线性微分方程解的结构
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
三阶常系数齐次线性微分方程通解结构
三阶常系数齐次线性微分方程通解结构三阶常系数齐次线性微分方程是指形如$ay+by+cy+dy=0$的三阶常系数齐次线性微分方程，其中a，b，c，d均为常数。
因此，三阶常系数齐次线性微分方程又称为三阶常系数线性普通微分方程，是初等微积分学中较为重要的一类微分方程。
二、定理假设 y = y(x)为$ay+by+cy+dy=0$的通解，则满足下列条件：（1）若 $b^2-3ac>0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ 其中$lambda_1、lambda_2、lambda_3$分别为$$lambda_1= frac{-b-sqrt{b^2-3ac}}{3a}，lambda_2=frac{-b+frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}，lambda_3=frac{-b-frac{sqrt{3}}{2}isqrt{4ac-b^2}}{3a}$$（2）若$b^2-3ac=0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）若$b^2-3ac<0$，则存在常数$C_1、C_2、C_3$，使得通解可以表示为$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C_4sin(lambda_2x)$$其中$lambda_1、lambda_2$分别为$$lambda_1=-frac{b}{3a}+frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}，lambda_2=-frac{b}{3a}-frac{sqrt{3}}{3a}sqrt{3ac-b^2}$$三、公式从上述定理中可以看出，三阶常系数齐次线性微分方程的通解可以分为三类：（1）$b^2-3ac>0$的情况：$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}$$ （2）$b^2-3ac=0$的情况：$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）$b^2-3ac<0$的情况：$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$四、推导（1）$b^2-3ac>0$的情况：两边同时乘以$e^{-lambda_1x}，e^{-lambda_2x}，e^{-lambda_3x}$，得到$$e^{-lambda_1x}(alambda_1^3y+blambda_1^2y+clambda_1y+dy)=e ^{-lambda_2x}(alambda_2^3y+blambda_2^2y+clambda_2y+dy)=e^{-lambda_3x}(alambda_3^3y+blambda_3^2y+clambda_3y+dy)=0$$ 即$$(alambda_1^3+blambda_1^2+clambda_1+d)e^{-lambda_1x}y+(bla mbda_1^2+2clambda_1+d)e^{-lambda_1x}y+(clambda_1+d)e^{-lamb da_1x}y+(d)e^{-lambda_1x}y=0$$令$e^{-lambda_1x}y=Y$，$e^{-lambda_1x}y=Y’$，$e^{-lambda_1x}y=Y’’$，$e^{-lambda_1x}y=Y’’’$得到一阶齐次线性微分方程的一般解为$y=e^{lambda_1x}(C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3)$可知，设$C_1=C_2=C_3=0$，有特解$y_p=C_4e^{lambda_1x}x^3$ 所以，原方程的通解为$$y=C_1e^{lambda_1x}+C_2e^{lambda_2x}+C_3e^{lambda_3x}+C_4e ^{lambda_1x}x^3$$（2）$b^2-3ac=0$的情况：类似上述推导，原方程的通解为$$y=C_1x^3+C_2x^2+C_3x+C_4$$（3）$b^2-3ac<0$的情况：类似上述推导，原方程的通解为$$y=C_1cos(lambda_1x)+C_2sin(lambda_1x)+C_3cos(lambda_2x)+C _4sin(lambda_2x)$$五、例题例 1：求解$y3y+3yy=0$的通解。
WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构
如果y1 ( x ), y2 ( x )中的任意一个都不是另一个的常数倍,
y1 ( x ) 即 不恒等于非零常数, 则称y1 ( x )与y2 ( x )线性无关, y2 ( x ) 否则称y1 ( x )与y2 ( x )线性相关。
定理8.2 如果y1 ( x ), y2 ( x )是方程(1)的两个线性无关的解, 则 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解. 如 y1 cos x和y2 sin x是方程 y y 0的两个线性无关解.
方程(1)的任何两个线性无关的 特解称为基解组.
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理8.3 设 y1 ( x ) 是二阶非齐次线性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2) 的一个特解, y2 ( x ) 是对应的齐次方程(1)的通解, 那么 Y y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程(2)的通解. 证 因为 y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 f ( x ) 且 y P ( x ) y Q( x ) y2 0 2 2 则 Y P ( x )Y Q( x )Y ( y1 y2 ) P ( x )( y1 y2 ) Q( x )( y1 y2 ) [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ] [ y P ( x ) y Q( x ) y2 ] f ( x ) 2 2
y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x ) 和 的解, 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f( x ) y Q( x ) y 0 (1)
二、线性齐次微分方程解的结构
2.线性微分方程解的结构
推广 yi(： x)(i 若 1 ,2, .n)是 n阶齐线性微
y ( n ) p 1 ( x ) y ( n 1 ) p n 1 ( x ) y p n ( x ) y 0 ..( .2 ..) .
n
的解，则它们的线性组合 y(x) ciyi(x) 也是方程 (2) 的解。 i1
当且 c1c 仅 20时 当， c 1 y 1 (x 才 ) c 2 y 2 ( 有 x ) 0 ,x I， 则 y1(x)与 y2(x)在区 I上 间线性无关。
定义: 设 y 1 ( x ) y 2 ( , x ) , , y n ( x ) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k1,k2, ,kn,使得
由e x 函 的数 e 特 x (e x ) 点 (e x ) ： ， 即 可
例 1 .求(x 方 1 )y x 程 y y 0 的通解。
解： (x 1 因 ) x 1 为 0 ，所以，
yex是原方程的一个解。
又容易看出：yx 也是原方程的一个解。
利用y： 1(x) y2(x)
常数 y1(x)、 y2(x)线性无关
( 2 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个; 特解 ( 3 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个 ; 特
(4 )若 h (x ) p (x ) q (x ) 0 ，则方程
h ( x ) y p ( x ) y q ( x ) y 0 , 则yex是它的一个; 特解
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
高阶线性微分方程的一般理论
文学研究一二阶线性微分方程解的结构课件
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
线性微分方程解的结构
关解，求方程的通解 .
定理3、设 y1*, y2 *分别为 y'' P( x) y'Q( x) y f1( x) 与 y'' P( x) y'Q( x) y f2( x) 的特解，则 y1 * y2 *为方程 y'' P( x) y'Q( x) y f1( x) f2( x)
的特解.
例1、讨论下列函数的线性相关性。
(1)1,cos2 x,sin2 x; (2)0, x,e x; (3)1, x, x2 .
定理：两个非零函数 y1( x), y2( x)线性相关
y1( x), y2( x) 成比例，即k 0, 使得阶线性微分方程解的结构
定理2、若 y * ( x) 是非齐次方程(2) 的特解， Y C1 y1( x) C2 y2( x) 是齐次方程(1)的特解，则 y Y y * 是非齐次方程(2) 的通解.
例3、设 y'' y x2 , 则 Y C1e x C2e x 是其通解. 易验证 y* x2 2 是 y'' y x2 的一个特解， 故方程 y'' y x2 的通解为： Y C1e x C2e x x2 2.
定理：二阶线性齐次微分方程的解集构成一个二维
线性空间.
定理1、若 y1( x), y2( x) 是齐次方程(1)的两个线性无关解， 则 y C1 y1( x) C2 y2( x) (C1,C2 是任意常数） 是方程 (1) 的通解.
例2、验证下列函数是否是微分方程的通解.
(1) y'' y 0,
y C1e x C2e x;
微分方程通解
微分方程通解------------------------------------------------------------------------------一、线性微分方程解的结构1、二阶线性微分方程的一般形式：\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)（特点是左端每一项关于未知函数y及y'、y''都是一次的，若f(x)=0，则称方程是齐次的，否则，当f(x)≠0时，方程叫非齐次的。
）2、定理1：如果函数y1(x)和y2(x)是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的两个解，那么y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)也是这个方程的解3、定理2：如果函数y1(x)和y2(x)是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的两个线性无关的特解，那么y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)是这个方程的通解。
（线性相关的定义：设y1(x)、y2(x)...yn(x)为定义在趋于I上的n 个函数，如果存在n个不全为0的常数k1，k2...kn，使得x∈I时有恒等式k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}+...k_{n}y_{n}≡0 成立，则称这n个函数在区间I上线性相关，否则称线性无关。
）4、定理3：设y^{*}(x)是二阶非齐次线性方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解，Y(x)是与这个方程对应的齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的通解，则y=Y(x)+y^{*}(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解。
5、定理4：设非齐次线性方程的右端f(x)是几个函数之和，如y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x)，而y_{1}^{*}(x)和y_{2}^{*}(x)分别是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{1}(x)和方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{2}(x)的特解，那么y_{1}^{*}(x)+y_{2}^{*}(x)是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x)的特解。
微分方程-线性微分方程通解的结构
y1( x), y2 ( x)在 I = [a, b]上线性无关
Hale Waihona Puke ⇔w(x) =y1( x) y1′ ( x)
y2( x) y2′ ( x)
≠
0,
x∈ I.
1.齐线性微分方程解的结构
定理 12.1 (齐次线性方程(6.1)的通解结构)
如果 y1(x) 与 y2(x) 是方程(6.1)的两个线性无关的 特解, 那么 y = C1 y1 + C2 y2 就是方程(6.1)的通解.
有阻尼强迫振动 的方程
Lc
d2 uc dt2
+
2β
d uc dt
+
ω02uc
=
Em LC
sinωt
串联电路的振荡方程
d2 y d x2
+
P(x)d y + Q(x) y = dx
f (x)
—— 二阶线性微分方程
当 f ( x) ≡ 0时，二阶齐次线性微分方程
当 f ( x) ≡/ 0时， 二阶非齐次线性微分方程
k1 y1( x) + k2 y2( x) + L + kn yn( x) ≡ 0, x ∈ I 则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为 线性无关.
特别地,对于两个函数的情形：
定理 设 y1( x), y2 ( x)在 I = [a, b] 上连续，若
y1( x ) ≠ 常数或 y2 ( x ) ≠ 常数
性质3 若 y1( x), y2( x)均是非齐次线性方程 (6.2)的 解，则 y1( x) − y2( x)必是齐次线性方程 (6.1)的解 .
性质4 (非齐次线性方程解的叠加原理)
若 yi ( x)是方程 :
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上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
z = c′( x) = e
∫
2 y1 + p ( x ) y1 dx y1
当 pi ( x) ( i = 1, 2, L , n ) 均为常数时，称为常系数方程； 当 pi ( x) ( i = 1, 2, L , n ) 不全为常数时，称为变系数方程。
二阶线性微分方程的一般形式为
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f ( x) 。
(1)
当 f ( x) ≡ 0 时，方程称为齐方程 :
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f 2 ( x)
的一个特解，则 的一个特解， y = y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = f1 ( x) + f 2 ( x)
的一个特解。 的一个特解。
性质 3
若 y1 ( x) 与 y2 ( x) 是方程
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f ( x)
的任意两个特解， 的任意两个特解，则
y = y1 ( x) − y2 ( x)
是其对应的齐方程
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = 0
的一个特解。 的一个特解。
性质 4
若 y* = y1 ( x) ± i y2 ( x) 是方程
朗斯基 ( Wronsky ) 行列式
上有定义， 设函数 y1 ( x )、y2 ( x) 在区间 I 上有定义，且有一阶
导数， 导数，则行列式
y1 ( x) W [ y1 ( x), y2 ( x)] = ′ y1 ( x)
y2 ( x) ′ y2 ( x)
上的朗斯基行列式。 称为函数 y1 ( x)、y2 ( x) 在区间 I 上的朗斯基行列式。
该问题的解决归功于数学家刘维尔。 该问题的解决归功于数学家刘维尔。
的一个非零解。 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p ( x ) y′ + q ( x) y = 0 的一个非零解。 y2 ( x ) 线性无关的解： = c( x), 则 若 y2 ( x) 是方程的与 y1 ( x) 线性无关的解： y1 ( x) y2 ( x) = c( x) y1 ( x) ， 关键是求出 c( x) 代入方程中， 代入方程中，得
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = 0 。
的相对应的齐方程。 通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。
( 2)
我们讨论二阶线性方程的一般理论， 我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可 阶线性方程中。 自然推广至 n 阶线性方程中。
1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 (1) 叠加原理 若 y1 ( x) 和 y2 ( x) 是二阶齐线性微分方程
若存在不全为零的常数 c1 和 c2 ，使得
c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) ≡ 0 x∈I ，
上是线性相关的。 则称函数 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上是线性相关的。 上是线性无关的。 否则称函数 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上是线性无关的。
当且仅当 c1 = c2 = 0 时，才有
的常数 c1，c2 (不妨设 c2 ≠ 0)，使
c1 cos x + c2 sin x ≡ 0
即 c1 ∆ tan x = − = c c2
x∈I ，
x ∈ I。
由三角函数知识可知，这是不可能的， 由三角函数知识可知，这是不可能的，故
cos x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。 线性无关的。
的通解。 是方程 (2) 的通解。
定理 2 若 h( x) + p( x) + q( x) = 0 ，则方程
h( x) y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = 0
必有一解 y = e x。
的特点： e 即可得证。 由函数 e x 的特点： x = (e x )′ = (e x )′′ = L，即可得证。
′ ′ ′ ( y1′ + p ( x) y1 + q ( x) y1 ) c( x) + (2 y1 + p ( x) y1 ) c′( x) + y1c′′( x) = 0。
是方程的解， 因为 y1 是方程的解，故得
′ ( 2 y1 + p ( x) y1 ) c′( x) + y1c′′( x) = 0。
y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x)
为原方程的通解。 为原方程的通解。
例
解
的通解。 求方程 y′′ − 2 y′ + y = 0 的通解。
因为系数满足： 1 所以， 因为系数满足： − 2 + 1 = 0，所以，方程有解
y1 ( x) = e x。
由刘维尔公式 e ∫ y2 ( x) = e ∫ d x = xe x， (e x ) 2
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
一、高阶线性微分方程的一般理论
n 阶线性方程的一般形式为 y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + L + pn −1 ( x) y′ + pn ( x) y = f ( x) 。 当 f ( x) ≡ 0 时，称为 n 阶齐线性微分方程； 当 f ( x) ≡ 0 时，称为 n 阶非齐线性微分方程；
= 0 + 0 = 0，
的解。 即 y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) 为方程 (2) 的解。
推广
若 yi ( x) ( i = 1, 2,L.n ) 是 n 阶齐线性微分方程
y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + L + pn −1 ( x) y′ + pn ( x) y = 0 的解，则它们的线性组合 (2)
y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = f1 ( x) ± i f 2 ( x)
的一个特解， 的一个特解，则 y1 ( x) 是方程
例
解
的通解。 求方程 ( x − 1) y′′ − x y′ + y = 0 的通解。 所以， 因为 ( x − 1) − x + 1 = 0 ，所以，
y = ex
y1(x) ≡常 数 y2 (x)
是原方程的一个解。 是原方程的一个解。
⇒ y1(x)、 2 (x)线 无 y 性 关
又容易看出： 也是原方程的一个解。 又容易看出： y = x 也是原方程的一个解。 而
个函数的情形。 朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形。
若 W [ y1 ( x), y2 ( x)] ≠ 0 x ∈ I，
上线性无关。 则函数 y1 ( x)，y2 ( x) 在 I 上线性无关。
例
cos x sin x π W [cos x, sin x] = = 1 x ∈ (0, )。 − sin x cos x 2 故 cos x 与 sin x 在区间 (0,
− ( −2 ) d x x
故原方程的通解为
y = C1e x + C2 x e x = e x (C1 + C2 x)。
2. 二阶非齐线性微分方程解的结构 (1) 解的性质 性质 1 若 y * ( x) 是方程
y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = f ( x)
的一个特解，而 y1 ( x) 是其对应的齐方程
(c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x))′′ + p ( x)(c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x))′ + q ( x)(c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)) ′ ′ = (c1 y1′( x) + c2 y′′ ( x)) + p ( x)(c1 y1 ( x) + c2 y′ ( x)) 2 2 + q ( x)(c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)) ′ ′ = c1 ( y1′( x) + p ( x) y1 ( x) + q ( x) y1 ( x)) ′ ′ + c2 ( y2′ ( x) + p ( x) y2 ( x) + q ( x) y2 ( x))