一元三次方程的求根公式及其推导
一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式目录盛金公式三次方程新解法——盛金公式解题法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式（Shengjin's Formulas）一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1<T<1)。
盛金判别法盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
一元三次求根公式方法
一元三次求根公式方法一、一元三次方程概述1.定义及符号表示一元三次方程是指只含有一个未知数、未知数的最高次数为三次的方程。
通常用字母x表示未知数，方程一般形式为：ax+bx+cx+d=0。
2.基本性质一元三次方程有以下几个基本性质：（1）一元三次方程有三个解（实根或复根）；（2）一元三次方程的解可能有两个实根，一个虚根；（3）一元三次方程的解可能有一个实根，两个虚根；（4）一元三次方程的解可能三个都是虚根。
二、一元三次求根公式推导1.公式推导过程一元三次方程的求根公式由意大利数学家卡尔丹（Cardano）于16世纪首次推导出来。
求根公式为：x1,2,3 = [-b ± √(b-3ac)] / (3a)2.公式含义及适用范围该公式适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0），通过该公式可以求得一元三次方程的三个解。
三、一元三次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0，且a、b、c、d为实数），通过直接开平可以求得一元三次方程的解。
2.公式法利用一元三次方程的求根公式，可以求得一元三次方程的三个解。
公式法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0）。
3.图像法通过绘制一元三次函数的图像，观察与x轴的交点个数，可以判断一元三次方程的解的个数。
图像法适用于直观地了解一元三次方程的解的情况。
4.数值法利用数值方法（如牛顿法、二分法等）求解一元三次方程，适用于需要求解实数解的情况。
四、一元三次方程实际应用案例1.数学建模中的应用在数学建模中，一元三次方程常用于构建复杂数学模型，如人口增长模型、经济模型等。
2.物理、工程领域的应用一元三次方程在物理、工程领域中有广泛应用，如振动系统的动力方程、电磁场的麦克斯韦方程等。
五、一元三次方程求根公式的优缺点1.优点（1）公式具有普遍性，适用于各种一元三次方程；（2）求解过程较为简便，计算量较小；（3）可以求得实根、复根，以及虚根。
一元三次方程的求根公式及其推导
一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。
有三个零点时，当有两个实数根。
有两个零点时，当有唯一实数根。
有唯一零点时，当。
，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。
点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。
因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=∙=⇔=+=∙=⇔>+=∙--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F px p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC AB A B x A BC A B x AD Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。
一元三次方程求根问题
一元三次方程求根问题一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。
目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。
显然，所有的一元三次方程都可以转化为x 3+bx 2+cx +d =0的形式，先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式()()()B A AB B A AB B A B A B A +-+=--+=+333322333 在这里令x =A+B ，m =-3AB ，n =-(A 3+B 3)，则上述公式转为x 3+mx+n=0这便是一个特殊的一元三次方程。
而 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=nB A m B A 3333327所以由一元二次方程的韦达定理得A 3与B 3是方程02732=-+m ny y 的两根， 不考虑A 与B 之间的顺序，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-=22742274223223m n n B m n n A故33233227422742m n n m n n B A x +--+++-=+= 在解二次方程时，可以通过配方的方法将 ax 2+bx +c =0转化为04422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b ac 2a b x a 再将ab x 2+换元，以达到消去一次项的目的。
那么，在解x 3+bx 2+cx +d =0的过程中，是否也有类似的方法呢？ 我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项， 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++273332323b d x b c b x d cx bx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2723333323b bcd b x b c b x 这就转为x 3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得32233b t n t n x ---++-= 其中108441827274,3,2723332223223c d b bcd c b d m n t b c m b bc d n ++--=+=-=+-= 以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。
一元三次方程求根公式 卡尔丹定理
一元三次方程求根公式卡尔丹定理卡尔丹定理是一元三次方程求根的重要公式。
在数学中，一元三次方程是指形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。
解一元三次方程的问题在数学中具有重要的意义，它在实际生活中的应用也非常广泛。
卡尔丹定理是由法国数学家卡尔丹于16世纪提出的。
该定理通过对方程的系数进行变量替代，将一元三次方程转化为一个二次方程和一个一次方程的求解问题。
通过求解这两个方程，可以得到原方程的根。
我们将一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的系数进行变量替代，令x = y - b/3a。
将此代入原方程，可得到一个新的方程ay^3 + Py + Q = 0，其中P和Q是与原方程的系数相关的新的常数。
接下来，我们对新方程应用求解二次方程的公式，将其转化为一个二次方程求解问题。
通过求解这个二次方程，我们可以得到两个根y1和y2。
我们将得到的根y1和y2代入原方程中，得到两个新的一次方程，通过求解这两个一次方程，我们可以得到另外两个根x1和x2。
需要注意的是，卡尔丹定理对于一元三次方程可能存在的重根和虚根也是适用的。
重根是指方程有两个或三个相等的根，虚根是指方程的根不是实数。
在使用卡尔丹定理求解一元三次方程时，我们需要对不同情况进行分类讨论，并得出相应的结论。
除了卡尔丹定理，还有其他方法可以求解一元三次方程，比如牛顿迭代法和龙贝格-维尔斯特拉斯算法等。
这些方法在不同的情况下可能更加高效或精确，但卡尔丹定理作为一种经典的方法，仍然被广泛使用。
卡尔丹定理是一元三次方程求根的重要公式。
通过对方程的系数进行变量替代，将一元三次方程转化为一个二次方程和一个一次方程的求解问题，卡尔丹定理为我们解决一元三次方程提供了一种简洁而有效的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解一元三次方程，以解决各种问题。
一元三次方程的求根公式
一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。
所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3ab+p=0。
这样上式就成为a3-b3=q两边各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。
进而可解出b和根x.除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。
很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。
参见同济四版的高等数学。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。
我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。
归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。
方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)后记：一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
一元三次方程的解法详细
详细一元三次方程023=+++d cx bx ax 的解法先把方程023=+++d cx bx ax 化为03=++q px x 的形式： 令ab y x 3-=，则原式变成 0)3()3()3(23=+-+-+-d ab yc a b y b a b y a 0)3()932()273(222332223=+-++-+-+-d a b y c a b a by y b a b a y b a by y a 03932273232223223=+-++-+-+-d a bc cy a b y a b by a b y a b by ay 0)3272()3(2323=-++-+a bc a b d y a b c ay 0)3272()3(233223=-++-+a bc a b a d y a b a c y 如此一来二次项就不見了，化成03=++q py y ，其中223a b a c p -=，2333272a bc a b a d q -+=。
---------------------------对方程03=++q py y 直接利用卡尔丹诺公式：3323321)3()2(2)3()2(2p q q p q q y +--+++-= 33223322)3()2(2)3()2(2p q q p q q y +--⋅+++-⋅=ωω 33233223)3()2(2)3()2(2p q q p q q y +--⋅+++-⋅=ωω 其中i 31+-=ω。
32)3()2(pq +=∆是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三不等实根。
附：方程03=++q py y （2）求根公式的推导过程： 不妨设p 、q 均不为零，令v u y += （3）代入（2）得，0)3)((33=+++++q p uv v u v u （4）选择u 、v ，使得0p 3uv =+，即3p uv -= （5） 代入（4）得，q v u -=+33 （6）将（5）式两边立方得，27333p v u -= （7） 联立（6）、（7）两式，得关于3u 、3v 的方程组：32733333p uv p v u q v u -=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+ ，且 于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t 的一元二次方程02732=-+p qt t 的两根3u 、3v 。
一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式目录盛金公式三次方程新解法——盛金公式解题法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式（Shengjin's Formulas）一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1<T<1)。
盛金判别法盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
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一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。
有三个零点时，当有两个实数根。
有两个零点时，当有唯一实数根。
有唯一零点时，当。
，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。
点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。
因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=•=⇔=+=•=⇔>+=•--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F px p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC AB A B x A BC A B x AD Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。
故由以，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根，，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。
则有，若判别式的两根。
为一元二次方程，易知，。
，即可令，对比。
即有，故，由于。
，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。
，的形式。
其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。
通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导：）（求根公式的推导：有三个实数根。
时，方程有两个实数根。
时，方程有唯一实数根。
时，方程，则有以下结论：。
令一定有时，，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设()()12,1,02329arccos 31cos 33201281132902,1,02329arccos 31cos 3322329arccos 31cos 323arccos cos 3293cos 9323329323323403cos 3401)()(10)210(323arccos cos 323cos )23cos(3cos 03cos 34cos 3cos ,cos 3cos 43cos 3233333333+==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-<=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=-===--=+•+•=++≤==++=+=+=+==---=k i k k p p q p x p q p p q p k k p p q p AX x k p p q k X pp qB q p p B p A p p B p A BpA B A x x B q X B pA X B A BqB AX p B AX BqB Ax X q px x k k k x k x x x i ，，式：三个实数根时的求根公因此，得到方程有二或个实数根时上式成立。
也正是当方程有二或三！，解得上式成立的条件为，，因此，，则），，取第二组也未尝不可不妨取第一组解（当然。
或，得可令，对比。
即，则上述方程可化为，，使得，另设有非零实数可令，对于方程。
，，，，故由于。
程，则上述等式可化为方看作未知量看作已知量，若将余弦三倍角公式：角公式。
弦三倍究之初，我选择的是余次方程的求根公式。
研变换，从而得到一元三作线性可由角函数三倍角公式很大的相似性，故我们公式与一元三次方程有三倍角根路径。
考虑到角函数时，我们需另辟一条求当方程有二或三实数根ππππαααπαπαπαααααααα()()()()()()()[]()()()()()()()()()()实数根求根公式：，判别式：求根公式，结果如下：方程一般式的判别式和则可得到一元三次，，设的形式，故可均可化为方程由于对任一个一元三次求根公式的推广公式：的值代回，即可得卡丹，将的虚立方根。
为，其中，。
，即，故判别式为的两个根。
为方程，易知，。
代回上式，得：将，由韦达定理可知，的形式。
，则方程可化为设方程的一根为由前面的论证可知，若卡丹公式的推导。
时，作进一步研究可知，2223233324232332333233233323322332332123122222222232223232133321133221321333132312125481,27323930279233930:.31281121086128112108612811210861281121086128112108611281121086112312312323123123233B A 34B A 0)(300)(3:.20C B A D B A C A BCD A D A D A ABC B q AB AC p B Ax t D A ABC B B Ax AB AC B Ax D Cx Bx Ax p q q p q q B A x p q q p q q B A x p q q p q q B A x B A B A B iA iB A i B A t x B A B iA iB A i B A t x B A i B A t B A i B AB A B AB A t B A t x x B AB A x x B A x x B A x B A x x x AB x x x x x x x x x B A ABx x B A x x x -++-=∆+-=-=+==+-++-++=++++--+++-=+=+--+++-=+=+--+++-=+=+=+-+--=--+-==+=--++-=-++-==-±+-=-±=--=+--+=+-+++⎩⎨⎧+-=+-=++=⎪⎩⎪⎨⎧+=-=++=++=+--+===∆ωωωωωωωωωωωωωω()()程求根公式的推导。
至此，完成一元三次方卡丹公式：，，时，时，A B B ABC D A A B ABC D A A x A B B ABC D A A B ABC D A A x A B B ABC D A A B ABC D A A x k i k A B k AC B B AC B ABC D A AC B A x A BB ABCD A A B ABC D A A x i 3128361086128361086312836108612836108631283610861128361086112,1,0323262927arccos 31cos 3320312836108611283610861033233233233233233223322332332-∆--+-+∆+-+-=-∆--+-+∆+-+-=-∆--+-+∆+-+-=+==-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+--=≤∆-∆--+-+∆+-+-=>∆ωωωωπ后记：对于一元三次方程的研究，先人们历经了漫长的探索之路。
我对此类方程的研究，是源于角函数的求值问题（如已知30°角的角函数值，利用三倍角公式来反求10°角的角函数值），大约开始于2006年10月份。
但最终的结果证明了这样一个事实：对于这样一类整数角，如果不可以表示为α=3n （n 为整数）的形式，是不可能用有限个代数式来表示其角函数值的。
这反而激起了我对一元三次方程求根公式的研究。
卡丹公式并不是由卡丹本人发现的，而是由他第一次发表在数学著作《大术》上的，后人为了纪念他对这一成果的公布，称之为卡丹公式。
上述实根式由本人发现，并第一次在此提出，希望广大数学爱好者给予点评。
2009年11月25日。