第六节 线性微分方程解的结构

为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关 与线性无关概念.
证 将 y C1 y1( x) C2 y2( x) 代入方程左边, 得 [C1 y1 C2 y2 ] P( x)[C1 y1 C2 y2 ] Q( x)[C1 y1 C2 y2 ]
C1[ y1 P( x) y1 Q( x) y1] C2 [ y2 P( x) y2 Q( x) y2] 0.
定义 设 y1( x), y2( x), , yn( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.
例如：
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如：
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理 3 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则
y Y(x) y*(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证 将 y Y ( x) y * ( x)代入方程①左端, 得
(Y y * ) P( x)(Y y * ) Q( x)(Y y *)
通解: y C e P ( x)d x e P ( x)d x Q( x)e P ( x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
二、线性齐次微分方程的解的结构
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理1 若函数 y1( x) 与 y2( x) 是方程 (1) 的两个解 ,
二、证明下列函数是相应的微分方程的通解:
1、 y c1 x 2 c2 x 2 ln x
(
c1
,
c
是任意常数
2
)是方程
x 2 y 3xy 4 y 0 的通解；
2、 y

1 x
(c1e
x

c2e x
)

ex 2
(
c1
,
c
是任意
2
常
数
)是
方程xy 2 y xy e x 的通解 .
思考题
已知 y1 3， y2 3 x 2 ， y3 3 x 2 e x都是微分
方程( x2 2 x) y ( x2 2) y (2 x 2) y 6( x 1)
的解，求此方程所对应齐次方程的通解.
解 y1, y2 , y3 都是微分方程的解,
y x 为其解 , 有 P( x) xQ( x) 0 , (1) y sin x 为其解 , 有 sin x cos xP( x) sin xQ( x) 0 , (2)
联立 (1) , (2) , 解得：
P( x) sin x , Q( x) x sin x ,
f (x) 0 f (x)
(Y P( x)Y Q( x)Y )
故 y Y ( x) y * ( x) 是非齐次方程的解,又Y 中含有 两个独立任意常数,因而 ② 是通解 .
例如, 方程 y y x 有特解 对应齐次方程 y y 0 有通解
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都线性无关.
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
存在不全为 0 的
使
思考:
线性无关
y1( x) 常数. y2( x)
y1( x) y2( x)
常数
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
定理 2 如果 y1( x) 与 y2( x) 是方程(1)的两个线性无关
例2 设 y1, y2 , y3 是二阶线性非齐次方程的三个 线性无关的解，试用 y1, y2 , y3 表示方程的通解.
y y3 C1 y3 y2 C2 y3 y1
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶线性齐次
方程的解 , 求该方程 .
解 设方程为 y P( x) y Q( x) y 0 ,
定理 设 y* 是 n 阶非齐次线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn ( x) y f ( x)
的一个特解, Y 是与其对应的齐次方程的 通解, 那么 y Y y*是 n 阶非齐次线性微分
方程的通解.
四、小结
主要内容 1、函数的线性相关与线性无关； 2、二阶线性微分方程解的结构定理
三、已知 y1 ( x) e x 是齐次线性方程 (2 x 1) y (2 x 1) y 2 y 0的一个解,求此方程 的通解 .
四、已知齐次线性方程x 2 y xy y 0 的通解为 Y ( x) c1 x c2 x ln x ,求非齐次线性方程 x 2 y xy y x 的通解 .
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解 取平衡时物体的位置为坐标原点,
如图建立坐标系. 设时刻 t 物体位移为x = x(t).
o
物体所受的力有:
x
1. 弹性恢复力
2. 阻力
x
据牛顿第二定律得
令 2n , k2 c , 则得有阻尼自由振动方程:
m
m
d2 x dt2

Hale Waihona Puke 2ndx dt而 y1*与 y2* 分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1 ( x)
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1

y
* 2
就是原方程的特解.
(非齐次方程之解的叠加原理)
n 阶线性微分方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn ( x) y f ( x). 二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:
sin x x cos x
sin x x cos x
故所求方程为:
y sin x y sin x Q( x) y 0 , sin x x cos x sin x x cos x
例4 设 y p( x) y f ( x) 有一特解为 1 , 对应 x
的齐次方程有一特解为x2 , 试求 :
的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通解. 例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x, 且 y2 tan x 常数,
y1
y C1 cos x C2 sin x 为方程的通解.
推论
是 n 阶线性齐次微分方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 y C1 y1 Cn yn (Ck为任意常数)
(1) p( x), f ( x) 的表达式;
(2) 此方程的通解.
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3

p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
f
(x)

3 x3
.
(2)
原方程为 y 1 y 3 .
x
Y C1 cos x C2 sin x, 因此该方程的通解为
例1 已知 e x ,ex 为二阶线性非齐次方程 y y 0 的两个解 , 又 y x 为 y y x 的一个特解 , 求 y y x 的通解. y x C1e x C2ex
y3 y2 e x , y2 y1 x2 是对应齐次方程的解,

y3 y2
y2 y1

ex x2
常数
所求通解为 y C1( y3 y2 ) C2( y2 y1 )
C1e x C2 x2 .
补充内容 y P( x) y Q( x) y 0 可观察出一个特解
则 y C1 y1 C2 y2 (C1,C2 是任意常数) 也是 (1) 的解 .
(解得叠加原理)
问题: y C1 y1 C2 y2 一定是通解吗？
例：设 y1 为 (1) 的解 , 则 y2=2 y1 是 (1) 的解,但 是 , y=C1 y1+C2 y2 不为 (1) 的通解 .
练习题答案
一、 y (C1 C2 x)e x2 .
三、 y C1e x C2 (2 x 1).
四、
y

C1
x

C2
x
ln
x

1 2
x(ln
x)2.
第六节 线性微分方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例 二、线性齐次微分方程解的结构 三、线性非齐次微分方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例
例 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
x3
显见 y1 1, y2 x2 是原方程对应的齐次方程 的两个线性无关的特解,
又 y* 1 是原方程的一个特解， x
由解的结构定理得方程的通解为
y

C1

C2
x2

1 x
.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1 ( x) f2 ( x)
(1) 若P( x) xQ( x) 0,
特解 y x;