一阶线性微分方程的标准形式

Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x0 0, 得 C 6,
x 2 所求曲线为 y 3( 2e x 2 x 2).
扬州环境资源职业技术学院基础部
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy 2y dy 2dx 0, dx x 1 y x 1
则 ln y 2 ln(x 1) lnc 即 y C ( x 1)2
扬州环境资源职业技术学院基础部
用常数变易法 , 把C换成u, 即令
y u( x 1)2
则
dy u( x 1) 2 2u( x 1) dx
扬州环境资源职业技术学院基础部
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.来自百度文库
新未知函数 u( x ) 原未知函数 y( x ),
作变换
y u( x )e
y u( x )e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
0
x
f ( x )dx ( x 3 y )2 ,
0
x
ydx x 3 y,
y
Q
y x3
2 y y 3 x , 两边求导得
P
y f ( x)
解此微分方程
o
x
x
扬州环境资源职业技术学院基础部
y y 3 x 2
2 dx ye C 3 x e dx dx
a 2 它的通解为 z x C ln x 2
a 2 yx C (ln x ) 1 则原方程的通解为 2
扬州环境资源职业技术学院基础部
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
dx x sin t t 2 , 线性的; dt
yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
扬州环境资源职业技术学院基础部
一阶线性微分方程的解法
dy P ( x ) y 0. 1. 线性齐次方程 dx
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
Q( x ) dx P ( x )dx , 两边积分 ln y y
设 Q( x ) dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y

即 y e v ( x ) e P ( x ) dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x )
dz n dy 则 (1 n) y ， dx dx
dz (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ), dx
1 n z y 求出通解后，将 代入即得
y 1 n z e
( 1 n ) P ( x ) dx ( 1 n ) P ( x ) dx ( Q ( x )(1 n)e dx C ).
第四节 一阶线性微分方程
一、线性方程 二、伯努利方程 三、小结
扬州环境资源职业技术学院基础部
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上方程称为非齐次的.
例如
dy y x2 , dx
扬州环境资源职业技术学院基础部
例 3 解 即
dy y 求方程 a(ln x ) y 2 的通解. dx x
两端除以y 2，得 y 2
dy 1 1 y a ln x , dx x
d ( y 1 ) 1 1 y a lnx dx x
1
dz 1 令z y , 则上述方程成为 z a ln x dx x
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
扬州环境资源职业技术学院基础部
dy P ( x ) y Q( x ). 2. 线性非齐次方程 dx
讨论
dy Q( x ) P ( x ) dx, y y
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程.
方程为非线性微分方程. 当n 0,1时， 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
扬州环境资源职业技术学院基础部
n y 两端除以y ，得
n
dy P ( x ) y1 n Q( x ), dx
令z y1 n ,
代入上式
u( x )[ P ( x )]e
,
扬州环境资源职业技术学院基础部
将y和y代入原方程得u( x )e
P ( x ) dx
Q( x ),
P ( x ) dx dx C , 积分得 u( x ) Q( x )e
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx P ( x ) dx y [ Q( x )e dx C ]e
1 2
3 2 即 u 3 ( x 1) 2 C
代入所给非齐次方程,得
u ( x 1)
故所得方程的通解为
3 2 2 y ( x 1) ( x 1) C 3 2
扬州环境资源职业技术学院基础部
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 y f ( x )线 与 y x 3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部 分的面积, 求曲线 f ( x ) . 解
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx Q( x )e dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
扬州环境资源职业技术学院基础部
5 dy 2y ( x 1) 2 的通解. 例1 求方程 dx x 1
解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次方程的 通解.