微分方程公式运用表
微分方程公式总结
Q( x)
的解为
y
e
x
P( x )dx
x0
(
x
x
P( x) dx x0
Q(x)e
dx
y 0)
x0
dy
4.齐次型方程
dx
y
y
() u
x
x
dy
du
y ux于是有
ux
dx
dx
du 便得到 u x
dx
(u) 这是一个可分离变量的微分方程。
分离变量后积分
du
dx
(u ) u x
dy ax by c
dx
p' f ( x, p) 这是一个关于变量 x，p 的一阶微分方程。 如果我们求出
它的通解为 y' p ( x,C1) ，那么再通过积分，可得原方程的通解
y
( x, C1)dx C 2
dp dp dy dp
(3) y'' f ( y, y') 设 y' p y'' dx
dy dx
p dy
dp
从而方程就化为
6.伯努利方程 dy P( x) y Q( x) y ( 0,1)
dx
作代换 z y1 则 dz (1 ) y dy ，于是有
dx
dx
dz
(1 )P( x) z (1 )Q(x) ，这是一阶线性方程。
dx
7.可降阶的二阶微分方程
(1) y'' f ( x)
(2) y'' f ( x, y') 设 y' p 那么 y'' dp p' 从而方程就化为
微分方程解的形式
微分方程解的形式一、一阶微分方程1. 可分离变量的微分方程- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)。
- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为常数。
- 解的形式：一般得到G(y)=F(x)+C，其中G(y)和F(x)分别是(1)/(g(y))和f(x)的原函数。
例如对于方程(dy)/(dx)=ysin x，变形为(dy)/(y)=sin xdx，积分得到ln|y|=-cos x + C，进一步可写成y = e^-cos x + C=Ce^-cos x（C = e^C为任意常数）。
2. 一阶线性微分方程- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)。
- 解法：先求对应的齐次方程(dy)/(dx)+P(x)y = 0的通解，其通解为y = Ce^-∫ P(x)dx（通过分离变量法得到）。
然后利用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ P(x)dx，代入原方程求出C(x)，C(x)=∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C。
- 解的形式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)。
例如对于方程(dy)/(dx)+ycos x=cos x，这里P(x)=cos x，Q(x)=cos x。
先求齐次方程(dy)/(dx)+ycos x = 0的通解，(dy)/(y)=-cos xdx，y = Ce^-sin x。
设原方程的解为y = C(x)e^-sin x，代入原方程可得C(x)=x + C，所以原方程的通解为y=(x + C)e^-sin x。
二、二阶线性微分方程1. 二阶常系数齐次线性微分方程- 形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）。
- 解法：设y = e^rx，代入方程得到特征方程r^2+pr + q=0。
微积分常用公式及运算法则
微积分常用公式及运算法则1.调和级数：调和级数为H(n)=1+1/2+1/3+...+1/n，其中n为正整数。
它是发散级数，在计算机科学和数学中都有重要应用。
2.多项式级数：多项式级数为f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...。
其中a0、a1、a2是常数系数，x是变量。
多项式级数可以直接求和，也可以使用其他方法进行求和。
3.幂级数：幂级数为f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。
其中c0、c1、c2是常数系数，a是常数。
幂级数可以表示为基于常数系数和常数a的级数。
4.泰勒级数：在微积分中，泰勒级数是一种用函数的高阶导数来逼近函数的方法。
泰勒级数可以将函数表示为一个无限级数。
5.泰勒公式：泰勒公式是泰勒级数的具体表达形式。
泰勒公式可以将函数在其中一点的值表示为该点的函数值和函数的各阶导数值的线性组合。
6.均值定理：均值定理是微积分中的重要定理，它指出在其中一区间上，连续函数的平均变化率等于该区间内其中一点的瞬时变化率。
7.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
8.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
9.极值点：极值点是函数在其中一区间内的最大值点或最小值点。
极值点可以使用导数的符号和戴布尔不等式来判断。
10.弧长：弧长是曲线上的一段长度。
计算曲线的弧长可以使用微积分的方法，如积分的方法。
11.曲率：曲率是表示曲线弯曲程度的一个数值。
曲率可以使用导数和二阶导数计算。
12.方向角：方向角是表示曲线在其中一点的切线方向的角度。
方向角可以使用导数计算。
(完整word版)各类微分方程解法
南京林业大学各样微分方程的解法1.可分别变量的微分方程解法 一般形式 :g(y)dy=f(x)dx直接解得 ∫g(y)dy= ∫f(x)dx设 g(y)及 f(x) 的原函数依次为 G(y)及 F(x),那么 G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法一般形式 :dy/dx= φ(y/x)令 u=y/x 那么 y=xu,dy/dx=u+xdu/dx, 所以 u+xdu/dx=φ(u), 即 du/ ［φ (u)-u ］=dx/x 两端积分 , 得∫du/ ［φ (u)-u ］ =∫dx/x 最后用 y/x 代替 u, 便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法一般形式 :dy/dx+P(x)y=Q(x)－∫P(x)dx－∫P(x)dx先令 Q(x)=0 那么 dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce, 再令 y=ue代入原方程解得 u=∫Q(x) e∫P(x)dx－∫P(x)dx∫P(x)dxdx+C ］dx+C,所以 y=e［∫Q(x)e－∫P(x)dx－ ∫P(x)dx∫P(x)dxdx 为一阶线性微分方程的通解即 y=Ce +e∫Q(x)e 4.可降阶的高阶微分方程解法(n) ① y =f(x) 型的微分方程(n)y =f(x)y (n-1) = ∫f(x)dx+C 1y (n-2) = ∫［ ∫f(x)dx+C 1］ dx+C 2(n)=f(x) 的含有 n 个任意常数的通解依次类推 , 接连积分 n 次, 便得方程 y ② y 〞 =f(x,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 那么 y 〞=p ’ , 所以 p ’=f(x,p),再求解得 p=φ (x,C 1)即 dy/dx= φ(x,C 1), 所以 y=∫φ(x,C 1)dx+C 2 ③ y 〞 =f(y,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 那么 y 〞=pdp/dy, 所以 pdp/dy=f(y,p), 再求解得 p=φ (y,C 1) 即 dy/dx= φ(y,C 1), 即 dy/ φ(y,C 1)=dx, 所以 ∫dy/ φ (y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式 :y 〞+py ’+qy=0,特色方程 r 2+pr+q=01南京林业大学特色方程 r 2+pr+q=0 的两根为 r1,r2微分方程y〞+py’+qy=0的通解r r1x r2x212两个不相等的实根 r1,y=C e +C e两个相等的实根 r1=r2y=(C1+C2x)e r 1 x一对共轭复根 r1=α+iβ, r 2=α-iβαxcosβx+C2sin β x) y=e (C16.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式 : y 〞+py’+qy=f(x)先求 y〞+py’+qy=0 的通解 y0(x), 再求 y〞+py’+qy=f(x) 的一个特解 y*(x)那么 y(x)=y 0(x)+y*(x) 即为微分方程 y〞+py’+qy=f(x) 的通解求 y〞+py’+qy=f(x) 特解的方法 :①f(x)=P m(x)e x型λ令 y*=x k Q m(x)eλx［k 按λ不是特色方程的根 , 是特色方程的单根或特色方程的重根依次取 0,1 或 2］再代入原方程 , 确定 Q m(x) 的 m+1个系数λx②f(x)=e［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型kλx［Q m(x)cos ω x+R m(x)sin ωx］［m=max﹛ｌ ,n ﹜ ,k 按λ +i ω不是特色令 y*=x e方程的根或是特色方程的单根依次取0 或 1］再代入原方程 , 分别确定 Q (x) 和mR m(x) 的 m+1个系数附微分方程在物理学中的应用:⑴找准合适的研究对象⑵确定正确的数学模型⑶联列合理的微分方程⑷解出最正确的方程结果执笔：缪张华2。
微分必背48个公式
微分必背48个公式微分是数学中的一个重要概念，也是高等数学中的基础知识之一。
在微分学中，有许多重要的公式需要掌握和灵活运用。
今天我们就来介绍一些微分公式，帮助大家深入理解微分的概念和运算方法。
1. 基本导数公式：(1) `(c)' = 0`，其中c为常数；(2) `(x^n)' = nx^(n-1)`，其中n为实数；(3) `(e^x)' = e^x`，即指数函数的导数是自身；(4) `(a^x)' = a^x ln(a)`，其中a为大于0且不等于1的实数；(5) `(ln(x))' = 1/x`，即自然对数函数的导数是1除以自身。
2. 四则运算法则：(1) `(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)`，即两个函数的和的导数等于它们的导数之和；(2) `(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)`，即两个函数的差的导数等于它们的导数之差；(3) `(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)`，即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数；(4) `(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))^2`，即两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方；(5) `(c*f(x))' = c*f'(x)`，即常数与一个函数的乘积的导数等于常数与该函数的导数的乘积。
3. 反函数求导公式：若有函数y = f(x)，且f'(x) ≠ 0，设其反函数为x = g(y)，则有：`(g(y))' = 1/f'(g(y))`，即反函数的导数等于1除以原函数导数在反函数点的取值。
微分方程的公式
微分方程的基本公式和应用微分方程是数学中一个重要且广泛应用的分支，它在物理、工程、经济和其他科学领域中都有着广泛的应用。
在微分方程中，我们经常会遇到一些基本公式，这些公式不仅在理论上有着非常重要的意义，同时在实际应用中也有着广泛的价值。
一、一阶常微分方程的基本公式一阶常微分方程的一般形式为：y' = f(x,y)，其中 y' 表示 y关于 x 的导数，f(x,y) 是一个已知的函数。
1. 可分离变量的一阶常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = g(x)h(y)其中 g(x) 和 h(y) 都是已知函数，则这个方程可以通过分离变量的方法来求解。
2. 齐次一阶常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = F(y/x)其中 F(z) 是关于 z 的已知函数，则这个方程可以通过齐次化的方法来解决。
3. 一阶线性常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 都是关于 x 的已知函数，则这个方程可以通过积分因子的方法来解决。
4. 其他一阶常微分方程还有一些一阶常微分方程没有特殊的形式，这些方程可以通过变量代换、替换或其他方法来求解。
二、高阶常微分方程的基本公式除了一阶常微分方程，还有二阶甚至更高阶的微分方程需要求解。
1. 二阶常微分方程的基本公式二阶常微分方程的一般形式为：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中 y'' 表示 y 对 x 的二阶导数。
2. 高阶常微分方程的基本公式高阶常微分方程的一般形式为：y^(n) + p1(x)y^(n-1) + ... + pn(x)y = f(x)，其中 y^(k) 表示 y 对 x 的第 k 阶导数。
三、微分方程的应用微分方程不仅在理论上有着非常重要的意义，同时在实际应用中也有着广泛的价值，主要体现在以下几个方面：1. 物理问题的模拟微分方程可以用来模拟物理问题，如弹性碰撞问题、自由落体问题等。
微分方程解法小结
微分方程解法小结PB08207038 司竹最近学习了微分方程，现对各种方法总结如下：一、 一阶微分方程： F （x,y,y ＇）=0⒈可变量分离方程形如φ（x ）dx-ψ(y)dy,或可化为该形式的方程称为可变量分离方程。
解法：两边积分得：∫φ〔x 〕dx=∫ψ〔y 〕dy 。
⒉齐次方程dx dy =φ）（x y 解法：换元。
令y=μx ，则原方程可化为可分离变量方程。
3.一阶线性微分方程dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边同时乘以一个积分因子e ⎰dx )x (P ，可得其通解公式：y=e ⎰-dx x ）（P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰c dx e )x (dx x ）（P Q 。
4.Bernouli 方程：dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边除以y n 得：+dx dy y 1n P （x ）y n 1-=Q （x ），再做代换μ= y n 1-，就化成 dxdy +（1-n ）P （x ）μ=Q （x ）的线性方程。
二、二阶微分方程F （x ，y ，y ＇，y ＇＇）=0⒈可降阶的二阶微分方程① f ( x , y ＇,y ＇＇)=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=p ＇，将方程降阶为f （x ，p ，p ＇）=0的一阶方程。
② f （y ，y ＇，y ＇＇）=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=pdy dp ，将方程降阶为f （y ，p ，p dy dp ）=0. 2.二阶线性微分方程①齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=0由已知条件或观察法或其他方法可得出齐次方程的一个特解y 1，用y=z y 1带入方程，整理后得出另一特解y 2= y 1dx ey 1dx x 21⎰-⎰）（P 。
(或可通过Liouville 公式，亦可得出另一特解。
)再由叠加原理得:齐次方程的通解为y=c 1 y 1+c 2 y 2。
③非齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=f （x ）解法：先解出对应的齐次方程的通解yp = c1y1+c2y2。
微分、求导公式
（c=常数） 1、极限 （1） lim
n
sin x 1 x 0 x
（2） lim 1 x x e
x 0
1
（3） lim n a (a o) 1
n
lim n n 1 （4）
（5） lim arctan x
x
2
（6）lim arc tan x
x 1 ⒅
n
1 x 2 x
cu
n
5、高阶导数的运算法则 （1） u x v x （3） u ax b
n
u x
n
n
v x
n
（2） cu x （4） u x v x
n
x
x v ( k ) x
a nu
ax b
k cn u k 0
n
nk
6、基本初等函数的 n 阶导数公式 （1） x n
n
n!
n
（2） eax b
n
a n eax b
(3) a x
n
tan x ~ x
arcsin x ~ x
ex 1 ~ x
arctan x ~ x
a x 1 ~ x ln a
ln 1 x ~ x
sec x 1 ~ 1 2 x 2
1 x
1 ~ x
1 x sin x 1 ~
1 2 x 2
1 x2 1 x2 ~ x2
dx
1 dx x
⒀ d arcsin x
1 1 x
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微分方程公式运用表
一、 一阶微分方程 判断特征：
(,)dy f x y dx = 类型一：()()dy g x h y dx
=（可分离变量的方程） 解法（分离变量法）：
()()dy g x dx h y =，然后两边同时积分。
类型二：()()dy P x y Q x dx
+=（一阶线性方程） 解法（常数变易法）：()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰ 类型三：
(,)(,)dy f x y f tx ty dx
==（一阶齐次性方程） 解法（换元法）：y u x
=⇒令类型一 类型四：P()y=Q(x)y n dy x dx
+（伯努利方程） 解法（同除法）：1()()n n dy y P x y Q x dx --+=⇒类型二 二、 可降阶的高阶微分方程
类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n du u y f x f x dx
-=⇒
=⇒令多次积分求 类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dp p y f x p dx =⇒=⇒令一阶微分方程 类型三：''(,')y f y y = 解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy
=⇒==⇒⇒令类型二 三、线性微分方程
类型一：''()'()0y P x y Q x y ++=（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()y x y x
则：1122()()()y x c y x c y x =+
类型二：''()'()()y P x y Q x y f x ++=（二阶线性非齐次微分方程） 解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()y x c y x c y x =+ 再找出非齐次方程的任意特解()p y x ，则：1122()()()()p y x y x c y x c y x =++ 类型三：'''0y py q ++=（二阶线性常系数齐次微分方程）
解法（特征方程法）：2
1,20p q λλλ++=⇒= （一）122121240x x p q y c e c e λλλλ∆=->⇒≠⇒=+ （二）12120()x y c c x e λλλλ∆=⇒==⇒=+ （三）12120,(cos sin )x i i y e c x c x αλαβλαβββ∆<⇒=+=-⇒=+ 类型四：'''()y py q f x ++=(二阶线性常系数非齐次微分方程) 解法（待定系数法）：
（1）()()x m f x P x e α=型：先找出对应齐次微分方程的通解3()y x
0()()12k x p m k y x x e Q x k k αααα=⎧⎪⇒==⎨⎪=⎩
不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的二重根，
其中令1()m m m Q x Ax Bx -=++
，将()p y x 带入方程求出A,B,C
3()()p y y x y x ⇒=+ （2）[]()()cos ()sin x m l f x e P x x P x x αββ=+型：先找出对应齐次微分方程的
通解3()y x
[]{}max ,()()()()cos ()sin 0
1k x n
n p n n n m l Q x R x y x x e Q x x R x x i k i k αββαβαβ=⎧⎪⎪⇒=+⎨±=⎪⎪±=⎩
与是待定的n 次多项式若不是特征方程的根，若是特征方程的根, 利用待定系数求出()p y x ，则：3()()p y y x y x =+。