一个参数。
一元四次方程求根公式
(12)
(13)
1 2 2 1 上式两边再加上 x bx y y ，可得 2 4 1 1 2 2 1 2 1 1 2 x bx y b c y x by d x y e 2 2 4 2 4
验证代码如下 std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double>
2
第1章
一元四次方程求根公式
{ double r = _hypot(x.real(),x.imag()); //模 if(r > 0.0) {//模不为零时，开方 double a = atan2(x.imag(),x.real()); //辐角 n = 1.0 / n; r = pow(r,n); a *= n; return std::complex<double>(r * cos(a),r * sin(a)); } return std::complex<double>(); //模为零时，返回零 } /***************************************************************\ 求解一元四次方程 a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e = 0 \***************************************************************/ void Quartic(std::complex<double> x[3] ,std::complex<double> a ,std::complex<double> b ,std::complex<double> c ,std::complex<double> d ,std::complex<double> e) { a = 1.0 / a; b *= a; c *= a; d *= a; e *= a; std::complex<double> p = - 768.0 * e * e * e + 576.0 * b * d * e * e + 384.0 * c * c * e * e - 432.0 * c * d * d * e + 81.0 * d * d * d * d - 432.0 * b * b * c * e * e + 18.0 * b * b * d * d * e + 240.0 * b * c * c * d * e - 54.0 * b * c * d * d * d - 48.0 * c * c * c * c * e + 12.0 * c * c * c * d * d + 81.0 * b * b * b * b * e * e - 54.0 * b * b * b * c * d * e + 12.0 * b * b * b * d * d * d + 12.0 * b * b * c * c * c * e - 3.0 * b * b * c * c * d * d
一元四次方程-16.04.05
b m
4
2
8 y n 8 y n 8 y n 8 y n (22)
b m
4
2
b m
4
2
b m
4
2
写成通解形式就是
b 1
k 2
xk
m 1
k 1
k 2 k 2 b 1 m 8 y 1 n 4
费拉里法 .............................................................................................................1
求根公式（四次项系数为一） .........................................................................6 求根公式（四次项系数不为零） .....................................................................7 求根公式（维基百科） .....................................................................................8 求根公式（MATLAB） .....................................................................................8
上式右端是一个关于 x 的一元二次方程，当 1 1 1 by d 4 b 2 c y y 2 e 2 4 4
一元四次方程的求根公式--黄之
一元四次方程的根式解上海 黄之关于代数方程的求根公式的历史，本文就不多说了，四次方程的求根公式应该属于费拉里的。
一，首先，想重复一次三次方程的求根公式，即d cx bx x x g +++=23)(的零点，首先将g(x)写成：)3272()3)(3()3()(323d bc b b x c b b x x g +-+++-++= 在形式上，使二次项消失。
然后令c b p +-=32,d bc b q +-=32723,23)2()3(q p +=∆, 计算后可得：d b c b bcd d c 3222327110816141271+--+=∆ 则有：2,1,0,223332332=∆--+∆+-+-=-k q e q e b x k i k i ππ 若方程系数都为实数，则0>∆时g(x)有一个实零点和一对共轭虚零点，当0=∆时，g(x)有一个重根，当0<∆时，g(x)有三个不相等的实零点：2,1,0,32cos 323=+-+-=k k p b x πθ 其中))3(2(cos 31p q--=-θ 也许值得一提的是，实系数方程023=+++d cx bx x 的根全部都是实数的充分必要条件是： 02711081614127132223≤+--+d b c b bcd d c 这表明，三个实数r,s,t ，则关于复数321,,x x x 的方程组：321133221321,,x x x t x x x x x x s x x x r =++=++=的解321,,x x x 都是实数的等价条件为：0418********≤+--+t r s r rst t s上式等号成立，等价于321,,x x x 中有某两个数相等.二，现在开始考虑四次方程的求根公式.首先考虑缺三次项的四次方程. 即024=+++e dx cx x 的根，将方程变形，引入一个参数y ：)41()(4122224e y dx x c y y yx x -+--=++ ○1 上式左边是一个平方式，期待右边也是平方式，故而需要：0)4)((22=---e y c y d上述关于y 的方程即：0)4(4223=-+--d ec ey cy y ，以本文开头的三次方程的求根公式解之，令23232)2()3(,38272,431q p d ec c q e c p +=∆-+-=--=，此时还不需要去简化.则得到（只需要取该关于y 的方程的一个实根即可，事实上任何一个根都可以.）： 2,1,0,223332332=∆--+∆+-+=-k q e q e c y k i k i ππ将上面的其中一个y 代入○1，即得到： 222))(2)(()21(c y d x c y y x ---=+ 则原方程可以化为两个二次方程：0)221(2=-+-±cy d y x c y x 由此，可以得到024=+++e dx cx x 的根： 222,1cy d c y c y x -+--±--= 224,3c y dc y c y x ----±-=三，那么最后，来考虑e dx cx bx x x f ++++=234)(的零点，先将f(x)写成：)411612563()4)(2181()4)(83()4()(243224e bd c b b b x d bc b b x c b b x x f +-+-+++-+++-++= 形式上使三次项消失，这可以通过考虑f(x)在某个待定点附近的泰勒展开式做到. 用刚才缺三次项的四次方程的求根公式解之，令：)411612563(4)83(312422e bd c b b c b p +-+--+--=2322432)2181()83)(411612563(38)83(272d bc b c b e bd c b b c b q +--+-+-+-++--=简化上述p,q 的表达式：e bd c p 4312-+-= 2322723831d c ec bcd e b q --++-= 而23)2()3(q p +=∆,其对应的y 为：2,1,0,2231813323322=∆--+∆+-++-=-k q e q e c b y k i k i ππ 事实上只需要取一个实值的y 即可.然后由第二段的缺三次项的四次方程的求根公式就得到最后的解，为了表达简洁，再令： 2,1,0,22332332=∆--+∆+-=-k q e q e t k i k i ππ（只需要取实值，事实上都可以，只需要取其中一个.）t c b s +-=32412 t c b r --=34212 故而e dx cx bx x x f ++++=234)(的四个零点是： 4224132,1b s d bc b r s x -+-+±-= 4224134,3b s d bc b r s x -+--±=可得：224321b s x x bs x x -=+--=+，而从整个过程不难讨论f(x)的零点情况，不再继续.四，事实上在第一段中，把三次方程归结为了形式：03=++q px x ，在这种情况下，只需作变换：zp z x 3-=即可将其归结到二次方程，所以得到第一段的解法. 提出一些问题供练习:1， 求出一个等腰三角形，使得它三个内角的正弦值之和等于它们的余弦值之和.2， 实数x 满足31≤≤-x ，当x 取什么值的时候，函数x x x x f -++++=321)(达到最大值？3，证明：2,1,0),32)1413(cos cos(37671=+-+-k k π，包含了以下三个数： 78sin ,74sin ,72sin πππ 4，证明：1910cos 196cos 194cos )3)1927(cos cos(319611πππ++=+--。
方程的七种类型
方程的七种类型方程是数学中的重要概念，它描述了数学对象之间的关系。
在代数学中，方程可分为七种类型，分别是一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程、一元四次方程、二元一次方程、二元二次方程和二元三次方程。
本文将分别介绍这七种类型的方程。
一、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程类型，它的形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解一元一次方程的关键在于找到x 的值使得等式成立。
通过移项、合并同类项和化简等步骤，可以求解出x的值。
例如，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。
二、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，x是未知数。
解一元二次方程的方法有多种，常用的方法是配方法和求根公式。
配方法通过将方程变形为完全平方式，进而求解出x的值。
求根公式是通过使用二次根式来求解方程。
例如，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x = 2或x = 3。
三、一元三次方程一元三次方程是形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知常数，x是未知数。
解一元三次方程的方法有多种，常用的方法是巴斯卡法和牛顿迭代法。
巴斯卡法通过将方程进行化简，然后使用求根公式求解出x的值。
牛顿迭代法是通过逐次逼近方程的解，直到满足一定的精度要求。
例如，方程x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0的解为x = 1。
四、一元四次方程一元四次方程是形如ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0的方程，其中a、b、c、d、e为已知常数，x是未知数。
解一元四次方程的方法有多种，常用的方法是费拉里法和求根公式。
费拉里法通过将方程进行变形，进而转化为两个二次方程的形式，然后使用求根公式求解出x的值。
求根公式是通过使用四次根式来求解方程。
例如，方程x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24 = 0的解为x = 1或x = 2或x = 3或x = 4。
一元四次方程因式分解
一元四次方程因式分解一元四次方程是指次数最高为四次方的单变量方程，其一般形式为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0。
对于一元四次方程，我们可以通过因式分解的方法将其转化为一元二次方程的形式，从而求得方程的解。
我们可以先对一元四次方程进行因式分解，将其写成两个二次因式相乘的形式。
假设一元四次方程为(ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) = 0。
通过展开等式，我们可以得到一个关于系数的方程组。
根据方程组的解，我们可以确定二次因式的具体形式。
在求解方程组时，我们可以利用二次方程的求根公式来求解。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过公式x = (-b±√(b^2 - 4ac))/(2a)来求得。
将二次因式的形式代入方程组，我们可以得到与二次方程相似的形式，从而求得二次因式的根。
在求解方程组时，我们需要注意以下几点：1. 方程组的解可以是实数或复数。
当方程组没有实数解时，我们可以得到复数解。
2. 方程组的解可以重复。
即方程组存在重复的根，这在因式分解时是很常见的情况。
通过求解方程组，我们可以得到两个二次因式，从而将一元四次方程因式分解为两个二次因式相乘的形式。
这样，我们就可以通过求解二次因式来求解一元四次方程。
除了因式分解的方法，我们还可以利用其他方法来求解一元四次方程，如配方法、完全平方式等。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解方程。
总结起来，一元四次方程的因式分解是将其转化为两个二次因式相乘的形式，通过求解二次因式来求解方程。
除了因式分解的方法，还有其他方法可以求解一元四次方程。
不同的方法适用于不同的情况，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元四次方程的求根公式-完整
(2012-01-12 14:42:01)
转载▼
我以前发过了此文，但文中有缺少部分，此次经过更正2013.06.02
一元三次方程求解，中国的范盛金推导的求根公式较为合理，简明
实质上B2-4AC >0时情况可以作为一个通用公式，因为一般实数均可用复数形式表述。
按下述方法可以简明地判断重根。
与三次方程不同的是，四次方程求解需要复数运算支持，因为中间数据均会出现复数。
我已经发表的复数系统可作为计算的工具使用。
关于四次方程求解程序我暂时无时间写，不过可利用QR方法求任意实数多项式方程的所有根（QR 程序我也已发表于博客中，可以引用)。
一元四次方程一般式：ax4+bx3+cx2+dx+e=0（a≠0,a,b,c,d,e∈R）p=-(3b2-8ac) q=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e
r=-(b3-4abc+a2d) 2
A=p2-3q B=pq-9r C=q2-3pr
若A=B=0
y1=y2=y3=-p/3=-q/p=-3r/q
x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3) X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3)
X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3) X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3)
若B2-4AC=0
y1=-p+k y2=y3=-k/2
k=B/A A<>0 ///新补充
x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3) X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3)
X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3) X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3)
若B2-4AC<0
T=(2Ap-3B)/(2A1.5 )
y1=-1/3(p+2Acos(1/3ArccosT))
y2=-1/3(p+2Acos(1/3ArccosT+2π/3)) y3=-1/3(p+2Acos(1/3ArccosT-2π/3)) x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3)
X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3)
X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3)
X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3)
若B2-4AC >0
令。