初中数学竞赛题汇编(代数部分1)

初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。

解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。

∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。

解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。

证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。

例5：证明是无理数。

证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。

p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。

例6：；；。

解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。

解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。

（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。

设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。

设原式为利用根号的层数是无限的特点，有，两边平方得即继续两边平方得x4－4x2＋4＝2＋x，即x4－4x2－x＋2＝0，左边分解因式得(x＋1)(x－2)(x2＋x－1)＝0 求得x1＝－1，x2＝2，x3＝。

因0＜x＜2，所以x＝－1、x＝2、x＝应舍去，所以x＝即＝。

例9：设的整数部分为x，小数部分为y，试求的值。

解：而所以x＝2，y＝因此＝。

例10：已知x＋y＋z＝3a (a≠0，且x、y、z不全相等)，求的值。

解：设x－a＝u，y－a＝v，z－a＝w，则＝且有已知有u＋v＋w＝0，将u＋v＋w＝0两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝0 由于x、y、z不全相等，所以u、v、w不全为零，所以u2＋v2＋w2≠0，故＝＝例11：已知x＝求的值。

解：所以x－4＝－(x－4)2＝3，x2－8x＋13＝0 ，所以，原式分子x4－6x3－2x2＋18x＋23＝(x4－8x3＋13x2)＋(2x3－16x2＋26x)＋(x2－8x＋13)＋10＝x2(x2－8x＋13)＋2x(x2－8x＋13)＋(x2－8x＋13)＋10＝10，原式分母x2－8x＋15＝(x2－8x＋13)＋2＝2，所以＝＝5 。

例12：已知＝＝求的值解：方法1 当a＋b＋c≠0时，据等比定理有＝＝＝＝1由此得a＋b－c＝c，b＋c－a＝a，c＋a－b＝b所以＝＝8。

当a＋b＋c＝0时，＝＝－1。

方法2 设＝＝＝k，则a＋b＝(k＋1)c…①，b＋c＝(k＋1)a…②，c＋a＝(k＋1)b…③，①＋②＋③得2(a＋b＋c)＝(k＋1) (a＋b＋c)，即(a＋b＋c) (k－1)＝0，故k＝1或a＋b＋c＝0，以下同上。

例13：计算…+解：…+＝+ + …+＝( )+( )+( )+…+ ( )＝+ + +…+＝＝。

例14：分解因式（1）x3－9x＋8；（2）(x2＋x＋1)(x2＋x＋2)－12；。

（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)；（4）x2+3xy+2y2+4x+5y+3。

解：（1）方法1：x3－9x＋8=x3－9x－1＋9=(x3－1)－9x＋9=(x－1)(x2＋x＋1)－9(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)方法2：x3－9x＋8=x3－x－8x＋8=(x3－x)+(－8x＋8)=x(x＋1)(x－1)－8(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)方法3：x3－9x＋8=9x3－8x3－9x＋8=(9x3－9x)+(－8x3＋8) =9x(x＋1)(x－1)－8(x－1)(x2＋x＋1)=(x－1)(x2＋x－8)方法4：x3－9x＋8=x3－x2＋x2－9x＋8=(x3－x2)＋(x2－9x＋8)=x2(x－1)＋(x－8)(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)（2）设x2+x=y，则(x2+x+1)(x2+x+2)-12=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]= (u2-v)2-4v(u2-2v) = u4-6u2v+9v2 = (u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2 = (x2-xy+y2)2（4）方法1：设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．方法2：x2+3xy+2y2+4x+5y+3x y 常数1 1 11 2 3即= (x+y+1) (x+2y+3) ．例15：化简解：因这个代数式的特性时轮换对称式，只要对其中的一项进行变形，然后再对其他项进行轮换即可。

所以＝( －)＋( －)＋( －)＝0 。

例16：已知证明a2＋b2＋c2＝(a＋b－c)2。

证明（分析法）：因(a＋b－c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ca所以要证a2＋b2＋c2＝(a＋b－c)2只要证ab ＝ac ＋bc 只要证c(a ＋b)＝ab只要证 （因为也为a 、b 、c 都不为0） 即最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等 式成立．例17：已知a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ． 证明： 由已知可得 a 4+b 4+c 4+d 4-4abcd=0，(a 2-b 2)2+(c 2-d 2)2+2a 2b 2+2c 2d 2-4abcd=0，所以(a 2-b 2)2+(c 2-d 2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a 2-b 2)2≥0，(c 2-d 2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a 2-b 2=c 2-d 2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a ，b ，c ，d 都为正数，所以a+b ≠0，c+d ≠0，所以a ＝b ，c=d ．所以ab-cd=a 2-c 2=(a+c)(a-c)=0，所以a ＝c ．故a=b ＝c=d 成立．例18：m 是什么整数时，方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根．解：首先，m 2-1≠0，m ≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m ≠3．用求根公式可得由于x 1，x 2是正整数，所以m-1=1，2，3，6； m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x 1=6，x 2=4．例19：己知 a+， a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1。

证明：由己知得：a-b= ， 所以 bc = ， 同理得 ca = ， ab = ， ac c b b 111+=+=bc c b b c -=-11ba cb --c b a c --a c b a --所以 ab ·bc ·ca ＝ × × ＝1，即a 2b 2c 2=1。

例20：己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a 、b 、c 是常数），求证：b 2－4ac=0证明：设 ax 2+bx+c ＝(mx+n)2，m 、n 是常数，则 ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质得所以 b 2－4ac ＝(2mn)2－4m 2n 2=0a c ba --b ac b --cb ac --。