几类三阶常微分方程的通解公式【开题报告】
各类微分方程的解法大全
各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法一般形式:dy/dx=φ(y/x)令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解3.一阶线性微分方程解法一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解4.可降阶的高阶微分方程解法①y(n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)= ∫f(x)dx+C1y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1)即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2③y”=f(y,y’) 型的微分方程令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1)即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C25.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=06.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式: y”+py’+qy=f(x)先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:①f(x)=P m(x)eλx型令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型令y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m(x)和R m(x)的m+1个系数。
三阶常系数齐次线性微分方程通解结构
三阶常系数齐次线性微分方程通解结构三阶常系数齐次线性微分方程是指形如$ay+by+cy+dy=0$的三阶常系数齐次线性微分方程，其中a，b，c，d均为常数。
因此，三阶常系数齐次线性微分方程又称为三阶常系数线性普通微分方程，是初等微积分学中较为重要的一类微分方程。
二、定理假设 y = y(x)为$ay+by+cy+dy=0$的通解，则满足下列条件：（1）若 $b^2-3ac>0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ 其中$lambda_1、lambda_2、lambda_3$分别为$$lambda_1= frac{-b-sqrt{b^2-3ac}}{3a}，lambda_2=frac{-b+frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}，lambda_3=frac{-b-frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}$$（2）若$b^2-3ac=0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）若$b^2-3ac<0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C_4sin(lambda_2x)$$其中$lambda_1、lambda_2$分别为$$lambda_1=-frac{b}{3a}+frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}，lambda_2=-frac{b}{3a}-frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}$$三、公式从上述定理中可以看出，三阶常系数齐次线性微分方程的通解可以分为三类：（1）$b^2-3ac>0$的情况：$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ （2）$b^2-3ac=0$的情况：$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）$b^2-3ac<0$的情况：$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$四、推导（1）$b^2-3ac>0$的情况：两边同时乘以$e^{-lambda_1x}，e^{-lambda_2x}，e^{-lambda_3x}$，得到$$e^{-lambda_1x}(alambda_1^3y+blambda_1^2y+clambda_1y+dy)=e ^{-lambda_2x}(alambda_2^3y+blambda_2^2y+clambda_2y+dy)=e^{-lambda_3x}(alambda_3^3y+blambda_3^2y+clambda_3y+dy)=0$$ 即$$(alambda_1^3+blambda_1^2+clambda_1+d)e^{-lambda_1x}y+(bla mbda_1^2+2clambda_1+d)e^{-lambda_1x}y+(clambda_1+d)e^{-lamb da_1x}y+(d)e^{-lambda_1x}y=0$$令$e^{-lambda_1x}y=Y$，$e^{-lambda_1x}y=Y’$，$e^{-lambda_1x}y=Y’’$，$e^{-lambda_1x}y=Y’’’$得到一阶齐次线性微分方程的一般解为$y=e^{lambda_1x}(C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3)$可知，设$C_1=C_2=C_3=0$，有特解$y_p=C_4e^{lambda_1x}x^3$ 所以，原方程的通解为$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}+C_4e ^{lambda_1x}x^3$$（2）$b^2-3ac=0$的情况：类似上述推导，原方程的通解为$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）$b^2-3ac<0$的情况：类似上述推导，原方程的通解为$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$五、例题例 1：求解$y3y+3yy=0$的通解。
一类三阶常微分方程的特解公式
其 中
收 稿 日期 ：０ ６０ —８ ２０ —５０ ．
基 金项 目 ： 甘肃 省教 育 厅 科 研项 目（６ ３ ０ ） 甘 肃联 合 大 学 科 研基 金 资助 ． ０ １－ ２ ；
作者简介 ： 陈新 － （９ ７）男 ， １ ５一 ， 江苏武进人， 甘肃联 合大学 教授 ， 主要从事应用数学 及函数论的教学与研 究．
维普资讯
第１ 期
陈新一等 一类三阶常槭分方程 的特解
９
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维普资讯
第 ２ 誊第 １ １ 期 ２０ ０ ７年 １月
甘肃联合 大学学报 （ 自然科 学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧａ ａ ａ ｈ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃｓ ｏ ｒ ａ ｎ ｕＬｉｎ ｅＵｎｖ ｒｉｙ（ ｔ ｒｌ ｉｎ ｅ ） ｏ Ｓ
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微分方程的通解公式总结
微分方程的通解公式总结首先，我们来看一阶微分方程的通解公式。
一阶微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)为x和y的函数。
对于这种形式的微分方程，我们可以通过分离变量、齐次方程、恰当方程等方法求解，并得到通解公式y=F(x,C)，其中F(x,C)为x和常数C的函数。
这个通解公式中的C称为积分常数，它包含了微分方程的所有解。
在具体求解微分方程时，我们可以根据初值条件确定积分常数的值，从而得到微分方程的特解。
其次，我们来看高阶微分方程的通解公式。
高阶微分方程的一般形式为d^ny/dx^n=F(x)，其中F(x)为x的函数。
对于这种形式的微分方程，我们可以通过特征方程、常数变易法、待定系数法等方法求解，并得到通解公式y=y_0+y_h，其中y_0为特解，y_h为齐次方程的通解。
特解可以通过对非齐次方程进行积分得到，而齐次方程的通解可以通过求解对应的齐次方程得到。
最后，我们来看一些常见微分方程的通解公式。
常见的微分方程包括线性微分方程、非线性微分方程、常系数微分方程等。
对于这些常见的微分方程，我们可以通过不同的方法求解，并得到它们的通解公式。
例如，对于线性微分方程可以通过特征方程求解，对于非线性微分方程可以通过变量代换或者积分求解，对于常系数微分方程可以通过特征根的不同情况分类讨论。
通过总结这些微分方程的通解公式，我们可以更好地理解它们的特点和性质，为实际问题的求解提供指导。
总之，微分方程的通解公式总结是微分方程研究的重要内容，它对于理解微分方程的性质和特点，以及解决实际问题都具有重要意义。
通过对一阶微分方程、高阶微分方程以及常见微分方程的通解公式进行总结，我们可以更好地掌握微分方程的求解方法和技巧，为数学建模和实际问题的求解提供理论基础和数学工具。
希望本文的总结能够帮助读者更好地理解微分方程的通解公式，提高微分方程的解题能力。
微分方程通解总结
微分方程通解总结微分方程通解总结微分方程是数学中的一个重要分支，其应用广泛，涉及到物理、化学、工程等多个领域。
微分方程通解是解决微分方程问题的关键，本文将对微分方程通解进行全面详细的总结。
一、概念及分类1. 概念：微分方程通解是指能够满足给定微分方程所有初值条件的函数族。
2. 分类：（1）一阶常系数线性微分方程：dy/dx+ay=f(x)（2）一阶非齐次线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x)（3）二阶常系数线性齐次微分方程：d²y/dx²+ay=0（4）二阶常系数线性非齐次微分方程：d²y/dx²+ay=f(x)二、求解方法1. 一阶常系数线性微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后采用待定系数法求出非齐次线性微分方程的特殊解。
（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的一阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。
2. 一阶非齐次线性微分方程：（1）常数变易法：同上。
（2）待定系数法：根据非齐次项的形式，猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。
3. 二阶常系数线性齐次微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解，最终得到通解。
4. 二阶常系数线性非齐次微分方程：（1）待定系数法：根据非齐次项的形式猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。
（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的二阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。
三、注意事项1. 求解过程中需要注意初始条件和边界条件的使用。
2. 待定系数法需要根据非齐次项猜测特殊解的形式，并且需要保证猜测的特殊解不在齐次方程的通解中。
3. 特征根法需要求出齐次微分方程的特征根和对应的特征向量，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解。
微分方程 通解
微分方程通解
对于一阶微分方程，其一般形式为y' = f(x, y)，其中f(x, y) 是已知的函数。
对于一阶线性微分方程，其形式为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x) 和q(x) 是已知函数。
对于一阶常系数线性微分方程，其形式为dy/dx + py = q，其中p 和q 是常数。
对于二阶常系数线性微分方程，其形式为d^2y/dx^2 + py' + qy = r，其中p、q 和r 是常数。
对于这些类型的微分方程，可以使用不同的方法来求解通解，例如分离变量法、常数变易法、积分因子法等。
对于非线性微分方程，求解通解通常比较困难，可能需要使用数值方法或近似方法。
需要注意的是，对于一些特殊的微分方程，可能存在一些特殊的解法，例如使用特殊函数（如贝塞尔函数、勒让德函数等）或使用积分变换（如傅里叶变换、拉普拉斯变换等）。
一类三阶矩阵微分方程的通解
阶和二阶导数项的三阶常系数矩阵微分方程的通解.本文在文献咱4-8暂研究的基础上袁采用降阶和欧拉方
法袁导出了矩阵微分方程组 A f苁-aA f忆-Bf=0 的通解公式袁并用具体算例验证所推导的通解公式的正确性袁
为今后高阶矩阵微分方程的研究提供参考.
1 符号
给出矩阵微分方程院
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2.4 通解公式
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山
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山 删
21
0 姿1 0 0 -c 12 -c 22
常系数微分方程通解
广东省佛山市高三毕业班语文综合测试（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共1题；共6分)1. （6分） (2020高三上·芜湖期末) 阅读下面的文字，完成下面小题。
宜兴手工紫砂陶技艺是指分布于江苏省宜兴市丁蜀镇的一种民间传统制陶技艺，迄今已有600年以上的历史。
紫砂陶制作技艺，每件紫砂陶制品都是以特产于宜兴的一种具有特殊团粒结构和双重气孔结构的紫砂泥料为原料，采用百种以上的自制工具，经过的步骤制作完成的。
用这种技艺制作的宜兴紫砂陶成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
紫砂器内外一般均不施釉，以纯天然质地和肌理为美。
作为上品茶具，（），因此紫砂器与中国传统的茶文化相契合，成为茶文化的重要组成部分。
代表性的陶刻是由诗文、金石、书画等艺术与紫砂制作技艺完美结合而成的，符合中华民族传统的审美标准，尤与文人阶层的审美情趣相___________。
但由于紫砂制陶的原料是一种稀缺矿产资源，目前已被过度开发和滥用，加之紫砂制陶精品越来越少，如何这一优秀的民间手工技艺已成为一个亟待解决的课题。
（1）依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A . 独一无二繁冗融合传承B . 独占鳌头繁冗契合继承C . 独占鳌头繁复融合继承D . 独一无二繁复契合传承（2）下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是（）A . 有良好的透气性，能使人尽享茶之色香味B . 其良好的透气性能使人尽享茶之色香味C . 其透气性良好，茶之色香味能使人尽享D . 它能使人尽享茶之色香味，透气性良好（3）文中画线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A . 宜兴紫砂陶用这种技艺制作的成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
B . 用这种技艺制作的宜兴紫砂陶成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
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毕业论文开题报告
数学与应用数学
几类三阶常微分方程的通解公式
一、选题的背景、意义
常微分方程是指包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微分的等式。
微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关。
20世纪30年代中期法国数学家勒雷和绍尔建立了LeraySchauder度理论[1]。
他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函数方程时，取得了巨大成功。
常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以归结为高阶微分方程的模型[1，2]，或者化为研究解的性质的问题。
很多物理与技术问题都可以化归为微分方程的求解问题。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。
后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，就会有解方程的方法[3-5]。
微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。
有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，下面对研究三阶常微分方程的通解详见文献[6-10]。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
本文主要是对三阶常微分方程通解的研究，具体研究的基本内容与拟解决的主要问题如下：
问题1 如果已知三阶线性微分方程
()()()()
+++=
y P x y Q x y R x y f x
''''''
的一个预解函数()1G x x
=和一组预解常数a b c 、、，那么又该如何得到它的通解？ 问题2 对于一般三阶变系数非齐线性微分方程
123'''()()''()()'()()()()X t a t X t a t X t a t X t f t +++= 当系数满足2'2111()()()3a t a t a t =+，3'''31111111()()()()()2733
a t a t a t a t a t =++时，该方程的通解又会是什么？
问题3 考虑一类三阶变系数的常微分方程
0)()()(=+'+''+'''y x k y x q y x p y （1） 其中()p x 为R 上的二阶连续可微函数，()q x 与()k x 为R 上的连续函数。
记
)()()(3
1)(12x c x q x p x p =+-'-， )(31x p ''-)(2723x p +)()()()(3
12x c x k x q x p =+-。
下面我们来寻求方程（1）的通解情况。
（a ）若2211)(,)(c x c c x c ≡≡都为常数，且321,,λλλ为代数方程
0213=++c c λλ
的三个根，则方程（1）的通解是什么？
（b ）若存在常数d 1 , d 2使322311)(,)(x
d x c x x d x c ≡≡
，且)(),(),(321x z x z x z 为欧拉方 程
0213=+'+'''z d z x d z x ，
的基本解组，则方程（1）的通解又是什么？
三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标
一、本课题的研究以综述法为主，采用的技术路线是：首先在大量阅读文献的基础上，并在此基础上提出自己的看法和观点，理解常微分方程的背景、发展、研究意义。
然后探求出一些新的三阶变系数的常微分方程的可解类型，并获得其通解公式，丰富和完善常微分方程的可解类型，并结合具体的例子将自己所获得的理论结果加以应用，以体现出本课题理论研究的实践意义。
二、研究的主要难点是探求出一些新的三阶变系数的常微分方程的可解类型，并获得其通解公式。
三、预期达到的目标，通过本课题的研究，总结归纳出前人研究所得的成果，形成自己的观点和认识。
并更深刻地理解三阶常微分方程的通解公式，展示其对常微分方程的重要意义。
四、论文详细工作进度和安排
第七学期第9-10周：确定论文题目；开始查阅文献资料，收集各种纸质、电子文件信息、材料并对其进行加工整理，形成系统材料；确定外文翻译资料；
第七学期第11-12周：仔细研读，分析资料，完成外文翻译；
第七学期第13-17周：认真阅读文献资料，加以归纳总结，完成文献综述及开题报告；
第七学期第18周：并完成网上确认；
寒假期间：完成论文初稿；
第八学期第1-3周：修改论文初稿，并确定进入实习阶段；
第八学期第4-10周：进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改。
第八学期第11周：完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告；
第八学期第12-14周：对论文进一步修改，并定稿；
第八学期第15-16周：准备并完成毕业答辩。
五、主要参考文献：
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[4] 虞继敏, 郑继明, 关中博. 变系数三阶线性微分方程的一种解法[J].高等数学研究,2010年5月03期.
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[7] 张衡. 三阶线性常微分方程可积的充分必要条件[J].石河子大学学报(自然科学版),2003年9月03期.
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