一元三次方程求根公式的解法
求实系数一元三次方程根的实用公式
求实系数一元三次方程根的实用公式在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：设，则它的三个根的表达式如下：其中，我们先用该公式解一个一元三次方程：。
解：p= 9，q=6，T= 3，D= 18，原方程的三个根为这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、、表达式不明确。
其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。
因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。
下面我们推导一个实用的改进型求根公式。
实系数一元三次方程可写为（1）令，代入（1）得（2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。
不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）代入（2）得，（4）选择u、v，使得，即（5）代入（4）得，（6）将（5）式两边立方得，（7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：，且问题归结于上述方程组的求解。
即求关于t的一元二次方程的两根、，设，，，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，其中，为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：1）若，即D>0，则、均为实数，可求得，，取，，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足，方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。
2）若，即时，可求得，取同理，可求得方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
3）若，即D<0时，，p<0，，则、均为虚数，求出、并用三角式表示，就有，，其中T，都是实数，同理，其中，且取，，则显然，当且仅当取，；，；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：其中当时，方程（2）有三个实根。
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，，，3）当时，方程有三个实根，，上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是实用性的。
一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程求根公式的解法特殊型，标准型，其它方法卡尔丹公式法特殊型一元三次方程X^3，pX，q=0 (p、q?R)判别式Δ=(q/2)^2，(p/3)^3卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)，(Y2)^(1/3)X2= (Y1)^(1/3)ω，(Y2)^(1/3)ω^2X3=(Y1)^(1/3)ω^2，(Y2)^(1/3)ω其中ω=(,1，i3^(1/2))/2Y(1,2)=,(q/2)?((q/2)^2，(p/3)^3)^(1/2)标准型一元三次方程aX ^3，bX ^2，cX，d=0，(a，b，c，d?R，且a?0)令X=Y—b/(3a)代入上式可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3，pY，q=0 卡尔丹判别法当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。
除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下: 1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用(对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。
当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如:解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根:x1=0;x2=1;x3=—1。
2.一种换元法对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z—p/3z，代入并化简，得:z^3-p/27z+q=0。
再令z=w，代入，得:w^2+p/27w+q=0(这实际上是关于w的二次方程。
解出w，再顺次解出z，x。
3.导数求解法利用导数，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。
一元三次方程求根公式
⼀元三次⽅程求根公式⼀元三次⽅程求根公式⽬录盛⾦公式三次⽅程新解法——盛⾦公式解题法三次⽅程应⽤⼴泛。
⽤根号解⼀元三次⽅程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使⽤卡尔丹公式解题⽐较复杂，缺乏直观性。
范盛⾦推导出⼀套直接⽤a、b、c、d表达的较简明形式的⼀元三次⽅程的⼀般式新求根公式，并建⽴了新判别法。
盛⾦公式（Shengjin's Formulas）⼀元三次⽅程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛⾦公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC>0时，盛⾦公式②：X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛⾦公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC<0时，盛⾦公式④：X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1盛⾦判别法盛⾦判别法（Shengjin's Distinguishing Means）①当A=B=0时，⽅程有⼀个三重实根；②当Δ=B^2－4AC>0时，⽅程有⼀个实根和⼀对共轭虚根；③当Δ=B^2－4AC=0时，⽅程有三个实根，其中有⼀个两重根；④当Δ=B^2－4AC<0时，⽅程有三个不相等的实根。
一元三次方程求根公式推导过程
一元三次方程求根公式推导过程一元三次方程的求根公式，即可利用一个公式求得该方程的三个根，可谓一个十分重要的数学公式。
其公式的推导过程，虽繁琐，但也是有一定的规律可循的。
本文将就这一推导过程，加以详述。
首先来看一元三次方程的一般形式：$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$将该方程的左右两边分别平方，得到：$$a^2x^6+2abx^5+2acx^4+b^2x^4+2bcdx^3+2acdx^2+cd^2x^2+2abdx +c^2=0$$将上式两边同时乘以$4a^3$，得到：$$4a^3x^6+8a^2bx^5+8a^2cx^4+4a^2b^2x^4+16a^2bcdx^3+16a^2acd x^2+4a^2cd^2x^2+8a^2abdx+4a^2c^2=0$$将上式整理得到：$$x^2(4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2a cd)+c^2-4a^3d^2=0$$设 $P =4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2acd$，则上式变为：$$x^2P+c^2-4a^3d^2 = 0$$再将上式整理得到：$$x^2P+(frac{-b}{2a})^2-frac{1}{4a^2}(4ac-b^2)=0$$ 把上式分解因式，即有：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{2ac-b^2}{4a^2P} = 0$$ 设$D = b^2-4ac$，则上式可写为：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{D}{4a^2P} = 0$$将上式左右两边同时乘以$frac{1}{4a^2P}$，得到：$$frac{x^2}{4a^2P}+frac{-b}{8a^3P}+frac{1}{16a^4P^2}D=0$$ 根据二次方程的求根公式，即有：$$x=frac{-2a^2Ppmsqrt{8a^2Pb+D^2}}{4a^3P}$$再将上式改写，即得最终的一元三次方程求根公式：$$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}-frac{2a^2P}{bpmsqrt{b^2-4ac }}$$由此可见，一元三次方程求根公式，是通过繁琐的整理、变形，最终才得到的。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的.doc
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如320ax bx cx d +++=的标准型一元三次方程形式化为30x px q ++=的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如 30x px q ++=的一元三次方程的求根公式的形式应该为x 型,即为两个开立方之和。
一元三次方程的求根公式主要有两种，即卡尔丹公式和盛金公式。
其中卡尔丹公式是历史上首个完整解决一元三次方程的求根问题的重要公式，它所具有的历史意义是重大的，是不可磨灭的。
下面就首先简略介绍一下卡尔丹公式的内容及其推导过程。
一元三次方程320ax bx cx d +++=的求根公式是1545年由意大利学者卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式（有的数学资料叫“卡尔丹公式”）。
方程30x px q ++=，（p ，q ∈R ）判别式23(/2)(/3)q p ∆=+。
1x =；22x ；23x =。
这就是著名的卡尔丹公式。
卡尔丹公式的推导如下：第一步：320ax bx cx d +++= 为了方便，约去a 得到320x kx mx n +++=令/3x y k =- ，代入方程32(/3)(/3)(/3)0y k k y k m y k n -+-+-+=，3(/3)y k -中的2y 项系数是-k ，2(/3)k y k -中的2y 项系数是k ，所以相加后2y 抵消 ，得到30y py q ++=其中 p m =，32(/3)/3q k km n =-+。
第二步：方程30x px q ++=的三个根为：1x =；2x ω=3x ω= ；其中(1/2ω=-+。
1、方程31x =的解为11x =，2(1/2x ω=-+=，3(1/2x ω=--= ；2、方程3x A =的解为1x =2x =，23x =，3、一般三次方程320ax bx cx d +++=(0)a ≠,两边同时除以a ,可变成320x sx tx u +++=的形式。
一元三次方程怎么解求根公式
一元三次方程怎么解求根公式一元三次方程，是数学中最基本的方程，它的应用非常广泛，但很多时候遇到它，都不知如何求解它的根，这里就介绍一元三次方程怎么解求根的基本公式，希望能够对有此需求的朋友有所帮助。
一元三次方程的求根公式一元三次方程的求根公式是卡塔兰数（Caterane Numbers）中的公式，它的基本形式是：x^3 + ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c可以是实数。
求根公式为：x = [a/3 + (a/3)^2 + (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) + (b/2) (a/3) x = [a/3 (a/3)^2 (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) (b/2) (a/3)x = [(b/2) + (a/3) + (a/3)^2 + (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) (b/2) + (a/3)x = [(b/2) (a/3) (a/3)^2 (a/3)^3 + (b/2)^2]^(1/2) + (b/2) + (a/3)求根公式的应用当a、b、c都已知时，可以应用求根公式求解三次方程，如：求解方程：x^3 + 2x^2 11x + 6 = 0则由公式：x = [2/3 + (2/3)^2 + (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) + (11/2) (2/3)x = [2/3 (2/3)^2 (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) (11/2) (2/3) x = [(11/2) + (2/3) + (2/3)^2 + (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) (11/2) + (2/3)x = [(11/2) (2/3) (2/3)^2 (2/3)^3 + (11/2)^2]^(1/2) + (11/2) + (2/3)计算得x = 1, 2, 3其他求根方法除了卡塔兰数求根公式外，还有其他一些求根方法，如：（1）因式分解法：当三次方程中出现多项式的时候，可以尝试使用因式分解的方法求解，这种方法比较容易，但是无法处理复杂的一元三次方程。
一元三次方程求根公式及韦达定理
⼀元三次⽅程求根公式及韦达定理转⾃百度百科公式法（卡尔丹公式）（如右图所⽰）若⽤A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
⼀元三次⽅程求根公式判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有⼀个实根和⼀对个共轭；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的。
⼀元三次⽅程求根公式推导第⼀步：ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）为了⽅便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代⼊⽅程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第⼆步：⽅程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。
×推导过程：1、⽅程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、⽅程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、⼀般三次⽅程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
一元三次方程求根 知乎
一元三次方程求根知乎全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元三次方程求根是数学中一个非常基础且重要的知识点。
对于一些初学者来说，可能对于如何解一元三次方程求根还感到困惑。
今天就让我们来探讨一下一元三次方程求根的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这个知识点。
一元三次方程通常可以写成如下形式：ax^3+bx^2+cx+d=0a、b、c、d为已知的系数，而x为未知数。
我们的目标就是要找到满足这个方程的根，也就是使得方程成立的x的值。
在解一元三次方程之前，我们首先需要了解一元三次方程的根的情况。
根据代数学的基本定理，一元三次方程至少有一个实数根。
也就是说，无论方程的系数取什么值，都至少存在一个实数根。
而对于复数根来说，一元三次方程可能有一个，两个或三个复数根。
接下来，我们来看一下一元三次方程求根的方法。
在解一元三次方程时，通常可以采用如下方法：1. 利用因式分解求根：如果一元三次方程可以通过因式分解为(x-a)(x-b)(x-c)=0的形式，那么方程的根就是a、b和c。
这种情况下，可以通过因式分解很容易地求得方程的根。
2. 利用求根公式求解：一元三次方程是无法像一元二次方程那样通过普通的求根公式直接求解的。
但我们可以借助一些其他的方法来求解。
其中一个比较常用的方法就是卡达诺公式。
卡达诺公式在一元三次方程的求解中起着非常重要的作用，能够帮助我们求解出方程的实数根或复数根。
3. 利用数值解法求解：如果无法通过因式分解或者求根公式求解出方程的根，我们还可以利用数值解法来逼近方程的根。
数值解法主要有二分法、牛顿法等，通过迭代求解来逼近方程的根。
除了上述方法外，对于一元三次方程的求解，还有一些其他的方法和技巧。
可以通过换元减次的方法将一元三次方程降低为一元二次方程再求解，也可以尝试利用韦达定理、拉格朗日插值等方法。
这些方法都可以帮助我们更快更准确地求得一元三次方程的根。
第二篇示例：一元三次方程在数学中是一个常见的问题，解决这个问题需要求出方程的根。
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一元三次方程求根公式的解法
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。
二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。
不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。
由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。
三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推
理）求解不出来的问题，换一个思维，用归纳法（及通过对简单和特殊的同类问题的解法的归纳类比）常常能取得很好的效果。
事实上人类常常是这样解决问题的，大科学家正是这样才成为大科学家的。
1 一元三次方程求根公式，
x^3+a*x^2+b*x+c=0
其解为（注意I为虚数单位）：
x1=1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-
54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-
8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a;
x2=-1/12*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-
54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+3*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-
8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-
1/3*a+1/2*I*3^(1/2)*(1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-
54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-
8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3));
x3=-1/12*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-
54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+3*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-
8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a-
1/2*I*3^(1/2)*(1/6*(36*b*a-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-
54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*b*a-108*c-
8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*a*c+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3));
以上解绝对正确！我用maple解出来的。
希望有人跟贴，写成一元四次方程的解。
一元四次方程的求根公式.
设实系数四次方程为
y^4+ay^3+by^2+cy+d=0
利用代换y=x-q/4消去y^3,得
（5-2）x^4+px^2+qx+r=0
在上述方程加一参数α得(x^2+p/2+α)^2+qx+r-P^2/4-α^2-2αx^2-pα
=(x^2+p/2+α)^2-[2αx^2-qx+α^2+pα-r+p^2/4]=0
取α 使得方括号里是完全平方项，这时判别式D=0，即
q^2-r*2α(α^2+pα-r+p^2/4)=0 （5-3）
方程（5-3）除α外均为已知数,是一个一元三次方程的根.因此 可以求出.
如果α0是方程（5-3）的一个根，则
(x^2+p/2+α0)^2-2α0(x-q/4α0)^2=0
即 x^2+p/2=±(2α0)^(1/2)(x-q/4α0)
原方程变为解一元二次方程.
由此方程即解出.当然，这里α0的求法有三种，而=(2α0)^(1/2) 又有两个解，这里不再叙述.
至于一元五次以上的方程，伽罗瓦理论告诉我们，一般并不存在根式解，即不会有求根公式.。