初中数学竞赛专题选讲 一元二次方程的根(含答案)
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初中数学竞赛专题选讲(初三.1)
一元二次方程的根
一 、内容提要
1.一元二次方程
ax 2
+bx+c=0(a ≠0)的实数根,是由它的系数a, b, c 的值确定的.
根公式是:x=a
ac
b b 242-±-. (b 2-4a
c ≥0)
2.根的判别式
①实系数方程
ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是:
b 2-4a
c ≥0.
②有理系数方程
ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是:
b 2-4a
c 是完全平方式⇔方程有有理数根.
③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2-4q 是整数的平方数.
3.设
x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根,那么
①ax 12
+bx 1+c=0 (a ≠0,b 2-4ac ≥0), ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0, b 2-4ac ≥0);
②x 1=a ac b b 242-+-, x 2=a
ac b b 242--- (a ≠0, b 2-4ac ≥0);
③
韦达定理:x 1+x 2= a b -
, x 1x 2=
a
c
(a ≠0, b 2-4ac ≥0). 4.方程整数根的其他条件
整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是:x 1是c 的因数. 特殊的例子有:
C=0⇔x 1=0 , a+b+c=0⇔x 1=1 , a -b+c=0⇔x 1=-1. 二、例题
例1.已知:a,
b, c 是实数,且a=b+c+1.
求证:两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等
的实数根.
证明 (用反证法)
设 两个方程都没有两个不相等的实数根,
那么△1≤0和△2≤0.
即⎪⎩
⎪
⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①-1040412c b a c a b 由①得b ≥41,b+1 ≥45代入③,得
a -c=b+1≥4
5
, 4c ≤4a -5 ④
②+④:a 2-4a+5≤0,
即(a -2)2+1≤0,这是不能成立的.
既然△1≤0和△2≤0不能成立的,那么必有一个是大于0.
∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法:当△1+△2>0时,则△1和△2中至少有一个是正数.
例2.已知首项系数不相等的两个方程:
(a -1)x 2-(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b -1)x 2-(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)
有一个公共根. 求a, b 的值. 解:用因式分解法求得: 方程①的两个根是 a 和
12-+a a ; 方程②两根是b 和1
2
-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b. ∴公共根是a=
12-+b b 或b=1
2-+a a .
两个等式去分母后的结果是一样的.
即ab -a=b+2, ab -a -b+1=3, (a -1)(b -1)=3.
∵a,b 都是正整数, ∴ ⎩⎨
⎧=-3
111b a =-
; 或⎩⎨⎧=-1131b a =-.
解得⎩⎨
⎧=42b a =; 或⎩
⎨⎧==24
b a . 又解: 设公共根为x 0那么
⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②
( ①
0)2()2()10)2()2()1(2
2202
220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项: ①×(b -1)-②×(a -1) 得
[-(a 2+2)(b -1)+(b 2+2)(a -1)]x 0+(a 2+2a)(b -1)-(b 2+2b)(a -1)=0.
整理得 (a -b )(ab -a -b -2)(x 0-1)=0.
∵a ≠b
∴x 0=1; 或 (ab -a -b -2)=0. 当x 0=1时,由方程①得 a=1, ∴a -1=0,
∴方程①不是二次方程. ∴x 0不是公共根.
当(ab -a -b -2)=0时, 得(a -1)(b -1)=3 ……解法同上.
例3. 已知:m, n 是不相等的实数,方程x 2
+mx+n=0的两根差与方程y 2
+ny+m=0
的两根 差相等. 求:m+n 的值. 解:方程①两根差是
21x x -=221)x x -(=212214)(x x x x -+=n m 42-
同理方程②两根差是
21y y -=m n 42-
依题意,得n m 42-=m n 42-. 两边平方得:m 2
-4n=n 2
-4m. ∴(m -n )(m+n+4)=0
∵m ≠n ,
∴ m+n+4=0, m+n =-4.
例4. 若a, b, c 都是奇数,则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根. 证明:设方程有一个有理数根
n
m
(m, n 是互质的整数). 那么a(
n m )2+b(n
m
)+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论, ∵m, n 互质,∴不可能同为偶数.
① 当m, n 同为奇数时,则an 2+bmn+cm 2是奇数+奇数+奇数=奇数≠0;
② 当m 为奇数, n 为偶数时,an 2+bmn+cm 2是偶数+偶数+奇数=奇数≠0;
③当
m 为偶数, n 为奇数时,an 2+bmn+cm 2是奇数+偶数+偶数=奇数≠
0. 综上所述
不论m, n 取什么整数,方程a(
n m )2+b(n
m
)+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.
∴当a, b, c 都是奇数时,方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.