初中数学竞赛专题选讲《完全平方数和完全平方式》
初中数学竞赛专题选讲《完全平方数和完全平方式》
一、内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.二、例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式△=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5； 由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5. 以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根三、练习1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n－1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)练习题参考答案1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n-b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。
重要公式（欧拉公式）(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f(x)=g(x)q(x)-r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲 完全平方数和完全平方式(含答案)
第十一讲完全平方数和完全平方式趣题引路】一个四位数aabb为平方数，则a+b的值等于（）A.11B.10C.9D.8因为aabb=1000a+100a+10b+b=11（100a+b），由题意可设100a+b=11c2（c是正整数），所以，101<100a+b=11c2<999，9<c2<90.于是，4≤c≤9.经检验，c=8时满足条件，此时a=7，b=4.故a+b=11.选A知识拓展】设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数（或平方数）。
常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关间题等，最常用的性质有：（1）任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；（2）个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；（3）在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；（4）任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；（5）任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；（6）相邻两个整数之积不是完全平方数；（7）如果自然数和不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；（8）偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数。
例1若n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+1是3个完全平方数之和.解析 用式子表示完全平方数，然后讨论该数的特征。
证明 设3n +1=m 2，显然3不整除m ，因此，m =3k +1或m =3k +2（k 是正整数）. 若m =3k +1，则222131)13233m k n k k -+-===+（∴ n +1=3k 2+2k +1=k 2+k 2+（k +1）2. 若m =3k +2，则222132)134133m k n k k -+-===++（.∴ n +1=3k 2+4k +2 =k 2+（k +1）2+（k +1）2. 故n +1是3个完全平方数之和.例2.一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数。
新课标八年级数学竞赛培训第31讲完全平方数和完全平方式
2010 年新课标八年级数学比赛培训第31 讲：完整平方数和完整平方式一、选择题（共 4 小题，每题3 分，满分 12 分）1．（ 3 分）若 x 是自然数，设 432，则（）y ＝x +2x +2x +2x+1A ．y 必定是完整平方数B ．存在有限个，使 y 是完整平方数C ． y 必定不是完整平方数D ．存在无穷多个，使 y 是完整平方数2．（ 3 分）已知 a 和 b 是两个完整平方数，a 的个位数字为 l ，十位数字为 x ；b 的个位数为6，十位数字为 y ，则（ ）A ．x ， y 都是奇数B ． x ， y 都是偶数C ． x 是奇数， y 是偶数D ． x 为偶数， y 为奇数 3．（ 3 分）假如是整数，那么 a 知足（）A ．a ＞ 0 且 a 是完整平方数B ． a ＜ 0，且﹣ a 是完整平方数C ． a ≥ 0 且 a 是完整平方数D ． a ≤0，且﹣ a 是完整平方数4．（ 3 分）设 n 是自然数，假如 n2 的十位数字是 7，那么 n 2的末位数字是（ ）A ．1B ．4C ． 5D ． 6二、填空题（共 8 小题，每题 3 分，满分 24 分）5．（ 3 分）若四位数是一个完整平方数，则这个四位数是．6．（ 3 分）设 m 是一个完整平方数，则比 m 大的最小完整平方数是．7．（ 3 分）设平方数 22的最小值是．y 是 11 个接踵整数的平方和，则 y8．（ 3 分） p 是负整数，且 2001+p 是一个完整平方数，则 p 的最大值为．9．（ 3 分）设自然数 N 是完整平方数， N 起码是 3 位数，它的末 2 位数字不是 00，且去掉此 2 位数字后，剩下的数仍是完整平方数，则 N 的最大值是． 10．（ 3 分）使得 n2﹣19n+95 为完整平方数的自然数 n 的值是．11．（3 分）自然数 n 减去 52 的差以及 n 加上 37 的和都是整数的平方，则 n ＝ ．12．（ 3 分）两个两位数，它们的差是 56，它们的平方数的末两位数字同样，则这两个数分别是．三、解答题（共 12 小题，满分 84 分）13．（ 6 分） n 是正整数， 3n+1 是完整平方数，证明：n+l 是 3 个完整平方数之和．14．（ 6 分）一个正整数，假如加上100 是一个平方数，假如加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．15．（8 分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如 16＝52﹣ 32， 16 就是一个“智慧数”．在正整数中从 1 开始数起，试问第1998 个“智慧数”是哪个数？并请你说明原因．16．（ 9 分）已知：五位数知足以下条件：（1）它的各位数字均不为零；（2）它是一个完整平方数；（3）它的万位上的数字 a 是一个完整平方数，干位和百位上的数字按序构成的两位数以及十位和个位上的数字按序构成的两位数也都是完整平方数．试求出知足上述条件的全部五位数．17．（ 8 分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002 的和都是完整平方数吗？若能够，请举出一例；若不可以够；请说明原因．2n 的个数是多少？18．（ 6 分）使得（ n ﹣19n+91）为完整平方数的自然数19．（ 8 分）已知 a1，a2，，a2002的值都是1 或﹣ 1，设 m 是这 2002 个数的两两乘积之和．（1）求 m 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求 m 的最小正当，并指出能达到最小正当的条件．220．（ 8 分）假如对全部x 的整数值， x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数（即整数的平方），证明：（ 1） 2a，2b， c 都是整数；（ 2） a， b， c 都是整数，而且 c 是平方数；（ 3）反过来，如（ 2）建立，能否对全部x 的整数值， x 的二次三项式2ax +bx+c 的值都是平方数？21（． 7 分）能否存在一个三位数（ a，b，c 取从 1 到 9 的自然数），使得为完整平方数？22．（ 6 分）求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完整平方数．23．（ 6 分）有若干名战士，恰巧构成一个八列长方形行列．若在行列中再增添120 人或从行列中减去120 人后，都能构成一个正方形行列．问原长方形行列共有多少名战士？第 2 页（共 16 页）24．（ 6 分）证明：是一个完整平方数．︸︸个个2010 年新课标八年级数学比赛培训第31 讲：完整平方数和完整平方式参照答案与试题分析一、选择题（共 4 小题，每题 3 分，满分 12 分）1．（ 3 分）若 x 是自然数，设4 3 2，则（）y＝x +2x +2x +2x+1A ．y 必定是完整平方数B ．存在有限个，使y 是完整平方数C． y 必定不是完整平方数D ．存在无穷多个，使y 是完整平方数【剖析】因为 x 是自然数，那么0 也属于自然数．而后依据4 3 2y＝x +2x +2 x +2x+1 ，议论 y是不是完整平方数．【解答】解：当 x＝ 0 时， y＝ 1． y 是完整平方数．当 x 为大于4 3 2 4 2 3 20 的自然数时． x +2 x +2x ＜ y＜ x +x +1+2 x +2x +2x．2 2 2 2． y 必定不是完整平方数．故（ x +x）＜ y＜（ x +x+1 ）故存在有限个，使y 是完整平方数．应选： B．【评论】本题考察了完整平方数的观点和自然数的知识．属于简单的题目．2．（ 3 分）已知a 和 b 是两个完整平方数， a 的个位数字为l ，十位数字为x； b 的个位数为6，十位数字为 y，则（）A ．x， y 都是奇数B． x， y 都是偶数C． x 是奇数， y 是偶数D． x 为偶数， y 为奇数【剖析】 a 的个位数字为1，十位数字为x，则 x 为偶数，而 b 的个位数为6，十位数字为 y， y 为奇数，进而得出答案．【解答】解：∵ a 的个位数字为1，十位数字为 x，∴ x 为偶数，∵b 的个位数为 6，十位数字为 y，∴ y 为奇数，应选： D ．【评论】本题考察了完整平方数的性质，是一道比赛题，难度中等．3．（ 3 分）假如是整数，那么 a 知足（）A ．a＞ 0 且 a 是完整平方数B． a＜ 0，且﹣ a 是完整平方数C ． a ≥ 0 且 a 是完整平方数D ． a ≤0，且﹣ a 是完整平方数【剖析】是整数，则﹣ a 是一个完整平方数，据此即可作出判断．【解答】 解：假如是整数，则﹣ a 是一个完整平方数，则﹣a ≥ 0．故 a ≤0，且﹣ a 是完整平方数．应选： D ．【评论】 本题主要考察了完整平方数，以及二次根式存心义的条件，正确理解完整平方数的意义是解题的要点．4．（ 3 分）设 n 是自然数，假如 n2 的十位数字是 7，那么 n 2 的末位数字是（ ）A ．1B ．4C ． 5D ． 62222是 【剖析】 设自然数 n 的末两位数字为 10a+b ，则（ 10a+b ） ＝ a × 10 +2ab × 10+b .2ab 偶数，要使十位数字是7，则 b 2的十位数字一定是奇数，而使一位数b 2的十位数字是奇数的，只有 4 或 6．可知 n 2的末位数字是 6．【解答】 解：设自然数 n 的末两位数字为 10a+b （此中 a 为 1～ 9 之间的正整数， b 为 0～ 9 之间的正整数） ，2222． ∵（ 10a+b ） ＝a × 10 +2ab × 10+b而 2ab 是偶数，∴ b 2的十位数字一定是奇数，∴ b ＝4 或 6．∵ 42＝ 16， 62＝ 36．∴ n 2的末位数字是6．应选： D ．【评论】 本题考察了尾数特色和完整平方公式，由n 2的十位数字是 7，得出 n 的末位数字是 4 或 6 是解题的要点．二、填空题（共 8 小题，每题3 分，满分 24 分）5．（ 3 分）若四位数是一个完整平方数，则这个四位数是7744．【剖析】 由 xxyy 这个数的特色可知这个数能被11 整除，又它是完整平方数所以能被11的平方 121 整除．又它是 4 位数且为完整平方数， 所以此数应为121 与 9 16 25 36 49 64 81的乘积的一种．分别计算可知此数应为121 与 64 的乘积，为 7744．其余乘积均不可以．【解答】 解：∵四位数是一个完整平方数，则11（ 100x+y ）是一个完整平方数，则 100x+y 能被 11 整除，∵ 100x+y ＝ 99x+（ x+y ），∴ x+y 能被 11 整除，而 1≤ x+y ≤ 18，∴只有 x+y ＝ 11，经查验 x ＝ 7， y ＝ 4，故这个四位数为 7744．故答案为： 7744．【评论】 本题考察了完整平方数的性质，以及数的整除问题，是要点又是难点，要娴熟掌握．6．（ 3 分）设 m 是一个完整平方数，则比 m 大的最小完整平方数是 （2 ．1）【剖析】由 m 是一个完整平方数， 得 m 是 的平方数，则比大且最小的整数是1，进而得出它的平方．【解答】 解：∵ m 是一个完整平方数， ∴ m 是 的平方数，∴比大且最小的整数是1，它的平方是（1）2．故答案为：（1）2．【评论】 本题考察了一个数的完整平方数，以及完整均匀数的性质，要娴熟掌握．7．（ 3 分）设平方数 22的最小值是121 ．y 是 11 个接踵整数的平方和，则 y【剖析】 设这 11 个数分别为： x ﹣ 5， x ﹣4， x ﹣ 3， ， x+4， x+5．列出方程，议论 y 的最小值．【解答】 解：设 11 个数分别为： x ﹣ 5，x ﹣ 4， x ﹣ 3， ， x+4， x+5．则这 11 个接踵整数的平方和为（ x ﹣2 2 2225） +（ x ﹣4） + +x + +（ x+4 ） +（x+5 ） ＝ 1122（ x +10 ）＝ y ，因为 y 2 是平方数，则当 y 2 最小时， x 2＝ 1， y 2＝ 121，则 y 2的最小值是121．故答案为： 121．【评论】 本题考察了完整平方数的应用，依据题意列出适合的方程是解题要点．8．（ 3 分） p 是负整数，且 2001+p 是一个完整平方数，则p 的最大值为 ﹣ 65 ．【剖析】 依据 p 是负整数， 且 2001+p 是一个完整平方数，可知 2001+p 是小于 2001 的完全平方数， 因为小于 2001 的最大完整平方数是442，则有方程 2001+p ＝ 442，求解即可．则有 442≤ 2001+p ＜ 452，∴ 2001+p ＝ 442＝1936 ，∴ p ＝﹣ 65．故答案为：﹣ 65．【评论】 本题考察完整平方数的知识，难度较大，要点是找到小于2001 的最大的完整平方数．9．（ 3 分）设自然数 N 是完整平方数， N 起码是 3 位数，它的末 2 位数字不是 00，且去掉此 2 位数字后，剩下的数仍是完整平方数，则N 的最大值是 1681 ．22【剖析】 依据题意，设 N ＝ x （ x 为自然数），去掉此两位数字后获得整数 m ， m ＝ k （ k为自然数），而后依据此中关系求解 N ．【解答】 解：设 N ＝ x 2（ x 为自然数），N 的末两位数字构成整数y ，去掉此两位数字后得22 222到整数 m ， m ＝ k （ k 为自然数），则 1≤ y ≤ 99， x ＝ 100k +y ， y ＝x ﹣ 100k ＝（ x+10k ）（ x ﹣ 10k ）．令 x+10k ＝ a ， x ﹣ 10k ＝ b ，则 b ≥ 1， k ≥ 1， x ＝ 10k+b ≥ 11， a ＝ x+10k ≥ 21．若 k ≥ 4，则 x ＝ 10k+b ≥ 41，a ＝ x+10k ≥ 81，惟有 b ＝ 1， k ＝ 4， x ＝ 41，a ＝ 81， y ＝81， m ＝ 16，N ＝ 1681．明显当 k ≤ 3 时， x ≤ 40．故 N ＝ 1681 为所求最大值．【评论】 本题考察了完整平方数的应用．做本题时要合理设未知数，而后依据题意求解结果．10．（ 3 分）使得 n 2﹣19n+95 为完整平方数的自然数n 的值是 5 或 14 ．【剖析】 先议论 n ＝ 1， 2， 3， 4，时的状况，而后议论 n ≥ 5 时的状况，运用夹逼法确立2n ﹣ 19n+95 的范围，进而得出 n 的可能值．【解答】 解： ① 当 n ＝ 1，2， 3， 4 时明显不切合题意；② 当 n ≥5 时，（ n ﹣ 10） 2≤ n 2﹣ 19n+95≤ n 2，22 2 2∴（ 1） n ﹣ 19n+95 ＝（ n ﹣ 10） ? n ＝ 5；（ 2） n ﹣19n+95 ＝（ n ﹣ 9） ? n ＝ 14，只有这两种状况切合题意，故 n 可取 5 或 14．故答案为： 5 或 14．的运用．11．（3 分）自然数 n 减去 52 的差以及 n 加上 37 的和都是整数的平方，则 n ＝ 1988 ．【剖析】 设 n ﹣ 59＝a 2， n+30＝ b 2，则存在 a 2﹣ b 2＝﹣ 89＝﹣ 1× 89，依据奇偶性同样即可求得 a 、 b 的值，即可求得n 的值．【解答】 解：设 n ﹣ 52＝a 2， n+37 ＝b 2，则 a 2﹣ b 2＝﹣ 89＝﹣ 1× 89，即（ a+b ）（ a ﹣ b ）＝﹣ 1×89．且 a+b 与 a ﹣b 的奇偶性同样，故 a+b ＝89， a ﹣b ＝﹣ 1，于是 a ＝ 44， b ＝ 45，进而 n ＝ 1988．故答案为： 1988．【评论】 本题考察了完整平方数的应用，考察了因式分解法求值的应用，考察了奇偶性的判断．12．（ 3 分）两个两位数，它们的差是 56，它们的平方数的末两位数字同样，则这两个数分别是 78 和 22 ．【剖析】 依据两位数的差是56 列出 x ﹣ y ＝ 56，依据两位数的平方数的末两位数字同样，获得 x 2﹣y 2＝ m × 100（ m 为正整数），解方程组，推出 m 的值，进而求出 y 的值．【解答】 解：∵ x ﹣ y ＝ 56，x 2﹣ y 2＝ m × 100（m 为正整数），消去 x ，得 112y ＝ 100m ﹣ 3136， y28，∵ y 是一个两位数且 m ＜ 100，∴ m ＝ 56 或 84， ∴ y ＝ 22 或 47．当 y ＝ 22 时， x ＝ 78；当 y ＝ 47 时， x ＝ 103（舍去）．故答案为： 22，78．【评论】 本题考察了尾数的特色，依据两平方数的末两位数字同样得出x 2﹣y 2＝ m ×100（ m 为正整数），是解题的要点．三、解答题（共 12 小题，满分 84 分）13．（ 6 分） n 是正整数， 3n+1 是完整平方数，证明： n+l 是 3 个完整平方数之和．2第 8 页（共 16 页）的值，代入 n+1 经变形即可证为 3 个完整平方数之和．【解答】 证明：设 3n+1 ＝m 2，则 m ＝ 3k+1 或 m ＝ 3k+2（ k 是正整数）．若 m ＝ 3k+1 ，则．2222∴ n+1＝3k +2 k+1＝k +k +（ k+1 ） ．若 m ＝ 3k+2 ，则2 2 2 2 ．∴ n+1＝3k +4 k+2＝k +（ k+1） +（ k+1） 故 n+1 是 3 个完整平方数之和．【评论】 本题考察了完整平方数的应用，要点是对 n 的取值的议论，比较麻烦，同学们应要点掌握．14．（ 6 分）一个正整数，假如加上 100 是一个平方数，假如加上 168，则是另一个平方数，求这个正整数．【剖析】 所求正整数为 x ，引入参数 m 和 n 分别表示这两个完整平方数，而后利用奇偶 性剖析求解．【解答】 解：设所求正整数为 x ，2则： x+100＝ m ① ；2x+168 ＝n ② ；此中 m ， n 都是正整数， ② ﹣ ① 得 n 2﹣ m 2＝ 68，即（ n ﹣ m ）（ n+m ）＝ 22×17③ ；因 n ﹣m ， n+m 拥有同样的奇偶性，由 ③ 知 n ﹣m ， n+m 都是偶数．注意到 0＜ n ﹣ m ＜ n+m ，由 ③ 可得．解得 n ＝ 18．代入 ② 得 x ＝ 156，即为所求．【评论】 本题考察完整平方数的知识，难度较大，本题的难点在于引入参数，利用奇偶剖析求解．15．（8 分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如 16＝52﹣ 32， 16 就是一个“智慧数” ．在正整数中从 1 开始数起，试问第1998 个“智慧数”是哪个数？并请你说明原因．【剖析】假如一个数是智慧数， 就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别 m 、n ，设 m ＞ n ，即智慧数＝ m 2﹣ n 2＝（ m+n ）（ m ﹣n ），因为 m ，n 是正整数，因此m+n 和 m ﹣n 就是两个自然数． 要判断一个数是不是智慧数， 能够把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数可否写成两个正整数的和与差．【解答】 解： 1 不可以表示为两个正整数的平方差，所以 1 不是“智慧数” ．关于大于 1 的奇正整数 2k+1，有 2k+1 ＝（ k+1 ）2﹣k 2（ k ＝ 1，2， ）．所以大于 1 的奇正整数都是 “智慧数”．关于被 4 整除的偶数 4k ，有 4k ＝（ k+1） 2﹣（ k ﹣1） 2（ k ＝ 2， 3， ）．即大于 4 的被 4 整除的数都是“智慧数” ，而 4 不可以表示为两个正整数平方差，所以 4 不 是“智慧数” ．关于被 4 除余 2 的数 4k+2（ k ＝ 0， 1，2， 3， ），设 224k+2＝ x ﹣ y ＝（ x+y ）（ x ﹣ y ），其中 x ， y 为正整数，当 x ， y 奇偶性同样时， （ x+y ）（ x ﹣ y ）被 4 整除，而 4k+2 不被 4 整除；当 x ， y 奇偶性相异时， （ x+y ）（ x ﹣ y ）为奇数，而 4k+2 为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x ， y 使得 x 2﹣ y 2＝ 4k+2．即形如 4k+2 的数均不为“智慧数” ．所以，在正整数列中前四个正整数只有 3 为“智慧数”，今后，每连续四个数中有三个 “智慧数”．因为 1998＝（ 1+3 ×665）+2，4×（ 665+1）＝ 2664，所以 2664 是第 1996 个“智慧数” ，2665 是第 1997 个“智慧数” ，注意到 2666 不是“智慧数” ，所以 2667 是第 1998 个“智慧数” ，即第 1998 个“智慧数”是2667 ．【评论】 本题主要考察了平方差公式，有必定的难度，主假如对题中新定义的理解与掌握．16．（ 9 分）已知：五位数知足以下条件：（ 1）它的各位数字均不为零；（ 2）它是一个完整平方数；（ 3）它的万位上的数字 a 是一个完整平方数， 干位和百位上的数字按序构成的两位数以及十位和个位上的数字按序构成的两位数 也都是完整平方数．试求出知足上述条件的全部五位数．【剖析】 设2（两位数），（两位数），，且 a ＝ m （一位数），22422 2则 M ＝ m × 10 +n × 10 +t ①2 2 2 2 4 2 2② ，比较式 ① 、式 ② 得 由式 ① 知 M ＝（m × 10 +t ） ＝m × 10 +2 mt × 10 +t 后议论即可得出答案．【解答】 解：设2（两位数），，且 a ＝ m （一位数），22 4 2 2 2 数），则 M ＝ m × 10 +n ×10 +t ①2222422 由式 ① 知 M ＝（ m × 10 +t ） ＝ m × 10 +2mt × 10 +t ②比较式 ① 、式 ② 得 n 2＝ 2mt ．n 2＝ 2mt ．然（两位因为 n 2 是 2 的倍数，故 n 也是 2 的倍数，所以， n 2是 4 的倍数，且是完整平方数．故 n 2＝ 16 或 36 或 64．当 n 2＝ 16 时，得 mt ＝ 8，则 m ＝l ， 2， 4， 8， t ＝8， 4， 2，1，后二解不合条件，舍去；故 M 2＝ 11664 或 41616．当 n 2＝ 36 时，得 mt ＝ 18．则 m ＝ 2， 3，1， t ＝9， 6， 18．最后一解不合条件，舍去．故 M 2＝ 43681 或 93636．当 n 2＝ 64 时，得 mt ＝ 32．则 m ＝ 1， 2，4， 8， t ＝ 32， 16， 8，4 都不合条件，舍去．所以，知足条件的五位数只有4 个： 11664， 41616， 43681， 93636．【评论】本题考察了完整平方数， 难度较大， 要点是设2，且 a ＝ m （一位数），（两位数），（两位数），而后表示出M 2的形式．17．（ 8 分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与 2002 的和都是完整平方数吗？若能够，请举出一例；若不可以够；请说明原因．【剖析】依据偶数的平方和为偶数， 奇数得平方和为奇数， 即可议论这四个数的奇偶性， 再议论三个奇数的性质， 即可求得此中结论矛盾， 即可求得不可以找到这样的四个正整数， 使得它们中任两个数的积与2002 的和都是完整平方数，即可解题．【解答】 解：偶数的平方能被 4 整除，奇数的平方被4 除余 1，即正整数的平方被 4 除余0 或 1．2若存在正整数知足n i n j +2002＝ m ； i ， j ＝ 1， 2， 3， 4， n 是正整数；∵ 2002 被 4 除余 2，∴ n i n j 被 4 除应余 2 或 3．（ 1）若正整数 n 1， n 2， n 3，n 4 中有两个是偶数，设 n 1， n 2 是偶数，则n 1n 2+2002 被 4 除余 2，与正整数的平方被 4 除余 0 或 1 不符，故正整数 n 1， n 2，n 3， n 4 中至多有一个是偶数，起码有三个是奇数．（ 2）在这三个奇数中，被 4 除的余数可分为余 1 或 3 两类，依据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被 4 除余 1，与 n i n j被 4 除余 2 或 3 的结论矛盾．综上所述，不可以找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002 的和都是完整平方数．【评论】本题考察了奇数、偶数的性质，考察了完整平方数的性质，本题中议论四个数的奇偶性是解题的要点．2﹣19n+91）为完整平方数的自然数n 的个数是多少？18．（ 6 分）使得（ n2 2 2﹣【剖析】依据 n ﹣19n+91 ＝（ n﹣ 9） +（ 10﹣ n），可分两种状况：①当 n＞ 10 时（ n219n+91）不会成为完整平方数；②当 n≤ 10 时，（ n ﹣ 19n+91）才是完整平方数；进而得出 n 的值为 9 或 10．【解答】解：若（ n 2﹣ 19n+91 ）处在两个相邻整数的完整平方数之间，则它的取值便固定了．2 2∵ n ﹣ 19n+91 ＝（ n﹣ 9）+（ 10﹣ n）当n＞10 时，（ n﹣ 10）2＜n2﹣ 19n+91＜（ n﹣ 9）22∴当 n＞ 10 时（ n ﹣ 19n+91）不会成为完整平方数2∴当 n≤ 10 时，（ n ﹣ 19n+91）才是完整平方数2经试算， n＝ 9 和 n＝ 10 时， n ﹣ 19n+91 是完整平方数．【评论】本题考察了完整平方数的应用，是要点内容，要掌握．19．（ 8 分）已知 a1，a2，，a2002的值都是1 或﹣ 1，设 m 是这 2002 个数的两两乘积之和．（1）求 m 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求 m 的最小正当，并指出能达到最小正当的条件．【分析】（ 1 ）由于（ a1+a2+ +a2002）2 2 2 2＝ 2002+2m ，可得＝ a1 +a2 + +a2002 +2mm ． a1+a2+ +a2002＝ 2002 时， m 有最大值， a1+a2+ +a2002＝ 0 时， m 有最小值，最大值应为2003001，最小值应为 57．（ 2）找到最小的比2002 大的偶数完整平方数，即当这2002 个数中有1024 个 1，978 个﹣ 1 时，或许有 978 个 1，1024 个﹣ 1 时获得最小正当．2 2 2 2【解答】解：（ 1）（ a1+a2+ +a2002）＝ a1 +a2 + +a2002 +2m＝ 2002+2m，m．当 a 1＝ a 2＝ ＝ a 2002＝ 1 或﹣ 1 时， m 取最大值 2003001．当 a 1， a 2， a 2002 中恰有 1001 个 1， 1001 个﹣ 1 时， m 取最小值﹣ 1001 ．（ 2）因为大于 2002 的最小完整平方数为 452＝2025 ，且 a 1+a 2+ +a 2002 必为偶数，所以，当 a 1+a 2+ +a 2002＝ 46 或﹣ 46；即 a 1， a 2， a 2002 中恰有 1024 个 1， 978 个﹣ 1 或恰有 1024 个﹣ 1， 978 个 1 时，m 取最小值 ．【评论】 本题考察了完整平方数和多项式的乘法，解题的要点是将由（a 1+a 2+ +a 2002）22 2 2，有必定的难＝ a 1 +a 2 + +a 2002 +2m ＝ 2002+2m ，获得 m度．220．（ 8 分）假如对全部 x 的整数值， x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数（即整数的平方），证明：（ 1） 2a ，2b ， c 都是整数；（ 2） a ， b ， c 都是整数，而且 c 是平方数；2（ 3）反过来，如（ 2）建立，能否对全部x 的整数值， x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数？【剖析】（ 1）分别令 x ＝ 0， x ＝ 1，x ＝﹣ 1 而后辈入二次三项式，可得出 2a ， 2b ， c 都是整数．（ 2）分别令令 x ＝ 2， x ＝﹣ 2，代入二次三项式，而后利用奇偶性可分别得出结论．（ 3）令 x ＝ 1， a ＝ 1， b ＝1， c ＝ 1 代入即可作出判断．2【解答】 证明：（ 1）∵对全部 x 的整数值， x 的二次三项式ax +bx+c 的值都是平方数，2∴令 x ＝0， a?0 +b?0+c ＝ c ，c 是整数且是平方数，令 x ＝ 1，﹣ 1 时 a?1 22 +b?1+c ，a?（ ﹣ 1） +b?（ ﹣ 1） +c 是平方数，2222∴可设 a?1 +b?1+c ＝ m 1 ① a?（ ﹣ 1） +b?（ ﹣ 1）+c ＝ n 1② c ＝ k 12（ m 1n 1k 1 均为整数），① ﹣ ② 得： 2b ＝ m 12﹣ n 12，∴ 2b 为整数（整数相减为依旧为整数） ，第 13 页（共 16 页）∴ 2a 为整数，∴ 2a ，2b ， c 都是整数；（ 2）（1）中已证 c 是整数且是平方数，22 2 2 2令 x ＝ 2，﹣ 2 时，可设 a?2 +b?2+ c ＝m 2 ③ a?（ ﹣ 2） +b?（ ﹣ 2）+c ＝n 2 ④ c ＝ k 1 （ m 2n 2k 1均为整数），22③ ﹣ ④ 得： 4b ＝ m 2 ﹣ n 2 ＝（ m 2+n 2）（ m 2﹣ n 2）＝ 2（ 2b ），∴ 2（ 2b ）为偶数，则 m 22﹣ n 22为偶数，∴（ m 2+n 2），（m 2﹣ n 2）同奇同偶，则可设（ m 2+n 2）＝ 2m ，（ m 2﹣ n 2）＝ 2n （ m ， n 均为整数），∴ 4b ＝2m?2n ＝ 4mn ，∴ b ＝mn ，∴ b 为整数；（ 3）令 x ＝ 1， a ＝ 1， b ＝1， c ＝ 1，则 ax 2+bx+c ＝3，而 3 不是平方数．∴不必定建立．【评论】 本题考察完整平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特别值法．21（． 7 分）能否存在一个三位数 （ a ，b ，c 取从 1 到 9 的自然数），使得为完整平方数？【剖析】 假定存在， 那么三数之和可写成111（ a+b+c ），因为 111（ a+b+c ）完整平方数，而 111＝ 3× 37，且 3、37 是质数， 故可知 a+b+c 中必有因数 3 和 37，又 0≤ a+b+c ≤ 27，说明 a+b+c 中不含因数 37，进而不是完整平方数， 这样的三位数不存在．【解答】 解：假定存在，依据题意得100a+10b+c+100b+10c+a+100 c+10a+b ＝ 111（ a+b+c ），∵ 111＝ 3× 37，而 3、37 是质数，∴ a+b+c 的和中必有因数 3 和 37，又 a ，b ， c 取从 1 到 9 的自然数，∴ 0≤ a+b+c ≤ 27，∴ a+b+c 中不含因数 37，∴不是完整平方数．故这样的三位数不存在．【评论】 本题考察的是完整平方数、质数、不等式的相关知识． 22．（ 6 分）求证：四个连续自然数的积加l ，其和必为完整平方数．【剖析】可设最小的自然数为 n ，则四个连续自然数的积加 l ，能够写成 n ×（ n+1）×（n+2 ）2 2）+1 ×（ n+3）+1，再转变为 [n ×（ n+3）] ×[ （ n+1）×（ n+2）]+1 ＝（ n +3n ）（ n +3n+2 2222 2＝（ n +3n ） +2 （n +3n ） +1＝（ n +3 n+1） ．进而得以证明． 【解答】 证明：设最小的自然数为n ，则有n ×（ n+1）×（ n+2 ）×（ n+3） +1＝ [n ×（ n+3） ] × [（ n+1）×（ n+2） ]+12 2＝（ n +3n ）（ n +3n+2 ） +12 22＝（ n +3n ） +2 （n +3n ） +1 22． ＝（ n +3n+1）故四个连续自然数的积加l ，其和必为完整平方数．【评论】 本题考察了完整平方式，解题的要点是将 n ×（ n+1）×（ n+2）×（ n+3）首尾相乘，整体思想将使式子转变为完整平方式．23．（ 6 分）有若干名战士，恰巧构成一个八列长方形行列．若在行列中再增添120 人或从行列中减去 120 人后，都能构成一个正方形行列．问原长方形行列共有多少名战士？【剖析】 可设原有战士 8n 人， 8n+120 ＝a 2， 8n ﹣ 120＝ b 2，则存在 a 2﹣ b 2＝ 240，依据奇偶性同样，即可求得a 、b 的值，进一步求得 n 的值．【解答】 解：设原有战士 8n 人， 8n+120＝ a 2， 8n ﹣ 120＝ b 2，则存在 a 2﹣ b 2＝ 240，即（ a+b ）（ a ﹣ b ）＝ 240．但 a+b 与 a ﹣ b 的奇偶性同样，且 a 、b 都为偶数，故 a+b ＝120， a ﹣b ＝ 2，于是 a ＝ 61， b ＝ 59（不合题意舍去） ；a+b ＝ 60， a ﹣ b ＝4，于是 a ＝ 32， b ＝ 28，则 8x ＝ 904．因为 904﹣ 120＝ 784， 784 为 28的平方，即 28 行 28 列，与题意不符，即不是在原8 列的方阵中减去 120，而是减去 120再排成行列，所以904 不符条件，应舍去；a+b ＝ 40， a ﹣ b ＝6，于是 a ＝ 23， b ＝ 17（不合题意舍去） ；a+b＝ 30， a﹣ b＝8，于是 a＝ 19， b＝ 11（不合题意舍去）；a+b＝ 24， a﹣ b＝10，于是 a＝ 17，b＝ 7（不合题意舍去）；a+b＝ 20， a﹣ b＝12，于是 a＝ 16，b＝ 4，则 8x＝ 136；a+b＝ 16， a﹣ b＝15，于是 a＝ 15.5， b＝ 0.5（不合题意舍去）．故原长方形行列共有136 名战士．【评论】本题考察了完整平方数在实质生活中的应用，考察了因式分解法求值的应用，考察了奇偶性的判断．24．（ 6 分）证明：︸是一个完整平方数．︸个个【剖析】先将︸各个数位上不一样的数字用科学记数法表示，再将它们配为︸个个完整平方式即可．2n+2 n n+2 n+1 【解答】解：原式＝ 3× 10 +（ 10 ﹣ 1）× 10 +6× 10 +1＝3× 102n+2+102n+2﹣10n+2+6×10n+1+1＝4× 102n+2﹣ 4×10n+1+1＝（ 2× 10n+1﹣ 1）2．故是一个完整平方数．︸︸个个【评论】本题考察了完整平方数，难度较大，解题要点是将各个数位上不一样的数字用科学记数法表示，注意中 99 9（n 个 9） 00 0（ n+2 个 0）可写成（ 10n︸︸个个﹣ 1）× 10n+2．。
初中数学竞赛5：完全平方数
【分析】
根据a分类讨论，-a为正数，0，负数可判断①；根据多项式项数与次数定义可判断②；根据绝对值化简与分类讨论可判断③，根据非负数性质可判断④；根据非负数和为零，每个非负数为零可判断⑤
【详解】
解：当a＞0时，-a表示负数，当a=0时，-a表示0，当a＜0时，-a表示正数，故①不正确；
②多项式x2﹣x﹣1是二次三项式，而不是三次三项式，故②不正确；
＝6ab+2b2+2a2+4a﹣8b2﹣8ab+16+3a2+6b2﹣4ab﹣5a2+4b，
＝﹣6ab+4a+4b+16；
∵（a+b﹣3）2+（ab+4）2＝0．且（a+b﹣3）2≥0，（ab+4）2≥0，
∴a+b＝3，ab＝﹣4；
∴原式＝﹣6ab+4（a+b）+16，
＝﹣6×（﹣4）+4×3+16，
25．是否存在两个自然数a，b，使得 和 同时为完全平方数．
26．已知m，n都是自然数，且 ．
（1）求证：自然数 一定可以表示为4个自然数的平方和；
（2）把689表示成4个不同的自然数的平方和．
27．已知m，n均为正整数，且 ．问 是否为完全平方数？并证明你的结论．
28．求出所有不超过 的这样正整数，它的平方的末两位数字相同，但不是零．
＝52．
【点睛】
本题考查整式加减化简求值，偶次方非负数性质，掌握整式加减化简求值，偶次方非负数性质是解题关键．
13．3
【详解】
解：首先，注意到6，19，30这三个数满足： ， ， ，故这3个数必须分别属于3个不同的组，所以 ．
初二完全平方数讲解
初二完全平方数讲解完全平方数是指一个正整数可以被一个正整数平方后得到的数，常见的完全平方数有1、4、9、16、25、36、49等。
在《九章算术》中就有关于完全平方的讲解，当今学校的数学教材中也有关于完全平方的介绍。
在初二的数学教学中，完全平方这个概念很重要。
它可以帮助学生们更深入地理解数学的定义和表达，例如数学表达式中的分母或分子可以用完全平方数表示。
学生们还可以学习如何用完全平方数分解数及求平方根。
首先，学生们要学会如何判断一个数是否为完全平方数。
最简单的方法是判断这个数是否可以表示成一个整数的平方形式，例如9=3^2，所以9是完全平方数。
另一种方法是用一个算法，来判断一个正整数n是否为完全平方数，它的原理是：如果n=a^2，则a=√n，化简后得到：a^2-n=0，即为一个二次方程，求解这个二次方程，如果只有一个实数解，则n就是完全平方数。
其次，学生们要学习如何分解完全平方数，也就是将一个完全平方数分解为两个数的乘积，常用的分解完全平方数的方法如下：t1.完全平方数分解为正整数的乘积：n=a*b，其中a、b均为正整数。
t2. 使用数学公式：n=a^2*b^2，其中a、b均为正整数。
t3.完全平方数分解为两个完全平方数的乘积，例如：n=a^2*b^2，其中a、b均为完全平方数。
最后，学生们要学习如何用完全平方数计算乘法，这样可以让学生们更快地理解乘法的定义。
我们可以将乘法表示为完全平方数的乘积，例如：a*b=a^2*b^2/2。
显然，这种方法可以极大地减少学生们计算乘法的负担。
以上就是完全平方数的相关知识，希望学生们能从中获益，获得更多的知识。
学习完全平方数，能让学生们更加深入地理解数学的概念，让学生们在学习数学的同时，能得到更多的乐趣。
竞赛课 公开课课件完全平方公式
= =
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
总结
这节课我们还学会了什么？
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两 个括号，就用____完___全__平__方__公___式_ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？ 添括号，把三项变成两项．
练习 运用完全平方公式计算：
补充题 答案：3
例题
运用完全平方公式计算 ：
练习
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
添括号法则 之前我们学习过去括号法则
反过来，可以得到添括号法则
归纳
添括号时， 括号前是正号时，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
例题 运用乘法公式计算：
这个符合完全平方公式还是平方差公式 ？只有一个括号，只能是完全平方公 式先变形 再化简
归纳
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________， 两个括号，就用__完__全___平__方__公__式____ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？
添括号，把三项变成两项．
练习
Байду номын сангаас
1．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验．
（1）a+b-c=a+（
）
（2）a-b-c=a-（
）
（3）a+b-c=a-（
）
（4）a+b+c=a-（
）
练习 2．运用乘法公式计算：
（2）（2x+y+z）（2x-y-z）
(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。
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初中数学竞赛专题选讲
完全平方数和完全平方式
一、内容提要
一定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，25
4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.
二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.
2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..
若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
三. 完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；
如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.
四. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b ）2 中
当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.
五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中
① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；
② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.
2. 在整系数方程x 2+px+q=0中
① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；
② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
二、例题
例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.
那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2
＝5（m 2+2）.
∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9
∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1
∴m 2+2不能被5整除.
而5（m 2+2）能被5整除，
即S 能被5整除，但不能被25整除.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.
例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？
解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得
当且仅当⎩⎨⎧>-0
10m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.
解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.
解不等式 m －1>0 ， 得m>1.
即⎩
⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.
答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.
例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.
求证： a=b=c.
证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得
原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc
∵它是完全平方式，
∴△＝0.
即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.
∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,
(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.
要使等式成立，必须且只需：
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a
解这个方程组，得a=b=c.
例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.
解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.
可设△= m 2 (m 为整数)，
即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，
解得，k=4
252
m -. ∵ k 是非负整数，
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数
是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；
由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.
以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4
252
m -. 求得k= 6, 4, 0.
答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解
例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.
证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.
∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.
设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).
由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，
下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.
当k 为偶数，m 为奇数时，
左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；
右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.
∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，
左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3
右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1
∴等式也不能成立.
综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.
∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.
∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根
三、练习
1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.
2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4
的余数是＿＿.
3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.
4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？
5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.
（1990年全国初中数学联赛题）
6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？
7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？
8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？
9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.
10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.
11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.
12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.
13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.
14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+2
1(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)
练习题参考答案
1. 1，2，5，6，7，0
2. 0，3，3
3. 0
4. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除
5. 5。
因为平方数的个位数是
（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1） 即个位数为5×8＋5
6. 3，5
7. 12，10，6
8. a=b,a=c 且c>b
9. 都不是
10. 1987． ∵⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2213838B
x A x A 2－B 2＝176＝2×2×2×2×11 ⎩⎨⎧=-=+B A B A …… 11. 7744（882）. ∵b a aabb 011⨯=是平方数， a+b 是11的倍数
∴可从⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==9
256473829b a b a b a b a b a 中检验，得出答案. 12 用反证法，设2n －1=A 2,A 必是奇数， 设A ＝2k+1……
13 ⎩⎨⎧==612b a ⎩⎨⎧-=-=6
12b a 14 ⎩
⎨⎧==31b a x 1=1, x 2=2。