初中数学竞赛——代数式的求值
初中数学竞赛题,代数式求值,全班仅1人会解
初中数学竞赛题，代数式求值，全班仅1人会解
小升初时，初中数学竞赛开始流行起来。
学校里的比赛场面异常火爆，参赛者们竞争激烈，甚至出现了成绩大涨，但是也有一种比赛让学生们摸不着头脑，就是解决代数式求值的比赛。
许多学生都认为，解决代数式求值的比赛是最难的，因为代数式求值的计算方式比较复杂，还需要学生们掌握一定的数学常识。
他们很是头疼，参加了几次竞赛，但总是没有解决出一道代数式求值的题目。
这时，在一次竞赛中出现了一个学生，他完美地解决了这道题，使全班学生都被他的表现惊呆了，因为他与其他学生很明显的不同，他的解答正确率极高，他到底是怎么做到的？
原来，这位少年把他的注意力放在微积分和三角学领域，做了大量的训练，他在认真学习的同时，还把这些技能应用到了代数式求值中，他知道微积分和三角学的知识可以帮助他把复杂的计算分解，从而解决问题。
他可以将复杂的求值变为一系列简单的计算步骤，就像积木一样，一步一步搭建起一道题，慢慢解决起来。
然而，这种做法也并非轻而易举，而是要求学生具有数学常识和深厚的数学基础，只有这样才能把繁杂复杂的题目解决出来。
这位少年的表现给这些参赛的学生提供了一个很好的启发，他们也逐渐开始把注意力放在其他数学领域，并加强自身的数学素养，慢慢地，他们也开始取得优异成绩。
经过一段时间的努力，这些学生终于表现出色，他们不仅学会了解决代数式求值的答案，还学会了如何应用微积分和三角学的知识来解决更多复杂的问题，取得丰硕的成果。
可以说，这位少年以及他的同学们，他们通过解决代数式求值而对这个学科产生了更深的理解，实现了从无知到有知的进步，他们的努力让学校的数学水平达到了新的高度，而这位少年的英勇无畏，给了学生们更坚定的信心，让他们更加热爱数学。
初中数学代数式求值的十种常用方法
初中数学代数式求值的十种常用方法
1.代入法：将给定的数值代入代数式中进行计算，得出结果。
2.合并同类项法：将代数式中相同类型的项合并在一起，然后进行计算。
3.分配律法则：当代数式中有乘法与加法混合时，可以使用分配律法则，先将乘法进行计算，再进行加法计算。
4.因式分解法：将代数式拆分成多个因式的乘积，可以简化计算过程。
5.移项法则：将方程或不等式中的项从一边移动到另一边，可以改变
其符号并保持平衡。
6.反消法则：如果代数式中出现相反数的加减运算，可以将它们互相
抵消，简化计算过程。
7.四舍五入法：在进行代数式求值时，可以采用四舍五入的方法，保
留指定位数的有效数字。
8.消元法：解决多元一次方程组时，可以使用消元法将方程组化简为
更简单的形式，从而求解未知数的值。
9.变量替换法：如果代数式中出现复杂的变量，可以将其替换为一个
新的变量，简化计算。
10.逆运算法：如果代数式中有幂运算、开方运算等，可以使用逆运
算法对其进行求值。
例如，如果代数式中有x^2=9，可以通过开平方根来
求出x的值。
这些是求解代数式的常用方法，每种方法都有其适用的情况。
在实践中，根据具体的代数式和求值要求，选择合适的方法进行计算，可以提高计算的效率和准确性。
初中数学竞赛题,代数式求值,全班仅1人会解
初中数学竞赛题，代数式求值，全班仅1人会解
青春时光，所有人都向往它。
每一段年少的时光都是梦想的开始，而每一段的思考和成长过程都在最终实现梦想的道路上缔结着重要
的联系。
在初中，知识的积累只不过是一个开始，真正测试学生能力和智慧的是竞赛。
初中数学竞赛，特别是代数式求值，是一项很有挑战性的考试，只有少数学生能够完全理解题意并正确解答。
我的班级里也只有一个学生能够解出本次竞赛的代数式求值题，令人惊讶的还有他在有限的时间内就能正确地解答出这道经典的数学题，他就是刘华。
刘华是一个正直勤勉的学生，在学习和生活上都充满了活力，他乐于研究和学习，我们班的数学老师都把他当成是一个“宝贝学生”，他自己也对数学有着浓厚的兴趣。
因此，刘华非常擅长数学，他把每一分钟都珍惜起来，在每节课上仔细地听讲和练习，数学老师也十分支持他，从而使他成为了初中数学竞赛的佼佼者。
本次竞赛中，刘华的表现令人印象深刻，他对所有的题目都深有理解，尤其是代数式求值题，一眼就把它解出来，而其他的同学甚至都不明白题目的意思。
他解出来的题目，让所有人都惊叹不已，而在数学老师的鼓励下，刘华能够坚持到最后，他赢得了本次比赛的冠军。
这次初中数学竞赛，如同刘华一样，也是我们同学们踏上成长之路的一个重要里程碑，大家多多少少都收获了一些成长，尤其是刘华，他通过仔细学习和深思，最终获得了竞赛的胜利，而我们也从他身上获得了不少的启发，学会认真投入到每一件事，并且每一步都要做到
尽善尽美，只有这样才能实现一个梦想。
最后，祝愿刘华能够在未来也能取得更好的成绩，为国家增光添彩！。
七年级数学竞赛专题4 代数式的值
代数式的值一、填空题1、若3x3-x=1，则9x4+12x3-3x2-7x+1999=2、已知x=1999，则|4x2-5x+1|-4|x2+2x+2|+3x+7=3、已知a2+bc=14，b2-2bc=-6，则3a2+4b2-5bc=4、已知a-b=5，ab=-1，则代数式（2a+3b-2ab）-（a+4b+ab）-（3ab+2b-2a）=5、若x+7y=y-3x ，则=6、若a、b、c、d 为互不相等的整数，且abcd=25，则a+b+c+d=二、解答题7、已知，求代数式的值变式题：已知=3，求分式的值．8、已知关于x的二次多项式a（x3-x2+3x）+b（2x2+x）+x3-5，当x=2时，多项式的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值．变式题：当x=-5时，代数式ax4+bx2+c的值是3，求当x=5时，代数式ax4+bx2+c的值．9、把（x2-x-1）n展开得a2n x2n+a2n-1x2n-1+…+a2x2+a1x+a0，求a0+a2+a4+…+a2n的值．当x=1时，有a2n+a2n-1+…+a2+a1+a0=（x2-x-1）n=（-1）n，当x=-1时，有a2n-a2n-1+…+a2-a1+a0=（x2-x-1）n=1 ∴a0+a2+a4+…+a2n= ．练习：已知（2x-1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0是关于x的恒等式．求：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5的值；2）a0-a1+a2-a3+a4-a5的值（3）a0+a2+a4值10、已知：，求证x+y+z=0．11、设100个实数a1、a2、a3，、…、a100满足（n-2）a n-（n-1）a n-1+1=0（2≤n≤100），并且已知a100=199，求a1+a2+a3+…+a100的值．解：已知a100=199，得a99=197，依次求出a98、a97、a96、…a2、a1分别为195、193、191、…、3、1，所以a1+a2+a3+…+a100=1+3+5+…+197+199 =（1+199）+（3+197）+（5+195）+…+（99+101）=50×200=10000．12、设f（x）=ax7+bx3+cx-5，其中a、b、c为常数，已知f（-7）=7，求f（7）的值．13、已知x+y=1，求代数式x3+y3+3xy的值．变式题：已知x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．14、已知a为有理数，且a3+a2+a+1=0，求代数式1+a+a2+a3+…+a1995的值．15、求代数式5x2-4xy+y2+6x+25的最小值．16、已知m=4x2-12xy+l0y2+4y+9，当x、y各取何值时，m的值最小？17、已知a2+b2+c2=ab+bc+ac，且a=1，求代数式（a+b-c）2004的值．19、已知a、b、c满足a+b+c=0，且abc＞0，，，求代数式x2000-6xy+y3的值．20、已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求代数式a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）的值．21、若，求的值．22、已知a+b+c=3，（a-1）3+（b-1）3+（c-1）3=0，且a=2，求代数式a2+b2+c2的值．23、已知a是方程2x2+3x-1=0的一个根，求代数式的值．24、已知a=2004x+2005，b=2004x+2006，c=2004x+2007，求多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值．25、小明做一道数学题，“求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，当x=-1时的值”？由于将式中某一项前的“+”号看为“-”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了第几项前的符号？26、，求代数式3a3-（a+a3-2a2-2）-2（1+a2+a3-6a）的值代数式的值一、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）1、若3x 3-x=1，则9x 4+12x 3-3x 2-7x+1999的值等于（ ）A 、1997B 、1999C 、2001D 、2003二、填空题（共2小题，每小题4分，满分8分）2、已知x=1999，则|4x 2-5x+1|-4|x 2+2x+2|+3x+7= -199903、已知a 2+bc=14，b 2-2bc=-6，则3a 2+4b 2-5bc= 18．三、解答题（共30小题，满分149分）4、已知a-b=5，ab=-1，求代数式（2a+3b-2ab ）-（a+4b+ab ）-（3ab+2b-2a ）的值． （21）5、若x+7y=y-3x ，求的值． （）6、若a 、b 、c 、d 为互不相等的整数，且abcd=25，求a+b+c+d 的值． （a ，b ，c ，d 分别是±1，±5 0 ）7、已知 ，求代数式的值．8、已知关于x 的二次多项式a （x 3-x 2+3x ）+b （2x 2+x ）+x 3-5，当x=2时，多项式的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值．（b=-1当x=-2时，原式=6b+5=-1）9、把（x 2-x-1）n 展开得a 2n x 2n +a 2n-1x 2n-1+…+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 0+a 2+a 4+…+a 2n 的值．当x=1时，有a 2n +a 2n-1+…+a 2+a 1+a 0=（x 2-x-1）n =（-1）n ，当x=-1时，有a 2n -a 2n-1+…+a 2-a 1+a 0=（x 2-x-1）n=1∴a 0+a 2+a 4+…+a 2n = ．10、已知：，求证x+y+z=0．11、设100个实数a 1、a 2、a 3，、…、a 100满足（n-2）a n -（n-1）a n-1+1=0（2≤n≤100），并且已知a 100=199，求a 1+a 2+a 3+…+a 100的值． 解：已知a 100=199，根据（n-2）a n -（n-1）a n-1+1=0可得，98×199-99×a 99+1=0，解得，a 99=197， 依次可以求出a 98、a 97、a 96、…a 2、a 1分别为195、193、191、…、3、1，所以a 1+a 2+a 3+…+a 100=1+3+5+…+197+199=（1+199）+（3+197）+（5+195）+…+（99+101）=50×200=10000．12、设f （x ）=ax 7+bx 3+cx-5，其中a 、b 、c 为常数，已知f （-7）=7，求f （7）的值．（a （-7）7+b （-7）3-7c-5=7，∴a77+b73+7c=-12， ∴f （7）=-12-5=-17）13、已知x+y=1，求代数式x 3+y 3+3xy 的值． （x 3+3xy+y 3=（x+y ）（x 2-xy+y 2）+3xy=1）14、已知a 为有理数，且a3+a2+a+1=0，求代数式1+a+a2+a3+…+a1995的值．（0）15、求代数式5x2-4xy+y2+6x+25的最小值．（5x2-4xy+y2+6x+25=（2x-y）2+（x+3）2+16）16、已知m=4x2-12xy+l0y2+4y+9，当x、y各取何值时，m的值最小？（m=4x2-12xy+l0y2+4y+9=（2x-3y）2+（y+2）2+5）17、已知a2+b2+c2=ab+bc+ac，且a=1，求代数式（a+b-c）2004的值．解得：（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0故（a+b-c）2004=（1+1-1）2004=118、已知a、b、c、d都是正整数，并且a5=b4，c3=d2，c-a=9，求a-b的值．根据已知a5=b4，c3=d2，得出a，b，c，d之间的关系，进而求出（）（- ）=9，进一步得出=5，=4，从而可以求出a-b=16-32=-16．19、已知a、b、c满足a+b+c=0，且abc＞0，，，求代数式x2000-6xy+y3的值．判断a、b、c的符号两负一正，以及当a＞0时，=1，当a＜0时，=-1，可求x=-1，将y的不等式变形为+ + ，由a+b+c=0，得b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，可求y=-3，∴x2000-6xy+y3=1-18-27=-44．20、已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求代数式a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）的值．解：将等式a+b+c=0左右两边同时平方，得，（a+b+c）2=0，变形得，a2+b2+c2+ab+ac+ba+bc+ca+cb=0，∵a2+b2+c2=1，∴1+ab+ac+ba+bc+ca+cb=0，∴ab+ac+ba+bc+ca+cb=-1，即：a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）=-1．21、若，求的值．解：解法1：（1）若a+b+c≠0，由等比定理有若= =1，所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有= =8．（2）若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有= =-1．解法2：若=k，则a+b=（k+1）c，①a+c=（k+1）b，②b+c=（k+1）a．③；①+②+③有2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c），所以（a+b+c）（k-1）=0，故有k=1或a+b+c=0．当k=1时，= =8．当a+b+c=0时，= =-1．22、已知，试求代数式的值．由，2a2-5a+2=0，∴（2a-1）（a-2）=0，∴2a-1=0，a-2=0，解得a= 或a=2，故为23、已知a是方程2x2+3x-1=0的一个根，求代数式的值．（将逐步转化为含有2a2+3a因式的形式用1代替，得）24、已知a=2004x+2005，b=2004x+2006，c=2004x+2007，求多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值．（可知a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2 故为3）25、小明做一道数学题，“求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，当x=-1时的值”？由于将式中某一项前的“+”号看为“-”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了几项前的符号？（把x=-1代入得-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1=-5，误求得代数式的值为7，比-5大12，则12÷2=6，系数为6，五次项）26、，求代数式3a3-（a+a3-2a2-2）-2（1+a2+a3-6a）的值．（11a= ）27、已知=3，求分式的值．（提示：分式的分子与分母同除以a，b）（= ）28、当x=-5时，代数式ax4+bx2+c的值是3，求当x=5时，代数式ax4+bx2+c的值．（3）29、已知（2x-1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0是关于x的恒等式．求：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5的值；（2）a0-a1+a2-a3+a4-a5的值；（3）a0+a2+a4的值．（1）令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5=（2×1-1）5=1；（2）令x=-l，得a0-a1+a2-a3+a4-a5=[2×（-1）-1]5=-243；（3）将上面两式相加，得2a0+2a2+2a4=-242，解得a0+a2+a4=-121．30、已知x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．解：原式=2x2（x2+4x-1）-2（x2+4x-1）-1=-1．31、已知a+b+c=3，（a-1）3+（b-1）3+（c-1）3=0，且a=2，求代数式a2+b2+c2的值．把a=2代入得b+c=1，bc=0，∴a2+b2+c2=22+（b+c）2-2bc=5 32、若a、b、c都是有理数，且a+b+c=0，a3+b3+c3=0，求代数式a5+b5+c5的值．根据a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=0，进而判断abc=0，故可判断代数式a5+b5+c5的值．解答：解：a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=0，得abc=0∴a5+b5+c5=0，故答案为0．33、已知，试求代数式的值．解：由已知条件知a≠0，∵，∴，即，∴．。
初中数学竞赛题,代数式求值,全班仅1人会解
初中数学竞赛题，代数式求值，全班仅1人会解在初中，数学竞赛越来越受到广大学生的追捧，因为它可以锻炼学生的智力，培养他们的逻辑思维能力，同时也是比较有挑战的课题。
有一次，班级里组织了一场数学竞赛，题目是“代数式求值，全班仅1人会解”，这一题在全班的学生里，只有一位学生能够解决，其它同学都茫然无措。
大家都试图理解这道充满挑战的题目，但却没有一个人能够做出来，这令班上的学生们都很着急，他们心里都在想：“到底是谁能够解决这道难题？”没有人能够给出答案，可是这时候，一位名叫李华的同学站了出来，他说道：“我会解决这道题目。
”这时，大家都惊讶不已，因为他们都不相信有人能够解决这道题。
李华说：“这个题目用代数式求值，其实是比较简单的，我只要花点时间思考，就可以找出解决的办法。
”他继续说道：“首先，我们要明确这个题目的意思，这里的代数式求值是指我们要根据表达式中的符号和数字，来求出其值。
然后，我们可以算出表达式中的结果，最后，把结果与答案进行比较，就可以得出最终结果了。
”听了李华的解释，全班的学生都非常钦佩他，他们都认为他真的有能力去解决这道数学题。
然后，他们都怀着期待的心情等待着李华的答案。
果不其然，李华花了两分钟的时间，就解出了这道代数式求值的题目，大家都纷纷表示赞赏。
李华成功地解出了这道题，他希望自己解出来的答案能帮助其他学生们，让他们了解怎样去求解这样的数学难题，并拓展他们的数学知识。
当天，李华获得了第一名，他的同学也为他欢呼雀跃，大家都感受到，他是真正的数学奇才。
数学竞赛的这一次，让大家明白，只要你对数学有兴趣，有自信，就一定能够解出任何一道题目。
李华通过他的表现，激励了其他的学生，让他们也有勇气去尝试一切数学难题，从而帮助他们更好地提升自己的能力。
数学竞赛，不仅让李华展示了解决困难题目的能力，也让其他学生看到了数学的精彩。
真正的数学天才，就像李华这样，能够用自己的思路去解决问题，这就是数学的精髓，也是数学竞赛存在的价值所在。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲代数式的化简与求值(含答案)
第十讲代数式的化简与求值趣题引路】如图10-1所示的八个点处各写一个数字，已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点" + b + c + 〃 + *(e+ /" + &+力)</ + Z> + c + J- i(e + / + g + 〃)解答如下：-a=d + h + e , b=a + c+ f , J + 宀, d=a + c + h.3 3 3 32(a + b + c + d) + (e + f + g +力)/• a+b+e= ------------------ --------------------- .3设a+b+c+cl=/n, e+f+g+h=n ・• a. , . 2m + n■ ■ a+b+c+d= -----3. 2/n + n..m= ---------- ,3m=n.即a+b+c+d=e+f+g+h ・知识拓展】1.在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，苴中也涉及到它们的化简与求值.本讲主要是把这三种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容.2.对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：（1）因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；（2）运算律，适当运用运算律，也有助于化简；（3）换元、配方、待定系数法、倒数法等；（4）有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法.例1已知x=4-d,求"f—X+lh+T的值. x— 8x + 15处的数字的平均数，则代数式a + h + c + cl + ^(e+ f + f* + h)a + h + c + d --(e+ f + g+h)3 32m - n 32 3m一n2m -m 3 3-------- x --------- =—2 3m - m 4应填扌.图10-1解析：由已知得(x—4尸=3,即A2—8x+13=0.所以兀** - 6A?— 2f +1 8A' + 23 _ x2 (x"— 8x + 13) + 2x(才—8x +13) + (A*~— 8x + 13) + 10 _ 10 _、F x2-8x + 15 (X2-8X +13)+2 込—…点评：本题使用了整体代换的作法.例2已知A+Y+Z=3. (^),求匕上空学二遊二岀£2竺凹的值. (x-6/f+(y-t/f+(z-6/f解析：分式的分子、分母是轮换对称形式，可考虑用换元法.解：由x+y+z=3e 得(x—a)(y—a)(z~a)=0.设x—“=〃】, y—a=n> z~a—p>贝0 m+n+p=0・•••" = — (〃？+〃)・•『i 弋—mn + n P + m P —mn + P(m + n) —nm一(m + n)2_ -m2一mn一n2_1八m2 + n2 + p2 nf + n2 + p2 nr + n2 + (m + n)2 2(nr + mn + n2) 2 *点评：实际上，本例有巧妙的解法，将〃?+”+" = 0两边平方，得加2 + "2+卩2=一2(”山+ " + 〃初，.・.mn + np + mp _1m2 +n2 + 2 "例 3 已知" + i = + 求（“ + 〃）（/+、）（「+ “）的值.c b a abc解析：对于分式等式，如岀现两个（或两个）以上的等于号，可设为一个字母为h解：设c^b-c =a-b + c = -a + b + c=k cb aa + b-c = ck,① < a —b +c = bk 9 (^)-a + b + c = ak・③① + ②+③，得：R("+b+e)="+b+c・当“+b+e0 时，k=l,此时a+b=2c,“+c=2b, b+c=2a・.(a + h)(b + c)(c + a) _ 2a ■ 21} ■ 2cabc abc当“+〃+c=0 时♦“ + b= —Ct a + c= —b,〃+c= —a.・・.原式=(-“)•(如p)=_l.abc点评：注意本例须按a+h+c等于零和不等于零两种情况进行讨论.例4 已知“+b+c=l, a2-\-b2+c2=2. a3+b3+c3=39求(1) “be 的值;(2) a4+b4-^c4的值. 解析：•••以+胪+5=2, ：•(“+b+c)2—2(ab+be+ca)=2.A ab-¥bc~i rca = ——•2又•••帀+沪+"=3,(“+b+c)(</2+b2-\-c2— ab—be—ca) + 3abc=3 ・:.1x(2+ —)+3“bc=3・2:.abc=-,即"c的值为丄.6 6又•: a4+沪+c4=(a2+护+c2)2—2(crb2+b2c2+c2a2)=4 —2[(ab+be+ca)2—2abc{a + 方+c)]=4—2(丄4 cl ix 25—2x- xl)=—・6 6•••/+戸+疋的值为色.6点评：这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的.好题妙解】佳题新题品味例1 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场：第一次提价的百分率为"，第二次提价的百分率为b：乙商场：两次提价的百分率都是⑺(">0, 2 b>0);丙商场：第一次提价的百分率为几第二次提价的百分率为"，则提价最多的商场是( )A.甲B.乙C•.丙 D.不能确定解析用代数式表示三个商场提价后的价格，再比较大小.解：(1)甲商场两次提价后，价格为(l+“)(l+b)=l+“+b+“b.(2)乙商场两次提价后，价格为(1 + 口)(1 + 口)=1+(“+坊+(口)2：2 2 2(3)丙商场两次提价后，价格为(1+")(1+“)=/+"+b+“b.因为(爭)2 —“b>0,所以(字)2>“b.故乙商场两次提价后，价格最髙.选B.例2已知非零实数“、b、c满足0+护+以=1, “(J.+J_)+b(丄+ b + c(丄+丄)=一3,求a+b+c的 b c a c a b 值.解析：因为ubc^O,在已知的第二个等式两边同乘以“be,得"2(c+b)+b2(c+")+c2(“+")= —3"bc, 即ab(a+/?)+bc(b-\-c)4-ac(a+c) + 3abc=0.将&历c 拆开为ubc+abc+ubc,可得ab(“+b+c)+bc(a+b+ c)+ac(a+/?+c)=0・于是(a+b+c)(ab+he+ac)=0.所以a+h+c=0或ab+bc+ac=0.若ab+bc+ac=O.由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2cd^2bc+2cic= 1 得“+b+c=±l ・ \ 所以“+"+c的值可能为6 — 1 >1.中考真题欣赏例1 （2003年陕西中考题）先化简，再求值:皆胃L岳，其中眉存—x + 1 (x2+1)(A+ l)(x-l) x-3 _ x-1 x-3 _ 2 尿 = - : 一 = — =0+1 (x + 1) A +1x + 1 x + 1 x + 1解析:当x= 73 + 1时，原式== 4一2逅.V3+2例2 （重庆市）阅读下而材料：在计算3+5+7+9+11 + 13+15+17+19+21时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的左值.具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式5= 必+巴二12xd计算它们的和.（公式中的〃表示数的个数，“表示第一个数的值，〃表示这个相差的泄值）, 2那么3+5+7+9+11 + 13+15 + 17+19+21 = 10x3+巴” x2=120・2用上而的知识解决下列问题：为保护长江，减少水上流失，我市某县决泄对原有的坡荒地进行退耕还林.从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地.由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统汁数据•假设坡荒地全部种上树后，不再有水上流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.解析:1997 年减少了24 000-22 400=1 600.m年减少了1 200+400x(/?/-1 996)・1 200+1 600+…+ 1 200+400(加一1 996)=25 200.令n=m—\ 995»得必1200 + 盲_><400一1)=400x HX3+———-=25200. 2 ..・.％ +竺匸—6326n+n(n-1)=126n：+5n-126=0.m 二9,血二一14 (舍去).m=1995+9=2004.••• 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木°竞赛样题展示例1 (2003年“信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将苴排列成前多后少的梯形队阵(排数>3),且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )A. 1种B.2种C. 4种D. 0种解析设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k, k+1, lc+2,…，k+ (n-l),由题意可知如+ 答丄= 100,即〃[2« + (“-1)] = 200.因为k, n都是正整数，且n$3,所以n<2k+ (n-l),且n与2k+ (n-l)的奇偶性不同。
初一年级奥数重点题型：代数式化简求值
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是为⼤家带来的初⼀年级奥数重点题型：代数式化简求值，欢迎⼤家阅读。
【难度】★★★★☆【考点】整体法求值、有理数加减法计算已知（2x-1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f（a，b，c，d，e，f为常数），则b+d=_______【解析】令x=1得， 1=a+b+c+d+e+f……①令x=-1得，-243=-a+b-c+d-e+f……②令x=0得，-1=f①+②得：2b+2d+2f=-242b+d+f=-121b+d=-120【答案】-120【难度】★★★★☆【考点】整体法求值、⼆元⼀次⽅程组如果四个有理数满⾜下列等式a+bc=-1，2b-a=5，2a+b=2d，3a+bc=5，求：abcd的值．【解析】a+bc=-1……①，2b-a=5……②，2a+b=2d……③，3a+bc=5……④由①、④解得：a=3，bc=-4把a=3代⼊②得：b=4把a=3、b=4代⼊③得：d=5所以abcd=3×（-4）×5= - 60【答案】-60【难度】★★★☆☆【考点】整体代⼊化简求值【清华附中期中】已知x+y=6，xy=4，代数式的值是__________。
【解析】原式=（xy+y2+x2y+2x）/xy=[（x+y）y+（xy+2）x]/xy=（6y+6x）/4=9【答案】9【难度】★★★★☆【考点】整体法求值已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+……+a2012的值。
【解析】已知为a的三次四项式，求a的2012次多项式的值，需要把已知升次左右同时乘以a2009得：a2012+a2011+a2010+a2009=0即从⾼次到低次，连续四项和为零2012÷4=503 0原式=1【答案】1【难度】★★★☆☆【考点】整体法求值、数形结合思想、加减法计算已知a-b=3，b-c=4，c-d=5，则（a-c）（d-b）=【解析】⽅法①（代数法：整体思想）a-c=（a-b）+（b-c）=3+4=7；b-d=（b-c）+（c-d）=4+5=9；d-b=-9原式=7*(-9)=-63⽅法②（⼏何法：借助数轴）如图：易得a-c=7，d-b=-9，原式=-63【答案】-63。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛代数式的求值
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a2+b2+c2=1，①
求a+b+c的值．
解
2．利用乘法公式求值
例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．
解
求x2+6xy+y2的值．
解
3．设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
4．利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在
代数式求值中经常被使用．
例8 若x 2
-4x+|3x -y|=-4，求y x
的值． 解
例9 未知数x ，y 满足
(x 2
＋y 2
)m 2
-2y(x+n)m+y 2
+n 2
=0， 其中m ，n 表示非零已知数，求x ，y 的值． 解
5．利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：
解
练习六
2．已知x+y=a ，x 2
+y 2
=b 2
，求x 4
+y 4
的值．
3．已知a +b+c=3，a 2
+b 2
+c 2
=29，a 3
+b 3
+c 3
=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．
(第一个分母改为x )
5．设a+b+c=3m ，求(m -a)3+(m -b)3+(m -c)3
-3(m -a)(m -b)(m -c)的值．
8．已知13x 2
-6xy+y 2
-4x+1=0，求(x+y)^13·x^10的值．。