一元三次方程的求根公式及其推导

一元三次方程的求根公式及其推导

有三个实数根。有三个零点时，当有两个实数根。

有两个零点时，当有唯一实数根。

有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。

有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。

点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：

程即可。因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0

)()(0)1281(81

1

)()(0

)()(0)1281(81

1)()(0

)()(0)1281(81

1

)()(3

3:

0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(0323

23221''33332332

32323=⇔<+=•=⇔=+=•=⇔>+=•--==-

=

==<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p

x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A

B A B x A B

C A B x A

D Cx Bx Ax βαβαβαβα

33

23323232

33

232332313

223213232

32

33333

33333

3333333333333233233232321281121086

1

128112108610)1281(81

1)27(412811210861

12811210861181281918128190)1281(81

1)27(4027

27,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(81

1

0)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩

⎪⎨

⎧+--==++-==⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：

实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以

，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根，

，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。则有，

若判别式的两根。

为一元二次方程，易知，。，即可令，

对比。即有，故，

由于。，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导：

）（求根公式的推导：有三个实数根。时，方程有两个实数根。时，方程有唯一实数根。时，方程，则有以下结论：

。令一定有时，

，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设

()()12,1,02329arccos 31cos 33201281132902,1,02329arccos 31cos 3322329arccos 31cos 323arccos cos 3293cos 9323329323323

403cos 3401)()(10)210(3

23arccos cos 323cos )23cos(3cos 03cos 34cos 3cos ,

cos 3cos 43cos 323333

3333+==⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≤-<=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-=+=-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=-===--=+•+•=++≤==++=+=+=+==---=k i k k p p q p x p q p p q p k k p p q p AX x k p p q k X p

p q

B q p p B p A p p B p A B

pA B A x x B q X B pA X B A B

q

B AX p B AX B

q

B Ax X q px x k k k x k x x x i ，，

式：

三个实数根时的求根公因此，得到方程有二或个实数根时上式成立。也正是当方程有二或三！，解得上式成立的条件为，，

因此，，

则），

，取第二组也未尝不可不妨取第一组解（当然。

或，得可令，

对比。即，

则上述方程可化为，，使得

，另设有非零实数可令，

对于方程。

，，，，故由于。

程，则上述等式可化为方看作未知量看作已知量，若将余弦三倍角公式：角公式。

弦三倍究之初，我选择的是余次方程的求根公式。研变换，从而得到一元三作线性可由角函数三倍角公式很大的相似性，故我们公式与一元三次方程有三倍角根路径。考虑到角函数时，我们需另辟一条求当方程有二或三实数根ππππαααπ

απαπαααααααα