一阶线性微分方程及其解法.
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
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四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
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2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
第04节一阶线性微分方程
dx
dx
代入并整理，得
dz 1zalnx dx x
故该一阶线性方程的通解为：
ze1xdx alnxe1xdxdxc
e1nx alnxelnxdxc
xa2lnx2 c
原方程的通解为:
1 y
xca2lnx2
例５ 求 xdy3yx2 3y 的通解 dx 2
解：原方程化为
1
y3
dy
3
2
y3＝x
先求： 再设：
yCePxdx
yCxePxdx
代入方程，求出C(x)即可。
方法三：解的结构法
先求
dy Pxy0
dx
的通解
Y(含C)；
再求 dyPxyQx的解 y *
dx
则 dyPxyQx 的通解为 y Y y*
dx
四、例题（Ⅰ）
先介绍一阶线性方程求解之例。
例1、求方程
y 1 x
y sinx x
得 C xe P xd xQ x
积分得：
C xQ xeP xd zd x C
∴一阶非齐次线性方程的通解为：
y Q x e P (x )d xd x C e P x d x C e P x d x e P x d x Q x e P x d x d x
三、一阶线性方程的解法小结
yCePxdx
（4）
2．一阶非齐次线性方程的求解：
dyPxyQx
dx 讨论：
（5）
原方程可化为
dy y
QyxPxdx
两边积分得:
lny
Qx
dx
Pxdx
y
记
vx
Qx
dx,
y
则
lnyvx Pxdx
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法，这是个啥玩意儿？别着急，听我给你慢慢道来。
咱们来聊聊微分方程。
微分方程是一类关于未知函数的方程，它包含一个或多个导数。
而一阶线性微分方程，就是指只有一个自变量的微分方程，且这个自变量的导数是线性的。
听起来有点复杂？别急，咱们用个例子来解释一下。
假设有个问题，说小明每天走的距离是前一天的2倍加1米，那么这个问题就可以用一阶线性微分方程来描述。
这里的自变量就是时间t,而小明每天走的距离就是我们要求的未知函数y。
根据题意，我们可以得到这样一个方程：y(t) = 2y(t-1) + 1这就是一阶线性微分方程的一个例子。
现在我们来聊聊解法。
解微分方程的目的，就是要找到一个公式，把未知函数y和自变量t之间的关系表示出来。
而一阶线性微分方程的解法其实很简单，只需要用到一个叫做“递推关系”的东西。
所谓递推关系，就是指一个式子和它前面几个式子的差值是一个常数。
对于一阶线性微分方程来说，它的递推关系就是：dy/dt = 2dy/(t-1) + 1这个式子告诉我们，当我们知道了t时刻的y值，以及它前面t-1时刻的y值时，我们就可以用这个式子算出t时刻的y值。
而且这个式子还有一个很神奇的性质，就是它的左边是一个关于y的一阶线性微分方程，右边是一个关于y的一阶常系数线性微分方程。
这意味着，我们可以用同样的方法去求解这个递推关系中的每一个式子。
那么问题来了，我们怎么求解这个递推关系呢？其实方法很简单，就是用“累加法”。
具体来说，我们先令t=0,求出初始条件；然后再令t=1,求出第一个y值；接着再令t=2,求出第二个y值；以此类推，直到求出我们需要的所有y值。
这里的关键是要找到一个合适的初始条件，让递推关系能够顺利进行下去。
有时候这个初始条件并不好找，但是只要我们多试几次，总会找到一个合适的答案。
好了，今天关于一阶线性微分方程及其解法就给大家讲到这里啦！希望大家能够理解并掌握这个知识点。
高等数学8.3.一阶线性微分方程的解法
i|t00．
方程 di R i Em sinw t 为非齐次线性方程，由其通中解公式，得
dt L L
i(t)e PP((tt))ddtt (
Q(t)e PP((tt))ddtt
dtC)
e
RRddtt LL
(
Emm
s in w
t
e
RRddtt LL
两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC，
方程的通解为
这就是齐次线性方程和通解
yC(x2)．
（积分中不再加任意常数）．
非齐次线性方程的解法： 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数u(x)，把
y u(x) e P(x)dx
设想成非齐次线性方程的通解．代入非齐次线性方程求得
uln |u1|xC． yln |xy1|C，
或
xC 1ey y1 (C 1 e C )．
§8.3一阶线性微分方程的解法
一、线性方程
线性方程、齐次线性方程的解法 非齐次线性方程的解法
一、 一阶微分线性方程
线性方程：
下列方程各是什么类型方程？
方程 dy P(x)y Q(x) dx
叫做一阶线性微分方程．
(1) 3x25x5y0； (2) dy 10xy ；
dx
如果Q(x)0 ，则方程称为齐
R 2 w 2 L2
经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化 为已知其求解方法的方程．
例 5 解方程dy 1 ． dx x y
解 令xyu，则原方程化为
du 11 ，即 du u 1 ．
dx u
dx u
分离变量，得
u du dx， u 1
两端积分得 以uxy代入上式，得
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和常数变易法等。
本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。
分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。
它的步骤是将方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。
例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。
然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中C为积分常数。
最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。
当方程为dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。
同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分常数。
然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。
当方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。
这样，原方程就变成了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。
接下来，我们可以使用分离变量法或者其他已知的解法来求解这个方程。
常数变易法是解特殊形式的一阶线性微分方程的方法之一。
当方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)e^(∫P(x)dx)时，我们可以通过将y的解表达形式设为y = u(x)*v(x)来解方程。
其中，u(x)为待定函数，而v(x)为一个满足dv(x)/dx = e^(∫P(x)dx)的函数。
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
微积分-一阶线性微分方程的解
一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。
接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
一阶线性微分方程的解法和分离变量法
一阶线性微分方程的解法和分离变量法微积分作为高等数学中的一门重要学科，其涵盖的内容极其广泛，其中线性微分方程是其应用广泛的一部分。
在实际应用中，很多问题可以转化为一阶线性微分方程的形式，这使得解决这些问题变得更加容易和可行。
而分离变量法是解决这类微分方程的一种有效的方法，本文将详细介绍一阶线性微分方程及其解法，重点介绍分离变量法的基本思想和具体步骤。
一. 一阶线性微分方程1. 定义一阶线性微分方程是指形如y' + p(x)y = q(x)的微分方程，其中y是未知函数，p(x)和q(x)是已知函数，y'是对y关于x求导得到的导数。
其中，p(x)和q(x)是一阶齐次线性微分方程的系数函数，即p(x)y=0的一阶微分方程，而加上非齐次项q(x)后就成为了一般的一阶非齐次线性微分方程。
2. 特征一阶线性微分方程有一些特征：（1）是关于未知函数y及其导数y'的方程；（2）系数p(x)和q(x)是已知函数不含y及其导数；（3）在一定范围内有确定的解出现。
这种类型的微分方程的解法非常重要，因为它们出现在数学、工程和科学中的各个领域中。
二. 分离变量法分离变量法是一种非常有效的解决一阶线性微分方程的方法。
其基本思想是将一阶微分方程中的未知函数y及其导数y'分别归成一个变量组的函数，然后将它们分离到方程两边，从而得到一个与求解x有关的对两个纯变量的积分方程。
因为变量已经分离，因此它们可以分别积分，最后便可求得原方程的通解。
下面我们将从分离变量法的基本思想、步骤以及解题策略几个方面详细介绍这种解法的具体方法。
1、基本思想我们现在来考虑一阶线性微分方程y' + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)都是已知函数。
我们将y'移向等式左边，将p(x)y和q(x)合并到等式右边，于是有：y' = q(x) - p(x)y现在，我们将y'和y分别看作一个单独的变量，我们有：dy/dx = f(x, y)其中，f(x, y) = q(x) - p(x)y。
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代入整理后，有
du 1 u 2 dx 2 xu
分离变量，则有
u 1 du dx 2 1 u 2x
1 2 1 2 1 2
两边积分，得 ( ) ln(1 u 2 ) ( ) ln x ( ) ln c 即
cx(1 u 2 ) 1
c( x2 y 2 ) x2
代入上式，于是所求方程的通解为
dx dx
du 1 u2 dx
解得 arctan u x C ,
代回 u x y, 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为 y tan( x C ) x .
dy 1 求 的通解. dx x y
令u x y
求xy y y ln xy的通解.
dy g( y ) h( x ) d x
(1.3) 变量分离
两端积分
1 设函数G ( y ) 和 H ( x ) 是依次为 和 h( x ) 的原函数, g ( y)
则 G( y ) H ( x ) C
(C为任意常数).
(1.4)
可以验证: (1.4)式为微分方程 (1) 的(隐式)通解.
把初始条件
y
x 1
0 代入上式，求出
c 1
，故所求方程的特解为
y x x
2 2
x 1 e y ydx y x dy 0 例3 求方程 的通解
解：这是一个齐次方程。先将方程变形为
x 1 e y dx 1 x 0 dy y
y y x
变量分离 两端积分 即 又
dy 1 d x, y x
ln | y | ln | x | ln | C |
ln | xy | ln | C |
xy C
x 2时，y 3， 故C 6 即所求曲线方程为： xy 6
练习:12.2第3题
f ( x) x f (u )du
令u xy
二、齐次方程
形如 或
dy y f 的一阶微分方程称为齐次方程 dx x
x dx f dy y
解法：
y dy y 针对齐次方程 ，作变量代换 u x dx x dy du 即 y xu ，则 dx u x dx 将其代入原式，得： du u u u u ，即 du dx dx x
这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程； 然后，利用分离变量法求得
1 1 du dx (u ) u x
dy dy xy 例1 求方程 y x 的通解 dx dx
2 2
dy y 解 原方程化为 dx xy x 2
2
y dy x ,即 y dx 1 x
x2
2
y e e
C1 x 2
, y e e C
C1 x 2
,
y Ce 为所求通解.
例2
dy x e y 的通解. 求微分方程 dx
分离变量
两端积分
解
dy x e d x, y
dy x e y dx
ln y e C1 ,
x
ex
y e e ,
C1 e x
y e e ,
y 故所求通解为： ln|y| c x
书上还有一个例子，自己可以练习练习
求微分方程 ( x2 y2 )dx 2xydy，满足初始条件 y
解： 方程可化为：
y 1 ( )2 dy x y x y dx 2 xy 2( ) x
2 2
x 1
0
的特解
它是齐次方程。令
y u x
2
y 这是齐次方程， 令 u ,即 y xu x
故 代入得：
dy du ux dx dx
du u2 ux dx u 1
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 du u
1 dx x
u ln|u| ln|x| ln|c
dM 解 v dt kM , (k 0) dM kdt 变量分离 M
两端积分 即 又
dM 0) (这里显然有 dt
ln M kt lnt
M Ce
kt
M |t 0 M 0
故
M0 C
kt
故,衰变规律为
M M 0e
练习
12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程
二、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式：
y f ( x , y ) (1)
若方程（1）可以写成如下形式： g ( y)dy f ( x)dx (1.2) 则称方程（1）为可分离变量的微分方程. 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
1 当g( y ) 0时， dy (1.2) h( x ) d x g ( y)
2 当 g ( y0 ) 0时， y y0也是方程(1)的解.
注: 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y ) 0情形.
dy 例1 求微分方程 2 xy 的通解. dx
解
dy 分离变量 2 x d x, y dy 2 x d x, 两端积分 y
ln y x C1 ,
0
x
f (u)为可微函数， 求f ( x)
两边求导得:
f ( x) 1 f ( x)
y 1 y
dy 1 y dx
变量分离
dy dx 1 y
注意:这里隐藏一个初始条件
f (0) 0
变量代换是解方程的一种常用的手段 利用变量代换求微分方程的解 dy 2 求 ( x y ) 的通解. 例6 dx dy du 解 令 x y u, 1 代入原方程
C
C1 e x
y Ce 为所求通解. (C为任意常数).
注意到:当C=0时即y=0也是方程的解
应用:
衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成 其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未 衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程 中铀含量M(t)随t的变化规律