WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构
如果y1 ( x ), y2 ( x )中的任意一个都不是另一个的常数倍,
y1 ( x ) 即 不恒等于非零常数, 则称y1 ( x )与y2 ( x )线性无关, y2 ( x ) 否则称y1 ( x )与y2 ( x )线性相关。
定理8.2 如果y1 ( x ), y2 ( x )是方程(1)的两个线性无关的解, 则 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解. 如 y1 cos x和y2 sin x是方程 y y 0的两个线性无关解.
方程(1)的任何两个线性无关的 特解称为基解组.
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理8.3 设 y1 ( x ) 是二阶非齐次线性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2) 的一个特解, y2 ( x ) 是对应的齐次方程(1)的通解, 那么 Y y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程(2)的通解. 证 因为 y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 f ( x ) 且 y P ( x ) y Q( x ) y2 0 2 2 则 Y P ( x )Y Q( x )Y ( y1 y2 ) P ( x )( y1 y2 ) Q( x )( y1 y2 ) [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ] [ y P ( x ) y Q( x ) y2 ] f ( x ) 2 2
y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x ) 和 的解, 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f( x ) y Q( x ) y 0 (1)
二、线性齐次微分方程解的结构
y P ( x ) y Q( x ) y 0
定理 8.1
(1)
设 y1 和 y2 是二阶线性齐次方程(1)的两个解,
则 y1 和 y2 的线性组合 y C1 y1 C 2 y2 也是方程(1)的解. 证 由假设有 y1 Py1 Qy1 0 y Py Qy2 0 2 2
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
(1)的通解： y C1 y1 C 2 y2
( 2)
其中 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关的 特解。
(2)的通解： y Y y * 其中Y 是(1)的通解, y* 是（2）的一个特解。
y p1 ( x ) y p2 ( x ) y f1 ( x ) y p1 ( x ) y p2 ( x ) y f 2 ( x )
的解, 则y1 ( x )与y2 ( x )分别是方程
的解. 定理8.5（叠加原理） 设 y1 ( x )与 y2 ( x )分别是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x )
如 y1 e x , y2 2e x都是方程 y y 0的解, 但是
y C1 y1 C 2 y2 (C1 2C 2 )e x实际上只含有一个任意
常数C C1 2C 2 , 所以y不是二阶方程的通解, 也就是说 二阶方程的两个解必须 满足一定条件,其组合才能构成通解.
8.5
线性微分方程 解的性质与解的结构
线性微分方程概念 线性齐次方程解的性质 线性非齐次方程解的结构 小结
一、线性微分方程
一 n 阶微分方程，如果方程中出现的未知函数及未 知函数的各阶导数都是一次的，这个方程称为 n 阶 线性微分方程。它的一般形式为： y ( n ) p1 ( x ) y ( n1) pn1 ( x ) y pn ( x ) y f ( x ) 其中 p1 ( x ) , pn ( x ) , f ( x )都是 x 的连续函数． 若 f ( x ) 0 则方程 y ( n ) p1 ( x ) y ( n1) pn1 ( x ) y pn ( x ) y 0 称为 n 阶线性齐次方程。 二阶线性微分方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) 当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程； 当 f ( x ) 0时， 二阶线性非齐次微分方程.
将 y c1 y1 c2 y2 代入(1)，有 (c1 y1 c2 y2 ) P (c1 y1 c2 y2 ) Q(c1 y1 c2 y2 )
c1 ( y Py1 Qy1 ) c2 ( y Py Qy2 ) 0 2 2
问题: y C1 y1 C 2 y2 一定是通解吗？
因此y1 y2是方程( 2)的解.又因y2是方程(1)的通解, 在 其中含有两个任意常数, 故y1 y2是非齐次方程的通解.
定理8.4
如果 y( x ) y1 ( x ) iy2 ( x ) 是方程 y p1 ( x ) y p2 ( x ) y f1 ( x ) if 2 ( x )
线性微分方程解的结构
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
第六节 线性微分方程解的结构
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理 3 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y(x) y*(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证 将 y Y ( x) y * ( x)代入方程①左端, 得
(Y y * ) P( x)(Y y * ) Q( x)(Y y *)
定理 设 y* 是 n 阶非齐次线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn ( x) y f ( x)
的一个特解, Y 是与其对应的齐次方程的 通解, 那么 y Y y*是 n 阶非齐次线性微分
方程的通解.
四、小结
主要内容 1、函数的线性相关与线性无关； 2、二阶线性微分方程解的结构定理
二、证明下列函数是相应的微分方程的通解:
1、 y c1 x 2 c2 x 2 ln x
(
c1
,
c
是任意常数
2
)是方程
x 2 y 3xy 4 y 0 的通解；
2、 y
1 x
(
c1e
x
c2e x
)
ex 2
(
c1
,
c
是任意
2
常
数
)是
方程xy 2 y xy e x 的通解 .
定义 设 y1( x), y2( x),, yn( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.
例如：
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程-线性微分方程通解的结构
y1( x), y2 ( x)在 I = [a, b]上线性无关
Hale Waihona Puke ⇔w(x) =y1( x) y1′ ( x)
y2( x) y2′ ( x)
≠
0,
x∈ I.
1.齐线性微分方程解的结构
定理 12.1 (齐次线性方程(6.1)的通解结构)
如果 y1(x) 与 y2(x) 是方程(6.1)的两个线性无关的 特解, 那么 y = C1 y1 + C2 y2 就是方程(6.1)的通解.
有阻尼强迫振动 的方程
Lc
d2 uc dt2
+
2β
d uc dt
+
ω02uc
=
Em LC
sinωt
串联电路的振荡方程
d2 y d x2
+
P(x)d y + Q(x) y = dx
f (x)
—— 二阶线性微分方程
当 f ( x) ≡ 0时，二阶齐次线性微分方程
当 f ( x) ≡/ 0时， 二阶非齐次线性微分方程
k1 y1( x) + k2 y2( x) + L + kn yn( x) ≡ 0, x ∈ I 则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为 线性无关.
特别地,对于两个函数的情形：
定理 设 y1( x), y2 ( x)在 I = [a, b] 上连续，若
y1( x ) ≠ 常数或 y2 ( x ) ≠ 常数
性质3 若 y1( x), y2( x)均是非齐次线性方程 (6.2)的 解，则 y1( x) − y2( x)必是齐次线性方程 (6.1)的解 .
性质4 (非齐次线性方程解的叠加原理)
若 yi ( x)是方程 :
数学中的微分方程解析
数学中的微分方程解析微分方程是数学中极为重要的一个分支，广泛应用于自然科学与工程领域。
在数学中，微分方程的解析求解是指通过使用数学方法，找到微分方程的解析解的过程。
本文将探讨微分方程解析求解的方法和应用。
一、一阶微分方程的解析求解一阶微分方程是最基础也是最常见的微分方程形式。
一阶微分方程可以写成以下形式：dy/dx = f(x, y)其中f(x, y)是已知的函数。
常见的一阶微分方程有线性方程、分离变量方程和齐次方程等。
这些方程可以通过不同的方法进行解析求解。
1. 线性方程线性方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中P(x)和Q(x)是已知的函数。
线性方程可以通过积分因子的方法求解。
首先，我们通过求解线性方程的积分因子μ(x)：μ(x) = exp[∫P(x)dx]然后将原方程乘以积分因子μ(x)，得到：d[y exp[∫P(x)dx]]/dx = Q(x)exp[∫P(x)dx]接着，对上式进行积分，得到线性方程的解析解。
通过这种方法，我们可以求解出线性方程的解析解。
2. 分离变量方程分离变量方程的一般形式为：dy/dx = g(x)h(y)其中g(x)和h(y)是已知的函数。
分离变量方程可以通过将变量分离的方法进行求解。
将变量分离后，我们可以得到：1/h(y)dy = g(x)dx接着，对上式两边同时积分，得到分离变量方程的解析解。
3. 齐次方程齐次方程的一般形式为：dy/dx = f(x/y)其中f(x/y)是已知的函数。
齐次方程可以通过变量替换的方法进行求解。
令v = y/x，将原方程改写为：dy/dx = f(v) - v/x然后，使用变量替换后的方程进行求解，再将得到的解析解转换为原方程的解析解。
二、二阶微分方程的解析求解二阶微分方程是一种更为复杂的微分方程形式。
二阶微分方程可以写成以下形式：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)其中f(x, y, dy/dx)是已知的函数。
第七节线性微分方程解的结构
（**）两端乘以e r2x 得
ze r2x r2 ze r2x f (x)e r2x
得
ze r2x f (x)e r2x
ze r2x f (x)e r2x 得 ze r2x x f (t)e r2tdt, 即 a
z e r2x x f (t)e r2tdt a
a 0: a 0: a 0:
通解为 y C1 C2 x 通解为 y C1 cos a x C2 sin a x 通解为 y C1 e a x C2 e a x
二 常系数线性非齐次方程
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
p x
ye 2
xxt
f
(t)e
pt
2 dt
a
（二 ） 待定系数法
上面求解出的公式使用不方便 根据f (x)的特殊形式 ,
给出特殊解 y *的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以
确定待定系数 .
待定系数法
接下来给出
f (x) e xPm (x) 与
f (x) e x Pl (x) cos x Pn (x)sin x
Q (x) 应为 m 次待定系数多项式，从而方程有特解如下
y* am xm am1xm1 a1x a0 e x
(2) 若不是特征方程的根,即 2 p q 0,2 p 0 ,
Q (x)应为m+1次待定系数多项式，从而方程有特解如下
y* x am xm am1xm1 a1x a0 e x
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
推广:
y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 ( ak 均为常数) 特征方程: r n a1 r n1 an1r an 0
微分方程解的性质
微分方程解的性质在微分方程中，线性方程理论占有非常重要的地位，这不仅因为线性微分方程最简单、其一般理论也被研究的十分清楚，而且微分方程是研究非线性微分方程的基础。
在实际物理问题的数学模型中，线性微分方程非常常见，例如质量-弹簧-阻尼振动系统的运动学方程，就为二阶线性微分方程（组），如式(1)所示。
\left[ M \right]\left\{ {\ddot x} \right\} + \left[ C\right]\left\{ {\dot x} \right\} + \left[ K \right]\left\{ x\right\} = \left\{0\right\} \tag 1。
该“线性”体现在微分方程中，函数（这里x为时间t的函数）及其各阶导数的幂次为1。
在中，已经详细介绍了一阶线性微分方程的解法，为了一般性，需要将其推广到更高阶的线性微分方程，本文先给出线性常微分方程解的结构，按各种概念一步一步深入讲解，请按照本文顺序阅读，不要跳读。
[注]：下面的几个定理证明过程较为复杂，为节省篇幅，这里给出了部分关键定理的证明。
对于微分方程解的存在唯一性定理等更细节的具体证明步骤请参考西安交通大学周义仓的《常微分方程及其应用》或《常微分方程定性与稳定性方法》。
线性微分方程 Linear Differential Equations对于自变量x和未知函数y，其n阶线性微分方程的通式可以写为：\[{k_n}\left( x \right){y^{\left( n \right)}} + {k_{n - 1}}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots +{k_1}\left( x \right)y' + {k_0}\left( x \right)y = g\left( x\right)\tag{2}\]。
其中，系数k_j(x)(j=0,1,2,…,n)及g(x)都只是关于x的函数，与函数y及y的导数无关。
微分方程概念及数值解介绍
凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程 叫微分方程. 例
y 2 y 3 y e x , z 2 x y, ( t x )dt xdx 0, x
y xy ,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
hn 在计算上采用相等的步长 h
n 点 xn x0 nh ， 0,1, 2, ．
，这时等距节
• 初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是 顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按 递推方法由已知的 y0 , y1 ,, yn求出 yn 1。所以，
初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称之. 分类2: 一阶微分方程 F ( x , y, y) 0,
y f ( x , y );
高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0,
y
( n)
,, y ( n1) ). f ( x, y, y
xn h xn
f (t , y (t ))dt
（看成矩形）
yn 1 yn hf ( xn , yn ) y0 y ( x0 )
• 向后差商
隐式Euler方法
y ( xn 1 ) y ( xn ) / y f ( x, y ) h y ( x0 ) y 0 yn 1 y n hf ( xn 1 , y n 1 ) y ( x0 ) y 0
梯形公式(续)
• 梯形公式(见上页)，实际上是Euler方法和隐式 Euler方法的算术平均。 • 梯形公式的精度为二阶。
5 二阶线性微分方程解的结构与通解性质
代入③ 即得非齐次方程的通解:
y C1 y1 C2 y2 y1 g1 ( x ) y2 g2 ( x )
说明: 将③的解设为
y y1 ( x) v1 ( x) y2 ( x) v2 ( x)
只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一
个条件, 方程⑤的引入是为了简化计算.
y C1 (e x x ) C 2 (e 2 x x )
代入初始条件 y(0) 1 , y(0) 3, 得 C1 1 , C 2 2 ,
故所求特解为 y 2e 2 x e x .
定理 4
* *
设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y1 与 y 2 分别是方程,
为该方程的一个特解.
故该方程的通解为，
y y* Y C1e x C2e x ( x 2 2)
例1 证明：如果 y1 和y2 是
y a( x ) y b( x ) y f ( x )
的两个线性无关解，则 y1 y2 是对应齐次方程 的解。已知二阶线性非齐次方程的3个特解为
a( x ) y1 b( x ) y1 f ( x ) 及 y1 y 2 a ( x ) y2 b( x ) y2 f ( x )
将 y1 y2 代入方程得：
( y1 y2 ) a( x )( y1 y2 ) b( x )( y1 y2 ) a( x ) y1 b( x ) y1 ] [ y [ y1 2 a ( x ) y2 b( x ) y2 ]
WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构
y p1 ( x ) y p2 ( x ) y f1 ( x ) y p1 ( x ) y p2 ( x ) y f 2 ( x )
的解, 则y1 ( x )与y2 ( x )分别是方程
的解. 定理8.5（叠加原理） 设 y1 ( x )与 y2 ( x )分别是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x )
方程(1)的任何两个线性无关的 特解称为基解组.
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理8.3 设 y1 ( x ) 是二阶非齐次线性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2) 的一个特解, y2 ( x ) 是对应的齐次方程(1)的通解, 那么 Y y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程(2)的通解. 证 因为 y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 f ( x ) 且 y P ( x ) y Q( x ) y2 0 2 2 则 Y P ( x )Y Q( x )Y ( y1 y2 ) P ( x )( y1 y2 ) Q( x )( y1 y2 ) [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ] [ y P ( x ) y Q( x ) y2 ] f ( x ) 2 2
因此y1 y2是方程( 2)的解.又因y2是方程(1)的通解, 在 其中含有两个任意常数, 故y1 y2是非齐次方程的通解.
定理8.4
如果 y( x ) y1 ( x ) iy2 ( x ) 是方程 y p1 ( x ) y p2 ( x ) y f1 ( x ) if 2 ( x )
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
线性微分方程的解法
§12.4 线性微分方程一、 线性方程线性方程:方程)()(x Q y x P dxdy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？(1)y dx dy x =-)2(⇒021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程.(3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程.(4)y x dxdy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法:齐次线性方程0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P ydy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.例1 求方程y dxdy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy ,两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dx x P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---, 化简得 ⎰='dx x P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例2 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 12+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u 21)1(+='x u ,两边积分,得 C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=. 解法二 这里12)(+-=x x P , 25)1()(+=x x Q . 因为 )1ln(2)12()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P , 2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dx x P , 2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为])1(32[)1(])([232)()(C x x C dx e x Q e y dx x P dx x P +++=+⎰⎰=⎰-. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dt di L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dt di LE , 即 LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t L E i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t L E t Q m s i n )(ω=. 由通解公式, 得])([)()()(C dt e t Q e t i dt t P dt t P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t L E e dt L Rm dt L R +⎰⎰=⎰-ω )sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R m Ce t L t R LR E -+-+=) cos sin (ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L R LE C m ωω+=, 因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程伯努利方程: 方程n y x Q y x P dxdy )()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程？(1)4)21(3131y x y dx dy -=+, 是伯努利方程. (2)5xy y dx dy +=, ⇒5xy y dxdy =-, 是伯努利方程. (3)x y y x y +=', ⇒11-=-'xy y xy , 是伯努利方程. (4)x xy dxdy 42=-, 是线性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得)()(1x Q y x P dxdy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 例4 求方程2)(ln y x a x y dx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得x a y xdx dy y ln 112=+--, 即 x a y xdx y d ln 1)(11=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2[2x aC x z -=.以y -1代z , 得所求方程的通解为1])(ln 2[2=-x a C yx .经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程yx dx dy +=1. 解 若把所给方程变形为y x dydx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为u dx du 11=-, 即uu dx du 1+=. 分离变量, 得dx du u u=+1,两端积分得u -ln|u +1|=x -ln|C |.以u =x +y 代入上式, 得y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1.。