二阶线性微分方程解的结构

二阶线性微分方程解的结构

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附录A 线性常微分方程

本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。

把包含未知函数和它的j 阶导数()

j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方

程的标准形式

()

(1)110()()'()()n n n y

p x y p x y p x y f x --++

++=

(A.1)

其中n 称为方程的阶数,()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（Ａ．１），则称其为常微分方程(Ａ．1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（Ａ.1)的自由项,当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程,否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合,解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。

在本附录里,我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。

A.１ 一阶线性常微分方程

一阶线性常微分方程表示为

'()()y p x y f x x I +=∈，.

(A.2)

当()0f x ≡,方程退化为

'()0y p x y +=,

（A.3)

假设()y x 不恒等于零,则上式等价于

'

()y p x y

=- 而

()'

ln 'y y y

=，从而（A.3)的通解为 ()d ()p x x

y x Ce -⎰=

( A.4）

对于非齐次一阶线性常微分方程(A ．２）,在其两端同乘以函数()d p x x e ⎰

()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ⎰⎰⎰+=

注意到上面等式的左端

()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ⎛⎫⎰⎰⎰+= ⎪⎝⎭

‘

因此有

()d ()d '()p x x p x x e y e

f x ⎛⎫⎰⎰= ⎪⎝⎭

‘ 两端积分

()d ()d ()d p x x

p x x

e y C e

f x x ⎰

⎰

=+⎰‘

其中C 是任意常数。进一步有

()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭

⎰‘ 综上有如下结论

定理A.１ 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1)的通解具有如下形式

()d ()d ()d ()()d p x x

p x x

p x x y x Ce e e

f x x --⎰⎰

⎰=+⎰‘

（A.5)

其中C 是任意常数。

观察(A ．４）式和(Ａ.5)式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程(A.１）

的解等于一阶线性齐次常微分方程(A.２)的通解()d p x x

Ce -⎰加上函数

()d ()d *()()d p x x

p x x y x e e f x x -⎰

⎰=⎰

。容易验证，*()y x 是方程（A.1)的一个特

解。这符合线性方程解的结构规律。

例１ 求解一阶常微分方程

'21y y -=

解 此时()2()1p x f x =-=，,由(Ａ.5）式，解为

2222()1d 1

2

x x x x y x Ce e e x

Ce -=+⋅=-

⎰‘

其中Ｃ是任意常数。

A ．２ 二阶线性常微分方程

将具有以下形式的方程

"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，，

(Ａ.6）

称为二阶线性常微分方程,其中(),(),()p x q x f x 都是变量ｘ的已知连续函数。称

"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，，

（Ａ.7)

为与（A.6)相伴的齐次方程.

Ａ．2.1 二阶线性微分方程解的结构

首先讨论齐次方程(A.7）解的结构。

定理A.２ 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（A.7）的两个解,则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解,其中12,c c 是任意的常数。

定理1 说明齐次线性常微分方程（A.７）的解如果存在的话,一定有无穷多个。为了说明齐次线性常微分方程（A.7）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。

定义A.１设函数12(),(),,()n y x y x y x 是定义在区间I 上的n 个函数，如

果存在

n

个不全为零的常数

12,,n

k k k ，，使得

1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=在区间I 上恒成立，则称函数

12(),(),

,()n y x y x y x 在区间上线性相关,否则称为线性无关。

例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x

x

e e -和在任何区间(,)a b 内是线性无关的。

特别的，对于两个函数的情形,它们线性相关与否,只需要看它们的比值是否为常数即可,比值为常数,那么它们线性相关,否则线性无关。

有了函数线性无关的概念,就有如下二阶线性齐次微分方程(A.7)通解结构的定理。

定理A.3假设线性齐次方程（A.7)中,函数()()p x q x 与在区间I 上连续，则方程(Ａ.7)一定存在两个线性无关的解。

类似于代数学中齐次线性方程组，二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。

定理 A.４ 若12()()y x y x 与是二阶线性齐次常微分方程(A.7)的两个线性无关的特解，则1122()()y c y x c y x =+是该方程的通解,其中12,c c 是任意的常数。

从定理A ．4可以看出二阶线性齐次常微分方程(A.７）的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。

关于二阶线性非齐次常微分方程(A ．6）的通解，有如下结论