初中数学竞赛专题选讲对称式(含答案)
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲 平移、对称、旋转(含答案)
第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。
初中数学竞赛专题选讲 对称式(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得 一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。
初中数学竞赛精品标准教程及练习35两种对称
初中数学竞赛精品标准教程及练习35两种对称数学竞赛是一项重要的学科竞赛活动，对于学生的数学素养和思维能力的培养非常有帮助。
而数学竞赛的核心内容之一就是对称性的研究和运用。
下面是一本初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要讲解了两种对称以及相关的题目训练。
一、点、线和面的对称1.点的对称：对称轴是指平面上的一条直线，将平面上的点分成两个互相重合的部分。
点关于对称轴的对称点与原点关于对称轴的垂直距离在对称轴两侧相等。
对称轴上的点是自身的对称点。
2.线的对称：对称轴是指平面上的一条直线，对称轴把平面分成两个互为镜像的区域。
线上的两点关于对称轴对称，线上的每一个点的对称点也在对称轴上。
3.面的对称：对称面是指一般三维空间的平面，平面将空间分为两个完全对称的部分。
平面上的每一个点的对称点都在对称面上。
二、图形的对称1.点的对称性：一个图形关于一个点对称，就是存在于这个图形的每一点关于这个点的对称点也在这个图形中。
2.线的对称性：一个图形关于一条线对称，就是存在于这个图形的每一点关于这条线的对称点也在这个图形中。
3.面的对称性：一个图形关于一个平面对称，就是存在于这个图形的每一点关于这个平面的对称点也在这个图形中。
三、对称性的运用1.利用对称性求解问题：利用对称性质可以简化问题，例如通过将一个点关于对称轴的对应点找出来，从而简化计算。
2.证明问题：对称性是证明问题的重要工具。
可以通过找到问题中的对称性质，从而推导出问题的结论。
四、题目训练以下是一些与对称性相关的常见题目，帮助学生进一步理解和运用对称性：1.镜面反射：一个角度为80度的光线在一面完全光滑的镜子上反射，求它的反射角度。
2.对称点坐标：平面上有点A(2,-3)，求点A关于直线y=2的对称点的坐标。
3.图形对称性：有一组数字：1,2,3,4,5,6,7,8,9、将这组数字按如下规则排列，使排列后的数字具有对称性：1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,5,4,3,2,14.证明对称性：证明一个多边形的内角和等于180度。
初中数学竞赛精品标准教程及练习50基本对称式
初中数学竞赛精品标准教程及练习50基本对称式初中数学竞赛是学生在学习数学的过程中，通过参与竞赛提高数学解题能力和思维能力的一种途径。
数学竞赛涉及的内容广泛，其中包括了对称式的研究和应用。
下面是一份关于初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要包括了50个基本对称式的内容，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念在初中数学竞赛中，对称式是经常出现的问题类型之一、对称式指的是多项式在变量的置换下保持不变的表达式。
对称式在解题过程中具有简洁性和易于分析的特点，因此对称式在数学竞赛中有着重要的应用价值。
二、基本性质1.对称式具有对称性，即在变量的置换下保持不变。
2.对称式的系数可以是实数也可以是复数。
3.对称式可以通过系数相乘、相加等运算进行组合，得到新的对称式。
4.对称式的次数等于它所包含变量的最高次数。
三、基本类型1.对称多项式：这是最常见的对称式形式，指的是多项式在变量的置换下保持不变。
例如：* $xy+yz+zx$*$x^2+y^2+z^2$2.对称和与对称积：对称和指的是对称多项式相加得到的新的对称多项式，对称积指的是对称多项式相乘得到的新的对称多项式。
例如：*$a_1+a_2+a_3+...+a_n$*$a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3+...+a_{n-1}a_n$*$(x+y+z)(y+z+w)$3.对称因子与轮换对称因子：对称因子指的是对称多项式中每一项的因子都是对称的，而轮换对称因子指的是对称多项式中每一项的因子经过变量的置换后仍然是对称的。
4.对称和与对称积的运算法则：对称多项式的和与积都具有交换律和结合律。
四、基本性质与定理1.对称多项式可以通过对称元素的传递性进行分解和合并。
2.对称多项式中可以把含有部分变量的项提取出来，形成新的对称多项式。
3.如果一个对称多项式的每一项次数都是k的倍数，那么这个对称多项式可以表示为若干个对称和乘以小项。
五、基本方法与技巧1.利用对称和与对称积的运算法则简化多项式。
【精品】第06讲__对称变换(含解答)
九年级数学竞赛专题第六讲对称变换1．如图，△ABC中，AE平分∠BAC的外角，D为AE上一点，若AB=c，AC=b，DB=m，DC=n，则m+n与b+c的大小关系是（）A．m+n>b+c;B．m+n=b+cC．m+n<b+c;D．m+n>b+c或m+n<b+c2．如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，C砰分∠ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是（）A．AD=BC-CD;B．AD=BC-AC;C．AD=BC-AP;D．AD=BC-BD二、解答题1．在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作一点P，使PA与PB之差最大。
2．如图，已知线段AB 的同侧有两点C 、D 满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°-21∠DBC 。
求证：AC=AD.3．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC,求证：BC=BD+AD.4．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求证：∠ACB的大小。
5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-21∠BDC 。
求证：AC=BD+CD.6．△ABC中，已知∠BAC=15°，AD平分∠BAC，过A作DA的垂线交直线BC于M，若BM=AC+BA。
求证：∠ABC、∠ACB的度数。
7．已知：等边凸六边形ABCDEF中，顶角∠A、∠C、∠E与∠B、∠D、∠F的和相等，即∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F。
求证：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
8．已知，如图，设∠MON=20°，A为OM上一点，OA=43，D为ON上一点，OD=83，C为A由任一点，B是OD上任意一点。
求：折线ABCD的长度的最小值。
答案一、1．A2．B略解：1．在AM上截取AC'=AC，连结DC'，如图，易证△ADC≌△ADC'所以DC=DC'因为BA+AC'<BD+DC'所以AB+AC<BD+DC即m+n>b+c，故选A.2．因为∠A=2∠B所以∠A>∠B所以BC>AC在BC上截取CA'=CA，连结DA'（如图），易证△ACD≌△AC'D所以AD=A'D，且∠1=∠A=2∠B又∠1=∠B+∠2所以∠B=∠2所以A'B=A'D=AD所以BC=A'C+A'B=AC+AD所以AD=BC–AC符合（B）注意到：若AD=BC-CD，则CD=BC-AD=A'C=AC此时∠CDA'=∠CDA=∠A=2∠B所以∠ADA'=4∠B又∠ADA'+∠2=4∠B+∠B=180°所以∠B=36°所以∠C=72°与已知矛盾，故A排除，易证BD>BA'=AD，所以PB<BD，PA>AD所以AD<BC–AP，排除C，AD>BC–BD，排除D二、1．作法：作点B 关于直线XY 的对称点B '，作直线AB '交XY于P 点，则点P 为所求点（如图）若B 'A ∥XY （即B '、A 到直线XY 的距离相等），则点P 不存在。
九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，ACBAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EF B ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EF D ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．ABCD【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB AC ． （天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的A BCD E图1图2一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ．⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长． （江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结PA ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BPA =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BPA ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造PA +PF ，PB +PD 相关线段；③取BD 的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等．本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，PA +PB； ⑵如图2，PA +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则PA +PB =2PHc o s2α为定值．图1A 600300300PHB PABH600 图2 PABH 图3C图1图2图3能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．第3题图第2题图C ABDA3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD ta n 2=_________． （黑龙江省中考试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =2，BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —AB —BO 的路径运动一周.设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间的关系是（ ）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（ ）A ．0.5c mB ．1c mC ．1.5c mD ．2c m7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cmt sAt sBtssO DAOCD AE CD FBABC DFEP （第6题图）APB C（第4题图）（第7题图） （第8题图）8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=1 2（AB-AC）．（河南省竞赛试题）11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13．⑵如图2，若∠DOE保持0120角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的13．AB CDOEFM（第9题图）AHB MC（第10题图）图2图1D12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长．（上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________． （宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为960，BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________．（陕西省竞赛试题）AD CB NOJ MK L（第12题图）O A E CD FBABCD E A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ） ABC ．54D5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN=2AC C ．MN =35AC D ．MN=3AC （武汉市选拔赛试题）第4题图第5题图A C O6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0.6，求四边形ABCD 的周长．（全国初中数学联赛试题）ADOB E GFN AC BDO P （第7题图）（第6题图）C8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ．（江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14AC ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由． （河南省中考试题）10．⑴如图1，已知PA ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知PA ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．AB CD O M （第8题图）A图1CP BDEO A 图2CPBD EOx（第9题图）11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．AC O LE BDMH（第11题图）AC M N OD B（第12题图）专题18 圆的对称性 例1 15°或75° 提示：分AB 、AC 在圆心O 同侧、异侧两种情况讨论． 例2 B例3 (1)解法一：如图，将正方形BDEC 上的等边△ABC 向下平移，使其底边与DE 重合，得等边△ODE ．∵A 、B 、C 的对应点是O 、D 、E ，∴OD ＝AB ，OE ＝AC ，AO ＝BD ．∵等边△ABC 和正方形BDEC 的边长都是2，∴AB ＝BD ＝AC ＝2，∴OD ＝OA ＝OE ＝2．∵A 、D 、E 三点确定一圆，O 到A 、D 、E 三点的距离相等．∴O 点为圆心，OA 为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC 平移到△ODE 位置，并作AF ⊥BC ，垂足为F ，延长交DE 于H ．∵△ABC 为等边三角形，∴AF 垂直平分BC ，∵四边形BDEC 为正方形，∴AH 垂直平分正方形边DE ．又∵DE 是圆的弦，∴AH 必过圆心，记圆心为O 点，并设⊙O 的半径为r ．在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝30°，∴AF ＝AB ·cos 30°＝2×3＝3，∴OH ＝AF ＋FH －OA ＝3＋2－r ．在Rt △ODH 中，OH 2＋DH 2＝OD 2，∴(32r +-)2＋12＝r 2，解得r ＝2．(2)⊙O 的半径不变，因为AB ＝AC ＝BD ＝2，此题求法和(1)一样，⊙O 的半径为2．例4 提示：BD 2－AD 2＝(BE 2＋ED 2)－(AE 2＋ED 2)＝(BE ＋AE )(BE －AE )＝AB (BE －AE )，只需要证明AC ＝BE －AE 即可．在BA 上截取BF ＝AC ．连DF 可证明△DBF ≌△DCA ，则DF ＝AD ，AE ＝EF ． 例5 (1)由条件，得(AM －1)2＋(BM －1)2＋(CM －1)2＝0，∴AM ＝BM ＝CM ＝1．因此，M 是AB 中点，且∠ACB ＝90°． (2)由(1)知，∠A ＝∠PCM ，又PD ∥AB ，∴∠A ＝∠CPD ，∠PCM ＝∠CPD ，因此，,CD PM CPM DCP ==，于是有DP ＝CM ＝1．例6 (1)连结BD 、CD ，∵AD 是直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°，又∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠BAC ．(2)连结OB 、OC ，则OA ⊥BC ，又AE ＝OE ，得AB ＝BO ＝OA ＝OC ，△AOB ，△AOC 都为等边三角形，连结OG ，则∠GOF ＝90°，FG ＝2．(3)取BD 的中点M ，过M 作MS ⊥P A 于S ，MT ⊥PF 于T ，连AM ，FM ．∠BPM ＝∠DPM ＝30°，∠APM ＝∠FPM ＝60°，则MS ＝MT ，MA ＝MF ，Rt △ASM ≌Rt △FTM ，Rt △PMS ≌Rt △PMF ．∴PS ＝12PM ．∴P A ＋PF ＝2PS ＝2PT ＝PM ．同理可证：PB ＋PD ＝3PM ．∴333PA PF PB PD PM +===+为定值．A 级 1．49或7 2.85 3．1 4．35．C 6．D 7．D 8．过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF ，∵OE 2＝AO 2－AE 2＝(4214AB -)，OF 2＝OD 2－FD 2＝414-CD 2，∴OE 2＋OF 2＝(4214AB -)＋(4214CD -)＝PF 2＋OF 2＝OP 2＝12，即4214AB -＋4214CD -＝1，故AB 2＋CD 2＝28．得x 1＝－3(舍去)，x 2＝75，∴正方形JKLM 的边长为145.B 级1.26－3 提示:作OM ⊥CD 于M ，则EC ＝12(EF －CD). 2.103 3.3R 提示:设D'是D 点关于直径AB 对称的点，连结CD'交AB 于P ，则P 点使CP ＋PD 最小，∠COD'＝120°，CP ＋PD ＝CP ＋PD'＝CD'＝3R.4.D 提示：如图：，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2(2－a)2＋(12)2＝r 2 ，解得a ＝1316，r ＝517165.A 提示:连结OM ，则OM ⊥AC.6.解法一:连结OD 交AC 于点F ，∵D 为⌒AC 的中点，∴AC ⊥OD ，AF ＝CF.又DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠AFO.∴△ODE ≌△OAF.∴AF ＝DE.∵DE ＝3∴AC ＝6.解法二:延长DE 交⊙O 于点G ，易证⌒AC ＝2⌒AD ＝⌒AD ＋⌒AG ＝⌒DG ，则DG ＝AC ＝2DE ＝6.7.连结BO 并延长交AD 于H ，因AB ＝BD ，故BH ⊥AD ，又∠ADC ＝90°，则BH ∥CD ，从而△OPB ∽△CPD ，得CD BO ＝CP PO ，即CD 1.5＝0.61.5－0.6，解得CD ＝1.于是AD ＝AC 2－CD 2＝22，又OH ＝12CD ＝12，则AB ＝AH 2＋BH 2＝2＋4＝6，BC ＝AC 2－AB 2＝9－6＝ 3.∴四边形ABCD 的周长为1＋22＋3＋ 6.8.提示:延长DC 至N ，使CN ＝CM ，连结BN ，则∠BCN ＝∠BAD ＝∠BDA ＝∠BCA ，可证得△BCN ≌△BCM ，Rt △BAM ≌Rt △BDN.9.⑴AO ＝8，BO ＝6，AB ＝BC ＝10，AD ＝CO ＝16，DB ＝AD －AB ＝6，过D 作DE ⊥BC 于E ，由Rt △DEB∽Rt △AOB ，得DE ＝245，BE ＝185，EO ＝6＋185＝485.∴D(－485，245).⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D ，P 两点的直线为y ＝－2714x －967，点(2，－10)不在直线DP 上.10.⑴在AE 上截取AF ＝BP ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CAF ≌△CBP ，CF ＝CP .又CD ⊥PA ，则PE ＝FE ，故AE ＝PB ＋PE.⑵AE ＝PE －PB ，在PE 上截取PF ＝PB ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CPF ≌△CPB ，CF ＝CB ＝CA.又CD ⊥AP ，则FE ＝AE ，故AE ＝PE －PB.11.连结BD ，∠CBA ＝∠DBA ，CB ＝BD ，由∠AOC ＝∠CBD ，∠A ＝∠BDE ，得△AOH ∽△DBM ，∴OH OA ＝BM BD＝12，即BM ＝12BC.12.延长AC 至点E ，使CE ＝BC ，连结MA ，MB ，ME ，BE.∵AD ＝DC ＋BC ＝DC ＋CE ＝DE ，又MD ⊥AE ，∴MA ＝ME ，∠MAE ＝∠MEA.∵∠MAE ＝∠MBC ，，又由CE ＝BC 得∠CEB ＝∠CBE ，∴∠MEB ＝∠MBE ，得MA ＝ME ＝MB ，即M 为优弧⌒AB 的中点，而MN⊥AB ，∴MN 是⊙O 的直径.。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲讲对称式和轮换对称式(含答案)
第二讲讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数召,心“,“书入.同时满足= 空込泊=2, 沁色=3,X] 吃“兀泊空£ = 6, 土込竺=9,则X,+X,+X3+X4+X5+A-6的值是多少？若将六式左右分别相乘得(X1W4X5A6)4 =64 ,因此XMP)兀乓兀=6,将已知式分别代入上式可得X| = "\/6 , = \/^» A"j = 5/2" , X4 = , X5 =1 ------- ，兀6 = • Ml" 以2 3X, +A-2+x3+A-4+x5+x6=l + V2 + V3 + lb^视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结6构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】1.对称多项式观察"+ /? + c , ah + be + ca » 1/ + b' + c' —3ab — 3/>c —3ca » a'h + b z c + c2a + ab~ + be2 + ca z等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式(简称对称式)• 上述四个式子也可分別称为三元对称多项式，又如A-4+(X+>-)4+/是二元对称多项式.2.轮换对称多项式一个关于儿八z…、w的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换(如把x换成y, y换成z, w换成X)，多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式)•例如x'y + y'z + Fx , (“一b+c)( b—c+")( c—a+b)都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一上是对称多项式，如：+ + 是轮换式，但因互换儿y得到的是bx + Fz + Fy已不是原式，所以原式不是对称式.同样对(b-c)(c-a)(a-b)^是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式.但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式.3.对称式的性质(1)关于小y的对称式总可以用x+y和小来表示.(2)两个对称式的和、差、积、商也是对称式(3)齐次对称多项式的积、幕仍是齐次对称多项式.4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待立系数法.一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1已知卩一尤一)，=4,贝|J(Q —1)2_2疋〉，一2心2+十+〉,2+6卩—2x —2y的值等于____ .解析可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x、y的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x+y和卩来表示，先化简后再求值.解设x+y=“，AJ=V,由题设得vr=4,贝IJ原式=(Ay-1)2 - 2AJ(X +y) + [(牙 + y)2 - Zyy] + 6xy- 2(x + y)=(v—If—2vz/+if—2v+6v~2w=v2-2 vu+/+2 ” 一2 u +1=(v—w+l)==25 ・点评：对称换元有利于简化解题过程.例2 计算：(x+y-iz)(xy+yz+zx).解析因为x+y+z和xy+w+旷都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式.因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写岀其余各项.解:T x(xy-\-yz+vc)=+y+xyz+vC,原式+yz+yzx+xy^+厶+砂+yf=x:y+y：z+zH+亍+yz"+zx' + 3QZ ■点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的英他，这样解题就会既简明又准确.二、对称式的因式分解例3 分解因式：z)+y'(z—x)+z'(x—刃.解析这是一个关于八y. 2的四次齐次轮换对称式，当x=y时，原式的值为零，根据余式泄理知x —y是它的一个因式.由轮换对称的性质知y—z和z—x也是它的因式.因为(x—y)(y—z)(z—x)是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为Hr+y+z),从而有x(y—z)+yXz~x)+z(x—y)=k(x+y+z)(x—y)(y~x)(z—x)・取x=2t y=l, z=0,得k= — l.:.x(y—z)+y(z—x)+z z(x—y)= —(x+y+z)(x—y)(y—z)(z—x)・点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法.例4把2+U+)A+y分解因式.解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x+y> xy表示出来再进行分解.解：£+(x+y)'+h=(r+)」)+(x+)A=(F+『亍一2汐+(x+)A=[(x+y)'—2xyf一2xy+(A4-y):=2(x+y)1- 4x)<x+y)3+ 2xy=2[(x+yY-xy]2=2(卫+小+护)2・点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x+y、小表示出来，对于给泄的对称式，往往是寻求这种具体表示方法.在解决本题时；实际可以直接由(x+)y的展开形式，宜接将屮+讯用x+y、心来表示，即x4+y* = (x+)y — 4・py — 6xV — 4巧3 = (x+y)4-4xy(x+y)2 + 2(Q)2.例5 分解因式：(X->')5+(.V-X)5+(Z-A)5.解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的期两个因式，若在原多项式中令x=y,则原式= (x-zP+(z-x)5=0.根据因式泄理，则x-y是原式的一个因式，于是y 一z、z-x也是它的因式.解：因为当x=y时，(x—yp+(y—xp+(z—xp=O,所以原多项式有因式(x~y)Cv—z)(z—x).由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x—y)5+(v—z)5+(z—X)5=(x—y)(y—z)(z—x)[“("+尸+z2)+b(Ay+yx+zx)]①其中“、〃是待立系数.取x=lt y= — L z=0代入①式得2d—b=\5・②取x=2, y=l, z=0代人①式得5a+2b=15・③将②、③两式联立解得“=5, b=-5.所以(x-y)5+(y-z)5 + (z-x)5=5 (x—y)(y—z)(z—x)(x2+y2+z?—xy—yx—zx)・点评：在解本题的过程中，设了一个因式为“(界+尸+刊+风巧+严+旳，若不是这种形式，不妨设为0_y2 + z2,由轮换式，就会有另两个因式严一Q+W及艺一川+尸，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为“(工+护+刃+反巧+皿+旷).也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数<3,则也一立为对称多项式.三、综合应用例6 已知“+b>c b+c>a> u+c>b,求证：c)2—b(c—6/)2—c(t/—b)2—4</Z?c<0.解析要证明多项式的值小于0,可先将它分解因式，只要判左各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定.证明：设T= a3+Z?3+c3—1/(/?—c)2—h(c~a)2—c(a~b)2—4cibc・把该多项式看作是关于“的3次多项式，令"=b+c,则T= (b+cP+沪+R—(b+c)(b—c)2—沪一R—4(b+c)bc=2(，+")+32c+3bc2— 2(夕+c3)+Qc+be2—4b2c—4bc2=0.由因式泄理知，"一(b+c)是T的一个因式.又由于丁是一个轮换对称式，于是b —(c+“)，c-(a+b)也是7的因式，因为T是关于"、b、c的3 次式，所以可设T— k(a—b—c)(b—c—a)(c—a~b)・比较两边/的系数可得k=\.故T= (a—b—c)(b—c—a)(c—a—b)・根据题意"+b>c, d +则有c—a—b<0, a—b—c<0, b—a—c<0.所以TVO.即原不等式成立.例7设△ABC的三边长分别为心b、c,且上二L+ —+上二£=0,试判断ZBC的形状.1 + ah \+bc 1 + ca解析已知等式去分母，得(t/—Z?)( 14- bc)( 1 + ca) 4- (/?—c)( 1 +c“)(l +")+(c—")(1 +")(1 +处)=0・上式的左边是关于a、b、c的轮换对称式,把,(a—b)(l+bc)(l+ca)展开、整理，得a-b—b2c-}-ca2+ "2力一於C2•根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项.由此，上式可写为a~b~ b2c+"+a2bc2—al^c2+b—c—c2a+ah2+b2ca2—berer+c—a —a2b+be2+crab1— ca2b2=0 ・整理，得ab2+be2+ca2—a2b—b2c—c2a=0.设M=ab2 -b be2+ca2—a2b—b2c—c2a ・当"=b时，A/=0,由因式泄理知"一b是M的一个因式.而M是关于“、b、c的三次齐次轮换对称式，故M含有因式(a—b)(h—c)(c—u).又(“一b)(b—c)(c—a)也是三次齐次轮换对称式，则M还应有一个常因子，于是可设ab2+be2+ca2—erb — b2c•—(rci=k(a~b)(b—c)(c ~a).取a=2, h=\9 c=0,得k=\.M=(a — b)(b—c*)(c—a)=0 ・:・u=b或b=e或c=a,即"、b、c中至少有两个相等.故△ABC必为等腰三角形.好题妙解】佳题新题品味例分解因式l)(y-z)+Ay+ l)(z-x)+z3(z+ l)(x~y)・解析由于原式是X, y, z的轮换式但不是齐次式，所以当求得©—2)(z-x)仗一刃的因式后，剩下的因式是A(x2+y2+z2)+B(yz+zx+xy)+CC¥+y+z)+£)・解：当时，原式=0..・・y-z是原式的一个因式.设原式=(y~z)(z—x)(x—y)[ A("+y2+z2)+B(yz+乙t+xy)+C(x+y+z)+D]・由于原式最低为四次项，.・.D=0.•••原式=(y—z)(z—x)(x—y)[ A(x2 -+-y24-z2)+B(yz++C(x+y+z)].令x=h y= —L z=0 得2A—B= —1；①令x=-h y=0, z=2 得5A-2B+C=-4；②令x=l； y=-L z=2 得6A-B+2C=-7・③解①，②，③组成的方程组，得A=B=C=-1.故原^=—(y—z)(z—x)(x—y)(x2+y1+z1+yz+zx+xy+x+y+z)・中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6兀一6)，—9W+18•巧一9屮一1.解析关于X, y的对称式可用含x+y, x-y,小的式子表示，考虑分组.解：6x—6y—9W+ 18小一9)卫一1 = — (9X2— 18xy+9)^)+(6x—6y) — 1=—[9(工一Zxy+〉') _ 6(x _ y) + 1 ]=一[9(A—y)2-2X 3(x-y) +1]= -[3(xp)— IF= _(3x_3y_ 1)2.竞赛样题展示例分解因式(a-\-b+c)5—a5—b5—c5・解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找岀与它同类型的另两个因式.如果在多项式中令a = -b,则原式=c5-c5=O,根据因式上理，则“+b是原式的一个因式，于是(b+c)、(c +")也是它的因式.解：因为当"=—b时，(a+b+cp—cP—“5—芒=0,所以原式有因式(a+b)(b+c)(c+a)・由于原式是5次对称多项式，根据英特点，可设(“ + b + c)5 — "5—/一小=(“+b)(b+c)(c+a)[k(cr+b?+c?)+m(ab+bc+ca)]・①其中£、加是有待确左的系数.令么=1, b=l, c=0,代人①式得30=2("+〃?)，即2k+m=15・又令“=0, b=\, c=2,代人①式得210=6(5£+加)，即5«+加= 35.由此解得k=5t m=5.所以(a+b-^c)s—a5—b5—c5=5(a+b)(h+c)(c+a)(a2-^b2+c2+ab-\-bc-^ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待立系数法确定剩下的其他因式.过关检测】A级1.在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )① 3x+2y+z ②+y 彳+z4 + 巧』z?③jty2 + y2^+④卫+y3+z3—x2—y2—z2A. 0个B・1个C・2个D・3个2.x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx24-3xy f z=y+z)(xy'-\-yz+zx),则k 的值是( )A. 1 B・ 1 C・ 3 D・一123•设Of=xi+X2+X3, 0 =X1X2+X2X3+X3AS / =A1X2X3> 用Q、卩、丫表示岀X)3+x23+x33的结果是( )A. a'— 3a卩+3?B・0‘一3矽+3卩C・ a'+3a0—3/ D・ 0'—3a0+3y4 ・分解因式：xy^x2一y2) +yz(y2—z2)+zx(z2—x2)・5.分解因式：Ty+^+Wz+^+FCv+y)—W+h+R-Zryz.6.化简:“(b+c—“)2+b(c+“一Z?)2+d"+/?—c)2+(b+c—")(©+" —b)(“+b—c)・7.已知"+b+c+〃=O, R+b3+c3+〃3=3.(1)求证：(a+b)34-(c+J)3=0:(2)求证：ab(c+J)+cd(a+Z?) = 1 ・1.若——-—— + ——-—— + ——-——=1,则儿八x的取值情况是()(X + z)(y + z) (>■ + x)(z + A) (z + y)(x + y)A.全为零B.只有两个为零C.只有一个为零D.全不为零2.已知⑴b、c均为正数，设p=“+b+c 尸竺+竺+竺,则“与g的大小关系是( )a h cA・P>q B・ p<q C・ pPq D・pWq3.已知x+y=3,戏+尸_小=4,则十+屮+兀3$+与,3的值等于 _____________ ・4.如图2-1,正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个而上二数之和都相等.如果13、9、3的对面的数分别是"、b、c9试求a1+b2+c1—ab—bc—ca的值，5・分解因式:(x+y)(y+z)(z+x)+xyz.6.分解因式:G(a+ l)(b—c)+b'(b+ l)(c—”)+c3(c+ \)(a~b).第二讲对称式和轮换对称式A级1. B2. B3. A4.-(x+/H-z)(x-y)(y-z)5.- (x-y-z)(/-z-a)(z - x - y).提示:令丁= y原式为0;同理7 =x十乙时，原式为0;z” ”时,原式为0・设原式-A(x- -y)-6.4a6c提示：当a=0时，原式=0；故设原式= kabj取a = 6=c=U.得&=4・7・ a，46’+c?+d'=(a+6)'-3a6(a・6) + (c • -3cJ(c+d).又a 十6 = 一(c + d),所以(a *b)‘ + (c+/)‘ =0•故3 =3a6(c + d) +3cd(a +6),即a6(c +d) +cd(c+6) = 1B级L・C提示:化简已知等式得xyz=0.2.D提示:运用作差比较.3・ 36 ^4.76 提示:原式=y[(a-6)2 + (6-c)2 + (c-a)2]5.(x+y+«) (xy+-yz+a)6・一(a - 6)(6*-c)(c-a)(a2+c2十 ab + be +co + a+ 6 +c)提示：原:式为非齐次轮换式，可视作以a为主元的多项式.当a M时，原式=0.所以a・6是原式的一个因式.由对称性知也是原式的因式.剰下的因式应是非齐次对称性•设原式=(a-6)(6-c)(c-a)(A:(a2 + + c2) +2( a6 + 6c 4-ca) +m(a+6 + c) +a]・取恃值求得A = - 1 fI = -l,m = =1』=0.。
上海自招数学专题11 对称式和轮换对称式(解析版)
上海自招数学专题11 对称式和轮换对称式考点点拨典例精选1．（黄冈校级）已知aba+b =115，bcb+c=117，cac+a=116，则abcab+bc+ca的值是（）A．121B．122C．123D．124【点拨】先将上面三式相加，求出1a +1b，1b+1c，1a+1c，再将abcab+bc+ca化简即可得出结果．【解析】解：∵aba+b =115，∴1a+1b=15①，∵bcb+c =117，∴1b+1c=17②；∵cac+a =116，∴1a+1c=16③，∴①+②+③得，2（1a +1b+1c）＝48，∴1a +1b+1c=24，则abcab+bc+ca =1ab+bc+acabc=11c+1a+1b=124，故选：D．【点睛】本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握．2．（大观区校级自主招生）若abc＝1，且x1+a+ab +x1+b+bc+x1+c+ac=2003．则x等于（）A．1 B．2003 C．4006 D．2008【点拨】先将原式根据条件变形为x1+a+ab +axa+ab+abc+xabc+c+ac=2003，再整理成：x1+a+ab+axa+ab+1+xc(ab+1+a)=2003，再通过等式的性质去分母后就可以求出其值．【解析】解：∵abc＝1，且x1+a+ab+x1+b+bc+x1+c+ac=2003．∴x1+a+ab +axa+ab+abc+xabc+c+ac=2003，∴x1+a+ab +axa+ab+1+xc(ab+1+a)=2003，∴cx+acx+x＝2003c（ab+a+1），∴x（c+ac+1）＝2003c（ab+a+1），∴x（c+ac+abc）＝2003c（ab+a+1），∴xc（ab+a+1）＝2003c（ab+a+1），∴x＝2003．故选：B．【点睛】本题考查了方程中的对称式和轮换对称式的运用及解此类方程的一般方法的运用．3．（梁子湖区校级自主招生）设x、y、z是三个互不相等的数，且x+1y=y+1z=z+1x，则xyz＝±1．【点拨】分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=y−zx−y，同理可得出zx=z−xy−z，xy=x−yz−x，三式相乘可得出xyz的值．【解析】解：由已知x+1y=y+1z=z+1x，得出x+1y=y+1z，∴x﹣y=1z−1y=y−zzy，∴zy=y−zx−y①同理得出：zx=z−xy−z②，xy=x−yz−x③，①×②×③得x2y2z2＝1，即可得出xyz＝±1．故答案为：±1．【点睛】此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点．4．（宁海县校级自主招生）x1、x2、y1、y2满足x12+x22＝2，x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3．则y12+y22＝5．【点拨】根据题意令x1=√2sinθ，x2=√2cosθ，又知x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3，列出方程组解出y1和y2，然后求出y12+y22的值．【解析】解：令x1=√2sinθ，x2=√2cosθ，又知x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3，故{√2cosθy1−√2sinθy2=1√2sinθy1+√2cosθy2=3，解得：√2y1＝cosθ+3sinθ，√2y2＝3cosθ﹣sinθ，故y12+y22＝5．故答案为5．【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令x1=√2cosθ，x2=√2sinθ，此题难度不大．5．（余姚市校级自主招生）设a=xy+z，b=yz+x，c=zx+y，且x+y+z≠0，则aa+1+bb+1+cc+1=1．【点拨】∵a=xy+z，b=yz+x，c=zx+y分别代入aa+1，bb+1，cc+1表示出aa+1，bb+1，cc+1的值，然后化简就可以求出结果了．【解析】解：∵a=xy+z，b=yz+x，c=zx+y，∴aa+1=xx+y+zbb+1=yx+y+zcc+1=zx+y+z∴aa+1+bb+1+cc+1=xx+y+z+yx+y+z+zx+y+z=x+y+zx+y+z∵x+y+z≠0∴原式＝1．故答案为：1．【点睛】本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用．具有一定的难度．6．（鹿城区校级自主招生）已知互不相等的实数a，b，c满足a+1b=b+1c=c+1a=t，则t＝±1．【点拨】首先设a+1b=t，可得b=1t−a，代入b+1c=t，整理可得ct2﹣（ac+1）t+（a﹣c）＝0 ①，又由c+1a=t，可得ac+1＝at②，将②代入①，即可得（c﹣a）（t2﹣1）＝0，又由实数a，b，c互不相等，即可求得答案．【解析】解：设a +1b=t ，则b =1t−a ， 代入b +1c =t ，得：1t−a+1c=t ，整理得：ct 2﹣（ac +1）t +（a ﹣c ）＝0 ①又由c +1a =t ，可得ac +1＝at ②， 把②代入①式得ct 2﹣at 2+（a ﹣c ）＝0， 即（c ﹣a ）（t 2﹣1）＝0， 又∵c ≠a ， ∴t 2﹣1＝0， ∴t ＝±1．验证可知：b =11−a ，c =a−1a 时，t ＝1；b =−11+a ，c =−a+1a 时，t ＝﹣1． ∴t ＝±1． 故答案为：±1．【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式的知识．此题难度比较大，注意设a +1b=t ，从而得到方程ct 2﹣（ac +1）t +（a ﹣c ）＝0 ①与ac +1＝at ②是解此题的关键．7．（抚州校级）已知xyx+y=2，xzx+z =3，yz y+z =4，求7x +5y ﹣2z 的值．【点拨】先根据题意得出1x+1y=12，1x+1z=13，1y+1z=14，求出1x+1y=12，1x+1z=13，1y+1z=14的值，进而得出x 、y 、z 的值，再代入所求代数式进行计算即可．【解析】解：∵xyx+y=2，xzx+z=3，yz y+z=4，∴1x+1y =12，1x +1z=13，1y +1z=14，解得：1x =724，1y=524，1z=124，∴x =247，y =245，z ＝24， ∴原式＝7×247+5×245−2×24 ＝24+24﹣48 ＝0．【点睛】本题考查的是对称式和轮换对称式，根据题意把原式化为1x +1y=12，1x+1z=13，1y+1z=14的形式是解答此题的关键．8．（龙湾区校级）已知b ≥0，且a +b ＝c +1，b +c ＝d +2，c +d ＝a +3，求a +b +c +d 的最大值．【点拨】分别表示出a ，b ，c ，d ，然后通过分别代入，使最后成为只含b 的代数式，b 的范围知道从而得解．【解析】解：∵a +b ＝c +1，b +c ＝d +2，c +d ＝a +3， ∴2b +c ＝6，c ＝6﹣2b ， 代入a +b ＝c +1得a ＝7﹣3b ， 代入b +c ＝d +2得d ＝4﹣b ， 则a +b +c +d ＝17﹣5b ， 因为b ≥0，所以当b 取0时，a +b +c +d 的最大值为17．【点睛】本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b 的代数式，从而求出取值范围．9．（文登市校级）设a ，b ，c ，满足aba+b=13，bcb+c=14，ac a+c=15，求abcab+bc+ca 的值．【点拨】利用分式的基本性质得出a+b ab=1a+1b=3①，b+c bc=1b+1c=4②a+c ac=1a+1c=5③，进而求出答案．【解析】解：∵aba+b=13，bcb+c=14，ac a+c=15，∴a+b ab=1a+1b=3①，b+c bc =1b +1c =4②a+c ac=1a+1c=5③，①+②+③得： 2（1a +1b+1c ）＝12，故1a+1b+1c=ab+bc+caabc =6，则abc ab+bc+ca=16．【点睛】此题主要考查了对称式和轮换对称式，得出2（1a+1b+1c）＝12是解题关键．10．（黄冈校级自主招生）已知1x +1y+z =12，1y +1z+x =13，1z+1x+y =14，求2x +3y +4z的值．【点拨】由1x+1y+z=12，1y+1z+x=13，1z+1x+y=14，易得1x=y+z 2(x+y+z)，1y=z+x 3(x+y+z)，1z=x+y 4(x+y+z)，然后代入即可求得答案．【解析】解：∵1x+1y+z=12，∴x+y+z x(y+z)=12，∴x （y +z ）＝2（x +y +z ），∴x=2(x+y+z)y+z，即：1x =y+z2(x+y+z)，同理：1y =z+x3(x+y+z)，1z=x+y4(x+y+z)，∴2x +3y+4z=2(y+z)2(x+y+z)+3(z+x)3(x+y+z)+4(x+y)4(x+y+z)=y+zx+y+z+x+zx+y+z+x+yx+y+z=2(x+y+z)x+y+z=2．【点睛】此题考查了对称式与轮换对称式的知识．此题难度适中，解题的关键是得到：1x =y+z2(x+y+z)，1 y =z+x3(x+y+z)，1z=x+y4(x+y+z)．精准预测1．若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是一个完全对称式．已知三个代数式：①a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）；②a2bc+b2ac+c2ab；③a2+b2+c2﹣ab﹣bc ﹣ac．其中是完全对称式的（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．有①②③【点拨】根据完全对称式的含义，把式子中任意两个字母交换，根据乘法的交换律和加法的交换律即可求出答案．【解析】解：根据完全对称式的含义：把a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）中任意两个字母交换，如a和c 交换得到：c（b+a）+b（c+a）+a（c+b）＝a（b+c）+b（a+c）+c（a+b），交换其它的任意的两个字母也和原式相等，∴①正确；根据完全对称式的含义：把a2bc+b2ac+c2ab中任意两个字母交换，如b和c交换得到：a2cb+c2ab+b2ac ＝a2bc+b2ac+c2ab，交换其它的任意的两个字母也和原式相等∴②正确；根据完全对称式的含义：把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac中任意两个字母交换，如b和a交换得到：b2+a2+c2﹣ba﹣ac﹣bc＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，交换其它的任意的两个字母也和原式相等，∴③正确．故选：D．【点睛】本题主要考查对对称式和轮换对称式的理解和掌握，能熟练地根据完全对称式的含义进行判断是解此题的关键．2．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750【点拨】首先将a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170分别展开，即可求得ab+ac＝152 ①，bc+ba＝162 ②，ca+cb＝170 ③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值．【解析】解：∵a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，∴ab+ac＝152 ①，bc+ba＝162 ②，ca+cb＝170 ③，∴①+②+③，并化简，得：ab+bc+ca＝242 ④，④﹣①得：bc＝90，④﹣②得：ca＝80，④﹣③得：ab＝72，∴bc•ca•ab＝90×80×72，即（abc）2＝7202，∵a，b，c均为正数，∴abc＝720．故选：C．【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是将ab，ca，bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解．3．已知3x+y =4y+z=5z+x，则xyz(x+y)(y+z)(x+z)的值为110．【点拨】利用3x+y =4y+z=5z+x=k，得出方程组，解出x，y，z代入求值即可．【解析】解：设3x+y =4y+z=5z+x=k，得{x+y=3ky+z=4kz+x=5k，解得{x=2ky=1kz=3k，所以xyz(x+y)(y+z)(x+z)=2k⋅1k⋅3k(2k+1k)(1k+3k)(2k+3k)=6k360k3=110．故答案为：110．【点睛】本题主要考查了对称式和轮换对称式，解题的关键是用k表示x，y，z的值．4．已知aba+b =2，aca+c=4，cbc+b=3．则a＝245，b＝247c＝24．【点拨】根据aba+b =2可得1a+1b=12，同理求出1b+1c=13，1a+1c=14，三式相加后再分别减去各式即可得到1a 、1b和1c的值，于是a、b和c的值求出．【解析】解：∵aba+b=2，∴1a +1b=12⋯①，同理可知：1a +1c=14⋯②，1 b +1c=13⋯③，①+②+③＝2（1a +1b+1c）=1312，即（1a+1b+1c）=1324⋯④，④﹣①=1c =1324−12=124， 即c ＝24，④﹣②=1b =724， 即b =247， ④﹣③=1a =524， 即a =245， 故答案为245、247、24．【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出1a+1b+1c的值，此题难度不大．5．已知m+9n9m+5n=P Q，P+aQ bP+cQ=m+n 5m−12n，其中a ，b ，c 为常数，使得凡满足第一式的m ，n ，P ，Q ，也满足第二式，则a +b +c ＝ 19 ．【点拨】令P ＝（m +9n ）x ，Q ＝（9m +5n ）x （x ≠0），由P+aQ bP+cQ=m+n 5m−12n可得：m+9n+a(9m+5n)b(m+9n)+c(9m+5n)═(9a+1)m+(5a+9)n (9c+b)m+(9b+5c)n=m+n 5m−12n，解出a 、b 和c 的值即可．【解析】解：令P ＝（m +9n ）x ，Q ＝（9m +5n ）x （x ≠0），又知P+aQbP+cQ=m+n 5m−12n，即m+9n+a(9m+5n)b(m+9n)+c(9m+5n)=(9a+1)m+(5a+9)n (9c+b)m+(9b+5c)n=m+n 5m−12n，解得a ＝2，c =574，b =−1334，即a+b+c＝2−1334+574=−17．故答案为﹣17．【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令P＝（m+9n）x，Q＝（9m+5n）x，此题难度不大．6．已知abc＝1，则关于x的方程x1+a+ab +x1+b+bc+x1+c+ac=2012的解为x＝2012．【点拨】根据abc＝1，可以得到ab=1c，bc=1ab，代入11+a+ab，11+b+bc进行化简，即可求得（11+a+ab+11+b+bc +11+c+ac）的值，从而求解．【解析】解：∵abc＝1，∴ab=1c，bc=1a，∴11+a+ab =11+a+1c=c1+c+ac，11+b+bc =11+b+1a=a1+a+ab，∴11+b+bc =ac1+c+ac，∴关于x的方程x1+a+ab+x1+b+bc+x1+c+ac=2012即（11+a+ab+11+b+bc+11+c+ac）x＝2012，即（c1+c+ac +ac1+c+ac+11+c+ac）x＝2012，1+c+ac1+c+acx＝2012，∴x＝2012．故答案是：x＝2012．【点睛】本题考查了方程的解法，正确求得11+a+ab +11+b+bc+11+c+ac的值是关键．7．已知实数a 、b 、c ，且b ≠0．若实数x 1、x 2、y 1、y 2满足x 12+ax 22＝b ，x 2y 1﹣x 1y 2＝a ，x 1y 1+ax 2y 2＝c ，则y 12+ay 22的值为a 3+c 2b．【点拨】∵x 12+ax 22＝b ①，x 2y 1﹣x 1y 2＝a ②，x 1y 1+ax 2y 2＝c ③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x 1、x 2表示出来，在讲将x 1、x 2的值代入①，通过化简就可以求出结论． 【解析】解：∵x 12+ax 22＝b ①，x 2y 1﹣x 1y 2＝a ②，x 1y 1+ax 2y 2＝c ③． 由②，得 x 2=a+x 1y 2y 1④， 把④代入③，得x 1=cy 1−a 2y 2y 12+ay 22⑤把⑤代入③，得 x 2=ay 1+cy 2y 12+ay 22⑥ 把⑤、⑥代入①，得(cy 1−a 2y 2y 12+ay 22)2+a(ay 1+cy 2y 12+ay 22)2=b ∴(a 3+c 2)y 21+(a 3+c 2)ay 22(y 12+ay 22)=b ，∴（a 3+c 2）（y 12+ay 22）＝b （y 12+ay 22）2 ∴y 12+ay 22=a 3+c 2b． 故答案为：a 3+c 2b【点睛】本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用． 8．已知w 、x 、y 、z 四个数都不等于0，也互不相等，如果w +1x =x +1y =y +1z =z +1w ，那么w 2x 2y 2z 2＝1 ．【点拨】先根据w +1x=x +1y =y +1z =z +1w分别表示出w ﹣x ，x ﹣y ，y ﹣z ，z ﹣w 的值，再把这四个式子进行相乘，即可求出w 2x 2y 2z 2的值． 【解析】解：∵w +1x=x +1y，∴w ﹣x =1y −1x =x−y xy ， 同理可得：x ﹣y =1z −1y =y−z yz ， y ﹣z =z−wzw ， z ﹣w =w−xwx ，∴（w ﹣x ）（x ﹣y ）（y ﹣z ）（z ﹣w ）=x−y xy •y−z yz •z−w zw •w−xwx =(x−y)(y−z)(z−w)(w−x)w x y z∴w 2x 2y 2z 2＝1． 故答案为：1．【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式；解题的关键是通过变形得出（w ﹣x ）（x ﹣y ）（y ﹣z ）（z ﹣w ）=(x−y)(y−z)(z−w)(w−x)w 2x 2y 2z 2．9．已知实数x ，y 满足(x +√x 2−2010)(y +√y 2−2010)−2010=0，则x ＝ ±√2010 ，y ＝ ±√2010 ．【点拨】将等式乘以x−√x 2−2010x−√x 2−2010，然后分子可利用平方差公式进行化简，化简后移项，运用完全平方公式两次化简可得出x 和y 的关系，继而代入可解出答案． 【解析】解：∵(x +√x 2−2010)(y +√y 2−2010)−2010=0，∴(x+√x 2−2010)(x−√x 2−2010)(y+√y 2−2010)x−√x 2−2010=2010，∴2010(y+√y 2−2010)x−√x 2−2010=2010，∴x ﹣y =√y 2−2010+√x 2−2010，两边平方整理得：2010﹣xy =√(y 2−2010)(x 2−2010)， 两边平方整理得：x 2﹣2xy +y 2＝0， 解得：x ＝y ，将x ＝y 代入代入可得：x ＝±√2010，y ＝±√2010． 故答案为：±√2010，±√2010．【点睛】此题涉及了对称式和轮换对称式，难度较大，解答本题的关键是利用平方差公式，完全平方公式进行化简计算．10．设2（3x ﹣2）+3＝y ，2（3y ﹣2）+3＝z ，2（3z ﹣2）+3＝u 且2（3u ﹣2）+3＝x ，则x ＝ 15．【点拨】先化简各式，将各式联立相加，然后分别将y 、z 和u 关于x 的式子代入消去y 、z 和u ，即可求出x 的值．【解析】解：将各式化简得：{6x −1=y(1)6y −1=z(2)6z −1=y(3)6u −1=x(4)，（1）+（2）+（3）+（4）得：x +y +z +u =45⑤，分别将y 、z 和u 关于x 的式子代入⑤中，得：x +6x ﹣1+6（6x ﹣1）﹣1+x+16=45， 解得：x =15．故答案为：15．【点睛】本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关键是将y 、z 和u 关于x 的式子代入消除y 、z 和u ．。
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初中数学竞赛专题选讲（初三.5）
对称式
一、内容提要
一.定义
1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.
例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, y
x 11+， xyz
x z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.
2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.
例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc
c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）(
)111z y x ++， 2
22222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.
二.性质
1.
含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.
2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.
例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，
如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：
m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.
3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.
例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.
4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，
∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xy
y x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和z
y x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （z
y x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题
例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222z
y x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111z
y x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z
1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(z
xy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.
例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.
求代数式 222222222111b
a c a c
b
c b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝2
22)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴
2
22222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3
分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.
例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.
（m, n, p 是待定系数）
令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；
令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；
令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩
⎪⎨⎧===631p n m
∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.
例5. 因式分解：
① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；
② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.
解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.
∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.
∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得
一次齐次的轮换式a+b+c.
用待定系数法：
得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)
比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.
∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).
② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0
∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.
∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.
∴用待定系数法：
可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5
＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.
令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；
令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.
解方程组⎩⎨⎧=+=+480
680n m n m
得⎩
⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).
三、练习
1.
已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.
3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：
① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
4. 计算：（x+y ）
5.
5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.
6. 因式分解：
① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；
② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；
③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；
④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.
7. 已知：abc
c b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.
8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋ab
cb ca c c +--22
. 9. 已知：S ＝2
1（a+b+c ）. 求证：16
)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).
10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x
1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.
参考答案
1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x
2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)
3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz
4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.
5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.
6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=1
7. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解
8. 1
9. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)
10. 选 C。