二阶线性微分方程解的结构与通解性质
二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程解的结构\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = f(x) \]其中，\(p(x)\)、\(q(x)\)和\(f(x)\)都是定义在一些区间上的函数。
解二阶线性微分方程可以分为齐次方程和非齐次方程两种情况。
齐次方程是指 \( f(x) = 0 \) 的情况，而非齐次方程则是 \( f(x) \neq 0 \) 的情况。
首先来看齐次方程。
对于齐次方程：\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = 0 \]可以先求出其特征方程：\[ \lambda^2 + p(x)\lambda + q(x) = 0 \]然后根据特征方程的根来确定齐次方程的解的结构。
1.当特征方程的两个根 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 相异实根时，方程的通解可以表示为：\[ y(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} \]其中，\(C_1\)和\(C_2\)是任意常数。
2.当特征方程的两个根 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 相等实根时，方程的通解可以表示为：\[ y(x) = (C_1 + C_2x)e^{\lambda_1x} \]其中，\(C_1\)和\(C_2\)是任意常数。
3.当特征方程的两个根 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \) 为共轭复根 \( \alpha \pm \beta i \) 时，方程的通解可以表示为：\[ y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)) \]其中，\(C_1\)和\(C_2\)是任意常数。
接下来看非齐次方程。
对于非齐次方程：\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = f(x) \]其通解可以利用齐次方程的通解和一个特解的和来表示。
二阶微分方程解的结构定理
二阶微分方程解的结构定理咱们可以看看解的结构。
哎，结构这个词听起来可能有点严肃，其实就是在说，解到底长什么样，怎么组成。
简单来说，二阶微分方程的解有点像搭积木，里面有基础解和特解。
基础解就像是那些坚固的底座，得稳得住；而特解则是加上的各种花样，就像你在底座上加的那些好看又有趣的零件。
没错，基础解一般可以用公式求出来，而特解呢，通常是通过一些聪明的技巧找到的。
就好比你在找食谱，基础解是基本材料，特解是你的小创意。
然后，我们来聊聊线性组合。
线性组合听上去高大上，其实说白了，就是把几种基础解加在一起，像做沙拉一样，把生菜、西红柿和黄瓜混合在一起，最后调料一上，味道就出来了。
就算基础解再简单，混合后也能变得丰富多彩。
这个组合的过程，常常能让我们得到很多新的解，简直就像魔术一样！再说了，数学界的大神们经过研究发现，只要满足一定条件，二阶线性微分方程的解总能通过这样的线性组合来表示，简直是个“万金油”。
哦，对了，咱们还得提一提初始条件。
初始条件就像人生的起点，决定了你之后的旅程怎么走。
设定好初始条件，咱们就能找到一个唯一的解。
没错，数学的魅力就是在于它的精确性。
只要初始条件确定，解就不再是模糊的，而是有了明确的方向。
这就像你决定了目标后，沿着这条路走，就能找到属于你的风景。
说到这里，大家可能会觉得，哎呀，这些听起来真有点复杂，但当你慢慢深入，就会发现这其中的乐趣。
解方程的过程，就像解锁一扇扇门，每扇门后面都藏着新的世界。
就算是偶尔遇到一些难题，也不要气馁，耐心一点，兴许就能发现新的解法。
这就像生活，遇到困难时，咱们也得想办法突破，才能找到更好的自己。
咱们得二阶微分方程解的结构定理就像一块拼图，拼完了才能看到完整的画面。
无论是基础解、特解，还是线性组合和初始条件，都是这个拼图的重要组成部分。
每一个细节都不能忽视，缺一不可。
希望通过这个轻松的聊天，大家能对二阶微分方程有更深的了解。
就像一杯好茶，越品越有味，数学的世界也同样如此，值得咱们深入去探索。
浅析二阶线性微分方程解的结构定理
版权所有翻版必究/浅析二阶线性微分方程解的结构定理一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的一般形式是22d d ()()(),y y P x Q x y f x dx dx ++=1-1其中()P x ，()Q x 及()f x 是自变量x 的已知函数，函数()f x 称为该方程的自由项。
当()0f x =时，方程1-1成为22d d ()()0,y y P x Q x y dx dx++=1-2这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程1-1称为二阶非齐次线性微分方程。
定理1如果函数1()y x 与2()y x 是方程1-2的两个解，则1122()()y C y x C y x =+1-3也是方程1-2的解，其中1C ，2C 是任意常数。
定理2如果1()y x 与2()y x 是方程1-2的两个线性无关的特解，则1122()()y C y x C y x =+也是方程1-2的通解，其中1C ，2C 是任意常数。
定理3设*y 是方程1-1的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程1-2的通解，则*y Y y =+1-4就是二阶非齐次线性微分方程1-1的通解。
定理4设1*y 与2*y 分别是方程1y ()()()P x y Q x y f x '''++=版权所有翻版必究/与2y ()()()P x y Q x y f x '''++=的特解，则12**y y +是方程12y ()()()()P x y Q x y f x f x '''++=+1-5的特解。
定理5设12y iy +是方程12y ()()()()P x y Q x y f x if x '''++=+1-6的解，其中()P x ，()Q x ，1()f x ，2()f x 为实值函数，i 为纯虚数。
则1y 与2y 分别是方程1y ()()()P x y Q x y f x '''++=2y ()()()P x y Q x y f x '''++=的解。
二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程解的结构()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -⎰⎰=⎰。
容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。
这符合线性方程解的结构规律。
例1 求解一阶常微分方程'21y y -=解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为2222()1d 12x x x x y x Ce e e xCe -=+⋅=-⎰‘其中C 是任意常数。
A.2 二阶线性常微分方程将具有以下形式的方程"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。
称"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程.A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。
定理A.2 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（A.7）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。
定理1 说明齐次线性常微分方程（A.7）的解如果存在的话，一定有无穷多个。
为了说明齐次线性常微分方程（A.7）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。
定义A.1设函数12(),(),,()n y x y x y x 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n 个不全为零的常数12,,n k k k ，，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=在区间I 上恒成立，则称函数12(),(),,()n y x y x y x 在区间上线性相关，否则称为线性无关。
例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x x e e -和在任何区间(,)a b 内是线性无关的。
高数第4章第5节——二阶常系数线性微分方程
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐次线性 微分 方程的解 , 求该方程 .
解
例4
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3
p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则 必线性 相关
例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程 通解:
齐次方程通解Y 非齐次方程特解
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 4.5.3
是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 ②
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
特征根
(1) 特征方程有两个不相等的实根
特征根为r1 p
6Ax 2B x,
A 1,B0, 6
原方程通解为
例13
解 对应齐次方程为 特征方程为 r 2 2r 1 0,
特征根为 r1 r2 1, 故对应齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 1 是特征方程二重根, 可设 y x2( Ax B)e x ,
代入原方程, 得 6Ax 2B x 1, A 1 , B 1 ,
文学研究一二阶线性微分方程解的结构课件
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
线性微分方程通解的结构
y p( x) y q( x) y f2( x)
的解y， 则py(1x()xy) qy(2x()xy)是0方程：(6.1)
y p( x) y q( x) y f ( x) (6.2) y p( x) y q( x) y f1( x) f2( x) 的解
又
y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x是所给方程的通解.
15
2. 非齐线性微分方程解的结构 定理9.2 (二阶非齐次线性方程(2)的解的结构)
设 y*是二阶非齐次线性方程 y p( x) y q( x) y f ( x) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次线性方程(1) 的通解, 那么 y Y y* 是二阶非齐次线性微 分方程(2)的通解.
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为 线性无关.
8
例3 下列各函数组在给定区间上是线性相关
还是线性无关？
(1) e x，e x , e2x ( x (,)); 线性无关
解 若 k1e x k2e x k3e2x 0, 则 k1e x k2e x 2k3e2x 0, k1e x k2ex 4k3e2x 0,
y C( y1 y2 ) y1
25
16
例6 设 y1, y2 , y3 是微分方程 y p( x) y q( x) y f ( x)
的三个不同解，且 y1 y2 常数， y2 y3
则该微分方程的通解为( D ).
( A) C1 y1 C2 y2 y3; (B) C1( y1 y2 ) C2( y2 y3 ); (C) C1 y1 C2 y2 C3 y3; ( D) C1( y1 y2 ) C2( y2 y3 ) y3.
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
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要求出非齐次方程的通解，须先构造齐次 方程的通解.
y3 y1 x e x , y3 y2 2x 4e x ,
k1( y3 y1 ) k2( y3 y2 )
k1( x e x ) k2(2x 4e x )
(k1 2k2 )x (k1 4k2 )e x 0
都是方程(2)的解，其中 C1,C2 为任意常数。 线性齐次方程的解具有可叠加性。
说明:
y C1 y1( x) C2 y2( x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
定义2 设 y1( x), y2( x), , yn( x) 为定义在区间 I 内的 n 个函数，如果存在不全为零的 常数 k1, k2 , , kn，使得对于该区间内的 一切 x，有恒等式
f ( x) 称为齐次项或自由项.
二. 二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构
设有二阶线性齐次微分方程
d2y dx2
a(
x
)
dy dx
b(
x
)
y
0
(2)
关于(2)的解，我们有：
定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(2)的解，则它们 的任意组合
y C1 y1( x) C2 y2( x)
特别地: 若在 I 上有 y1( x) 常数， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
y1( x) k2 y2( x) k1
( 无妨设
k1 0 )
y1( x) y2( x)
将 y y1 Y 代入非齐次方程的左端，得： ( y1 Y ) a( x)( y1 Y ) b( x)( y1 Y )
(Y a( x)Y b( x)Y ) ( y1 a( x) y1 b( x) y1) 0 f (x) f (x) 即 y y1 Y 是非齐次方程的解，又由于 Y 是对应 齐次方程的通解，含有两个独立的任意常数，所 以 y 中含有两个独立常数，故为通解。
k1 y1( x) k2 y2( x) kn yn( x) 0
成立，则称此 n 个函数在 I 内线性相关， 否则线性无关。
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
一. 二阶线性微分方程的概念
定义1：微分方程
d2 dx
y
2
a(
x
)
dy dx
b(
x
)
y
f (x)
(1)
称为二阶线性微分方程，其中a( x),b( x), f ( x)
都是某区间I 上已知的连续函数。
当 f ( x) 0 时，称为二阶齐次线性 方程；
当 f ( x) 0 时，称为二阶非齐次线 性方程.
y1 a( x) y1 b( x) y1 f ( x) 及 y2 a( x) y2 b( x) y2 f ( x) 将 y1 y2 代入方程得： ( y1 y2 ) a( x)( y1 y2 ) b( x)( y1 y2 ) [ y1 a( x) y1 b( x) y1] [ y2 a( x) y2 b( x) y2 ] f (x) f (x) 0 故 y1 y2 是 y a( x) y b( x) y f ( x) 的解.
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
定理2 若 y1( x), y2( x) 是方程(2)的两个线性无 关的解，则： y C1 y1( x) C2 y2( x)
就是方程(2)的通解，其中C1, C2 为任意常数。
对高阶线性齐次方程，有类似定理：
定理3 若 y1( x), y2( x), , yn( x) 是n阶线性齐次方程
定理4 设 y1 是非齐次方程
y a( x) y b( x) y f ( x)
的一个特解，Y 为对应的齐次方程的通解，则 y y1 Y
为非齐次方程的通解。
证明： 由假设知：Y a( x)Y b( x)Y 0 y1 a( x) y1 b( x) y1 f ( x)
k1 k10 0
x ex
C,
x, e x 线性无关.
只有零解。
故得齐次方程的两个线性无关的特解， 非齐方程的通解为：
的两个线性无关解，则 y1 y2 是对应齐次方程 的解。已知二阶线性非齐次方程的3个特解为
y1 x ( x2 1), y2 3e x ( x2 1) y3 2x e x ( x2 1)
求该方程满足初始条件 y(0) 0, y(0) 0 的特解。
证明：y1, y2 是 y a( x) y b( x) y f ( x) 的解，则
例 y y x2
已知 Y C1e x C2ex
是对应齐次方程的通解， 容易验证： y* ( x2 2) 为该方程的一个特解. 故该方程的通解为，
y y* Y C1e x C2ex ( x2 2)
例1 证明：如果 y1 和y2 是
y a( x) y b( x) y f ( x)
y(n) a1( x) y(n1) an1( x) y an( x) y 0
的n个线性无关的特解，则它的通解为：
y C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x)
其中 C1,C2 , ,Cn 为任意常数。
三. 二阶线性非齐次微分方程 解的性质与通解的结构