初中数学竞赛代数部分

所以u2 v2 w2 1
即
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
三、将已知条件整体代入求值（整体法）
例3 已知 x3 x2 x10 ，那么 1x x2 x3 x 1995
（第八届“祖冲之”杯竞赛试题）
分析：1 x x2 x3 x1995共有1996项，将每 四项分成一组，共499组，每组中都有因 式 x3 x2 x10 ，因此结果为0.
值里代数式的符号，即考虑y的范围，从而在每个范 围中由式子解得y,从而解得x。
2.已知关于x的方程 mx n x km 2k ，无论k
3
4
为何值，总有根 x 2 ，求m,n的值。
思路：方程总有根表示 x 2 满足方程，将-2代
入方程并化简，可得有关k的一次方程，又因“无 论k为何值”都成立，所以 有关k的方程为0k=0
ax3 by3 49x y xyaxby . axby7 ,49x y7xy133 . 即7x yxy19 ②
又由ax3 by3 133 ,得ax3 133by3,by3 133ax3. ax4 133xbxy3,by4 133yayx3.
解：由ax by 7,得ax 7 by,by 7 ax.
ax2 7xbxy ,by2 7 yaxy .
ax2 by2 7x y abxy49 ①
同样的
由ax2 by2 49 ,得ax2 49by2,by2 49ax2. ax3 49xbxy2,by3 49 yayx2.
x1992 1 x x2 x3
0
方法二：（这道题也可以从已知条件入手）
x3 x2 x10,x1 x21 0
x2 10 , x1 当 x1时，1 x x2 x3 x1995中，
x的偶次方为1，x奇次方为 1，共998个1, 998个 1，结果为0。
ab
ab
ab
2
2

b

a

b a
45
a b a b
a、b是正实数， b a 5 ab


b a
3



a b
3



b a

a b

b a

a b
2


3

a b 21.
1995x y 6xy 17 a b
2 1995 2.5 6 1.5 17 21 4800
2
五、考虑数的性质
若所给条件限制于整数、有理数，或涉及到质数， 奇偶数，整除性等，把握住这方面的性质，有利于寻 到突破口。
例6 已知p、q是有理数，x
代数式的求值的相关考点：
• 关于整式的求值问题 • 关于分式的求值 • 二次根式
方程与方程组相关考点：
• 一、一元一次方程与多元一次方程组； • 二、一元二次方程； • 三、可化为一元二次方程的方程； • 四、列方程组解应用题。
不等式（组）的考点：
1.考察不等式组的解法 2.不等式组的整数解问题 3.不等式中字母范围的确定 4.带绝对值的不等式解答 5.利用不等式解决实际问题
5 1满足x3 pxq0，
2
则p+q的值是（ ）。
（A）-1 （B）1 （C）-3 （D）3
（1997年安徽省竞赛试题）
解：将x
5 2
1
代入
x3

pxq0
,得
3
521 p 521q0
5 2 p
5 2
1


q

用）;因式分解、开平方法、配方法（据方 程的自身特点）； 4.有理系数一元二次方程有整数根（有理根） 则有判别式为一个完全开平方数。
1.是否存在正整数m，使关于x的方程
mx 2 2(m 4)x m 12 0 有整数根，若存在， 请求出m的值。
解：若存在正整数m，依题意得： 若m 0,方程为： 8x 12,方程无整数根； 若m 0,则：
x7 y7 x4 y4 x3 y3 x3 y3 x y
2、 a2 b2 c2 abbcca 的变形：
a2 b2 c2 abbcca

1 2


a
b2

b
c2

c
a
2
3、a3 b3 的变形：
ax4 by4 133x y xy ax2by2 .
ax2 by2 49 ,133x y49xy406 . 即19x y7xy58③
解②③组成的方程组，得x y 2.5, xy 1.5.
将它们代入①，得7 2.5 1.5 a b 49
二次函数考点：
1、二次函数的性质 2、二次函数的表达式 3、二次函数与一元二次方程的关系 4、根与系数的关系
有关知识拓展：
整式：1、高次二项式的变形：
x5 y5 x3 y3 x2 y2 x2 y2 x y
x6 y6 x3 y3 2 2x3 y3
解：将x=-2代入方程并化简为：
(3m 24)k 8m 4n 6
因为对任何k都成立 所以： 3m 24 0
8m 4n 6 0 解得：
m 2

n

29 2
二、一元二次方程
1.利用判别式判断一元二次方程有无实根； 2.韦达定理； 3.解一元二次方程的方法：求根公式（通
考点： 1.解含绝对值的方程 2.利用含字母系数的一次方程求字母的值； 3.含字母一元二次方程的整数根； 4.一元二次方程的根的相关问题； 5.解高次方程； 6.含字母无理方程的根的相关问题； 7.方程（组）的实际应用；
一、一元一次方程
1.关于x的方程ax=b的解得情况：
a
a
00且时，b 方0程时有，唯方一程解有x无穷ba 多；个解;
例2 已知 x y z 1, a b c 0，求 x2 y2 z2 的值。
abc xyz
a2 b2 c2
分析：若从求
x2 y2 z2 a2 b2 c边平方，在平方之后，
abc
虽然会出现一些交叉项，但能从另一个已知条
c c c b d bd
乘法：a c ac ; b d bd
除法：a c ad ; b d bc
n
乘方： a b

an (n为正整数） bn
二次根式：
a2 a 若ab c 0 ，则a0,b0 若ab c a'b' c ,则aa',bb' (a、b、a'、b' 是有理数， c 是无理数）
代数式的求值与代数式的恒等变形关系
十分密切．许多代数式是先化简再求值， 特别是有附加条件的代数式求值问题，往 往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的 性质、分式的基本性质、通分、约分、根 式的性质等等，经过恒等变形，把代数式 中隐含的条件显现出来，化简，进而求 值．因此，求值中的方法技巧主要是代数 式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结 合例题逐一介绍．
解：方法一：1 x x2 x3 x 1995
1 x x2 x3 x4 x5 x6 x7
x x x x 1992
1993
1994
1995
1 x x2 x3 x4 1 x x2 x3
a 0 且 b 0 时，方程无解。
2.关于x的方程 x a 的解得情况：
a 0 时， x a
；
a 0 时， x 0
；
a 0 时， 方程无解。
3.对于多元方程可以用消元法、参数法等；
1.解方程组 x 1 2 y 1 x 3 y 1
思路：两个方程消去x，可得：3 y 2y 1 2 为了解y，需要去掉绝对值，所以需要明确绝对
2(m 4)2 4m(m 12) 0, 解得m 4
m是整数m的值可能是：1、2、3、4 当m 1时，x2 10x 13 0,方程无整数根； 当m 2时，2x2 12x 14 0,方程无整数根； 当m 3时，3x2 14x 15 0，方程有整数根，x 3; 当m 4时，4x2 16x 16 0,,方程有整数根，, x 2 所以当m为3或4时，方程有整数根。
一、灵活运用乘法公式和运算法则
代数式的变形化简，离不开乘法公式、各种运算法则及它们的 变形用法。有些条件求值问题，条件与结论间存在明显的结构 联系。利用乘法公式或适合的运算性质就能解。
例1 若m2 m1 ,n2 n1 ,且m n,求m5 n5的值。
解： 由已知条件得m、n是方程x2 x10 的两个不相等的根。
m n 1, mn 1
m2 n2
mn
2
2mn3
m3 n3 mn m2 mn n2 4 m5 n5 m3 n3m2 n2 mn2mn11
二、设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参 数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代 数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
件给予解决。采用换元法求解。
解： 令 x u, y v, z w,于是条件变为 abc
u v w 1, ①
1 1 1 0.② uvw 由②有
uv vw wu 0, uvw