一阶线性微分方程的概念与解的结构
6考研数学大纲知识点解析(第六章微分方程和差分方程(数学一))
满足初始条件
的特
【解析】令
，则
，原方程化为
，即
，
于是 因
，得
，故
，由
，
知，应取
.
即
，解得
，又由
，得
，故
．
（3）型如： 间变量，即
.方程的特点是不显含自变量 ．令 ，由复合函数求导的链式法，则有
，视 为中
将之代入方程，得 这是函数 关于变量 的一阶微分方程．若能求出其通解
则可再由方程
或
两边积分后求得方程的通解
【解析】 将
代入方程
（D）
．
，得
由题设可知 从而有
类似地，将
代入方程
解得
，故选（A）．
．
，得
，
【例题】（89 年，数学一/数学二/数学三）设线性无关的函数
都是二阶非齐次线性
方程 ．
的解，
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（A）
．
（B）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
（C）
． （D）
．
【答案】（D）．
【解析】根据解的性质，
均为齐次方程的解，且线性无关，因此
；
（2） 求出特征根 和 ；
（3） 根据特征根的不同情形按下表写出方程（1）的通解：
表 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
特征根情形
通解形式
相异实根 相同实根 共轭复根
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次微分方程的通解为
的通解．
，解特征根为
．
．其中
为任意常数．
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次方程的通解为
．
设非齐次方程
常微分方程 第15讲
一阶微分方程组的一般形式
相关定义：即，称一矩阵（包括作为特殊 矩阵的向量）函数的导数（或积分，或极 限）是指这样一个矩阵函数，它的各个元 素是原矩阵的相应元素的导数（或积分， 或极限）；称一矩阵（包括作为特殊矩阵 的向量）函数序列是收敛（或在区间上一 致收敛）的，指的是它的相应元素做成的 函数序列是收敛（或在区间上一致收敛） 的.
解的存在性与唯一性
定理5.1 如果(NH)中的 A(x),F(x)在区 间I上连续，则对于任一 x0 I 以及 Y 任意给定的n维 0 ,向量方程组(NH)的 满足初始条件的解在区间I上存在且唯一. 证明分4步完成：1、把初值问题(NH)， 化成下述等价的积分方程组：
Y ( x) Y0 x ( A(t )Y (t ) F (t ))dt （3） x0
f i ( x, y1 , y 2 ,, y n ), (i 1,2,, n)
关于 y i 是线性的，即(1)可以写成如下形式：
一阶线性微分方程组
dy1 dx a11 ( x) y1 a12 ( x) y 2 a1n ( x) y n f1 ( x) dy2 a ( x) y a ( x) y a ( x) y f ( x) 21 1 22 2 2n n 2 dx (2) dyn a ( x) y a ( x) y a ( x) y f ( x) n1 1 n2 2 nn n n dx 则称(2)为一阶线性微分方程组.总假设(2)的系数
m ( x) m 1 ( x) x A(t )( m 1 (t ) m 2 (t )) dt
x
0
M
m
一阶非齐次线性微分方程解的结构
一阶非齐次线性微分方程解的结构
结构方程是描述系统的物理性质的最基本的数学表达式，它是系统的命令和动态解释的基础。
一阶非齐次线性微分方程(FLDE)是微分方程在研究系统动态性质时最常用的工具。
一
阶非齐次线性微分方程的特点是它的形式简单，只包含一阶阶导及一元函数，可以用来描
述动态系统的行为特征，但也可以用来描述更复杂的系统结构。
一阶非齐次线性微分方程的一般形式：
$$No\quad x n+1= A x n +B$$
其中，$x_n$是描述状态的变量，$A$是系统状态及输入之间的关系的系数矩阵，$B$是系
统的输入矩阵。
借助此方程，可以分析出对系统状态$x_n$有效控制的方法。
状态$x_n$可以通过输入信号$B$控制，当$B$设置为一个特定的值时，状态$x_n$可以驱动系统实现所需的结果。
在控制理论中，一阶非齐次线性微分方程可以用来解决调节问题，特别是用来设计控制器，从而控制系统的输出。
对系统控制有很大的作用，特别是通过控制控制任务，实现自动控
制的需要。
另外，一阶非齐次线性微分方程可以用来处理系统的不稳定性动态，例如系统的振荡运动，以及系统的偏差问题，从而使系统达到稳定的状态，从而提高系统的精度和准确性，确保
系统的正常运行。
总之，一阶非齐次线性微分方程在系统结构分析、动态控制和稳定性问题处理方面都有重
要用途。
它不仅有可解释性，而且能够处理复杂的系统动态，提高系统的稳定性，为系统
控制提供有效的解决方案。
WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构
如果y1 ( x ), y2 ( x )中的任意一个都不是另一个的常数倍,
y1 ( x ) 即 不恒等于非零常数, 则称y1 ( x )与y2 ( x )线性无关, y2 ( x ) 否则称y1 ( x )与y2 ( x )线性相关。
定理8.2 如果y1 ( x ), y2 ( x )是方程(1)的两个线性无关的解, 则 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解. 如 y1 cos x和y2 sin x是方程 y y 0的两个线性无关解.
方程(1)的任何两个线性无关的 特解称为基解组.
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理8.3 设 y1 ( x ) 是二阶非齐次线性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2) 的一个特解, y2 ( x ) 是对应的齐次方程(1)的通解, 那么 Y y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程(2)的通解. 证 因为 y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 f ( x ) 且 y P ( x ) y Q( x ) y2 0 2 2 则 Y P ( x )Y Q( x )Y ( y1 y2 ) P ( x )( y1 y2 ) Q( x )( y1 y2 ) [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ] [ y P ( x ) y Q( x ) y2 ] f ( x ) 2 2
y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x ) 和 的解, 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f( x ) y Q( x ) y 0 (1)
二、线性齐次微分方程解的结构
(整理)一阶线性非齐次方程解法推倒.
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。
a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。
由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。
【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。
解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
一阶微分方程求解
设一阶微分方程 初始条件
dx dt
－Ax = Bw
x(t0) = X0
（7-8） （7-9）
一、直接积分法 方程式两边同时乘以e -At，整理后得
dห้องสมุดไป่ตู้d
e –A • x
= e –A Bw
两边从 t0 到 t 对d积分得
t
e –At x(t) = e –At0 • x(t0) +
e –A Bw d t0
电路分析基础——第二部分：第七章 目录
第七章 一 阶 电 路
1 分解方法在动态电 路分析中的应用
2 一阶微分方程求解
3 零输入响应
4 零状态响应
5 线性动态电路的叠加定理
6 三要素法 7 阶跃函数和阶跃响应 8 一阶电路的子区间分析
电路分析基础——第二部分：7-2
1/5
7-2* 一阶微分方程的求解
由此可得
x(t) = e A(t - t0) x(t0) + e AtB
t e –A w d t0
（7-10）
电路分析基础——第二部分：7-2
2/5
二、猜试法 对解的形式进行猜试后再求解。要点如下：
（一）线性微分方程解的结构
如 (7-8) 式所示的非齐次线性微分方程，其通解 x(t) 由两部
分组成，即
则由(7-18)式可得 x(t0) = KeAt0 + xp(t0) = X0
（7-19）
由此可确定常数 K，从而可求得非齐次方程式(7-8)的解答。
x(t) = xh(t) + xp(t)
（7-11）
其中， xh(t) 为与 (7-8) 式对应的齐次线性微分方程，即
dx dt
第六章 常微分方程
第六章常微分方程第1节基本概念1.常微分方程含未知函数的导数的方程。
2.阶未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。
3.解通解：含有任意常数的个数与阶数相同。
特解：通解中的任意常数确定。
初始条件：y(=，=，…，=4.线性方程y和y的各阶导数都是以一次式出现的。
第2节一阶微分方程1.可分离变量的微分方程：转化：=f(x)g(x)=两边同时积分2.齐次微分方程：如果=f()，那么设=u，则y=x u(x)那么=u(x)+x带入原方程得：u+x=f(u)= （可分离变量）3.一阶线性微分方程通式：+P(x)y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。
一阶线性齐次微分方程通解：y=C一阶线性非齐次微分方程通解：y=(第3节高阶微分方程1.可降阶的高阶微分方程a)逐次积分解决。
b)令u(x)=,则=。
代入原式。
c)令=p(y),则=。
代入原式。
2.线性微分方程解的结构通式（二阶为例）：++Q(x)y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。
（1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。
（2）若,是齐次的解，则仍然是它的解。
（3）接（2）若,线性无关，则是它的通解。
（4）若Y是齐次的通解，是非齐次的特解，则y=Y+是非齐次的通解。
3.二阶常系数线性微分方程通式：++Qy=f(x)齐次：++Qy=0特征方程：a)>0，有两个不等实根、。
则Y=+是齐次方程的通解。
b)=0，有两个相等实根。
则Y=+=是齐次方程的通解。
c)<0，有两个不等虚根。
则Y=是齐次方程的通解。
非齐次：对应的齐次通解，加上本身特解。
只有两种f(x)能找到特解：a)f(x)==是特征方程的k重根。
Qn是和Pn相同形式多项式。
b)f(x)=[Cos+sin]=[Cos+sin]m=max{n,l}是特征方程的k重根。
更多资料信息联系QQ：3324785561。
第六节 线性微分方程解的结构
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理 3 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y(x) y*(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证 将 y Y ( x) y * ( x)代入方程①左端, 得
(Y y * ) P( x)(Y y * ) Q( x)(Y y *)
定理 设 y* 是 n 阶非齐次线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn ( x) y f ( x)
的一个特解, Y 是与其对应的齐次方程的 通解, 那么 y Y y*是 n 阶非齐次线性微分
方程的通解.
四、小结
主要内容 1、函数的线性相关与线性无关； 2、二阶线性微分方程解的结构定理
二、证明下列函数是相应的微分方程的通解:
1、 y c1 x 2 c2 x 2 ln x
(
c1
,
c
是任意常数
2
)是方程
x 2 y 3xy 4 y 0 的通解；
2、 y
1 x
(
c1e
x
c2e x
)
ex 2
(
c1
,
c
是任意
2
常
数
)是
方程xy 2 y xy e x 的通解 .
定义 设 y1( x), y2( x),, yn( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.
例如：
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
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若 Q (x) 0，则方程成为
y P( x) y 0,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，
若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分 方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
y P(x) y 0
程的通解为 x
y Ce 2 , x
设所给线性非齐次方程的解为 y C( x)e 2 ,
将 y 及 y 代入该方程，得
x
C( x)e 2
1 ex,
2
于是，有
C( x)
1e
x 2
dx
x
e2
C,
2
因此，原方程的通解为
x
x
y C( x)e 2 Ce 2 ( x).
则有
C( x) y1 C( x) y1 P( x)C( x) y1 Q( x),
即 C( x) y1 C( x)( y1 P( x) y1 ) Q( x),
因 y1 是对应的线性齐次方程的解，故 y1 P( x) y1 0, 因此有
二、伯努利方程
方程 dy p(x) y Q(x) yn dx
称为伯努利方程。当n=0或1时，该方程是线性方 程；当n≠0或1时，该方程不是线性的，但是通过 变量替换，可以把它化为线性的。
如以yn除以方程两边，得
yn dy p(x) y1n Q(x), dx
令
z y1n
则 dz (1 n) yn dy
,
2
代入通解公式，得原方程的通解为
xx
x
y (C e 2 )e 2 Ce 2 e x .
例 9 求解初值问题．
xy y cos x,
y()
1.
解 使用常数变易法求解．
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 cos x, xx
则与其对应的线性齐次方程
P( x)dx sin xdx cos x,
由通解公式即可得到方程的通解为 y Cecosx .
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
dy dx
1 2x x2
y
0,
这是一个线性齐次方程，
C( x) y1 Q( x),
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得
C
(
x)
Q( x)dx y1
C
,
代入 y = C (x)y1 中，得
Q( x)
y Cy1 y1
dx. y1
容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程
y P( x) y Q( x),
dx
dx
化简为 dz (1 n) p(x)z (1 n)Q(x) dx
例 求方程
dy y a(ln x) y2 dx x
的通解.
方程，
其中
P(
y)
1
2 y2
y
,
它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
x
e
12 y2
y dy
C
e
12 y2
y
dy
dy
1
1
1
y2e y (C e y ) y2(1 Ce y ),
即所求通解为
1
x y2(1 Ce y ).
且
P(
x)
1
2 x2
x
,
则
P( x)dx
2 x
1 x2
dx
ln
x2
1 x
,
由通解公式得该方程的通解 1 y Cx2e x ,
将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1.
故所求特解为
1
y x2e x .
2.一阶线性非齐次方程的解法
设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解，将 y = C(x)y1 (其中 y1 是齐次方程 y + P (x) y = 0 的解)及其导数 y = C (x) y1 + C(x) y1 代入方程
将初始条件 y() = 1 代入，得 C = ， 所以， 所求的特解，即初值问题的解为
y 1 ( sin x). x
例 10 求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解. 解 将原方程改写为
dx dy
12y y2
x
1,
这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次
第六章 微分方程初步
第三节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程的概念 与解的结构 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程的概念与解的结构
定义 一阶微分方程的一般形 式为
F(x, y, y) = 0.
一、一阶线性微分方程
一阶微分方程的下列形式
y P( x) y Q( x)
①
称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 其中 P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数.它的特点 是：右边是已知函数，左边的每项中仅含 y 或 y， 且均为 y 或 y 的一次项.
的通解为
y 1 y 0 x
yC. x
设所给线性非齐次方程的通解为
y C(x) 1 . x
将 y 及 y代入该方程，得
于是，有
C( x) 1 1 cos x, xx
C( x) cos xdx sin x C.
因此，原方程的通解为 y (sinx C) 1 C 1 sin x. x xx
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 ex , 22
则
P( x) 1 , Q( x) 1 ex ,
2
2
则
P( x)dx
1 dx 2
x 2
,
x
e P ( x )dx e 2 ,
Q( x)e P( x)dxdx
1e xe
x
2 dx
e
x 2
且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程
的通解
y P( x) y Q( x)
在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为
y1
e
P
(
x
)dx
,
于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：
y e P( x)dx C Q( x)e P( x)dxdx.
上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定 函数 C(x)， 再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法， 称为常数变易法.
例 8 求方程 2y - y = ex 的通解.
解法一 使用常数变易法求解．
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 ex , 22
这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方
是可分离变量方程. 分离变量，得
两边积分，得
dy P( x)dx, y
ln y P( x)dx lnC,
所以，方程的通解公式为
y
Ce
P(
x )dx
.
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则