一般实系数四次方程的谢国芳公式-绝对准确可靠又最简明快捷的求根公式
一元四次方程的求根公式知乎
一元四次方程的求根公式知乎四次方程是指次数最高为4的方程，一元四次方程可以表示为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，其中a、b、c、d、e都是已知常数，x表示未知数。
求解一元四次方程的根可以使用求根公式来完成。
然而，与一元二次方程和一元三次方程不同，一元四次方程没有通用的求根公式，也就是说，不存在一个类似于一元二次方程的公式可以直接给出方程的根。
然而，我们可以利用一些特殊的方法来求解一元四次方程的根。
其中一种常用的方法是将一元四次方程转化为一元二次方程的形式，然后再求解一元二次方程的根。
为了将一元四次方程转化为一元二次方程，我们可以采用变量代换的方法。
假设我们将一元四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0中的x的二次项的系数设为1，即将方程变为y^2+px^2+qx+r=0，其中y=x^2。
然后，我们可以利用一些代数运算的方法，将一元四次方程转化为一元二次方程的形式。
具体的转化方法是：首先，将一元四次方程的常数项e移到方程的左边，即ax^4+bx^3+cx^2+dx=-e。
然后，我们可以令y=x^2，这样方程可以写成ax^2y^2+bxy^2+cxy+dxy=-e。
接下来，我们可以提取出y的系数，得到ay^2+by^2+cy+dy=-e。
接下来，我们可以继续对一元四次方程进行变量代换。
假设我们令z=y+u，其中u是一个待定系数，那么方程可以进一步写成a(z-u)^2+b(z-u)^2+c(z-u)+d(z-u)=-e。
将这个方程展开并整理，得到az^2+(2au+b)z+(au^2+bu+cu+du+e-au^2)=0。
现在，我们得到了一个一元二次方程az^2+(2au+b)z+(au^2+bu+cu+du+e-au^2)=0。
我们可以使用一元二次方程的求根公式来求解这个方程，得到z的两个解。
然后，我们可以将z的解代回到之前的变量代换中，得到y的解。
最后，我们再将y的解代回到y=x^2的关系式中，得到x的解。
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及
其推导
实系数四次方程的一般形式为 $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$。
首先，我们考虑实系数四次方程的求根公式。
实系数四次方程的求根公式：
实系数四次方程的求根公式可以通过使用拉格朗日插值法或泰勒级数展开等方法来推导。
具体来说，对于给定的实系数四次方程 $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$，其求根公式可以表示为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$其中 $a, b, c, d, e$ 是方程的系数，并且 $a \neq 0$。
根的判别法则：
实系数四次方程的根的判别法则可以通过判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 来确定。
如果 $\Delta > 0$，则方程有两个不相等的实根；
如果 $\Delta = 0$，则方程有两个相等的实根；
如果 $\Delta < 0$，则方程没有实根，但可能有复数根。
推导过程：
实系数四次方程的求根公式和根的判别法则可以通过因式分解、配方法、二次公式等方法来推导。
具体推导过程可以参考数学教材或相关文献。
三次方程与四次方程的求根公式
三次方程与四次方程的求根公式一、历史背景：在数学发展的早期，人们已经研究了一、二次方程的解法。
但是，对于三次方程和四次方程的解法却一直困扰着数学家们。
直到16世纪末，意大利数学家卡尔达诺通过一系列的探索和实践，才找到了求解三次方程的方法。
而求解四次方程更是摆在数学家们面前的一个难题，直到16世纪末，法国天文学家费尔马提出了一个通解。
二、解题思路与方法：对于三次方程和四次方程，我们首先需要将其化为特定的形式。
三次方程可以表示为a*x^3+b*x^2+c*x+d=0，四次方程可以表示为a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0。
接下来，我们需要找到合适的变量代换，使得原方程可以转化为形如y^3+p*y+q=0或y^4+p*y^2+q=0的方程。
这个变量代换的选取很关键，可以利用一些特殊的性质或条件来进行选取。
然后，我们需要通过一些代数方法，如因式分解、配方法、全平方法等，将原方程转化为一个关于新变量的方程，并进一步进行变量代换。
最后，我们可以采用牛顿迭代、套公式等方法，求得方程的根。
三、三次方程的求根公式：我们首先进行变量代换y=x+p/3，将三次方程转化为y^3+p*y+q=0的形式。
根据维埃塗公式的推导，我们可以得到：y1=C+u+vy2=C+ωu+ω^2vy3=C+ω^2u+ωv其中，C和ω是与p和q相关的常数，u和v是根据原方程的系数经过一些运算得到的。
最后，我们再将y1、y2、y3代入变量代换，即可得到原方程的三个实根。
四、四次方程的求根公式：我们先进行变量代换y = x - b/(4a)，将四次方程转化为y^4 + py^2 + q = 0的形式。
根据费尔马的推导，我们可以得到：y1 = sqrt(-p/2 + sqrt((p/2)^2 - q))y2 = -sqrt(-p/2 + sqrt((p/2)^2 - q))y3 = sqrt(-p/2 - sqrt((p/2)^2 - q))y4 = -sqrt(-p/2 - sqrt((p/2)^2 - q))然后，我们再将y1、y2、y3、y4代入变量代换，即可得到原方程的四个实根。
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一般实系数四次方程可以写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a, b, c, d, e均为实数且a \neq 0。
解这种四次方程是一个相对复杂且困难的问题，因为不像二次方程有求根公式那样简单。
我们可以通过一些方法来解决这个问题。
我们来看一种求根公式的推导过程。
假设我们已经知道了四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0的根为x_1, x_2, x_3, x_4，我们可以将它写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)我们可以将右边展开得到：a(x^4 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)x^3 + \cdots + x_1x_2x_3x_4) = 0比较两边系数可得：\begin{cases}b = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)\\c = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4\\d = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)\\e = x_1x_2x_3x_4\end{cases}这些方程可以用来求解四次方程的根。
虽然这种方法比直接解四次方程要复杂一些，但是它可以帮助我们推导出四次方程的求根公式。
接下来，我们来看一下如何判别四次方程的根的情况。
根据代数基本定理，一个次数为n的多项式方程有n个复数根（包括重根）。
但是对于四次方程，通常我们更感兴趣的是它的实根情况。
我们可以通过计算四次方程的判别式来判断它的实根个数。
对于一般的四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，它的判别式可以表示为：\Delta = 256a^3e^3 - 192a^2bde^2 - 128a^2c^2e^2 + 144a^2cd^2e - 27a^2d^4 + 16ab^4e - 4ab^3cd - 8abc^3e +4abcd^2 + b^2c^2e^2 - b^2d^2e - 4bc^3d如果判别式\Delta > 0，则四次方程有两对不相等的实根。
一元四次方程求根公式
方程的求根公式范文
方程的求根公式范文方程是数学中一个重要的概念，它帮助我们解决各种各样的问题，例如求解未知数、找出等式成立的条件等。
方程的求根公式是一种用于求解一元二次方程的方法。
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
下面我将详细介绍方程的求根公式。
求根公式起源于古希腊，但它的完整形式是由16世纪意大利数学家乔瓦尼·毕达哥拉斯提出的。
求根公式可以解决任何一元二次方程，而且其结果可以分为三种情况：实根、重根和虚根。
下面我将逐一阐述这三种情况。
首先，考虑一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的情况。
利用求根公式，我可以得出方程的两个根x1和x2的表达式：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)这就是方程的求根公式。
下面我们来看一些具体的例子。
例1：求解方程x^2+2x-3=0。
首先，我们可以将方程与我们的求根公式进行比较。
我们可以看出a=1，b=2，c=-3、将这些值代入求根公式，我们可以计算出方程的两个根：x1=(-2+√(2^2-4*1*(-3)))/(2*1)=(-2+√(4+12))/2=(-2+√16)/2=(-2+4)/2=2/2=1x2=(-2-√(2^2-4*1*(-3)))/(2*1)=(-2-√(4+12))/2=(-2-√16)/2=(-2-4)/2=-6/2=-3所以，方程x^2+2x-3=0的两个根分别是1和-3接下来，我们来看一种特殊情况，即方程的判别式D = b^2 - 4ac等于0的情况。
这种情况下，方程只有一个根，称为重根。
例2：求解方程4x^2-8x+4=0。
来看一下方程的判别式D的值：D=(-8)^2-4*4*4=64-64=0我们可以看到判别式D等于0。
那么，我们应用求根公式计算方程的根。
x1=(-(-8)+√((-8)^2-4*4*4))/(2*4)=(8+0)/8=8/8=1所以，方程4x^2-8x+4=0只有一个根1最后，我们来看一种判别式D小于0的情况。
一元四次方程求根公式(精度高)
目录前言一·一元三次方程求根公式二·笛卡尔待定系数法结合一元三次方程韦达定理三·费拉里配方法 四·误差计算方法 五·两个求根公式精度对比 六·计算器使用注意事项附录一·一元四次方程有一三重根时的另一种求根公式附录二·一元四次方程有一对重根时的另一种求根公式附录三·43x x 取第一种算法的证明过程附录四·费拉里配方法的详细计算过程前言该文档是在word2003编辑的，如果用更高版本的word 浏览或编辑，某些数学公式可能无法正常显示。
一元四次方程有两种解法，一种是笛卡尔待定系数法，一种是费拉里配方法。
两种解法都需要求解一元三次方程。
因此先介绍一元三次方程的解法。
在求根公式计算过程中，经常会发生相近数相减，因此精度会随之下降，这里给出两个数发生相近数相减的判定条件：将两个数写成a+b 的形式，在判断是否发生相近数相减前，先计算两个中间变量b a i +，b a d +：1·0≥ab0=+b a i ，b a d +=12·0<ab⎩⎨⎧≠+-+=+-=+0))),(int(lg(max int(lg 015b a b a b a b a i b a b a b a d b a ++=+计算出b a i +，b a d +后，再判断a+b 是否发生相近数相减。
判定标准如下：1·0=+b a i 或者1-=+b a i 并且31≥+b a d ，a+b 不发生相近数相减。
2·1-<+b a i 或者1-=+b a i 并且31<+b a d ，a+b 发生相近数相减。
下面推导一元三次方程和一元四次方程的求根公式。
一·一元三次方程求根公式一·一 求根公式一元三次方程)0,0,,,(023≠≠∈=+++d a R d c b a d cx bx ax ，求根公式由塔塔利亚首次提出，由卡尔丹诺于1545年在《重要的艺术》上第一次发表。
四次方程的谢国芳求根公式-最准确可靠和简明快捷的求根公式
四次方程的谢国芳求根公式-最准确可靠和简明快捷
的求根公式
四次方程的求根公式称为“费拉里公式”
（Ferrari'sFormula）。
对于一般形式的四次方程
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，其求根公式较为复杂，但可以通过以下步骤求解：
1.将方程利用代数方法化简为形如y^4+py^2+qy+r=0的形式，其中y=x^2。
2.计算一个中间参数S和T，其中S和T是使得S^3和T^3可以消去中间项q的两个实数。
可以通过求解以下方程得到S和T的值：
S^3+T^3=-p
S^3T^3=r
3.计算两个截距参数u和v，其中u和v是使得u^4+v^4可以得到根式解的两个实数。
可以通过求解以下方程得到u和v的值：u^2+v^2=S
u^2v^2=T
4.根据以上参数，可以得到四个根式解：
x1=sqrt(u)+sqrt(v)
x2=-sqrt(u)+sqrt(v)
x3=sqrt(u)-sqrt(v)
x4=-sqrt(u)-sqrt(v)
需要注意的是，费拉里公式较为复杂，求解四次方程的根可能需要复杂的计算和推导。
实际应用中，常常利用数值计算方法或计算机程序来求解四次方程的根。
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一般实系数四次方程的谢国芳求根公式作者：谢国芳（Roy Xie ） Email: roixie@【摘要】本文给出了一个绝对准确可靠又最简明快捷的一般实系数四次方程的求根公式，其中涉及的运算全部为实数运算，可以在普通的科学计算器上进行。
以下把一般四次方程的形式设为4324640ax bx cx dx e ++++=在系数中引入数字因子4, 6, 4是为了使后面各参数的表达式尽可能地简洁，注意五个系数的数字因子1, 4, 6, 4, 1恰好是二项式系数（ 4432(1)4641x x x x x +=++++ ）.一般实系数四次方程的谢国芳求根公式对于实系数四次方程 4324640a x b x c x d x e ++++= (0)a > , 定义参数2H b ac =-, 243I ae bd c =-+, 2332G a d abc b =-+, 32234H a H I GJ a--=,3227I J ∆=-,称0G ≠,220I J +≠（即, I J 不同时为0）的情形为一般情形，又可以分为下面这两种情况[1]：（一）一般情形的求根公式Ⅰ当32270I J∆=-<时，方程的四个根为1,23,4(sgn(/(sgn(/x b G ax b G a⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩其中sgn()G为G的符号（sign）,1 (0)sgn()1 (0)GGG>⎧=⎨-<⎩2at H=+.（二）一般情形的求根公式Ⅱ当32270I J∆=-≥时，方程的四个根为1234(/(/(/(/x b ax b ax b ax b a⎧=-+++⎪⎪=-+⎪⎨=--+-⎪⎪=---+⎪⎩其中1)3y Hθ=+,2,32)33y Hθπ=±+,1cosJθ--=.s是一个符号因子（sign factor），等于1或1-，视实数123,,y y y的符号而定：当123,,y y y全为正数时sgn()Gs=-，否则sgn()Gs=.（三）特殊情形的求根公式(Ⅰ) 当0G ¹, 0I J ==时,方程有一个三重实根(sgn(/b G a -+和另一个实根(3sgn(/b G a --.(Ⅱ) 当0G =时, 方程的四个根为1234(/(/(/(/x b a x b a x b ax b a ⎧=-+⎪⎪=-+⎪⎨⎪=--⎪⎪=--⎩【注1】规定各求根公式中的平方根全部取主值（设z 为复数z 的模，θ为其幅角主值（πθπ-<≤）/2i θ, /2i θ，称前者为主值），实际上，除了特殊情形Ⅱ之外，各平方根号内的数全都是实数，当它是正数时平方根主值就是普通的实平方根，而当它是负数时则等于其绝对值的实平方根乘以i 。
例题例题1 解四次方程 4322121030x x x x +---=.解：21121051, , 2, , 342642a b c d e --=======-=-2219()(2)24H b ac =-=--=22154334()()3(2)1422I ae bd c =-+=---+-=233511332()3()(2)2()2224G a d abc b =-+=---+=32329932744()()14()4442J H H I G =--=-⨯-=3232278707271427()24I J∆=-=-=-因为0∆<，所以用 一般情形的求根公式Ⅰ 求解：2190.01211672491861742250724a t H =++=++≈30, sgn ()14G G =>=11(sgn(/23.0711409009234886169x b G a =--±=--+≈21 4.29129289313448290572x =--≈-3,4120.389924003894502855570.27493870736756802215x i=--±≈-±例题2 解四次方程 43231418810x x x x ++++=.解：1471883, , 3, 2, 14264a b c d e ========22713()3324H b ac =-=-⨯=2274331423322I ae bd c =-+=⨯-⨯⨯+⨯=2323773732323332()224G a d abc b =-+=⨯-⨯⨯⨯+⨯=322322331313374()3()2()4144443H a HI GJ a⨯-⨯⨯---===-3232110127(2)27()416I J∆=-=--=因为0∆>，所以用 一般情形的求根公式Ⅱ 求解：11()1cos cos 1.0936126008583018847Jθ---==≈弧度113)) 5.5385306812982778167334y H θθ=+=+≈2213) 1.3494473524579513276334y θπ=++≈2213) 2.8620219662437708557334y θπ=-+≈因为123, , y y y 全为正数，sgn () =1G s =-- 37(0, sgn ()1)4G G =>=17(/(/3 1 2x b a =-++=--+=-27(/3 2.90227220776028929072x =---≈-37(/30.558895228078820053052x =-++-≈-47(/30.205499230827557322952x =-+-+≈-例题3 解四次方程 432183571962400x x x x -+-+=.解：1893571191961, , , 49, 24042624a b c d e --===-====-=229119157()224H b ac =-=--=-22911939915432404()(49)3()224I ae bd c =-+=---+=2339119932(49)3()()2()572222G a d abc b =-+=---+-= 3223215715739915141909144()()572 4448J H a H I G=--=⨯---⨯-=-323239915141909127()27()14405853431748I J∆=-=--=因为0∆>，所以用 一般情形的求根公式Ⅱ 求解：11cos cos 0.39062182774728867633 ()θ--==≈弧度15157o s ()c o s ()17.935443512405450943334y H θθ=+=-≈22157+)74.327803692239770745334y θπ-≈-32157)61.357639820165680199334y θπ--≈-因为123, , y y y 不全为正数，sgn () =1G s = (5720, s g n (G G =>=1,2(/9 2 8.735025798316398797416.454469174310768933x b a i i=-+±+=+±+≈±3,4(/9 2 0.264974201683601202550.78824565743655318750x b a i i =-+=+±-≈±作者简介： 谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，著有《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《破解韩国语单词的奥秘》等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。
已发表的数学和物理方面的论文有：4. 《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》 （2012年第21期《数学学习与研究》）。